期權定價中的蒙特卡洛模擬辦法

{定價策略}期權定價中的蒙特卡洛模擬辦法期權定價中的蒙特卡洛模擬方法期權作為最基礎的金融衍生產品之一，為其定價一直是金融工程的重要研究領域，主要使用的定價方法有偏微分方感謝閱讀程法鞅方法和數值感謝閱讀有限差分法和蒙特卡洛模擬方法。蒙特卡洛方法的理論基礎是概率論與數理統(tǒng)計，其實質是通過模擬標的資產價格路徑預測期權的平均回報并得到期謝謝閱讀權價格估計值。蒙特卡洛方法的最大優(yōu)勢是誤差收斂率不依精品文檔放心下載賴于問題的維數，從而非常適宜為高維期權定價?！?.預備知識◆兩個重要的定理：柯爾莫哥洛夫(Kolmogorov)強大數感謝閱讀定律和萊維一林德貝格(Levy-Lindeberg)中心極限定理。精品文檔放心下載大數定律是概率論中用以說明大量隨機現(xiàn)象平均結果穩(wěn)定性的一系列極限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是隨機變謝謝閱讀量序列同分布的Kolmogorov強大數定律：設為獨立同分布的隨機變量序列，若則有顯然，若是由同一總體中得到的抽樣，那么由此大數定律可知樣本均值當n很大時以概率1收斂于總體均值。謝謝閱讀中心極限定理是研究隨機變量之和的極限分布在何種情形下是正態(tài)的，并由此應用正態(tài)分布的良好性質解決實際問感謝閱讀題。設為獨立同分布的隨機變量序列，若則有其等價形式為?！鬊lack-Scholes期權定價模型模型的假設條件：1、標的證券的價格遵循幾何布朗運動其中，標的資產的價格是時間的函數，為標的資產的瞬時期望收益率，為標的資產的波動率，是維納過程。2、證券允許賣空、證券交易連續(xù)和證券高度可分。3、不考慮交易費用或稅收等交易成本。4、在衍生證券的存續(xù)期內不支付紅利。5、市場上不存在無風險的套利機會。6、無風險利率為一個固定的常數。下面，通過構造標的資產與期權的資產組合并根據無套利定價原理建立期權定價模型。首先，為了得到期權的微分感謝閱讀形式，先介紹隨機微積分中的最重要的伊藤公式。伊藤Ito公式：設，是二元可微函數，若隨機過程滿足精品文檔放心下載如下的隨機微分方程則有根據伊藤公式，當標的資產的運動規(guī)律服從假設條件中的幾何布朗運動時，期權的價值的微分形式為現(xiàn)在構造無風險資產組合，即有，經整理后得到這個表達式就是表示期權價格變化的Black-Scholes偏謝謝閱讀微分方程。它同時適合歐式看漲期權、歐式看跌期權、美式謝謝閱讀看漲期權和美式看跌期權，只是它們的終值條件和邊界條件精品文檔放心下載不同，其價值也不相同。歐式看漲期權的終邊值條件分別為，通過求解帶有終邊值條件的偏微分方程，得出歐式看漲期權感謝閱讀的的解析解：歐式看跌期權的終邊值條件分別為，此外，美式看漲期權的終值條件為，美式看跌期權的終值條件為。然而，美式期權的價值沒有解析解，我們一般可精品文檔放心下載通過數值方法（蒙特卡洛模擬、有限差分法等）求得其近似謝謝閱讀解?！麸L險中性期權定價模型如果期權的標的資產價格服從幾何布朗運動即標的資產的瞬時期望收益率取為無風險利率。同理，根據感謝閱讀伊藤公式可以得到根據上述公式，得到標的資產的密度函數如下在風險中性概率測度下，歐式看漲期權定價為：接下來，求解以上風險中性期望。首先，對上式的右邊第一個廣義積分分別作變量替換和，可以得到再對等式的右邊的第二個無窮積分，令，可求得將以上的計算結果代入期望等式中，得到歐式看漲期權的價格公式為：可以看出，對于歐式看漲期權的風險中性定價方法的結果與基于資產復制的偏微分方程定價方法的結果是一致的。感謝閱讀基于風險中性的期權定價原理在于：任何資產在風險中性概精品文檔放心下載率測度下，對于持有者來說都是風險偏好中性的，便可用風精品文檔放心下載險中性概率求取期權的期望回報再將其進行無風險折現(xiàn)便是謝謝閱讀初始時刻的期權價值。