（精品講義）2.4等比數(shù)列word版含答案2

18/1817/18/eq\a\vs4\al(等比數(shù)列)第一課時等比數(shù)列的概念及通項公式預(yù)習(xí)課本P48～50，預(yù)習(xí)課本P48～50，思考并完成以下問題(1)等比數(shù)列的定義是什么？如何判斷一個數(shù)列是否為等比數(shù)列？(2)等比數(shù)列的通項公式是什么？(3)等比中項的定義是什么？1．等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．[點睛](1)“從第2項起”，也就是說等比數(shù)列中至少含有三項；(2)“每一項與它的前一項的比”不可理解為“每相鄰兩項的比”；(3)“同一常數(shù)q”，q是等比數(shù)列的公比，即q＝eq\f(an,an－1)(n≥2)或q＝eq\f(an＋1,an).特別注意，q不可以為零，當(dāng)q＝1時，等比數(shù)列為常數(shù)列，非零的常數(shù)列是特殊的等比數(shù)列．2．等比中項如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，這三個數(shù)滿足關(guān)系式G＝±eq\r(ab).[點睛](1)G是a與b的等比中項，則a與b的符號相同，符號相反的兩個實數(shù)不存在等比中項．G＝±eq\r(ab)，即等比中項有兩個，且互為相反數(shù)．(2)當(dāng)G2＝ab時，G不一定是a與b的等比中項．例如02＝5×0，但0,0,5不是等比數(shù)列．3．等比數(shù)列的通項公式等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q(q≠0)，則通項公式為：an＝a1qn－1.1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若一個數(shù)列從第二項起每一項與前一項的比為常數(shù)，則該數(shù)列為等比數(shù)列()(2)等比數(shù)列的首項不能為零，但公比可以為零()(3)常數(shù)列一定為等比數(shù)列()(4)任何兩個數(shù)都有等比中項()解析：(1)錯誤，根據(jù)等比數(shù)列的定義，只有比值為同一個常數(shù)時，該數(shù)列才是等比數(shù)列．(2)錯誤，當(dāng)公比為零時，根據(jù)等比數(shù)列的定義，數(shù)列中的項也為零．(3)錯誤，當(dāng)常數(shù)列不為零時，該數(shù)列才是等比數(shù)列．(4)錯誤．當(dāng)兩數(shù)同號時才有等比中項，異號時不存在等比中項．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．下列數(shù)列為等比數(shù)列的是()A．2,22,3×22，… B.eq\f(1,a)，eq\f(1,a2)，eq\f(1,a3)，…C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，… D．0,0,0，…解析：選BA、C、D不是等比數(shù)列，A中不滿足定義，C、D中項可為0，不符合定義．3．等比數(shù)列的首項為eq\f(9,8)，末項為eq\f(1,3)，公比為eq\f(2,3)，則這個數(shù)列的項數(shù)為()A．3 B．4C．5 D．6解析：選B∵eq\f(1,3)＝eq\f(9,8)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1，∴eq\f(8,27)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1，∴n－1＝3，∴n＝4.4．已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，a1＝－2，且3(an＋an＋2)＝10an＋1，則公比q＝________.解析：設(shè)公比為q，則3(an＋anq2)＝10anq，即3q2－10q＋3＝0，解得q＝3或q＝eq\f(1,3)，又因為a1＝－2且數(shù)列{an}為等比遞增數(shù)列，所以q＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)等比數(shù)列的通項公式[典例](1)在等比數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，q＝eq\f(1,2)，an＝eq\f(1,32)，則項數(shù)n為()A．3 B．4C．5 D．6(2)已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且aeq\o\al(2,5)＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________.[解析](1)因為an＝a1qn－1，所以eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝eq\f(1,32)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5，解得n＝5.(2)由2(an＋an＋2)＝5an＋1?2q2－5q＋2＝0?q＝2或eq\f(1,2)，由aeq\o\al(2,5)＝a10＝a1q9>0?a1>0，又?jǐn)?shù)列{an}遞增，所以q＝2.aeq\o\al(2,5)＝a10?(a1q4)2＝a1q9?a1＝q＝2，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n.