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文檔簡介
22/222021北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一(上)期中數(shù)學(xué)班級(jí)___________姓名___________學(xué)號(hào)___________成績___________考生須知1.本試卷共6頁,共五道大題,25道小題,答題卡共4頁,滿分150分,考試時(shí)間120分鐘.2.在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫班級(jí)、姓名、學(xué)號(hào).3.試卷答案一律填寫在答題卡上,在試卷上作答無效.4.在答題卡上,選擇題須用2B鉛筆將選中項(xiàng)涂黑涂滿,其他試題用黑色字跡簽字筆作答.命題人:高一數(shù)學(xué)備課組審題人:黎棟材第Ⅰ卷(共100分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,共40分)1.已知集合,,則A.B.C.D.2.下列函數(shù)中在上單調(diào)遞增的是A.B.C.D.3.命題“,使得”的否定是A.,都有B.,都有C.,使得D.,使得4.已知,,下列不等式恒成立的是A.B.C.D.5.設(shè)方程的兩個(gè)不等實(shí)根分別為,則A.B.C.D.6.已知函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn),則該零點(diǎn)所在的區(qū)間是A.B.C.D.7.已知,則的值為A.B.C.D.8.“”是“”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件9.如圖為函數(shù)和的圖像,則不等式的解集為A.B.C.D.10.如果函數(shù)的定義域?yàn)?,且值域?yàn)?,則稱為“函數(shù)”.已知函數(shù)是“函數(shù)”,則的取值范圍是A.B.C.D.二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分)11.函數(shù)的定義域?yàn)?12.已知均為正實(shí)數(shù),則的最小值為.13.計(jì)算:.14.函數(shù)在上的最大值為,最小值為.15.已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào),且,,給出下列四個(gè)結(jié)論:①在上單調(diào)遞減;②存在,使得;③不等式的解集為;④關(guān)于的方程的解集中所有元素之和為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.(注:本題有多個(gè)選項(xiàng)符合要求,全部選對(duì)得5分,不選或有錯(cuò)選得0分,其它情況得3分)
三、解答題(本大題共3小題,共35分)16.(本小題滿分12分)已知集合,.(1)若,求;(2)若,求的取值范圍;(3)若,求的取值范圍.17.(本小題滿分10分)已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根.(1)求的取值范圍;(2)若,求的值;(3)求的取值范圍.18.(本小題滿分13分)函數(shù)為定義在上的奇函數(shù),已知當(dāng)時(shí),.(1)當(dāng)時(shí),求的解析式;(2)判斷在上的單調(diào)性,并利用單調(diào)性的定義證明;(3)若,求的取值范圍.第Ⅱ卷(共50分)四、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)19.比較大?。海ㄌ睢啊被颉啊保?0.設(shè)集合,,若,則;.21.設(shè)關(guān)于的不等式的解集為.(1)若中有且只有一個(gè)元素,則的值為;(2)若且,則的取值范圍是.
22.某電熱元件在通電狀態(tài)下僅有兩種模式,在A模式下元件溫度保持不變;從A模式切換到B模式后,在B模式下,元件溫度(單位℃)與通電累積時(shí)間(即從通電時(shí)刻開始累積計(jì)時(shí),單位min)的乘積保持不變;從B模式再切換到A模式后,原件溫度繼續(xù)保持不變……現(xiàn)將該元件通電,初始溫度為,已知在這四個(gè)時(shí)刻下的元件溫度如表所示,而在時(shí)間內(nèi)隨變化的圖像如圖所示.請(qǐng)根據(jù)以上信息推斷:;.通電累積時(shí)間(單位min)13612元件溫度(單位℃)30201510五、解答題(本大題共3小題,共30分)23.(本小題滿分10分)設(shè)函數(shù).(1)求的最小值,及取得最小值時(shí)的值;(2)24.(本小題滿分10分)已知函數(shù),(其中).(1)若對(duì)任意,都有恒成立,求的值;(2)設(shè)關(guān)于x的函數(shù)的最小值為.①若,解不等式,并直接寫出的值;②試判斷是否為的函數(shù)?若是,直接寫出的函數(shù)表達(dá)式(用分段函數(shù)形式表示);若不是,說明理由.