蒙特卡洛模擬方法就是一種基于風險精品文檔放心下載中性原理的期權數值定價方法?！?.蒙特卡洛模擬方法及其效率假設所求量是隨機變量的數學期望，那么近似確定的蒙特卡洛方法是對進行n次重復抽樣，產生獨立同分布的隨機謝謝閱讀變量序列，并計算樣本均值。那么根據Kolmogorov強大數定律有。因此，當n充分大時，可用作為所求量的估計值。對于標準正態(tài)分布的上分位數，有這表明，置信水平對應的漸近置信區(qū)間是其誤差為，誤差收斂速度是。不難看出，蒙特卡洛方法的誤差是由和決定的。在對同一個進行抽樣的前提下，若想將精度提高一位數字，要么固謝謝閱讀定，將n增大100n將減小10倍。若兩個隨機感謝閱讀感謝閱讀估計值。比較其誤差，設獲得的一個抽樣所需的機時為，那謝謝閱讀么在時間T內生成的抽樣數，若使，則需使。因而，若要提謝謝閱讀高蒙特卡羅方法的效率，不能單純考慮增加模擬的次數n或謝謝閱讀是減小方差，應當在減小方差的同時兼顧抽取一個樣本所耗謝謝閱讀費的機時，使方差與機時t的乘積盡量的小?！?.蒙特卡洛模擬方法為期權定價的實現(xiàn)步驟期權定價的蒙特卡洛方法的理論依據是風險中性定價原理：在風險中性測度下，期權價格能夠表示為其到期回報的感謝閱讀貼現(xiàn)的期望值，即，其中的表示風險中性期望，r為無風險精品文檔放心下載利率，T為期權的到期執(zhí)行時刻，是關于標的資產價格路徑感謝閱讀的預期收益。由此可知，計算期權價格即就是計算一個期望值，蒙特卡洛方法便是用于估計期望值，因此可以得到期權定價的蒙感謝閱讀特卡洛方法。一般地，期權定價的蒙特卡洛模擬方法包含以感謝閱讀下幾步（以歐式看漲期權為例）:(l)在風險中性測度下模擬標的資產的價格路徑將時間區(qū)間分成n個子區(qū)間，標的資產價格過程的離散感謝閱讀形式是，(2)謝謝閱讀率求得回報的貼現(xiàn)(3)重復前兩步，得到大量期權回報貼現(xiàn)值的抽樣樣本(4)求樣本均值，得到期權價格的蒙特卡洛模擬值另外，我們還可以得到蒙特卡洛模擬值與真值的概率化誤差邊界，這也是蒙特卡洛方法為期權定價的優(yōu)勢之一。由于，m條路徑的收益均值為，m95%精品文檔放心下載的置信區(qū)間為。例1：假設無紅利的股票A，初始價格為￥6，價格過程感謝閱讀服從幾何布朗運動，年預期收益率為10%，收益率的波動率感謝閱讀為每年25%0.011年為100謝謝閱讀100，用蒙特卡洛方法模擬資產的價格路徑如精品文檔放心下載下：（1）（2）圖（1）蒙特卡洛方法模擬股票A價格路徑，圖（2）蒙謝謝閱讀特卡洛方法模擬股票B價格路徑。若無紅利的股票BCD6B的期感謝閱讀望收益率為0.1，波動率為0.6；股票C的期望收益率為謝謝閱讀0.50.25D的期望收益率為0.5精品文檔放心下載0.6謝謝閱讀徑如下：（3）（4）圖（3）蒙特卡洛方法模擬股票C價格路徑，圖（4）蒙感謝閱讀特卡洛方法模擬股票D價格路徑。C和股票D的價格上升速度較快，謝謝閱讀而股票B和股票D的價格波動比較大。這是與股票C和股票感謝閱讀D價格的期望收益率較高，股票B和股票D價格的波動率較精品文檔放心下載高相對應的。歐式看漲期權，通過Black-Scholes公式計算得的精確精品文檔放心下載值為，蒙特卡洛模擬的價格為，其蒙特卡洛模擬圖如下：（5）上述同樣的條件，路徑由100逐漸增加到條，對應地分感謝閱讀別得到的期權價值的模擬值和置信區(qū)間，結果如下表所示：謝謝閱讀各種路徑下蒙特卡洛方法模擬的95%置信區(qū)間N模擬值置信區(qū)間1004.3146[4.0112,4.6180]精品文檔放心下載5004.2262[4.0962,4.3563]感謝閱讀10004.2213[4.1287,4.3139]精品文檔放心下載20004.1633[4.0984,4.2281]精品文檔放心下載50004.1695[4.1280,4.2111]精品文檔放心下載100004.1787[4.1490,4.2083]謝謝閱讀500004.1960[4.1826,4.2094]謝謝閱讀1000004.1886[4.1791,4.1980]精品文檔放心下載4.1914[4.1884,4.1944]§4.