[答案](1)C(2)2n等比數(shù)列通項公式的求法(1)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a1，q的方程組，求出a1，q后再求an，這是常規(guī)方法．(2)充分利用各項之間的關(guān)系，直接求出q后，再求a1，最后求an，這種方法帶有一定的技巧性，能簡化運算．[活學(xué)活用]在等比數(shù)列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.解：(1)因為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝a1q3，,a7＝a1q6，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q3＝2，①,a1q6＝8，②))由eq\f(②,①)得q3＝4，從而q＝eq\r(3,4)，而a1q3＝2，于是a1＝eq\f(2,q3)＝eq\f(1,2)，所以an＝a1qn－1＝2.(2)法一：因為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18，③,a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9，④))由eq\f(④,③)得q＝eq\f(1,2)，從而a1＝32.又an＝1，所以32×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝1，即26－n＝20，所以n＝6.法二：因為a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝eq\f(1,2).由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，得n＝6.等比中項[典例](1)在等比數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,8)，q＝2，則a4與a8的等比中項是()A．±4 B．4C．±eq\f(1,4) D.eq\f(1,4)(2)已知b是a，c的等比中項，求證：ab＋bc是a2＋b2與b2＋c2的等比中項．[解析](1)由an＝eq\f(1,8)×2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4與a8的等比中項為±4.答案：A(2)證明：因為b是a，c的等比中項，所以b2＝ac，且a，b，c均不為零，又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2與b2＋c2的等比中項．(1)由等比中項的定義可知eq\f(G,a)＝eq\f(b,G)?G2＝ab?G＝±eq\r(ab)，所以只有a，b同號時，a，b的等比中項有兩個，異號時，沒有等比中項．(2)在一個等比數(shù)列中，從第二項起，每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項和后一項的等比中項．(3)a，G，b成等比數(shù)列等價于G2＝ab(ab>0)．[活學(xué)活用]1．如果－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，那么()A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9解析：選B因為b2＝(－1)×(－9)＝9，且b與首項－1同號，所以b＝－3，且a，c必同號．所以ac＝b2＝9.2．已知等比數(shù)列{an}的前三項依次為a－1，a＋1，a＋4，則an＝________.解析：由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，所以q＝eq\f(a2,a1)＝eq\f(6,4)＝eq\f(3,2)，所以an＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1.答案：4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1等比數(shù)列的判定與證明[典例]在數(shù)列{an}中，若an>0，且an＋1＝2an＋3(n∈N*)．證明：數(shù)列{an＋3}是等比數(shù)列．證明：[法一定義法]∵an>0，∴an＋3>0.又∵an＋1＝2an＋3，∴eq\f(an＋1＋3,an＋3)＝eq\f(2an＋3＋3,an＋3)＝eq\f(2?an＋3?,an＋3)＝2.∴數(shù)列{an＋3}是首項為a1＋3，公比為2的等比數(shù)列．[法二等比中項法]∵an>0，∴an＋3>0.又∵an＋1＝2an＋3，∴an＋2＝4an＋9.∴(an＋2＋3)(an＋3)＝(4an＋12)(an＋3)＝(2an＋6)2＝(an＋1＋3)2.即an＋3，an＋1＋3，an＋2＋3成等比數(shù)列，∴數(shù)列{an＋3}是等比數(shù)列．證明數(shù)列是等比數(shù)列常用的方法(1)定義法：eq\f(an＋1,an)＝q(q為常數(shù)且q≠0)或eq\f(an,an－1)＝q(q為常數(shù)且q≠0，n≥2)?{an}為等比數(shù)列．(2)等比中項法：aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)?{an}為等比數(shù)列．[活學(xué)活用](1)已知各項均不為0的數(shù)列{an}中，a1，a2，a3成等差數(shù)列，a2，a3，a4成等比數(shù)列，a3，a4，a5的倒數(shù)成等差數(shù)列，證明：a1，a3，a5成等比數(shù)列．