高中數(shù)學北師大版必修2學案立體幾何初步1-4空間圖形的基本關系與公理word版含答案2

18/1817/18/第1課時空間圖形基本關系的認識與公理1～3[核心必知]1．空間圖形的基本位置關系點eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(點與直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(點在直線上,點在直線外)),點與平面\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(點在平面內(nèi),點在平面外))))2．空間圖形的3條公理文字語言圖形語言符號語言公理1過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面(即可以確定一個平面)若A、B、C三點不共線，則存在唯一一個平面α使A∈α，B∈α，C∈α續(xù)表文字語言圖形語言符號語言公理2如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，則公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線若A∈α，A∈β，且α與β不重合，則α∩β＝l，且A∈l[問題思考]1．三點確定一個平面嗎？提示：當三點在一條直線上時，不能確定一個平面，當三點不在同一條直線上時，確定一個平面．2．三條兩兩相交的直線，可以確定幾個平面？提示：若三條直線兩兩相交于一點時，則可以確定一個或三個平面；若相交于三個交點時，則可以確定一個平面．講一講1．如圖所示，已知一直線a分別與兩平行直線b，c相交．求證：a，b，c三線共面．[嘗試解答]證明：∵b∥c，∴直線b與c確定一個平面α.如圖，令a∩b＝A，a∩c＝B，∴A∈α，B∈α，∴ABα.即aα，∴a，b，c三線共面．證明點線共面的常用方法：①納入平面法：先確定一個平面，再證明有關點、線在此平面內(nèi)．②輔助平面法：先證明有關的點、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α、β重合．練一練1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求證：直線a，b，c和l共面．證明：∵a∥b，∴直線a與b確定一個平面，設為α，如圖．∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b，則A∈α，B∈α.而A∈l，B∈l，∴由公理2可知：lα.∵b∥c，∴直線b與c確定一個平面，設為β，同理可知lβ.∴平面α和平面β都包含直線b與l，且l∩b＝B，又∵經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面，∴平面α與平面β重合，∴直線a，b，c和l共面.講一講已知△ABC在平面α外，它的三邊所在的直線分別交平面α于P，Q，R(如圖)，求證：P，Q，R三點共線．[嘗試解答]證明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，點P在平面ABC與平面α的交線上．同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上，∴P，Q，R三點共線．法二：∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∴B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.又∵Q∈直線BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三點共線．證明點共線問題的常用方法有：法一是首先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理3，這些點都在交線上．法二是選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另外的點在其上．練一練2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設線段A1C與平面ABC1D1交于Q，求證：B，Q，D證明：∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C在平面A1D1∴Q∈平面A1D1CB，Q∈平面ABC1D1，∴Q在兩平面的交線BD1上，∴B，Q，D1三點共線.講一講3．已知：平面α，β，γ兩兩相交于三條直線l1，l2，l3，且l1，l2，l3不平行．求證：l1，l2，l3相交于一點．[嘗試解答]證明：如圖，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.∵l1β，l2β，且l1，l2不平行，∴l(xiāng)1與l2必相交．