八年級(jí)數(shù)學(xué)三角形輔助線(xiàn)大全

33三形輔性法全在用角的角大任和不鄰內(nèi)證角不關(guān)時(shí)如直證不來(lái)可結(jié)點(diǎn)延某，造角，求的角某三角外的置，角在角位上再用角理題例：為△ABC內(nèi)一，求證：＞BAC證法〔一長(zhǎng)ACE，∵∠BDC是△EDC的外角，∴∠＞

AA同理：∠＞BAC∴∠＞BAC證法〔二結(jié)AD，并延長(zhǎng)交于F

B

EC

B

F

C∵∠BDF是△的角，∴∠＞∠同理∠CDF＞∠CAD∴∠＋∠CDF∠＋∠CAD即：∠＞BAC2.有平線(xiàn)時(shí)在兩截相的段構(gòu)全三形例圖AD為ABC的中線(xiàn)且∠12，∠3∠4求證：＋CF＞證明：在DA上截取DNDB連結(jié)NE，那么

DN

在△BDE和NDE中

NDN=DB

∠1=∠2EDED

1

24D∴△≌NDE∴=NE同理可證：=NF在△EFN中EN＋＞EF∴BE＋＞有以段點(diǎn)端的段時(shí)常倍長(zhǎng)線(xiàn)構(gòu)全三形.例圖AD為ABC的中線(xiàn)，且∠1，3=∠4求證BE＋CF＞EF證明：延長(zhǎng)EDM使=DE，連結(jié)CM、FM△和△CDM中BD=∠1=∠5ED∴△BDE≌△∴CMBE又∵∠1∠，∠3=∠

∠12＋∠＋∠180∴∠3＋∠2即∠EDF=90o∴∠FDM=EDF=o△EDF和△MDF中

AED∠FDM=∠EDF

E

CDF=DF∴△EDF≌△MDF∴EF=MF∵在△CMF中CFCM＞BECF〔此題也可加倍FD，證法同上〕在三形有線(xiàn)，加倍長(zhǎng)線(xiàn)造等角.例圖AD為ABC的中線(xiàn)，求證：AB＋AC2AD證明：延長(zhǎng)AD至，使DEAD，連結(jié)BE∵ADABC的線(xiàn)

∴=CD在△和△EBD中

BD=∠1=∠2

1

2

AD=ED∴△≌△∵△ABE中＋＞∴ABAC2AD5.截補(bǔ)作輔線(xiàn)方

截法在長(zhǎng)線(xiàn)上取條段于短段補(bǔ)法延較線(xiàn)和長(zhǎng)段等這種法稱(chēng)長(zhǎng)短.當(dāng)求中及線(xiàn)ab、、有下況一用此方：①a＞②b③bc±例圖，在ABC中AB＞，∠1=∠，為AD上一點(diǎn)，求證：ABAC＞PB－PC證明：⑴長(zhǎng)：AB上取AN=，連結(jié)PN在△APN和APC中，AN=∠1=∠2=AP

1

2∴△APN≌△∴=PN

P

∵△BPN中PB＜BN∴PB＜－AC⑵短：長(zhǎng)AC至M使AM=AB，連結(jié)PM在△ABP和AMP中=AM∠1=∠2

=AP

1

2∴△ABP△∴PBPM

B

又∵在有CM＞PM－∴ABACPB練：1.，在△ABC中，∠B=60o,AD、CE是ABC的平,且它們交于點(diǎn)求證：＋CD，如圖AB∥CD∠=,∠∠

求證：BCAB＋

6.證兩線(xiàn)段等步：

1423C①察證段哪個(gè)能等三形，后這個(gè)角形等②設(shè)中有等角，以求線(xiàn)用它等線(xiàn)代換再它所的角全③果有等線(xiàn)代，設(shè)作助構(gòu)全三形例如圖，、交于F，∠=∠C，∠∠，求證：DF=證明：∵∠=∠B∠∠AEFC∠4又∵∠3∠∠=∠∴∠∠AEF在△和AEF中∠ADF=∠AEF∠1=∠2

AAF=AF∴△≌△AEF

2

E

C∴DF=7.在個(gè)形中有個(gè)直系，用角等〕余相來(lái)明兩角等.例圖eq\o\ac(△,Rt)ABC中，=AC∠=D，CEAN于E，求證：=BD－CE

，過(guò)A作任一條直，作BD⊥AN于證明：∵∠90o

BD⊥∴∠＋∠2=90o

∠1∠=90o∴∠2=∠3∵⊥ANCE⊥AN∴∠∠AEC=90o在△和CAE中1

2

3

∠BDA=∠∠2=∠3=AC∴△≌△∴=AE且ADCE∴AE－ADBD－CE∴BD8.三形邊的端到邊中所的線(xiàn)距相.例：AD為ABC的線(xiàn)，且CF⊥AD于F，BE⊥AD延長(zhǎng)線(xiàn)于E求證：BE=證明〕