(2)已知數(shù)列{an}是首項為2，公差為－1的等差數(shù)列，令bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))an，求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求其通項公式．證明：(1)由已知，有2a2＝a1＋a3，①aeq\o\al(2,3)＝a2·a4，②eq\f(2,a4)＝eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a5).③由③得eq\f(2,a4)＝eq\f(a3＋a5,a3·a5)，所以a4＝eq\f(2a3·a5,a3＋a5).④由①得a2＝eq\f(a1＋a3,2).⑤將④⑤代入②，得aeq\o\al(2,3)＝eq\f(a1＋a3,2)·eq\f(2a3·a5,a3＋a5).∴a3＝eq\f(?a1＋a3?a5,a3＋a5)，即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3)．化簡，得aeq\o\al(2,3)＝a1·a5.又a1，a3，a5均不為0，所以a1，a3，a5成等比數(shù)列．(2)依題意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，于是bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－n.而eq\f(bn,bn－1)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－n,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4－n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝2.∴數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列，通項公式為bn＝2n－3.層級一學(xué)業(yè)水平達標(biāo)1．2＋eq\r(3)和2－eq\r(3)的等比中項是()A．1 B．－1C．±1 D．2解析：選C設(shè)2＋eq\r(3)和2－eq\r(3)的等比中項為G，則G2＝(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))＝1，∴G＝±1.2．在首項a1＝1，公比q＝2的等比數(shù)列{an}中，當(dāng)an＝64時，項數(shù)n等于()A．4 B．5C．6 D．7解析：選D因為an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.3．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d不為0，a1＝9d，若ak是a1與a2k的等比中項，則k等于()A．2 B．4C．6 D．8解析：選B∵an＝(n＋8)d，又∵aeq\o\al(2,k)＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)或k＝4.4．等比數(shù)列{an}的公比為q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，則m等于()A．9 B．10C．11 D．12解析：選C∵a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝aeq\o\al(5,1)·q10＝－q10，am＝a1qm－1＝－qm－1，∴－q10＝－qm－1，∴10＝m－1，∴m＝11.5．等比數(shù)列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，則an等于()A．(－2)n－1 B．－(－2n－1)C．(－2)n D．－(－2)n解析：選A設(shè)公比為q，則a1q4＝－8a1q，又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2，又a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0，從而a1＞0，即a1＝1，故an＝(－2)n－1.6．等比數(shù)列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，則an＝________.解析：∵eq\f(a3,a1)＝q2，∴q2＝eq\f(－8,－2)＝4，即q＝±2.當(dāng)q＝－2時，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n；當(dāng)q＝2時，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n.答案：(－2)n或－2n7．已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a1，eq\f(1,2)a3,2a2成等差數(shù)列，則eq\f(a8＋a9,a6＋a7)＝________.解析：由題設(shè)a1，eq\f(1,2)a3,2a2成等差數(shù)列可得a1＋2a2＝a3，即q2－2q－1＝0，所以q＝eq\r(2)＋1，eq\f(a8＋a9,a6＋a7)＝eq\f(a8?1＋q?,a6?1＋q?)＝q2＝3＋2eq\r(2).答案：3＋2eq\r(2)8．已知三個數(shù)成等比數(shù)列，其積為512，如果第一個數(shù)與第三個數(shù)各減去2，則此時的三個數(shù)成等差數(shù)列，則原來的三個數(shù)的和等于________．解析：依題意設(shè)原來的三個數(shù)依次為eq\f(a,q)，a，aq.∵eq\f(a,q)·a·aq＝512，∴a＝8.