蒙特卡洛模擬方法為我國權證定價權證是一種合同，權證投資者在約定時間內有權按約定價格向發(fā)行人購入或者出售合同規(guī)定的標的證券。權證發(fā)行精品文檔放心下載人可以是標的證券的發(fā)行人或其之外的第三方。權證主要具謝謝閱讀有價格發(fā)現(xiàn)和風險管理的功能，它是一種有效的風險管理和感謝閱讀資源配置工具?，F(xiàn)選取我國認股權證中的五糧YGC1、馬鋼CWB1、伊利精品文檔放心下載CWB1為例，以2006年的價格作為樣本區(qū)間模擬認股權證的感謝閱讀wind數據庫給精品文檔放心下載出的理論值進行比較。本例采用一年期短期利率2.52%作為謝謝閱讀謝謝閱讀現(xiàn)實中用等時間間隔觀測股票價格序列，股票投資的連精品文檔放心下載動率，則年度波動率按下式計算：年度波動率＝日波動率*（每年的交易日數）1/2將時間區(qū)間取為2006年12月1日－2006年12月29感謝閱讀日，則由蒙特卡洛方法模擬的認股權證價格與精品文檔放心下載Black-Scholes模型的精確值和市場價格比較的結果如下：精品文檔放心下載蒙特卡洛方法對五糧YGC1認股權證的模擬（）蒙特卡洛蒙特卡洛日期實際值理論值日期實際值理論值模擬值模擬值12-110.16410.0669.82112-1812.10013.52413.351精品文檔放心下載12-410.12010.35710.12112-1912.08013.57413.401精品文檔放心下載12-59.88010.63010.40112-2012.21013.77113.601感謝閱讀12-69.39510.38610.15112-2111.90013.37613.201精品文檔放心下載12-79.1479.9989.75112-2211.42012.68712.501謝謝閱讀12-89.0509.7859.53112-2512.03813.74213.571謝謝閱讀12-19.2258.95113.40613.231感謝閱讀9.85012-2611.978112-110.60010.37114.36414.201感謝閱讀9.82512-2713.001212-110.26010.02114.61214.451感謝閱讀9.76612-2813.050312-111.33211.12116.19816.051謝謝閱讀10.58912-2914.500412-112.02811.831－－10.849－－5蒙特卡洛方法對馬鋼CWB1認股權證的模擬（）蒙特卡洛蒙特卡洛日期實際值理論值日期實際值理論值模擬值模擬值12-11.1431.2440.56912-181.7751.7091.052感謝閱讀12-41.2091.1880.51712-191.8031.7091.052謝謝閱讀12-51.2411.2230.54912-201.7301.7561.103謝謝閱讀12-61.3491.2230.54912-211.6411.7091.052感謝閱讀12-71.6331.4160.74312-221.7001.5420.778精品文檔放心下載12-81.7501.6180.95212-251.7071.4530.848感謝閱讀12-111.9191.4160.74312-261.8351.5201.052謝謝閱讀12-121.8741.6180.95212-271.7761.7091.052精品文檔放心下載12-131.7941.7481.09412-281