高中數(shù)學(xué)建模的主要過(guò)程及教學(xué)案例,高中數(shù)學(xué)論文

高中數(shù)學(xué)建模的主要過(guò)程及教學(xué)案例,高中數(shù)學(xué)論文摘要：高中新課程標(biāo)準(zhǔn)中提出了數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，提高數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是影響學(xué)生綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要因素。數(shù)學(xué)建模共有四個(gè)步驟，通過(guò)對(duì)每一個(gè)步驟最核心內(nèi)容的闡述，將有利于開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)。本文關(guān)鍵詞語(yǔ)：數(shù)學(xué)建模;高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)教學(xué);數(shù)學(xué)素養(yǎng);最新公布的(普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)〕(2021年版)(下面簡(jiǎn)稱(課標(biāo)〕(2021年版))中明確了中學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析[1]。史寧中教授也曾屢次表示數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)能夠更簡(jiǎn)單地概括為抽象、推理、模型。此次新課標(biāo)的頒布進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)建模的重要性，突出了建模在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位。事實(shí)上，在2003年頒布的(普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))〕中就開(kāi)場(chǎng)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模的重要性。強(qiáng)調(diào)在整個(gè)高中課程內(nèi)容中浸透數(shù)學(xué)建模思想，并至少在高中階段布置一次建?；顒?dòng)。在最初這對(duì)數(shù)學(xué)一線數(shù)學(xué)教育工作者來(lái)講是一個(gè)不小的挑戰(zhàn)，十分是在重視推理、運(yùn)算能力，強(qiáng)調(diào)解題為主，以面對(duì)高考為最根本出發(fā)點(diǎn)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，老師們將數(shù)學(xué)建模融入課堂教學(xué)確實(shí)具有一定的難度。但是，隨著不斷的變化和認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)建模已經(jīng)不再是陌生的事物。由于數(shù)學(xué)建模能夠簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題，更容易地分析數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。近年來(lái)，數(shù)學(xué)建模教學(xué)在我們國(guó)家中學(xué)教學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用。很多從事數(shù)學(xué)教學(xué)的積極介入到數(shù)學(xué)建模教學(xué)領(lǐng)域的研究中，尋找答案:來(lái)解決數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問(wèn)題。不過(guò)，隨著社會(huì)的變化，人們對(duì)數(shù)學(xué)和人才培養(yǎng)質(zhì)量也不斷提出新的要求。加之新的教育理念、教育方式方法、教育技術(shù)快速地涌進(jìn)一線教學(xué)，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)也處在不斷地變化甚至是挑戰(zhàn)之中。一、數(shù)學(xué)建模的主要經(jīng)過(guò)根據(jù)(課標(biāo)〕(2021年版)的要求，數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示出問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方式方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng)。主要經(jīng)過(guò)包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，分析問(wèn)題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改良模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)這些描繪敘述能夠看出數(shù)學(xué)建模的經(jīng)過(guò)實(shí)際上是一個(gè)完好的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決經(jīng)過(guò)，在這個(gè)經(jīng)過(guò)中學(xué)生要對(duì)問(wèn)題有深切進(jìn)入的分析，不但能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題還有能夠找到解決問(wèn)題的辦法，更為重要的是在進(jìn)行一定操作運(yùn)算之后能夠?qū)δＰ陀兴牧迹?yàn)證結(jié)果。