又∵第一個數(shù)與第三個數(shù)各減去2后的三個數(shù)成等差數(shù)列，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,q)－2))＋(aq－2)＝2a，∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝eq\f(1,2)，∴原來的三個數(shù)為4,8,16或16,8,4.∵4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，∴原來的三個數(shù)的和等于28.答案：289．在四個正數(shù)中，前三個成等差數(shù)列，和為48，后三個成等比數(shù)列，積為8000，求這四個數(shù)．解：設(shè)前三個數(shù)分別為a－d，a，a＋d，則有(a－d)＋a＋(a＋d)＝48，即a＝16.設(shè)后三個數(shù)分別為eq\f(b,q)，b，bq，則有eq\f(b,q)·b·bq＝b3＝8000，即b＝20，∴這四個數(shù)分別為m,16,20，n，∴m＝2×16－20＝12，n＝eq\f(202,16)＝25.即所求的四個數(shù)分別為12,16,20,25.10．已知遞增的等比數(shù)列{an}滿足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中項，求an.解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.依題意，知2(a3＋2)＝a2＋a4，∴a2＋a3＋a4＝3a3＋4＝28，∴a3＝8，a2＋a4＝20，∴eq\f(8,q)＋8q＝20，解得q＝2或q＝eq\f(1,2)(舍去)．又a1＝eq\f(a3,q2)＝2，∴an＝2n.層級二應(yīng)試能力達標(biāo)1．設(shè)a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，其公比為2，則eq\f(2a1＋a2,2a3＋a4)的值為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,8) D．1解析：選A原式＝eq\f(2a1＋a2,q2?2a1＋a2?)＝eq\f(1,q2)＝eq\f(1,4).2．在等比數(shù)列{an}中，已知a1＝eq\f(1,3)，a5＝3，則a3＝()A．1 B．3C．±1 D．±3解析：選A由a5＝a1·q4＝3，所以q4＝9，得q2＝3，a3＝a1·q2＝eq\f(1,3)×3＝1.3．設(shè)a1＝2，數(shù)列{1＋2an}是公比為3的等比數(shù)列，則a6等于()A．607.5 B．608C．607 D．159解析：選C∵1＋2an＝(1＋2a1)×3n－1，∴1＋2a6＝5×35，∴a6＝eq\f(5×243－1,2)＝607.4．如圖給出了一個“三角形數(shù)陣”．已知每一列數(shù)成等差數(shù)列，從第三行起，每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)eq\f(3,4)，eq\f(3,8)，eq\f(3,16)…記第i行第j列的數(shù)為aij(i，j∈N*)，則a53的值為()A.eq\f(1,16) B.eq\f(1,8)C.eq\f(5,16) D.eq\f(5,4)解析：選C第一列構(gòu)成首項為eq\f(1,4)，公差為eq\f(1,4)的等差數(shù)列，所以a51＝eq\f(1,4)＋(5－1)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).又因為從第三行起每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，所以第5行構(gòu)成首項為eq\f(5,4)，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，所以a53＝eq\f(5,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(5,16).5．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an＝2Sn－3，則{an}的通項公式是________．解析：由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，兩式相減得an－an－1＝2an(n≥2)，∴an＝－an－1(n≥2)，eq\f(an,an－1)＝－1(n≥2)．故{an}是公比為－1的等比數(shù)列，令n＝1得a1＝2a1－3，∴a1＝3，故an＝3·(－1)n－1.答案：an＝3·(－1)n－16．在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＝6，若將a1，a4，a5都加上同一個數(shù)，所得的三個數(shù)依次成等比數(shù)列，則所加的這個數(shù)為________．解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，所求的數(shù)為m，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,a3＝a1＋2d＝6，))∴d＝2，∴a4＝8，a5＝10，∵a1＋m，a4＋m，a5＋m成等比數(shù)列，∴(a4＋m)2＝(a1＋m)(a5＋m)，即(8＋m)2＝(2＋m)(10＋m)，解得m＝－11.答案：－117．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2－an，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列．