.6441.8111.163感謝閱讀12-141.7941.6330.96912-291.7081.7481.094感謝閱讀12-151.8301.6330.969－－－－感謝閱讀蒙特卡洛方法對伊利CWB1認股權證的模擬（）蒙特卡洛蒙特卡洛日期實際值理論值日期實際值理論值模擬值模擬值12-113.32413.53312.62912-1814.76014.81813.988謝謝閱讀12-413.25013.94713.06912-1915.47915.54114.748謝謝閱讀12-513.29613.95713.07912-2015.48716.63015.888謝謝閱讀12-612.91113.95713.07912-2115.59416.44915.698感謝閱讀12-712.85313.28812.36912-2215.16816.57315.828精品文檔放心下載12-812.73412.76311.80912-2516.61615.81715.038精品文檔放心下載12-1112.92012.57611.60912-2616.61917.75417.058精品文檔放心下載12-1214.05912.94111.99912-2717.67317.87917.188精品文檔放心下載12-1313.52814.10813.23912-2817.67319.72619.098感謝閱讀12-1414.28113.81512.92912-2917.67319.72619.098謝謝閱讀12-1514.34914.61913.778－－－－精品文檔放心下載從表可看出，由蒙特卡洛方法模擬的認購權證價格的模擬值比由Black-Scholes公式計算的理論值更接近實際值。感謝閱讀為了更直觀的比較，由蒙特卡洛方法模擬的認股權證價格與謝謝閱讀Black-Scholes模型的精確值和市場價格比較的結果如下圖。精品文檔放心下載其中SJ代表實際值，MC代表蒙特卡洛方法求得的模擬值，BS精品文檔放心下載代表由Black-Scholes公式計算出的理論值。感謝閱讀五糧YGC1價格模擬比較圖馬鋼CWB1價格模擬比較圖伊利CWB1價格模擬比較圖YGC1和伊利CWB1的模擬結果比較好，謝謝閱讀蒙特卡洛模擬值和Black-Scholes模型的理論值均與實際值謝謝閱讀CWB1的實證結果不理想，但是三種結果的走勢謝謝閱讀圖有共同的趨勢。從比較分析中發(fā)現(xiàn)蒙特卡洛方法模擬的價謝謝閱讀格比Black-Scholes模型更接近實際價格。對于這些認股權謝謝閱讀證價格的模擬結果的好壞，受諸多因素影響，主要與選取的感謝閱讀波動率和中國權證市場的發(fā)展特點有關等等。◆隱含波動率及其數值計算方法隱含波動率是一個在市場上無法觀察到的波動率，是通過Black-Scholes期權定價公式計算出來的波動率。由于我謝謝閱讀們無法給出它的解析解，因此，只能借助于數值計算給出近感謝閱讀似解。下面介紹牛頓迭代法計算隱含波動率。牛頓迭代法是牛頓在17世紀提出的一種在實數域上近精品文檔放心下載似求解方程根的方法。步驟1.將函數在點附近展開成泰勒級數步驟2.取泰勒級數的前兩項作為假設，求解方程，并令其解為，得，這樣得到迭代公式，經感謝閱讀過n次迭代后，可以求出的近似解。根據牛頓迭代法，隱含波動率的計算步驟如下：1.假設其他變量保持不變，認為函數是隱含波動率的一元函數，其中的是市場上觀察到的期權價感謝閱讀格。2.求函數的導數3.