設l1∩l2＝P，則P∈l1α，P∈l2γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l(xiāng)1，l2，l3相交于一點P.證明三線共點常用的方法是先說明其中兩條直線共面且相交于一點，然后說明這個點在兩個平面上，并且這兩個平面相交(交線是第三條直線)，于是得到交線也過此點，從而得到三線共點．練一練3．已知在正方體ABCD-A′B′C′D′中，如圖，E，F(xiàn)分別為AA′，AB上的點(E，F(xiàn)不與A′，B重合)且EF∥CD′，求證：CF，D′E，DA三線共點于P.證明：由EF∥CD′知E，F(xiàn)，C，D′四點共面．因為E，F(xiàn)不與A′，B重合，所以EF≠CD′，即四邊形EFCD′為梯形．設D′E∩CF＝P，∵D′E平面AA′D′D，P∈D′E，∴P∈平面AA′D′D.又∵CF平面ABCD，P∈FC，∴P∈平面ABCD，即P是平面ABCD與平面AA′D′D的公共點．又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，∴P∈AD，即CF，D′E，DA三線共點于P.已知：空間中A，B，C，D，E五點，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，則A，B，C，D，E五點一定共面嗎？[錯解]∵A，B，C，D共面，∴點A在點B，C，D所確定的平面內(nèi)．∵點B，C，D，E四點共面，∴點E也在點B，C，D所確定的平面內(nèi)，∴點A，E都在點B，C，D所確定的平面內(nèi)，即點A，B，C，D，E一定共面．[錯因]在證明共面問題時，必須注意平面是確定的．上述錯解中，由于沒有注意到B，C，D三點不一定確定平面，即默認了B，C，D三點一定不共線，因而出錯．也即題知條件由B，C，D三點不一定確定平面，因此就使得五點的共面失去了基礎．[正解]A，B，C，D，E五點不一定共面．(1)當B，C，D三點不共線時，由公理可知B，C，D三點確定一個平面α，由題設知A∈α，E∈α，故A，B，C，D，E五點共面于α；(2)當B，C，D三點共線時，設共線于l，若A∈l，E∈l，則A，B，C，D，E五點共面；若A，E有且只有一點在l上，則A，B，C，D，E五點共面；若A，E都不在l上，則A，B，C，D，E五點可能不共面．綜上所述，在題設條件下，A，B，C，D，E五點不一定共面．1．下列圖形中不一定是平面圖形的是()A．三角形B．菱形C．梯形D．四邊相等的四邊形解析：選D四邊相等不具有共面的條件，這樣的四邊形可以是空間四邊形．2．(重慶高考)設四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1，eq\r(2)和a，且長為a的棱與長為eq\r(2)的棱異面，則a的取值范圍是()A．(0，eq\r(2))B．(0，eq\r(3))C．(1，eq\r(2))D．(1，eq\r(3))解析：選A如圖所示的四面體ABCD中，設AB＝a，則由題意可得CD＝eq\r(2)，其他邊的長都為1，故三角形ACD及三角形BCD都是以CD為斜邊的等腰直角三角形，顯然a>0.取CD中點E，連接AE，BE，則AE⊥CD，BE⊥CD且AE＝BE＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，顯然A、B、E三點能構(gòu)成三角形，應滿足任意兩邊之和大于第三邊，可得2×eq\f(\r(2),2)>a，解得0<a<eq\r(2).3．下列四個命題中，真命題的個數(shù)為()①如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合②兩條直線可以確定一個平面③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈l④空間中，相交于同一點的三條直線在同一平面內(nèi)A．1B．2解析：選A兩個平面有三個公共點時，兩平面相交或重合，①錯；兩條直線異面時不能確定一個平面，②錯；空間中，相交于同一點的三條直線不一定在同一平面內(nèi)，④錯．∴只有③對．如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1(1)直線A1B與D1C(2)直線A1B與B1C(3)直線D1D與D1C(4)直線AB與B1C答案：(1)平行(2)異面(3)相交(4)異面5．若a，b是異面直線，b，c是異面直線，則直線a與直線c的位置關系是________．解析：兩條直線a，c都與同一條直線b是異面直線，則這兩條直線平行、相交或異面都有可能．答案：平行、相交或異面6．證明：兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面．證明：設這兩兩相交且不共點的三條直線分別為l1，l2，l3，且l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C(如圖所示)．∵l1與l2相交，∴l(xiāng)1與l2確定一平面α.