通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠有意識(shí)地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示出現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并提出問(wèn)題，理解數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的關(guān)系。學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，積累實(shí)踐經(jīng)歷體驗(yàn)。認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會(huì)和工程技術(shù)中的作用，提高實(shí)踐能力，加強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神[2,3]。數(shù)學(xué)最為基本的核心素養(yǎng)是抽象、推理、模型，但是這三者之間并不是互相獨(dú)立，互不聯(lián)絡(luò)的經(jīng)過(guò)。我們?cè)诮鉀Q一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)過(guò)中，往往是三個(gè)素養(yǎng)同時(shí)發(fā)揮作用，或者屢次交互發(fā)生，這一點(diǎn)從數(shù)學(xué)建模的四個(gè)經(jīng)過(guò)就能夠看出。第一步，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題。發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題一直以來(lái)是數(shù)學(xué)教育關(guān)注的重點(diǎn)內(nèi)容。在20世紀(jì)我們國(guó)家的數(shù)學(xué)教育愈加側(cè)重學(xué)生三大能力的培養(yǎng)，在學(xué)生問(wèn)題解決表現(xiàn)方面沒(méi)有給予足夠的重視。在21世紀(jì)初期，隨著新課改的推行，問(wèn)題解決能力逐步遭到大家的認(rèn)可和重視。在課堂教學(xué)或者課程標(biāo)準(zhǔn)制定中都考慮了學(xué)生在這些方面的能力。我們國(guó)家學(xué)生歷來(lái)比擬擅于解決問(wèn)題，并且往往是封閉性問(wèn)題。蔡金法教授對(duì)中美學(xué)生在開(kāi)放性問(wèn)題的比照研究中清楚明晰地展示了這種差異，而在問(wèn)題提出等方面我們國(guó)家學(xué)生仍然還需提高，需要引導(dǎo)學(xué)生能夠主動(dòng)考慮，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題。作為數(shù)學(xué)建模的第一個(gè)經(jīng)過(guò)，這里面的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題是在一定的情境下，對(duì)所牽涉的現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景或者某個(gè)詳細(xì)數(shù)學(xué)情境下的深切進(jìn)入考慮，所提出的問(wèn)題能夠是經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)抽象后的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以以是一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。這個(gè)經(jīng)過(guò)最重要的是提出一個(gè)問(wèn)題，而且是一個(gè)具有一定價(jià)值的問(wèn)題，有了這個(gè)問(wèn)題或者一系列問(wèn)題才能夠?yàn)楹罄m(xù)的建?；顒?dòng)打開(kāi)局面。第二步，分析問(wèn)題，建立模型。對(duì)問(wèn)題的分析并不局限于數(shù)學(xué)，還需要調(diào)整其他學(xué)科或生活經(jīng)歷體驗(yàn)，往往還需要查閱資料。這一經(jīng)過(guò)主要是對(duì)前面提出問(wèn)題的再加工，在這一經(jīng)過(guò)中一定要將問(wèn)題進(jìn)一步數(shù)學(xué)化，或者講完全轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，固然可能仍然帶有不同的現(xiàn)實(shí)背景，但問(wèn)題的內(nèi)部構(gòu)造關(guān)系一定是數(shù)學(xué)的。這種再加工的經(jīng)過(guò)就是應(yīng)用已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)定理、概念、性質(zhì)等知識(shí)把問(wèn)題模型化。經(jīng)過(guò)上述兩個(gè)步驟完成了數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)過(guò)，從現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)入了數(shù)學(xué)世界，用數(shù)學(xué)的規(guī)律和方式方法分析問(wèn)題。第三步，確定參數(shù)，計(jì)算求解。這一經(jīng)過(guò)就是解決問(wèn)題的經(jīng)過(guò)，在這個(gè)經(jīng)過(guò)中參數(shù)確實(shí)定最為關(guān)鍵。