概率論第二章節(jié)課件

概率論第二章節(jié)課件1第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日§2.1隨機變量的概念例1設(shè)一口袋中有依次標有1,2,3,4,5,6數(shù)字的六個球。從這口袋中任取一個球，觀察取得的球上所標數(shù)字。X是隨著試驗結(jié)果的不同而變化的。X=i表示“

球上標示的數(shù)字為i”，設(shè)變量X表示取得的球上所標數(shù)字，

第二章隨機變量及其分布X都有唯一的值與之對應(yīng)，稱X為隨機變量。2第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日X可能取的值為0、1、2例2袋中有3個白球,2個黑球,任取兩球，求其中的白球數(shù)X.3第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日例3觀察放射性物質(zhì)在一段時間內(nèi)放射的粒子數(shù)Y。例4在一個形狀為旋轉(zhuǎn)體的均勻陀螺的圓周上,[0,3)上的諸數(shù)字，均勻地刻上當停下時,圓周與桌面接觸的刻度Z。例5

拋擲一枚硬幣

引入一個變量4第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日定義如果對于試驗的樣本空間中每一個樣本點都有一個確定的實數(shù)值與之對應(yīng)，則變量變量函數(shù)，是樣本點的實記作稱這樣的變量為隨機變量。離散隨機變量：連續(xù)隨機變量:可能取值為有限個或可數(shù)無窮個.可取得某一區(qū)間內(nèi)的任何數(shù)值.分類隨機變量是以隨機事件為自變量的實值函數(shù)。表示5第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日例如，打靶試驗中，表示事件“中5環(huán)”。表示事件“環(huán)數(shù)不超過6環(huán)”。表示事件“環(huán)數(shù)大于3環(huán)小于7環(huán)”。注意需要指出的是，試驗的結(jié)果中，隨機變量X取得某一個值x，記做它表示一個事件，同樣，隨機變量X取得取得某一個區(qū)間它們也都是隨機事件。某一個小于x的值，可記做內(nèi)的值，可記做6第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日§2.2離散隨機變量概率分布（表）而取得這些值的概率分別為設(shè)離散隨機變量取得的一切可能值為即：稱為離散型隨機變量X的概率函數(shù)或分布律（列）。性質(zhì)7第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日⑵.若隨機變量X只能取有限個值則⑶.若隨機變量X可能取可數(shù)無窮多個值，則例1a為何值時，隨機變量X的分布列。才能成為解要使X的分布列，則需成為隨機變量8第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日解：（1）設(shè)隨機變量X

是取球次數(shù)，因此，所求概率分布為：例2：取得白球為止，求取球次數(shù)的概率分布。假定：袋中有2個白球和3個黑球，每次從袋中任取1個球，直至（1）取出的黑球不再放回去；（2）取出的黑球仍放回去。9第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日例2：取得白球為止，求取球次數(shù)的概率分布。假定：袋中有2個白球和3個黑球，每次從袋中任取1個球，直至（2）取出的黑球仍放回去。因此，所求概率分布為：（2）設(shè)隨機變量Y是取球次數(shù)，10第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日幾何分布如：一射手連續(xù)不斷地進行射擊，直到第一次命中為止，如每次命中的概率為p，則所需射擊次數(shù)X服從幾何分布。(Geometricaldistribution):其中易知11第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日幾種常見的離散隨機變量的分布:1.“0-1”分布(兩點分布)§2.3超幾何分布·二項分布·泊松分布設(shè)隨機變量X

只能取兩個數(shù)值0和1，而取得這些值的概率分布表為：其中則稱此分布為“0-1”