1

2

9.條缺時(shí)延邊造角.例：ACBD，ADACA，BCBD于B求證：AD=BC證明：分別延長(zhǎng)DA交點(diǎn)E∵AD⊥AC⊥∴∠CAE∠DBE=90在△DBE和CAE中∠∠CAEBD=AC∠∠E

∴△DBE≌△CAE

A

B∴EC，EB=EA

O∴－ECEB∴ADBC

D

連四形的角，四形題化三形解問(wèn).例圖AB，AD∥BC求證：=證明：連結(jié)〔或BD〕∵ABCD，AD∥BC∴∠1=∠2

1

3

在△和CDA中∠1=∠2

B

4

2

AC=CA∠3=∠4∴△ABC△∴ABCD

E

CA

練圖DC，AD=BC，BF求證：BE=DF11.和平線(xiàn)直線(xiàn)時(shí)，常這線(xiàn)延。歸為角垂腰〞例圖在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，AB，∠90o∠=∠2，CE⊥BD的長(zhǎng)線(xiàn)于求證：證明：分別延長(zhǎng)BA、交于∵⊥CF∴∠BEF=∠BEC90o在△BEF和BEC中

F∠1=∠2

EBE

∠BEF∠BEC

B

12

∴△≌∴CE=FE

12

∵∠90o

BE∴∠=∠CAF=90∠1∠=90∠1∠BFC∠BDA=∠在△和ACF∠BAC=∠CAF∠BDA=∠=AC∴△ABD≌△ACF∴=CF∴=2CE練習(xí)圖∠ACB=3B，∠1∠2,CDAD于D，求證：ABAC=1

2

12當(dāng)證有難，結(jié)條，圖中某點(diǎn)連起構(gòu)全三形例圖ACBD相于O且AB=DC，AC=，求證：A=∠D

A

D證明結(jié)BC過(guò)程略〕

OB當(dāng)題少線(xiàn)相的件，取條段點(diǎn)為題供件例圖=，AD

求證：∠ABC=DCB證明：分別取、點(diǎn)N、，連結(jié)NBNMNC〔過(guò)程略〕

D有平線(xiàn)，過(guò)平線(xiàn)的點(diǎn)角邊

做線(xiàn)利用平線(xiàn)的到兩距相證.例圖，∠=，P為BN上點(diǎn)，且⊥于D，AB=2BD求證：＋∠BCP=o證明：過(guò)作PE于E∵PD⊥BC∠∠2∴PE=

AN在eq\o\ac(△,Rt)BPEeq\o\ac(△,Rt)BPD中BP=BPPEPD∴eq\o\ac(△,Rt)BPEeq\o\ac(△,Rt)BPD∴=BD∵AB=2BDBC=＋BD，AB=BE－AE∴=∵PE⊥，PD⊥∠=∠PDC=90在△和PDC中PEPD∠=∠PDCAE=CD∴△PEA≌△PDC∴∠PCB=∠∵∠BAP∠EAP=o∴∠BAP∠=180o練習(xí)：1.，如圖，PA、分是ABC外∠與∠NCA的分線(xiàn)，它們交于P，⊥BM于M，⊥于F，求證：為的分線(xiàn)A

PB

C

F，圖，ABC中∠ABC=100o∠ACB

，CE是ACB的分，是AC上一點(diǎn)，假設(shè)CBD=o求的數(shù)。BA

D

有腰角形常的助⑴頂?shù)姆?，邊線(xiàn)底高例圖=ACBD⊥AC于D，求證：BAC=∠DBC證明法〕作∠BAC的分線(xiàn)AE，于，么12又∵=AC∴AE⊥∴∠＋∠ACB12∵⊥

12

∠BAC∴∠＋ACB∴∠2=∠DBC

B

∴∠2∠DBC〔方法二〕過(guò)A作AE⊥于〔程略〕〔方法三〕取中E，連結(jié)AE過(guò)程略〕⑵底中時(shí)常底中例圖，△ABC中=AC，為BC中，DE⊥AB于，⊥AC，求證：證明：連結(jié)∵為BC中，∴=CD又∵=AC

EF∴AD分∠BAC

B

∵⊥AB，DF⊥∴⑶腰長(zhǎng)倍構(gòu)直三形題例圖，ABC中=AC，在BA延線(xiàn)和AC上取一點(diǎn)E，AEAF求證：⊥BC證明：延長(zhǎng)到N使ANAB,連結(jié)那么=AN=AC∴∠=∠ACB,∠∠∵∠ACB＋∠ACN＋∠ANC

∴2∠＋2ACN=o

E∴∠BCA∠=90o

A即∠BCN=o

F∴NC⊥BC∵=AF∴∠AEF=∠AFE又∵∠BAC=∠AEF＋∠BAC∠＋∠ANC∴∠∠∠ANC∴∠AEF=∠∴EF∥

B

C

22∴EF⊥BC⑷過(guò)腰的一做一的行例圖，在ABC中=AC，DAB上在AC長(zhǎng)線(xiàn)上，且BD=，連結(jié)DE交于F求證：DF=證明法一〕過(guò)D作DN∥AE交BC于N那么DNB=，NDE∠E，∵ABAC∴∠=∠ACB∴∠=∠∴=DN又∵CE∴=

