2023版高中數(shù)學(xué)專(zhuān)題04解密三角函數(shù)值域問(wèn)題特色專(zhuān)題訓(xùn)練新人教A版必修4

專(zhuān)題04解密三角函數(shù)值域問(wèn)題一、單項(xiàng)選擇題1．【河南省中原名?！苍ツ暇判！?023屆高三上學(xué)期第四次質(zhì)量考評(píng)】，那么的最大值為〔〕A.1B.C.2D.【答案】C【點(diǎn)睛】求函數(shù)的最值問(wèn)題，利用輔助角公式將解析式化成一個(gè)角的三角函數(shù)形式，即，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值。2．【四川省樂(lè)山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2023屆高三上〔理〕練習(xí)題】函數(shù)，其中，假設(shè)函數(shù)的最大值記為，那么的最小值為〔〕A.B.1C.D.【答案】D【解析】函數(shù)，化簡(jiǎn)可得：，令，令，，∵，開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸，故當(dāng)時(shí)，取得最大值為〔當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)〕，故得的最小值為．選D.二、填空題3．【海南省?？谑械谝恢袑W(xué)2023屆高三11月月考】函數(shù)的最大值為_(kāi)________【答案】4【解析】∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值為4，故填4.4．【天津市耀華中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第一次月考】函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值是________________.【答案】點(diǎn)睛：三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過(guò)變換把函數(shù)化為的形式再借助三角函數(shù)圖象研究性質(zhì)，解題時(shí)注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征．5．【山東省師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中】函數(shù)的最大值為_(kāi)__________.【答案】【解析】,,那么時(shí)，取最大值為.6．【遼寧省沈陽(yáng)市東北育才學(xué)校2023屆高三上學(xué)期二?！亢瘮?shù)的值域?yàn)開(kāi)___________.【答案】三、解答題7．【安徽省蒙城縣第一中學(xué)、淮南第一中學(xué)等2023屆高三上學(xué)期“五校〞聯(lián)考】函數(shù).〔1〕求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；〔2〕假設(shè)在區(qū)間上的最大值與最小值的和為，求的值.【答案】〔1〕，.〔2〕.〔2〕因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上的最大值與最小值的和為，所以.【解析】試題分析：〔1〕化簡(jiǎn)，從而可求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間.〔2〕由，得出，從而可求在區(qū)間上的值域，即可求解實(shí)數(shù)的值.試題解析：〔1〕，所以最小正周期，由，得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.〔2〕因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上的最大值與最小值的和為，所以.8．【吉林省梅河口市第五中學(xué)2023-2023學(xué)年高二上學(xué)期中】，，記函數(shù)〔1〕求函數(shù)的最小正周期；〔2〕如果函數(shù)的最小值為，求的值,并求此時(shí)的最大值及圖像的對(duì)稱(chēng)軸方程.【答案】〔1〕；〔2〕；對(duì)稱(chēng)軸方程為〔〕試題解析：〔1〕所以最小正周期〔2〕的最小值為，所以，故所以函數(shù)的最大值等于由〔〕，即〔〕故函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為〔〕9．【山東省萊蕪市2023屆高三上學(xué)期期中】函數(shù).〔1〕求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；〔2〕求在上的最小值.【答案】(1)最小正周期為；單調(diào)遞增區(qū)間為，.(2).【解析】試題分析：〔1〕先利用二倍角公式降冪，再利用兩角差余弦公式以及輔助角公式將函數(shù)化為根本三角函數(shù)，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求周期與單調(diào)區(qū)間〔2〕根據(jù)自變量范圍確定正弦函數(shù)取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)圖像確定最小值〔2〕因?yàn)?，所以，所以，所以，所以在上的最小值?10．【豫西南局部示范性高中2023-2023年高三年級(jí)第一學(xué)期聯(lián)考】函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為.〔1〕求和的值；〔2〕當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.【答案】〔1〕，；〔2〕〔2〕由〔1〕知.∵，∴，∴，∴，∴函數(shù)的值域?yàn)?11．【甘肅省高臺(tái)縣第一中學(xué)2023-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末】函數(shù).(1)求出函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)的的值；(2)求出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)當(dāng)，時(shí)，函數(shù)取得最大值是2;(2)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是：和；單調(diào)遞減區(qū)間是.【解析】試題分析：(1)根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出函數(shù)的最大值及相應(yīng)的x值；〔2〕結(jié)合正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)當(dāng)時(shí)，，根據(jù)的單調(diào)性得：當(dāng)和，即和時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)，即時(shí)，為減函數(shù)，綜上所述，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是：和；單調(diào)遞減區(qū)間是.12．