證明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1.∴an＋1＝eq\f(1,2)an.又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.又由an＋1＝eq\f(1,2)an知an≠0，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2).∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列．8．已知數(shù)列{an}是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，且a2＝9，a4＝81.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；(2)若bn＝log3an，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．解：(1)求數(shù)列{an}的公比為q，∵a2＝9，a4＝81.則q2＝eq\f(a4,a2)＝eq\f(81,9)＝9，又∵an>0，∴q>0，∴q＝3，故通項公式an＝a2qn－2＝9×3n－2＝3n，n∈N*.(2)證明：由(1)知an＝3n，∴bn＝log3an＝log33n＝n，∴bn＋1－bn＝(n＋1)－n＝1(常數(shù))，n∈N*，故數(shù)列{bn}是一個公差等于1的等差數(shù)列．第二課時等比數(shù)列的性質(zhì)預(yù)習(xí)課本P53練習(xí)第3、4題，預(yù)習(xí)課本P53練習(xí)第3、4題，思考并完成以下問題等比數(shù)列項的運算性質(zhì)是什么？等比數(shù)列的性質(zhì)(1)若數(shù)列{an}，{bn}是項數(shù)相同的等比數(shù)列，則{an·bn}也是等比數(shù)列．特別地，若{an}是等比數(shù)列，c是不等于0的常數(shù)，則{c·an}也是等比數(shù)列．(2)在等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq.(3)數(shù)列{an}是有窮數(shù)列，則與首末兩項等距離的兩項的積相等，且等于首末兩項的積．(4)在等比數(shù)列{an}中，每隔k項取出一項，按原來的順序排列，所得新數(shù)列仍為等比數(shù)列，公比為qk＋1.(5)當(dāng)m，n，p(m，n，p∈N*)成等差數(shù)列時，am，an，ap成等比數(shù)列．1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)有窮等比數(shù)列中，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積()(2)當(dāng)q>1時，{an}為遞增數(shù)列()(3)當(dāng)q＝1時，{an}為常數(shù)列()解析：(1)正確，根據(jù)等比數(shù)列的定義可以判定該說法正確．(2)錯誤，當(dāng)q>1，a1>0時，{an}才為遞增數(shù)列．(3)正確，當(dāng)q＝1時，數(shù)列中的每一項都相等，所以為常數(shù)列．答案：(1)√(2)×(3)√2．由公比為q的等比數(shù)列a1，a2，…依次相鄰兩項的乘積組成的數(shù)列a1a2，a2a3，a3a4，…是()A．等差數(shù)列B．以q為公比的等比數(shù)列C．以q2為公比的等比數(shù)列D．以2q為公比的等比數(shù)列解析：選C因為eq\f(an＋1an＋2,anan＋1)＝eq\f(an＋2,an)＝q2為常數(shù)，所以該數(shù)列為以q2為公比的等比數(shù)列．3．已知等比數(shù)列{an}中，a4＝7，a6＝21，則a8的值為()A．35 B．63C．21eq\r(3) D．±21eq\r(3)解析：選B∵{an}成等比數(shù)列．∴a4，a6，a8成等比數(shù)列∴aeq\o\al(2,6)＝a4·a8，即a8＝eq\f(212,7)＝63.4．在等比數(shù)列{an}中，各項都是正數(shù)，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，則a4＋a8＝________.解析：∵a6a10＝aeq\o\al(2,8)，a3a5＝aeq\o\al(2,4)，∴aeq\o\al(2,4)＋aeq\o\al(2,8)＝41，又a4a8＝4，∴(a4＋a8)2＝aeq\o\al(2,4)＋aeq\o\al(2,8)＋2a4a8＝41＋8＝49，∵數(shù)列各項都是正數(shù)，∴a4＋a8＝7.答案：7等比數(shù)列的性質(zhì)[典例](1)在1與100之間插入n個正數(shù)，使這n＋2個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的n個數(shù)的積為()A．10n B．n10C．100n D．n100(2)在等比數(shù)列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，則a7等于________．[解析](1)設(shè)這n＋2個數(shù)為a1，a2，…，an＋1，an＋2，則a2·a3·…·an＋1＝(a1an＋2)eq\f(n,2)＝(100)eq\f(n,2)＝10n.(2)因為a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，所以a3a8＝213，又因為a3＝16＝24，所以a8＝29.因為a8＝a3·q5，所以q＝2.所以a7＝eq\f(a8,q)＝256.