分布(或兩點分布)。向上的次數(shù)，例1：擲硬幣的試驗中，設(shè)隨機變量X表示一次試驗中正面則X服從01分布,其概率分布表為12第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日記X為n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則2.二項分布(Binomialdistribution)設(shè)隨機變量X的可能取值為m=0,1,2,,n，概率函數(shù)為其中這種分布叫做二項分布。其分布列為：在n次獨立重復(fù)的Bernoulli試驗中,設(shè)每次試驗事件A發(fā)生的概率為p。特別地，當n=1時，二項分布即為“0—1”分布。易知13第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日解設(shè)X為在同一時刻需要供應(yīng)一個單位電力的工人數(shù)，則例2設(shè)一批產(chǎn)品共N個,其中有M個次品，對這批產(chǎn)品進行放回抽樣,即次品率為如此連續(xù)抽n次,設(shè)X表示得到的次品數(shù)，則例3（能量供應(yīng)問題）設(shè)有9個工人間歇性地使用電力，在任以上的工人需要供應(yīng)一個單位的電力的概率？一時刻每個工人以同樣的概率0.2需要一個單位的電力，如果各個工人使用電力相互獨立，問在同一時刻有7個或7個注：放回抽樣的隨機變量服從二項分布14第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日例4一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中只有一個答案是正確的．某學生靠猜測至少能答對4道題的概率是多少？解15第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日易知3.泊松分布(Poisson

distribution)m=0,1,2,…,設(shè)隨機變量X

的可能取值為m=0,1,2,,概率函數(shù)為其中常數(shù)>0,這種分布叫做泊松分布。在大量試驗中，小概率事件發(fā)生的次數(shù)可以近似地看作服從Poisson分布。16第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日在大量試驗中，小概率事件發(fā)生的次數(shù)可以近似地看作服從Poisson分布。在某個時段內(nèi)：大賣場的顧客數(shù)；某地區(qū)撥錯號的電話呼喚次數(shù)；醫(yī)院急診病人數(shù)；某地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù).一個容器中的細菌數(shù)；一本書一頁中的印刷錯誤數(shù)；一匹布上的疵點個數(shù)；放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)；17第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日Poisson分布表P286附錄1例如定理2其中設(shè)隨機變量X

服從二項分布B(n,p)，則當時，X

近似地服從泊松分布，即下面的近似等式成立：注：當n越大,p越小時，該公式近似程度越好。一般來講，18第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日由已知解隨機變量X的分布律為得由此得方程得解所以，例4設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為的Poisson分布，且已知19第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日4.超幾何分布(Hypergeometricdistribution)其中都是正整數(shù),且概率函數(shù)為這種分布稱為超幾何分布。記為設(shè)隨機變量的可能值為記X為取出的n個產(chǎn)品中的次品數(shù)，則其分布列：例5在N個產(chǎn)品中有M個次品，從這批產(chǎn)品中任取n個產(chǎn)品，超幾何分布20第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日事實上，從一批產(chǎn)品中任意取出n個產(chǎn)品，可以有兩種不同的方式：（1）一次任意取出n個產(chǎn)品；（2）每次任意取出一個產(chǎn)品，取出的產(chǎn)品不再放回，連續(xù)取n次。對于（1）對于（2）注：不放回抽樣的隨機變量服從超幾何分布例6：設(shè)一批產(chǎn)品共有N個,其中有M個次品.中任取出n個產(chǎn)品,從這批產(chǎn)品則取出的n個產(chǎn)品中的次品數(shù)21第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日定理1當一批產(chǎn)品的總數(shù)N很大，而抽樣的個數(shù)n遠較N為?。ㄒ话阏f來，）時，則不放回抽樣（樣品中的次品數(shù)服從超幾何分布）與放回抽樣（樣品中的次品數(shù)服從二項分布）實際上沒多大差別，即在這種情況下，超幾何分布可近似用二項分布來代替。注：其中近似地服從二項分布B(n,p)，即：設(shè)隨機變量X~H(n,M,N)，則當N→∞時，22第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日記X為取出的4個產(chǎn)品中的次品數(shù)，設(shè)一批產(chǎn)品共100個，其中有5個次品，按以下幾種方式取樣：（1）一次任取出4個產(chǎn)品；（2）每次任取出一個產(chǎn)品，按不放回抽樣連續(xù)抽取4次；例7

（3）

每次任取出一個產(chǎn)品，按放回抽樣連續(xù)抽取4次。(1)(2)：(3)：23第二十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日例8設(shè)一批產(chǎn)品共2000個，有40個次品。隨機抽取100個樣品，求樣品中次品數(shù)X的概率分布：（1）不放回抽樣，則即∵這批產(chǎn)品總數(shù)N=20