參數(shù)確實(shí)定需要基于高質(zhì)量的數(shù)據(jù)，而數(shù)據(jù)收集往往是數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的重要組成部分。數(shù)據(jù)的來(lái)源能夠多樣化，在一些封閉性問(wèn)題中要利用所給數(shù)據(jù)。而在一些開(kāi)放性問(wèn)題中，數(shù)據(jù)的獲得能夠通過(guò)網(wǎng)絡(luò)、教學(xué)材料、其他資料等。用數(shù)據(jù)來(lái)確定假設(shè)模型中的參數(shù)，通過(guò)計(jì)算為了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，這個(gè)經(jīng)過(guò)具體表現(xiàn)出了數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)直接相關(guān)[4]。第四步，檢驗(yàn)結(jié)果，改良模型。這是最后的經(jīng)過(guò)，在這個(gè)經(jīng)過(guò)中要給出最后的結(jié)果。有些時(shí)候在第三個(gè)步驟就能夠得出問(wèn)題的結(jié)果，或者作出結(jié)論的判定。但是由于面對(duì)一個(gè)較為復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，問(wèn)題所牽涉的方面較多，在模型中會(huì)牽涉到很多參數(shù)，且在計(jì)算經(jīng)過(guò)中所應(yīng)用的數(shù)據(jù)來(lái)源也相對(duì)單一、有限，不能完全符合現(xiàn)實(shí)情況，會(huì)導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)偏差。因而，在這個(gè)經(jīng)過(guò)中研究者需要根據(jù)所解決問(wèn)題的實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)整，做到最佳符合。二、數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例例：市化工廠生產(chǎn)香皂，現(xiàn)接到生產(chǎn)180g裝的香皂的訂單。當(dāng)前化工廠有兩種規(guī)格的產(chǎn)品，分別是60g裝每塊1.15元，150g裝每塊2.5元。那么180g裝的香皂出廠價(jià)格為多少?第一步將香皂的體積與其外表積的函數(shù)關(guān)系看作一種相對(duì)規(guī)則形狀的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在簡(jiǎn)化的情況下，明確問(wèn)題中的變量和參數(shù)。這里能夠設(shè)定香皂的出廠價(jià)格(y)；香皂的成本(y1)；香皂的包裝成本(y2)；香皂的質(zhì)量(w)；香皂的質(zhì)量為w時(shí)包裝的外表積(Sw)。第二步抽象出數(shù)學(xué)模型：(1)香皂的出廠價(jià)格y由香皂的生產(chǎn)成本y1和包裝成本y2確定；(2)當(dāng)香皂質(zhì)量為w時(shí)，其外表積為(3)香皂的生產(chǎn)成本與香皂質(zhì)量成正比，設(shè)比例系數(shù)為k1，即y1=k1w；(4)香皂的包裝成本與香皂外表積成正比，設(shè)比例系數(shù)為k2，即y2=kS2sw。在上述討論出的變量之間關(guān)系的基礎(chǔ)上以及香皂質(zhì)量為w時(shí)其各項(xiàng)成本與相關(guān)因素之間的關(guān)系，得出關(guān)于香皂出廠價(jià)格的函數(shù)目的是在條件60g裝的香皂出廠價(jià)為每塊1.15元和150g裝的香皂出廠價(jià)為每塊2.5元下求出180g裝的香皂的出廠價(jià)格。第三步是模型求解。由題中已經(jīng)知道條件60g裝的香皂出廠價(jià)為每塊1.15元，150g裝的香皂出廠價(jià)為每塊2.5元。將其代入上述所求出廠價(jià)格的函數(shù)中得到二者聯(lián)立得由此解得k19.66810-3，將k1代入中，解得k2k33.71910-2。因而，香皂的出廠價(jià)格和香皂質(zhì)量的表示出式為那么當(dāng)w=180時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即180g裝的該廠家生產(chǎn)的香皂的出廠價(jià)約為2.93元。接下來(lái)還能夠?qū)υ搯?wèn)題做一步的討論，假如考慮單位質(zhì)量?jī)?nèi)香皂所對(duì)應(yīng)的出廠價(jià)格(記為y3)，能夠得到如下函數(shù)關(guān)系式：根據(jù)該函數(shù)的單調(diào)性可以以清楚地講明生活中常見(jiàn)的大包裝的商品售出的價(jià)格更低的現(xiàn)象。第四步，分析模型結(jié)果。根據(jù)日常生活經(jīng)歷體驗(yàn)，結(jié)合在超市等地購(gòu)物能夠知道同類型商品往往購(gòu)買體積、質(zhì)量較大的會(huì)更劃算，也就是單位體積或者質(zhì)量?jī)r(jià)格較低。這在酸奶、飲料中表現(xiàn)特別明顯。不過(guò)也要考慮隨著體積增大給包裝帶來(lái)的成本增加問(wèn)題。事實(shí)上隨著體積的變化還會(huì)帶來(lái)商品擺放位置的變化，甚至影響商品的銷售成本?？梢?jiàn)這是一系列問(wèn)題，實(shí)際的建模問(wèn)題比我們計(jì)算的還要復(fù)雜得多。但是從這個(gè)問(wèn)題中學(xué)生能夠體會(huì)到數(shù)學(xué)建模的重要性，體會(huì)到數(shù)學(xué)對(duì)于解決問(wèn)題的重要價(jià)值。以下為參考文獻(xiàn)[1]中國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2021年版)[M].北京：人民教育出版社，20