由迭代公式計算波動率，直至此外，為了計算隱含波動率，經濟學家和理財專家曾做Brenner和感謝閱讀Subrahmanyam于1988年，Chance于1993年分別提出計算隱精品文檔放心下載含波動率的公式，雖然這些公式對于持有平價期權的波動率感謝閱讀的計算還算準確，但是基礎資產的價格一旦偏離期權的執(zhí)行精品文檔放心下載1996年，Corrado和Miller謝謝閱讀在前人研究的基礎上建立了如下公式，大大提高了隱含波動謝謝閱讀率的計算的準確性：§5最小二乘蒙特卡洛模擬與美式期權定價運用最小二乘蒙特卡洛模擬方法為美式期權定價的基本原理與蒙特卡洛模擬方法基本相同，并且用最小二乘回歸同感謝閱讀時還可解決各樣本時點上繼續(xù)持有期權價值的確定和各樣本感謝閱讀謝謝閱讀將其標的資產價格過程離散化，隨機模擬出標的資產價格的謝謝閱讀多條樣本路徑，從而得到每個時刻資產價格的截面數據。選精品文檔放心下載取以某時刻資產價格為變量的一組基函數作為解釋變量，下精品文檔放心下載一時刻期權價值的貼現(xiàn)值作為被解釋變量，進行最小二乘法精品文檔放心下載回歸求得該時刻期權的持有價值，并與該時刻期權的內在價精品文檔放心下載值作比較，若后者較大，則應該立即執(zhí)行期權，否則，就應感謝閱讀繼續(xù)持有期權。隨機生成標的資產價格的多條樣本路徑；然后，從到期時刻感謝閱讀逆向求解，比較期權的內在價值與持有價值，確定出各時刻謝謝閱讀期權價值和每條樣本路徑的最優(yōu)停時；最后，將所有樣本的感謝閱讀的期權價值求取按無風險利率貼現(xiàn)的算數平均值便是模擬的謝謝閱讀期權價值。下面，我們運用最小二乘蒙特卡洛模擬方法對單個標的資產的美式看跌期權進行定價，其算法實現(xiàn)步驟如下：第一步：隨機生成標的資產價格過程的多條樣本路徑現(xiàn)設一單個標的資產美式看跌期權的持有到期日為，期精品文檔放心下載風險中性條件下，該期權的初始時刻價值為：其中，為標的資產價格的路徑，是在最優(yōu)執(zhí)行時刻的期權價感謝閱讀值。上式定義的便是將要運用最小二乘蒙特卡洛方法進行模謝謝閱讀擬的期權價值。將期權的存續(xù)區(qū)間均分為個子區(qū)間，則每個子區(qū)間的長度為，標的資產價格過程的離散形式：謝謝閱讀模擬得到標的資產價格的一條樣本路徑，重復執(zhí)行次模擬，謝謝閱讀我們可得到資產價格的總樣本。第二步：計算各個樣本的最優(yōu)停時及各時刻的期權價值對于美式看跌期權，在期權的有效時刻，樣本路徑上的內在價值為，持有價值為。由于美式期權在有效期的任何時謝謝閱讀候都可行權，所以必須比較該時刻期權的內在價值與持有價精品文檔放心下載值的大小，以確定該時刻的期權價值以及是否執(zhí)行期權，即精品文檔放心下載由期權的持有價值表達式可知它依賴于下一步期權決策的價謝謝閱讀值，需通過逆向求解這個期望價值，這正是普通的蒙特卡洛感謝閱讀模擬法為美式期權定價的難點所在。最小二乘蒙特卡洛模擬方法通過建立一個當前時刻標的資產價格與下一時刻期權價值貼現(xiàn)值的線性回歸計量模型：感謝閱讀上述模型以所有樣本路徑在時刻的價格和作為解釋變量，對謝謝閱讀應的下一時刻期權價值的現(xiàn)值作為被解釋變量。采用普通最謝謝閱讀感謝閱讀再將各個資產價格樣本代入到回歸方程分別可以得到其期權精品文檔放心下載的持有價值估計值，根據計量經濟學的理論，這個估計值就是在標的資產價格下的期權持有價值的無偏估計值。另外，本例中選取基函謝謝閱讀數作為解釋變量，根據實際情況中也可以選取其他形式的基謝謝閱讀函數：。作為解釋變量?，F(xiàn)在，我們從到期日開始倒推計算求解每條樣本路徑上的最優(yōu)停時和每個樣本點的期權價值。在到期日，執(zhí)行看跌謝謝閱讀期權的價值為。接著，判斷在時刻是否行權。若期權處于實精品文檔放心下載值狀態(tài)，即，則與繼續(xù)持有期權的價值相比較，若內在價值精品文檔放心下載大于持有價值，則應立即執(zhí)行期權；否則，繼續(xù)持有期權。感謝閱讀考慮在該時刻期權處于實值的樣本子集，近似期權持有價值精品文檔放心下載的回歸方程為：精品文檔放心下載在時刻的資產價格信息下，比較內在價值與繼續(xù)持有期權的感謝閱讀價值就可做出是否執(zhí)行期權的決策。