∵B∈l2，C∈l1，∴B∈α，C∈α，又B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3α，即兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面．一、選擇題1．如果空間四點A，B，C，D不共面，那么下列判斷中正確的是()A．A，B，C，D四點中必有三點共線B．A，B，C，D四點中不存在三點共線C．直線AB與CD相交D．直線AB與CD平行解析：選B若A，B，C，D四點中有三點共線，則A，B，C，D四點共面，若AB與CD相交(或平行)，則AB與CD共面，即得A，B，C，D四點共面．2．若點A在直線b上，b在平面β內(nèi)，則A，b，β之間的關系可以記作()A．A∈b，b∈βB．A∈b，bβC．Ab，bβD．Ab，b∈β解析：選B∵點A在直線b上，∴A∈b，又∵直線b在平面β內(nèi)，∴bβ，∴A∈b，bβ.3．如圖，平面α∩平面β＝l，點A∈α，點B∈α，且點C∈β，點C?l.又AB∩l＝R，設A，B，C三點確定的平面為γ，則β∩γ是()A．直線ACB．直線BCC．直線CRD．直線AR解析：選C∵C∈平面ABC，AB平面ABC，而R∈AB，∴R∈平面ABC.而C∈β，lβ，R∈l，∴R∈β，∴點C，點R為兩平面ABC與β的公共點，∴β∩γ＝CR.4．平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1A．3B．4C．5解析：選C與AB共面也與CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5條．5．在四面體ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF與HG交于點M，則()A．M一定在直線AC上B．M一定在直線BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M不在AC上，也不在BD上解析：選A因為E，F(xiàn)，G，H分別是四面體ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的點，EF與HG交于點M，所以點M為平面ABC與平面ACD的公共點，而兩個平面的交線為AC，所以M一定在直線AC上．二、填空題6．空間四點A，B，C，D，其中任何三點都不在同一直線上，它們一共可以確定平面的個數(shù)為________．解析：四點共面時，確定1個平面，任何三點不共線，四點不共面時，確定4個平面．答案：1或4如圖，在這個正方體中，①BM與ED平行；②CN與BM是異面直線；③CN與BE是異面直線；④DN與BM是異面直線．以上四個命題中，正確命題的序號是________．解析：觀察圖形可知①③錯誤，②④正確．答案：②④8．有下面幾個說法：①如果一條線段的中點在一個平面內(nèi)，那么它的兩個端點也在這個平面內(nèi)；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；④四邊形有三條邊在同一平面內(nèi)，則第四條邊也在這個平面內(nèi)；⑤點A在平面α外，點A和平面α內(nèi)的任意一條直線都不共面．其中正確的序號是__________(把你認為正確的序號都填上)．解析：①中線段可與平面α相交；②中的四邊形可以是空間四邊形；③中平行的對邊能確定平面，所以是平行四邊形；④中三邊在同一平面內(nèi)，可推知第四條邊的兩個端點也在這個平面內(nèi)，所以第四條邊在這個平面內(nèi)；⑤中點A與α內(nèi)的任意直線都能確定一個平面．答案：③④三、解答題9．如圖所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D與B，C分別在平面α的兩側(cè)，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求證：P，Q，R三點共線．證明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.∴AB，CD可確定一個平面，設為β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.∴ACβ，BDβ，平面α，β相交．∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，∴P，Q，R三點是平面α與平面β的公共點．∴P，Q，R都在α與β的交線上，故P，Q，R三點共線．10．已知：a，b，c，d是兩兩相交且不共點的四條直線．求證：a，b，c，d共面．證明：①無三線共點情況，如圖所示，設a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.∵a∩d＝M，∴a，d可確定一個平面α.∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α.∴NQα，即bα.同理cα.∴a，b，c，d共面．