2023屆內(nèi)蒙古赤峰市高三上學(xué)期期末模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題

10/1009/10/赤峰市高三年級期末模擬考試試題理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A． B．C． D．2．已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A． B．1 C．2 D．3．某中學(xué)從參加高一年級上學(xué)期期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績（均為整數(shù)）分成六段，，…，后畫出頻率直方圖如圖所示．觀察圖形的信息，則（）A．成績在區(qū)間上的人數(shù)為5B．抽查學(xué)生的平均成績是71分C．這次考試的及格率（60分及以上為及格）約為55%D．若從成績是70分以上（含70分）的學(xué)生中選1人，則選到第一名的概率（第一名只1人）為4．在新冠肺炎疫情防控中，核酸檢測是新冠肺炎確診的有效快捷手段．某醫(yī)院在成為新冠肺炎核酸檢測定點(diǎn)醫(yī)院并開展檢測工作的第n天，每個檢測對象從接受檢測到檢測報告生成平均耗時（單位：小時）大致服從的關(guān)系為（，為常數(shù)），已知第9天檢測過程平均耗時為16小時，第36天和第40天檢測過程平均耗時均為8小時，那么第25天檢測過程平均耗時大約為（）A．8小時 B．9.6小時 C．11.5小時 D．12小時5．在中，，．若，則（）A．3 B．2 C． D．6．設(shè)命題p：“”是“”成立的必要不充分條件是命題q：若不等式恒成立，則．下列命題是真命題的（）A． B． C． D．7．某校有5名大學(xué)生觀看冰球，速滑，花滑三場比賽，每場比賽至少有1名大學(xué)生且至多2名大學(xué)生觀看，則這5人觀看比賽的方案種數(shù)為（）A．150 B．90 C．60 D．158．下列直線中，不是圓和公切線的一條直線是（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（）A．的圖像與直線的兩個相鄰交點(diǎn)的距離為B．C．將的圖像向右平移個單位得到的圖像關(guān)于y軸對稱D．在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的最大值為10．如圖，在三棱錐中，平面平面，，點(diǎn)M在AC上，，過點(diǎn)M作三棱錐A-BCD外接球的截面，則截面圓面積的最小值為（）A． B． C． D．11．設(shè)、為橢圓的兩個焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)．若為等腰三角形，則的內(nèi)切圓半徑為（）A．或 B．或 C．或 D．或12．下列不等式中，成立的是（）A． B． C． D．二、填空題：全科試題免費(fèi)下載公眾號《高中僧課堂》本題共4小題，每題5分，共20分．請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上．13．曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積為______．14．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，過作雙曲線漸近線的垂線，垂足為P，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為，則雙曲線的漸近線方程為______．15．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，且，，則b的值為______．16．如圖，已知正方體的棱長為1，則下列結(jié)論中正確的序號是______．（填所有正確結(jié)論的序號）①若E是直線AC上的動點(diǎn)，則平面；②若E是直線上的動點(diǎn)，F(xiàn)是直線BD上的動點(diǎn)，則；③若E是內(nèi)（包括邊界）的動點(diǎn)，則直線與平面ABC所成角的正切值的取值范圍是；④若E是平面內(nèi)的動點(diǎn)，則三棱錐的體積為定值三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22~23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）正項(xiàng)數(shù)列中，，，的前n項(xiàng)和為，從下面三個條件中任選一個，將序號填在橫線______上．①，；②為等差數(shù)列；③為等差數(shù)列，試完成下面兩個問題：（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求證：．18．（12分）如圖，在三棱柱中，，．（1）證明：；（2）若，求二面角的余弦值．19．（12分）2022年12月2日晚，神舟十四號、神舟十五號航天員乘組進(jìn)行在軌交接儀式，兩個乘組移交了中國空間站的鑰匙，6名航天員分別在確認(rèn)書上簽字，中國空間站正式開啟長期有人駐留模式．為調(diào)查大學(xué)生對中國航天事業(yè)的了解情況，某大學(xué)進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，若被調(diào)查的男女生人數(shù)均為，統(tǒng)計得到以下列聯(lián)表，經(jīng)計算，有97.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生對中國航天事業(yè)的了解與性別有關(guān)，但沒有99%的把握認(rèn)為該校學(xué)生對中國航天事業(yè)的了解與性別有關(guān)．男生女生合計了解不了解合計（1）求n的值．（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法在調(diào)查結(jié)果“了解中國航天事業(yè)”的學(xué)生中抽取10人，再從這10人中抽取3人進(jìn)行第二次調(diào)查，以便了解學(xué)生獲得中國航天事業(yè)信息的渠道，則至少有2名女生被第二次調(diào)查的概率．