同理，我們可倒推繼續(xù)謝謝閱讀求得時刻的期權持有價值。對于每條樣本路徑，期權或是在感謝閱讀最優(yōu)停時執(zhí)行，或是永不執(zhí)行。具體設計程序時，令初值，謝謝閱讀在時刻，如果繼續(xù)持有期權，則不變；如果執(zhí)行期權，則，精品文檔放心下載依此類推。每個樣本上就只有一個最優(yōu)停時，每次更新，最精品文檔放心下載后便求得每條樣本路徑上的最優(yōu)停時。第三步：對各條樣本路徑上的期權價值按無風險利率貼現(xiàn)并求其均值經過次模擬后，得到條標的資產價格的樣本路徑，以及每條樣本路徑上的最優(yōu)停時和在該時刻的期權價值：由于每條樣本路徑上的最優(yōu)執(zhí)行時間不同，期權價值的貼現(xiàn)感謝閱讀因子也不同，所以應分別進行貼現(xiàn)求均值，最終得到初始時感謝閱讀刻期權價值的最小二乘蒙特卡洛模擬值：例35050到精品文檔放心下載期日為5個月，股票年收益率的標準差為0.4，無風險利率精品文檔放心下載為10%，用最小二乘蒙特卡洛模擬其價格。編制最小二乘蒙特卡洛模擬的MATLAB程序如下：感謝閱讀functionprice=AmericanOptLSM(S0,K,r,T,sigma,N,M)精品文檔放心下載dt=T/N;R=exp((r-sigma^2/2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(N,M)感謝閱讀);S=cumprod([S0*ones(1,M);R]);謝謝閱讀ExTime=N*ones(M,1);CF=zeros(size(S));CF(end,:)=max(K-S(end,:),0);感謝閱讀forii=N:-1:2Idx=find(S(ii,:)<K);X=S(ii,Idx)';X1=X/S0;Y=CF(ii+1,Idx)'*exp(-r*dt);感謝閱讀R=[ones(size(X1))(1-X1)1/2*(2-4*X1+X1.^2)];精品文檔放心下載a=R\Y;C=R*a;Jdx=max(K-X,0)>C;nIdx=setdiff((1:M),Idx(Jdx));謝謝閱讀CF(ii,Idx(Jdx))=max(K-X(Jdx)',0);謝謝閱讀ExTime(Idx(Jdx))=ii;CF(ii,nIdx)=exp(-r*dt)*CF(ii+1,nIdx);精品文檔放心下載endPrice=mean(CF(2,:))*exp(-r*dt)謝謝閱讀%%%%%繪制標的股票價格模擬圖%%%%%x1=[0:N];y1=S';y2=mean(S');精品文檔放心下載subplot(2,1,1)plot(x1,y1)subplot(2,1,2)plot(x1,y2)xlabel('期權存續(xù)期間')ylabel('股價的模擬路徑')%%%%%繪制期權價值模擬圖%%%%%figure;x2=[1:N];y3=CF(2:end,:)';fori=1:My4(i)=y3(i,ExTime(i));endplot(x2,y3,ExTime,y4,'*')xlabel('期權的最優(yōu)停止時間')ylabel('期權價值的模擬路徑')模擬的美式看跌期權的價格路徑如下圖所示：模擬的期權價值路徑及其最優(yōu)停時如下圖：本例中的美式看跌期權價格為：price=AmericanOptLSM(50,50,0.1,5/12,0.4,50,10000謝謝閱讀0)Price=4.2654§6改進蒙特卡洛方法計算效率的常用幾種方差減少技術方差減少技術的共性是利用模型特點，調整或修正模擬的輸出變量，從而降低估計值的方差。在采用方差減少技術感謝閱讀時，要具體問題具體分析，針對不同期權類型的特點應用相精品文檔放心下載關的方差減少技術，從而取得效率的最大改進?！