②有三線共點的情況，如圖所示，設b，c，d三線相交于點K，與a分別交于N，P，M，且K?a，∵K?a，∴K與a確定一個平面，設為β.∵N∈a，aβ，∴N∈β.∴NKβ，即bβ.同理，cβ，dβ.∴a，b，c，d共面．第2課時空間圖形的公理4及等角定理[核心必知]1．公理4平行于同一條直線的兩條直線平行．2．定理空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．3．空間四邊形四個頂點不在同一平面內(nèi)的四邊形叫做空間四邊形．4．異面直線所成的角(1)過空間任意一點P分別引兩條異面直線a，b的平行線l1，l2(a∥l1，b∥l2)，這兩條相交直線所成的銳角(或直角)就是異面直線a，b所成的角．(2)當異面直線a與b所成的角為直角時，a與b互相垂直．[問題思考]1．公理4及等角定理的作用是什么？提示：公理4又叫平行線的傳遞性．作用主要是證明兩條直線平行．等角定理的主要作用是證明空間兩個角相等．2．兩條互相垂直的直線一定相交嗎？提示：不一定．只要兩直線所成的角是90°，這兩直線就垂直，因此，兩直線也可能異面．講一講如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分別為線段A1B，B1D1，A1B1上的點，若eq\f(B1N,B1D1)＝eq\f(BM,BA1)＝eq\f(1,3)，且PN∥A1D1.求證：PM∥AA1.[嘗試解答]證明：∵PN∥A1D1，eq\f(B1N,B1D1)＝eq\f(1,3)，得eq\f(B1P,B1A1)＝eq\f(1,3)，又eq\f(BM,BA1)＝eq\f(1,3)，∴PM∥BB1.而BB1∥AA1，∴PM∥AA1.空間中證明兩直線平行的方法：(1)借助平面幾何知識，如三角形的中位線性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，成比例線段平行．(2)利用公理4，即證明兩條直線都與第三條直線平行．練一練1．梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為BC和AD的中點，將平面CDFE沿EF翻折起來，使CD與C′D′的位置重合，G，H分別為AD′和BC′的中點，求證：四邊形EFGH為平行四邊形．證明：在梯形ABCD中，EF∥AB且EF＝eq\f(1,2)(AB＋CD)．在梯形ABC′D′中，G，H分別是AD′，BC′的中點，∴GH∥AB且GH＝eq\f(1,2)(AB＋C′D′)．又CD＝C′D′，∴EFGH，∴四邊形EFGH為平行四邊形.講一講2.如圖所示，已知E，E1分別是正方體AC1的棱AD，A1D1的中點，求證：∠C1E1B1＝∠CEB.[嘗試解答]證明：連接EE1，∵E，E1分別是AD，A1D1的中點，∴A1E1AE，∴四邊形A1E1EA為平行四邊形，∴A1AE1E.又A1AB1B，由基本性質(zhì)4知B1BE1E，∴四邊形E1EBB1為平行四邊形，∴E1B1∥EB.同理E1C1∥EC又∠C1E1B1與∠CEB的對應邊方向相同，∴∠C1E1B1＝∠CEB.1．證明兩角相等的方法①等角定理；②三角形全等；③三角形相似．2．利用等角定理證明兩角相等，關鍵是證明角的兩邊分別平行，另外要注意角的方向性．練一練如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別是棱AB，AD，B1C1，C1D求證：(1)EFE1F1；(2)∠EA1F＝∠E1CF1證明：(1)連接BD，B1D1，在△ABD中，因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以EFeq\f(1,2)BD.同理，E1F1eq\f(1,2)B1D1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1DD1，所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，所以BDB1D1，又EFeq\f(1,2)BD，E1F1eq\f(1,2)B1D1，所以EFE1F1.(2)分別取A1B1、A1D1的中點M、N，連接BM、DN、MF1，在正方體ABCD-A1B1C1D1由題意，MF1BC，A1MBE，∴四邊形BCF1M，四邊形A1EBM∴A1E∥BM∥CF1.同理可證A1F∥DN∥CE1又A1E、A1F、CF1、CE1，分別為∠EA1F、∠E1CF1的對應兩邊，且方向相反，∴∠EA1F＝∠E1在空間中有三條線段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關系是()A．AB∥CDB．AB與CD是異面直線C．AB與CD相交D．AB∥CD或AB與CD異面或AB與CD相交[錯解]如圖，∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD.故選A.[錯因]錯解的原因在于，認為線段AB，BC，CD在同一個平面內(nèi)．