（3）將頻率視為概率，用樣本估計總體，從全校男學(xué)生中隨機(jī)抽取5人，記其中了解中國航天事業(yè)的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附表：0.100.050.0250.010.0012.7063.8415.0246.63510.82820．（12分）已知拋物線，過其焦點(diǎn)F的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，分別以A，B為切點(diǎn)作C的切線，相交于點(diǎn)P．（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）若PA，PB與x軸分別交于Q，R兩點(diǎn)，令的面積為，四邊形PRFQ面積為，求的最小值．21．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求a的值；（2）已知某班共有n人，記這n人生日至少有兩人相同的概率為，，將一年看作365天．（?。┣蟮谋磉_(dá)式；（ⅱ）估計的近似值（精確到0.01）．參考數(shù)值：，，，．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23二題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分．做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的標(biāo)號涂黑．22．（10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，且兩曲線與交于M，N兩點(diǎn)．（1）求曲線，的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，求．23．（10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）設(shè)函數(shù)的最小值為t，若，，且，證明：．赤峰市高三1·30模擬考試試題理科數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分）題號123456789101112答案DABBCBBCDADC二、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分．13．14．15．16．（1）（2）（4）三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23為選做題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．解：（1）選①，設(shè)，則n為奇數(shù)時，，，設(shè)，則n為偶數(shù)時，，所以選②第1項(xiàng)，第2項(xiàng)，則，則，選③由己知，，，則，則，，則，經(jīng)檢驗(yàn)也成立，所以．（2），則，則18．（1）證明：設(shè)O為AB的中點(diǎn)，連接CO，，因?yàn)?，，則，為正三角形，故，，，，平面，故平面，平面，所以；（2）由（1）可知，又，即有，故，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，故，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為．19．解：（1）由已知，完成列聯(lián)表，并將數(shù)值代入公式可得的觀測值：，所以，解得，因?yàn)?，所以．?）由（1）知，了解中國航天事業(yè)的學(xué)生共人，采用分層抽樣抽取10人，抽樣比為，故抽取男生人，抽取女生，從這10人中軸取3人，至少有2名女生被第二次調(diào)查的概率為．（3）由（1）知，樣本的男生中了解中國航天事業(yè)的頻率為，用樣本估計總體，從全校男生中隨機(jī)抽取一人，了解中國航天事業(yè)的概率為，則，，，，，，則X的分布列為X012345P．20．解：（Ⅰ）解法一：由已知得，由得，∴設(shè)，，，則，，∴，即，同理．又P在PA，PB上，則，所以．∵直線AB過焦點(diǎn)F，∴．所以點(diǎn)P的軌跡方程是．（Ⅰ）解法二：，設(shè)AB直線方程為，則由得，所以，，過A的切線方程為，過B的切線方程為，所以交點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)P在直線上，所以點(diǎn)P的軌跡方程是．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，代入得，則，則，P到AB的距離，所以，∵當(dāng)時，得，∴，∴，同理，．由得，∴四邊形PRFQ為矩形，∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．∴的最小值為2．21．解：（1）由題得，當(dāng)時，的定義域?yàn)?；?dāng)時，的定義域?yàn)?，又，且，所以是的極小值點(diǎn)，故．而，于是，解得．下面證明當(dāng)時，．當(dāng)時，，，，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，即符合題意．綜上，．（2）（?。┯捎趎人生日都不相同的概率為，故n人生日至少有兩人相同的概率為．（ⅱ）由（1）可得當(dāng)時，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由（?。┑茫?，則，即，由參考數(shù)值得，于是，故．（二）選考題：滿分10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22．解：（1）由曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)t，得，即曲線的直角坐標(biāo)方程為．由曲線的極坐標(biāo)方程，得，則，即的