D在△和ECF

N

1

2

∠1=∠2

∠NDF=EDN=∴△≌△ECF∴DF=〔證法二〕過(guò)E作EM交延線(xiàn)于那么EMB=∠過(guò)程略〕⑸過(guò)腰的一做的行例圖，△ABC中=AC，EAC上D在長(zhǎng)線(xiàn)上，且=AE，結(jié)DE求證：⊥證明一點(diǎn)E作EF交AB于F那

NA

么∠B

F

∠=C∵ABAC∴∠B∠C∴∠AFE∠∵ADAE∴∠AED=∠ADE又∵∠＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE=∴2∠AEF＋2∠AED=o即∠FED=o∴⊥又∵EF∥BC∴⊥BC

B〔證法二〕過(guò)點(diǎn)D作DN∥BC交CA的長(zhǎng)線(xiàn)于N程〕〔證法三〕過(guò)點(diǎn)A作AMBC交DE于M程〕⑹將腰角轉(zhuǎn)成殊等三形等邊角例圖，△ABC中=，∠BAC=∠PCB=30o求PAB的數(shù)解法一：以為一邊等邊三角形，連結(jié)那么∠BAE∠ABE60

為形內(nèi)一點(diǎn)，假設(shè)PBC

AE=AB=∵ABAC∴=AC∠ABC=∠ACB∴∠=∠ACE∵∠=∠BAC－BAE=

－60o

=20o∴∠=

12

o∠EAC)=

1∵∠ACB=(180o－∠2

B

P

∴∠=ACE∠ACB=80o

－50o

=30o∵∠PCB∴∠PCB∠BCE∵∠ABC∠ACB=∠ABE=∴∠=ABE－ABC=60o∵∠PBC∴∠PBC∠EBC在△PBC和中∠PBC=EBCBC=BC∠PCB=BCE∴△PBCEBC∴BP=∵ABBE∴ABBP∴∠∠BPA

－50o

=10∵∠ABP=ABC－∠PBC=50－10o

=o∴∠

12

o

－∠o解法二：以AC為一邊作等邊三角形，證法同一。解法三：以BC為邊作等邊三角，結(jié)AE,那么==BC∠BEC∠EBC=60o∵=∴在BC的中線(xiàn)上同理A在BC的垂線(xiàn)上∴所在的直線(xiàn)是BC的中垂線(xiàn)∴EA⊥

∠AEB=

12

∠BEC=o

∠PCB

由解法一知：∠ABC=∴∠ABE=∠EBC－∠ABC=10=∠∵∠ABE∠=BC,AEB∠PCB∴△ABE△PBC∴ABBP∴∠BAP∠BPA∵∠ABP∠－∠PBC=50o－

=40∴∠PAB=

1o－∠ABP)=(180o2

)=70o有倍時(shí)常的助⑴造腰角使倍是腰角的角外例圖，在ABC中∠1∠，ABC=2∠C，求證：ABBD=證明：延長(zhǎng)到E，使BE=BD連結(jié)DE那么∠=∠∵∠=E∠BDE∴∠∠E∵∠2∠∴∠E∠在△AED和△

2∠=∠C∠1=∠2AD=AD

D

∴△AED△∴=AE∵=＋∴=＋即ABBDAC⑵分倍例圖，在ABC中BD⊥AC于D，∠BAC=∠DBC求證：ABC=∠ACB證明：作∠的分線(xiàn)AE交BC于E，那么∠BAE=∠CAE∠∵⊥∴∠CBD＋∠C∴∠CAE＋∠C=∵∠AEC=－∠CAE－∠C=90o

A∴AE⊥∴∠ABC∠BAE=

∵∠CAE＋∠C=

E

C∠BAE=∠CAE∴∠∠⑶倍角

BB例圖，在ABC中BD⊥AC于D，∠BAC=∠DBC求證：ABC=∠ACB證明：作∠∠DBC,BF交ACF〔過(guò)程略〕AFD17.有垂平線(xiàn)常垂平線(xiàn)

上點(diǎn)線(xiàn)兩點(diǎn)結(jié)來(lái)例圖，△ABC中，ABAC∠BAC=120o

EF為AB的直平分線(xiàn)EF交BCF，交

于求證：BF=

12

證明：連結(jié)AF那么=BF∴∠=FAB∵ABAC∴∠=∠C∵∠o∴∠=∠C∠BAC

12

o

－∠BAC)=30o

∴∠FAB30o∴∠FAC∠－∠o

－30o

=90

B

又∵∠=30∴=

12

∴BF=

12

練習(xí)中的分線(xiàn)與的垂直平分線(xiàn)交點(diǎn)DDM⊥于MDN⊥延線(xiàn)于N求證：BM=CNAB

E

C18.有垂時(shí)構(gòu)垂平線(xiàn)例圖，在ABC中∠B=2∠，AD于D求證：=AB＋BD證明〕CD上取DEDB，連結(jié)AE那么=AE∴∠=∠AEBC

AE