[答案](1)A(2)256有關(guān)等比數(shù)列的計算問題，基本方法是運用方程思想列出基本量a1和q的方程組，先解出a1和q，然后利用通項公式求解．但有時運算稍繁，而利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題，卻簡便快捷，為了發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，要充分發(fā)揮項的“下標(biāo)”的指導(dǎo)作用．[活學(xué)活用]1．已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝()A．7 B．5C．－5 D．－7解析：選D因為數(shù)列{an}為等比數(shù)列，所以a5a6＝a4a7＝－8，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝2，,a4a7＝－8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a7＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝－2，,a7＝4，))所以q3＝－eq\f(1,2)或q3＝－2，故a1＋a10＝eq\f(a4,q3)＋a7·q3＝－7.2．已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且4a2a8＝aeq\o\al(2,4)，a2＝1，則a6＝()A.eq\f(1,8) B.eqB.eq\f(1,16)C.eq\f(1,32) D.eq\f(1,64)解析：選B由4a2a8＝aeq\o\al(2,4)，得4aeq\o\al(2,5)＝aeq\o\al(2,4)，∴q＝eq\f(1,2)，∴a6＝a2q4＝eq\f(1,16).靈活設(shè)元求解等比數(shù)列問題[典例](1)有四個數(shù)成等比數(shù)列，將這四個數(shù)分別減去1,1,4,13成等差數(shù)列，則這四個數(shù)的和是________．(2)有四個實數(shù)，前三個數(shù)成等比數(shù)列，且它們的乘積為216，后三個數(shù)成等差數(shù)列，且它們之和為12，求這四個數(shù)．[解析](1)設(shè)這四個數(shù)分別為a，aq，aq2，aq3，則a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差數(shù)列．即整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a?q－1?2＝3，,aq?q－1?2＝6，))解得a＝3，q＝2.因此這四個數(shù)分別是3,6,12,24，其和為45.[答案]45(2)解：法一：設(shè)前三個數(shù)為eq\f(a,q)，a，aq，則eq\f(a,q)·a·aq＝216，所以a3＝216.所以a＝6.因此前三個數(shù)為eq\f(6,q)，6,6q.由題意知第4個數(shù)為12q－6.所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝eq\f(2,3).故所求的四個數(shù)為9,6,4,2.法二：設(shè)后三個數(shù)為4－d,4,4＋d，則第一個數(shù)為eq\f(1,4)(4－d)2，由題意知eq\f(1,4)(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝6.所以d＝－2.故所求得的四個數(shù)為9,6,4,2.幾個數(shù)成等比數(shù)列的設(shè)法(1)三個數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為eq\f(a,q)，a，aq.推廣到一般：奇數(shù)個數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為：…eq\f(a,q2)，eq\f(a,q)，a，aq，aq2…(2)四個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為：eq\f(a,q3)，eq\f(a,q)，aq，aq3.推廣到一般：偶數(shù)個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為：…eq\f(a,q5)，eq\f(a,q3)，eq\f(a,q)，aq，aq3，aq5…(3)四個數(shù)成等比數(shù)列，不能確定它們的符號相同時，可設(shè)為：a，aq，aq2，aq3.[活學(xué)活用]在2和20之間插入兩個數(shù)，使前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，則插入的兩個數(shù)的和為()A．－4或eq\f(35,2) B．4或eq\f(35,2)C．4 D．17eq\f(1,2)解析：選B設(shè)插入的第一個數(shù)為a，則插入的另一個數(shù)為eq\f(a2,2).由a，eq\f(a2,2)，20成等差數(shù)列得2×eq\f(a2,2)＝a＋20.∴a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5.當(dāng)a＝－4時，插入的兩個數(shù)的和為a＋eq\f(a2,2)＝4.當(dāng)a＝5時，插入的兩個數(shù)的和為a＋eq\f(a2,2)＝eq\f(35,2).等比數(shù)列的實際應(yīng)用問題[典例]某工廠2016年1月的生產(chǎn)總值為a萬元，計劃從2016年2月起，每月生產(chǎn)總值比上一個月增長m%，那么到2017年8月底該廠的生產(chǎn)總值為多少萬元？