魧ε甲兞?Antitheticvariates)技術謝謝閱讀對偶變量技術是最簡單和最常用的方差減少技術。以標準歐式看漲期權為例，其標準蒙特卡洛估計值為標的股票的股價終值抽樣為由概率論的知識可知也是標準正態(tài)分布中相互獨立的抽樣值，那么用代替得到的也是股票價格終值的抽樣，從而由謝謝閱讀的平均值也能得到期權價格的無偏估計量。因此，由對偶變感謝閱讀量技術得到的期權價格蒙特卡洛估計值為。對偶變量技術的有效性：由于，所以；并且，令，對于標準歐式看漲期權，是單調遞增函數。由謝謝閱讀不等式，可知，從而，對偶變量技術有效。顯然，標準歐式看跌期權和亞式期權對應的必也是單調函數，所以對偶變量技術對這兩種期權也適用，而障礙期權感謝閱讀和回望期權則反之。對偶變量技術置信區(qū)間的估計：由于并不獨立，而才是n個而非2n個來計算樣本標準差。精品文檔放心下載以上對偶變量技術采用的輸入變量Z服從標準正態(tài)分布，感謝閱讀實際上使用更廣泛的輸入變量是隨機數。顯然，與具有相同精品文檔放心下載分布且兩者負相關，從而只要輸入變量與輸出變量存在單調感謝閱讀感謝閱讀對偶變量技術有效?！艨刂谱兞?Controlvariates)技術一元控制變量：若是期權到期回報貼現(xiàn)的n次獨立模擬謝謝閱讀值，那么期權價格的蒙特卡羅估計值是。假設得到的同時能精品文檔放心下載b精品文檔放心下載有期權價格的控制變量估計值即為所謂的“控制”是指。由下式可知控制變量估計值是無偏估計量。若令，則有對上式關于b求導數，解得能夠使最小化的b值應為。精品文檔放心下載由此可見，只要X與Y的相關性越強，那么控制變量估謝謝閱讀計的方差減少越顯著，所以控制變量技術的關鍵是選擇與Y感謝閱讀關系密切且期望值已知的控制變量。另外，由于計算的兩個精品文檔放心下載量和未知，故實踐中采用的是的估計值。多元控制變量：控制變量技術也可以推廣到多元情形，假設得到的同時能得到d維向量并且已知，獨立同分布，的感謝閱讀協(xié)方差矩陣為b感謝閱讀有。多元控制變量估計值為。精品文檔放心下載其中。下面介紹在一種特殊情形下的推導過程：若多元控制變量之間彼此獨立，即，則有由多元函數的極值理論，可解得使最小化的向量的第i個分量應為將代入可得。由與的相關性，可知控制變量估計值將是有偏的，并且也將感謝閱讀是有偏的。n增大時，偏差的響將會變小；另一個方法是將模擬分為兩謝謝閱讀謝謝閱讀這樣得到的估計值將是無偏。不過，現(xiàn)實情形下，的偏差并精品文檔放心下載不大，從而采用復雜的分步運算獲取無偏估的作法并不吸引精品文檔放心下載人?？刂谱兞康念愋停浩跈喽▋r中常采用的三種控制變量有標的資產價格、定價已解決的期權以及為模擬標的資產價格謝謝閱讀所需的正態(tài)隨機變量。（1）標的資產價格在期權定價的蒙特卡羅模擬中，標的資產價格是來源最廣的一類控制變量。在風險中性測度下，假設無風險利率為精品文檔放心下載常數r，資產價格的貼現(xiàn)為鞅，即。而待定價的期權價格是謝謝閱讀標的資產價格的函數，兩者具有相關性，因此可以采用標的精品文檔放心下載資產價格(或其貼現(xiàn))作為控制變量。感謝閱讀相應的控制變量估計值為實驗證明，當K=0時，控制變量與Y的相關性最強，從感謝閱讀而方差減少效果顯著，而當K很大時情況相反。N精品文檔放心下載么可將作為控制變量，由于相應的控制變量估計值為（2）定價己解決的期權如果兩種期權的回報函數具有相似性，并且其中一種期權的定價公式已知，那么可將此期權作為控制變量為另一種精品文檔放心下載期權定價。最著名的例子是Kemna和Vorst使用幾何平均亞謝謝閱讀式期權作為控制變量為算術平均亞式期權定價，顯然這兩種謝謝閱讀期權的回報具有很強的相關性，從而方差減少效果顯著。再比如仍是對算術平均資產價亞式期權定價，由于與其具有相同到期日與敲定價格的標準歐式看漲期權的價格可以謝謝閱讀由B-S公式得到，故可將作為控制變量。