【山東省菏澤市2023屆高三上學(xué)期期中】函數(shù).〔1〕求的最小正周期；〔2〕求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】〔1〕；〔2〕最大值為＋1，最小值為0.【解析】試題分析：〔1〕利用平方和公式，二倍角的正弦函數(shù)公式，兩角和的正弦函數(shù)公式即可化簡(jiǎn)為f〔x〕=Asin〔ωx+φ〕+k的形式，利用周期公式即可得解f〔x〕最小正周期；〔2〕由可求，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解f〔x〕在區(qū)間上的最大值和最小值．點(diǎn)睛：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看〞原那么:一看角，這是重要一環(huán)，通過(guò)看角之間的差異與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式；二看函數(shù)名稱(chēng)，看函數(shù)名稱(chēng)之間的差異，從而確定使用的公式，常見(jiàn)的有切化弦；三看結(jié)構(gòu)特征，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，如遇到分式要通分等.13．【山東省青島市膠南市第八中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中】函數(shù).〔1〕求函數(shù)的最值及對(duì)稱(chēng)軸方程；〔2〕假設(shè)，求函數(shù)的取值范圍.【答案】〔1〕最大值為，最小值為，；〔2〕.【解析】試題分析：〔1〕根據(jù)二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角差的正弦公式可將函數(shù)解析式化為，利用三角函數(shù)的有界性求解函數(shù)的最值，令，可得對(duì)稱(chēng)軸方程；〔2〕由，得,所以，那么.14．【河北省石家莊市普通高中2023屆高三10月份月考】函數(shù)f〔x〕＝．〔l〕求函數(shù)f〔x〕的定義域；〔2〕求函數(shù)f〔x〕的值域．【答案】〔1〕{x∈R|x≠－＋2kπ，k∈Z}〔2〕【解析】試題分析：〔1〕根據(jù)函數(shù)解析式，分母不為零，列出不等式求出解集即可求得函數(shù)的定義域；〔2〕利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為一個(gè)角的三角函數(shù)形式，利用三角函數(shù)的有界性，即可求出的值域.試題解析：〔1〕由sinx＋1≠0得，x≠－＋2kπ(k∈Z),∴f(x)的定義域?yàn)閧x∈R|x≠－＋2kπ，k∈Z}．〔2〕f(x)＝(－1)(sinx－cosx)＝(1－sinx－1)(sinx－cosx)＝－sinx(sinx－cosx)＝sinxcosx－sin2x＝sin2x－＝(sin2x＋cos2x)＝sin(2x＋)－{x|x≠－＋2kπ，k∈Z}雖然當(dāng)x=－＋2kπ(k∈Z)時(shí)，f(x)＝－１，但是f(x)＝－１{x|或，k∈Z}{x|x=－＋2kπ，k∈Z}∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)?5．【山東省濱州市2023屆高三上學(xué)期期中】函數(shù).〔Ⅰ〕求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；〔Ⅱ〕當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值與最小值.【答案】〔Ⅰ〕函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，；〔Ⅱ〕最大值，函數(shù)取最小值.試題解析：〔Ⅰ〕，由，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，.〔Ⅱ〕因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最大值；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最小值.16．【河北省石家莊市第一中學(xué)2023-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中】函數(shù)的局部圖象如下圖．〔Ⅰ〕寫(xiě)出的最小正周期及圖中的值；〔Ⅱ〕求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】〔1〕〔2〕最大值0，最小值-3試題解析：解：〔Ⅰ〕f(x)的最小正周期為T(mén)＝＝π，x0＝，y0＝3.〔Ⅱ〕因?yàn)閤∈，所以2x＋∈，于是當(dāng)2x＋＝0，即x＝－時(shí)，f(x)取得最大值0；當(dāng)2x＋＝－，即x＝－時(shí)，f(x)取得最小值－3.【點(diǎn)睛】有關(guān)函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題，首先是周期，利用所學(xué)的正弦函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)來(lái)研究函數(shù)性質(zhì)，可以看成與兩個(gè)函數(shù)復(fù)合函數(shù)去解決；當(dāng)有確定的范圍時(shí)，注意范圍優(yōu)先討論，在范圍內(nèi)借助正弦函數(shù)圖象研究解決問(wèn)題.17．【黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中】函數(shù).〔1〕求函數(shù)的解析式及其最小正周期；〔2〕當(dāng)x∈時(shí)，求函數(shù)的值域和增區(qū)間．【答案】〔1〕,〔2〕18．【寧夏大學(xué)附屬中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第三次月考】向量，，，且為銳角．〔1〕求角的大小；〔2〕求函數(shù)()的值域．【答案】(1)(2)【解析】試題分析：〔1〕由題意得，根據(jù)，求得即可；〔2〕有〔1〕，可化簡(jiǎn)，在利用直弦函數(shù)的值域和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解函數(shù)的值域.19．設(shè)函數(shù)．〔Ⅰ〕求的最小正周期；〔Ⅱ〕求在上的最大值，以及取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的值．【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕,最大值【解析】試題分析：〔Ⅰ〕化函數(shù)f〔x〕為正弦型函數(shù)，根據(jù)T=，求出f〔x〕的最小正周期；〔Ⅱ〕可求x∈時(shí)的取值范圍，求出時(shí)f〔x〕取得最大值．試題解析：〔Ⅰ〕函數(shù),,,∴的最小正周期為〔Ⅱ〕當(dāng)時(shí)，,,∴當(dāng)時(shí)，取得最大值．20．【四川省宜賓市高2023屆高三〔上〕半期數(shù)學(xué)〔理科〕測(cè)試題】假設(shè)函數(shù)〔I〕求的最小正周期；〔II〕求在時(shí)