[解]設(shè)從2016年1月開始，第n個月該廠的生產(chǎn)總值是an萬元，則an＋1＝an＋anm%，∴eq\f(an＋1,an)＝1＋m%.∴數(shù)列{an}是首項a1＝a，公比q＝1＋m%的等比數(shù)列．∴an＝a(1＋m%)n－1.∴2017年8月底該廠的生產(chǎn)總值為a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19(萬元)．?dāng)?shù)列實際應(yīng)用題常與現(xiàn)實生活和生產(chǎn)實際中的具體事件相聯(lián)系，建立數(shù)學(xué)模型是解決這類問題的核心，常用的方法有：①構(gòu)造等差、等比數(shù)列的模型，然后用數(shù)列的通項公式或求和公式解；②通過歸納得到結(jié)論，再用數(shù)列知識求解．[活學(xué)活用]如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC＝2eq\r(2).過點A作BC的垂線，垂足為A1；過點A1作AC的垂線，垂足為A2；過點A2作A1C的垂線，垂足為A3；…，依此類推．設(shè)BA＝a1，AA1＝a2,A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，則a7＝________.解析：等腰直角三角形ABC中，斜邊BC＝2eq\r(2)，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝eq\r(2)，…，An－1An＝an＋1＝sineq\f(π,4)·an＝eq\f(\r(2),2)an＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))n，故a7＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))6＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)層級一學(xué)業(yè)水平達標(biāo)1．等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項等于()A．－24 B．0C．12 D．24解析：選A由題意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比數(shù)列的前3項是－3，－6，－12，則第四項為－24.2．對任意等比數(shù)列{an}，下列說法一定正確的是()A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列 B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列 D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列解析：選D設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因為eq\f(a6,a3)＝eq\f(a9,a6)＝q3，即aeq\o\al(2,6)＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比數(shù)列．故選D.3．在正項等比數(shù)列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，則eq\f(a5,a7)等于()A.eq\f(5,6) B.eq\f(6,5)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,2)解析：選D設(shè)公比為q，則由等比數(shù)列{an}各項為正數(shù)且an＋1<an知0<q<1，由a2·a8＝6，得aeq\o\al(2,5)＝6.∴a5＝eq\r(6)，a4＋a6＝eq\f(\r(6),q)＋eq\r(6)q＝5.解得q＝eq\f(2,\r(6))，∴eq\f(a5,a7)＝eq\f(1,q2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2＝eq\f(3,2).4．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四個根組成以eq\f(1,2)為首項的等比數(shù)列，則eq\f(m,n)＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,2)或eq\f(2,3)C.eq\f(3,2) D．以上都不對解析：選B設(shè)a，b，c，d是方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四個根，不妨設(shè)a<c<d<b，則a·b＝c·d＝2，a＝eq\f(1,2)，故b＝4，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得到c＝1，d＝2，則m＝a＋b＝eq\f(9,2)，n＝c＋d＝3，或m＝c＋d＝3，n＝a＋b＝eq\f(9,2)，則eq\f(m,n)＝eq\f(3,2)或eq\f(2,3)，故選B.5．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，則a1·a15的值為()A．100 B．－100C．10000 D．－10000解析：選C∵a3a8a13＝aeq\o\al(3,8)，∴l(xiāng)g(a3a8a13)＝lgaeq\o\al(3,8)＝3lga8＝6.∴a8＝100.又a1a15＝aeq\o\al(2,8)＝10000，故選C.6．在3和一個未知數(shù)間填上一個數(shù)，使三數(shù)成等差數(shù)列，若中間項減去6，成等比數(shù)列，則此未知數(shù)是________．