[正解]構(gòu)造圖形：(1)在同一個平面內(nèi)∠ABC＝∠BCD(如圖(1))；在同一個平面內(nèi)∠ABC＝∠BCD(如圖(2))；(3)將圖(2)中直線CD繞著BC旋轉(zhuǎn)，使∠ABC＝∠BCD.由(1)知AB∥CD，由(2)知AB與CD相交，由(3)知AB與CD是異面直線．[答案]D1．下列結(jié)論正確的是()①在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行；②平行于同一條直線的兩條直線平行；③一條直線和兩條平行直線的一條相交，那么它也和另一條相交；④空間四條直線a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③B．②④C．③④D．②③解析：選B①錯，可以異面．②正確，公理4.③錯誤，和另一條可以異面．④正確，由平行直線的傳遞性可知．2．已知直線a，b，c，下列三個命題：①若a∥b，a⊥c，則b⊥c；②若a∥b，a和c相交，則b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，則b∥c.其中，正確命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2解析：選B①項正確；②項不正確，有可能相交也有可能異面；③項不正確．可能平行，可能相交也可能異面．3．一條直線與兩條平行線中的一條成為異面直線，則它與另一條()A．相交B．異面C．相交或異面D．平行解析：選C如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AA1與直線B1C1是異面直線，與B1C1平行的直線有A1D1，AD，BC，顯然直線AA1與A1D14．如圖，夾在兩平行平面間的兩條線段AB，CD交于點O，已知AO＝4，BO＝2，CD＝9.則線段CO，DO的長分別為________，________.解析：∵AB，CD相交于O點，∴AC，BD共面．又AC與BD不相交，∴AC∥BD.∴eq\f(CO,DO)＝eq\f(AO,BO)，又DC＝9，AO＝4，BO＝2.∴CO＝6，DO＝3.答案：635．已知E，F(xiàn)，G，H為空間中的四個點，且E，F(xiàn)，G，H不共面，則直線EF和GH的位置關系是________．解析：假設共面，則E，F(xiàn)，G，H共面，與已知矛盾，∴EF與GH不共面，即異面．答案：異面如圖所示，不共面的三條射線OA，OB，OC，點A1，B1，C1分別是OA，OB，OC上的點，且eq\f(OA1,OA)＝eq\f(OB1,OB)＝eq\f(OC1,OC)成立．求證：△A1B1C1∽△ABC證明：在△OAB中，∵eq\f(OA1,OA)＝eq\f(OB1,OB)，∴A1B1∥AB.同理可證A1C1∥AC，B1C1∥∴∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.∴△A1B1C1一、選擇題1．若直線a∥b，b∩c＝A，則a與c的位置關系是()A．異面B．相交C．平行D．異面或相交解析：選Da與c不可能平行，若a∥c，又因為a∥b，所以b∥c，這與b∩c＝A矛盾，而a與c異面、相交都有可能．如圖所示，在三棱錐P-ABC的六條棱所在的直線中，異面直線共有()A．2對B．3對C．4對D．6對解析：選B據(jù)異面直線的定義可知共有3對．AP與BC，CP與AB，BP與AC.如圖所示，在長方體木塊AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點，則長方體的各棱中與EF平行的有()A．3條B．4條C．5條D．6條解析：選B由于E、F分別是B1O、C1O的中點，故EF∥B1C1，因為和棱B1C1平行的棱還有3條：AD、BC、A1D4．已知E，F(xiàn)，G，H分別為空間四邊形ABCD的各邊AB，BC，CD，DA的中點，若對角線BD＝2，AC＝4，則EG2＋HF2的值是()A．5B．10C．12解析：選B如圖所示，由三角形中位線的性質(zhì)可得EHeq\f(1,2)BD，F(xiàn)Geq\f(1,2)BD，再根據(jù)公理4可得四邊形EFGH是平行四邊形，那么所求的是平行四邊形的對角線的平方和，所以EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10.5．異面直線a，b，有aα，bβ且α∩β＝c，則直線c與a，b的關系是()A．c與a，b都相交B．c與a，b都不相交C．c至多與a，b中的一條相交D．c至少與a，b中的一條相交解析：選D若c與a、b都不相交，∵c與a在α內(nèi)，∴a∥c.又c與b都在β內(nèi)，∴b∥c.由基本性質(zhì)4，可知a∥b，與已知條件矛盾．如圖，只有以下三種情況．二、填空題6．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D(1)∠DBC的兩邊與________的兩邊分別平行且方向相同；(2)∠DBC的兩邊與________的兩邊分別平行且方向相反．解析：(1)B1D1