（3）正態(tài)隨機變量模擬標的資產價格路徑要用到正態(tài)隨機變量，因此可考慮將正態(tài)隨機變量(或其線性組合)作為控制變量。比如為算術平均執(zhí)行價亞式期權定價精品文檔放心下載從而將作為多元控制變量可得相應的控制變量估計值為?！艟仄ヅ?MomentMatching)技術為了模擬標的資產樣本路徑需要從正態(tài)分布中抽樣，考慮最簡單的情形，標準歐式看漲股票期權的蒙特卡洛估計值精品文檔放心下載需要m個獨立且服從標準正態(tài)分布的抽樣。由于的樣本矩不謝謝閱讀一定與總體矩匹配，故而矩匹配技術的思想就是對這些樣本感謝閱讀進行調整，使其一階矩、二階矩乃至高階矩與總體矩匹配，謝謝閱讀再利用調整后的樣本得到蒙特卡洛估計值。生成的股票價格終值為，從而期權到期回報貼現(xiàn)的一次模擬謝謝閱讀值為，利用矩匹配技術得到的蒙特卡洛估計量為。和對偶變量技術一樣，應用矩匹配技術會給置信區(qū)間的估計帶來變化，因為并不獨立，導致也不獨立，所以不能直謝謝閱讀接應用中心極限定理估計誤差。一個解決方案是將抽樣分隔為不同批次，對每個批次分別應用矩匹配技術得到彼此獨立的期權價格估計，再將批均感謝閱讀值作為蒙特卡羅估計值，由批方差得到誤差估計。例如可采精品文檔放心下載用10000個相互獨立的批次，每個批次對100個標準正態(tài)分感謝閱讀布抽樣應用矩匹配技術，即總共采用100萬個標準正態(tài)分布精品文檔放心下載抽樣。如果定義為樣本標準，通過如下的調整可達到前兩階矩匹配：。需注意由上式得到的不再服從標準正態(tài)分布，故相應的將是期權價格的有偏估計。這個偏差在極端情況下可能會很精品文檔放心下載大，由此致的復雜性使得矩匹配技術的效率改進沒有一個通感謝閱讀用的量化標準。如果待匹配的抽樣其總體均值，總體方差，作如下變換可分別達到一階矩匹配和前兩階矩匹配：其中與的定義同上。仍以標準歐式看漲股票期權為例，若股價服從風險中性的幾何布朗運動，則股價終值的均值與感謝閱讀方差已知，故可采用上式對運用矩匹配技術?！舴謱映闃?StratifiedSampling)技術感謝閱讀分層抽樣技術使樣本的經驗概率與理論概率相一致，其本質是為了使輸入變量分布得更為均勻，這一點與對偶變量感謝閱讀技術相同?？紤]簡單情形下分層樣本的獲取。在計算標準歐式看漲期權的價格時，需要標準正態(tài)分布中m個相互獨立的抽樣，感謝閱讀其經驗分布不會完全與總體分布相吻合，尤其是尾部表現(xiàn)可感謝閱讀能較差。通過下述分層抽樣方法可以對樣本的經驗分布加以精品文檔放心下載改進。是在[0，1]上均勻分布的隨機數，以的長度對區(qū)間進行感謝閱讀nj層上，精品文檔放心下載從而落在標準正態(tài)分布的上分位數與上分位數之間，故由可感謝閱讀得標準正態(tài)分布的一個分層抽樣。需要注意的是的高度相關性使得標準誤差的估計復雜化，感謝閱讀在高維情形下，采用拉丁超立方抽樣技術精品文檔放心下載(LatinHypercubeSampling)較為簡便。精品文檔放心下載假設是上均勻分布隨機向量序列，是d個獨立抽取的上謝謝閱讀的隨機排列。令其中是第k個排列的第j個元素。那么由得到的仍然是謝謝閱讀k個坐標落入第k個[0l]感謝閱讀區(qū)間的m個不同分層內，從而也是一種分層抽樣樣本。同樣精品文檔放心下載地，由于不獨立，故而要改變誤差估計的方法?！糁匾猿闃?ImportanceSampling)技術精品文檔放心下載重要性抽樣技術的思想是用一種概率測度下的期望值代替另一種概率測度下的期望值，這種概率測度的轉換是通過謝謝閱讀似然比(Likelihood-Ratio)或Radon-Nikodym導數實現(xiàn)的。精品文檔放心下載金融工程中的風險中性定價即為此思想的一個應用。在期權感謝閱讀定價中，這種方法被用來對小概率事件進