解析：設(shè)此三數(shù)為3，a，b，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝3＋b，,?a－6?2＝3b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝15，,b＝27.))所以這個未知數(shù)為3或27.答案：3或277．設(shè)數(shù)列{an}為公比q>1的等比數(shù)列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的兩根，則a6＋a7＝________.解析：由題意得a4＝eq\f(1,2)，a5＝eq\f(3,2)，∴q＝eq\f(a5,a4)＝3.∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(3,2)))×32＝18.答案：188．畫一個邊長為2厘米的正方形，再以這個正方形的對角線為邊畫第2個正方形，以第2個正方形的對角線為邊畫第3個正方形，這樣一共畫了10個正方形，則第10個正方形的面積等于________平方厘米．解析：這10個正方形的邊長構(gòu)成以2為首項，eq\r(2)為公比的等比數(shù)列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，則第10個正方形的面積S＝aeq\o\al(2,10)＝22·29＝211＝2048.答案：20489．在由實數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，a3＋a7＋a11＝28，a2·a7·a12＝512，求q.解：法一：由條件得由②得aeq\o\al(3,7)＝512，即a7＝8.將其代入①得2q8－5q4＋2＝0.解得q4＝eq\f(1,2)或q4＝2，即q＝±eq\f(1,\r(4,2))或q＝±eq\r(4,2).法二：∵a3a11＝a2a12＝aeq\o\al(2,7)，∴aeq\o\al(3,7)＝512，即a7＝8.于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＋a11＝20，,a3a11＝64，))即a3和a11是方程x2－20x＋64＝0的兩根，解此方程得x＝4或x＝16.因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝4，,a11＝16))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝16，,a11＝4.))又∵a11＝a3·q8，∴q＝±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a11,a3)))eq\f(1,8)＝±4eq\f(1,8)＝±eq\r(4,2)或q＝±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\f(1,8)＝±eq\f(1,\r(4,2)).10．在正項等比數(shù)列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求數(shù)列{an}的通項公式．解：∵a1a5＝aeq\o\al(2,3)，a3a7＝aeq\o\al(2,5)，∴由題意，得aeq\o\al(2,3)－2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝36，同理得aeq\o\al(2,3)＋2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝100，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?a3－a5?2＝36，,?a3＋a5?2＝100.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3－a5＝±6，,a3＋a5＝10.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝2，,a5＝8))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝8，,a5＝2.))分別解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,2)，,q＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝32，,q＝\f(1,2).))∴an＝2n－2或an＝26－n.層級二應(yīng)試能力達標(biāo)1．在等比數(shù)列{an}中，Tn表示前n項的積，若T5＝1，則()A．a(chǎn)1＝1 B．a(chǎn)3＝1C．a(chǎn)4＝1 D．a(chǎn)5＝1解析：選B由題意，可得a1·a2·a3·a4·a5＝1，即(a1·a5)·(a2·a4)·a3＝1，又a1·a5＝a2·a4＝aeq\o\al(2,3)，所以aeq\o\al(5,3)＝1，得a3＝1.2．已知等比數(shù)列{an}中，a3a11＝4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，則b5＋b9等于()A．2 B．4C．8 D．16解析：選C等比數(shù)列{an}中，a3a11＝aeq\o\al(2,7)＝4a7，解得a7＝4，等差數(shù)列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.3．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}中，若b7·b8＝3，則l