25.(本小題滿分10分)對(duì)于一個(gè)所有元素均為整數(shù)的非空集合,和一個(gè)給定的整數(shù),定義集合.(1)若,直接寫出集合,和;(2)若,其中,,求的值,使得集合中元素的個(gè)數(shù)最少;(3)寫出所有滿足的整數(shù)和,使得當(dāng)集合時(shí),有,并說明理由.
參考答案一?選擇題(本大題共10小題,每小題4分,共40分)1.已知集合,,則()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)交集的定義,即得解【詳解】由題意,根據(jù)交集的定義故選:A2.下列函數(shù)中在上單調(diào)遞增的是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可求解【詳解】對(duì)于A:在上單調(diào)遞減,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B:在上單調(diào)遞增,故B正確;對(duì)于C:在上單調(diào)遞增,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:在上單調(diào)遞減,故D錯(cuò)誤;故選:B3.命題“,使得”的否定是()A.,都有 B.,都有C.,使得 D.,使得【答案】B【解析】【分析】由特稱命題的否定直接求解即可【詳解】命題“,使得”的否定是:,都有,故選:B4.已知,,下列不等式恒成立的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A:因?yàn)椋?,故選項(xiàng)A不正確;對(duì)于B:因?yàn)椋?,若,則,故選項(xiàng)B不正確;對(duì)于C:因?yàn)椋?,若,則,故選項(xiàng)C正確;對(duì)于D:因?yàn)?,所以,,若,則,故選項(xiàng)D不正確;故選:C.5.設(shè)方程的兩個(gè)不等實(shí)根分別為,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)韋達(dá)定理得到,化簡,計(jì)算得到答案.【詳解】,,故,.故選:D.6.已知函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn),則該零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào)即可得解.【詳解】解:,,,,所以該零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選:C.7.已知,則的值為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)恒等式及冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得;【詳解】解:因?yàn)?,所以故選:D8.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論.【詳解】由可得,所以成立,由可得,所以當(dāng)時(shí),不成立,所以“”是“”的充分不必要條件故選:A9.如圖為函數(shù)和的圖像,則不等式的解集為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】討論和兩種情況,根據(jù)圖像得到范圍,得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,此時(shí)需滿足,,故;當(dāng)時(shí),,此時(shí)需滿足,,故;綜上所述:.故選:D.10.如果函數(shù)的定義域?yàn)?,且值域?yàn)?,則稱為“函數(shù)”.已知函數(shù)是“函數(shù)”,則的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的新定義得到且,結(jié)合函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì),列出不等式,即可求解.【詳解】由題意,函數(shù)的定義域?yàn)?,且值域?yàn)?,即函?shù)的最小值,最大值為,又由函數(shù),當(dāng)時(shí),可得,要是函數(shù)滿足新定義,則滿足,即,所以,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:B.二?填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分)11.函數(shù)的定義域?yàn)開__________.【答案】【解析】【分析】函數(shù)的定義域滿足,解得答案.【詳解】函數(shù)的定義域滿足:,解得.故答案為:.12.已知均為正實(shí)數(shù),則的最小值為___________.【答案】6【解析】【分析】利用均值不等式即得解【詳解】由題意,均為正實(shí)數(shù),則當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立故的最小值為6故答案為:613.計(jì)算:___________.【答案】2【解析】【分析】直接利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可【詳解】,故答案為:214.函數(shù)在上的最大值為___________,最小值為___________.【答案】①.2②.【解析】【分析】先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可得解.【詳解】解:,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,又,,,故,故答案為:2;.15.已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào),且,,給出下列四個(gè)結(jié)論:①在上單調(diào)遞減;②存在,使得;③不等式的解集為;④關(guān)于的方程的解集中所有元素之和為.其中所有正確結(jié)論序號(hào)是___________.【答案】①③④【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性可判斷①②③,令,則有,從而可求出,進(jìn)而求出,即可判斷④【詳解】因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)在上單調(diào),且,,因?yàn)?,所以在上單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞減,故①正確;因?yàn)榕己瘮?shù)在上單調(diào)遞增,所以時(shí),,故②錯(cuò)誤;偶函數(shù)在上單調(diào)遞增,,,由可得,所以,解得或,故③正確;令,則,可化為,解得或,即或,所以或,解得或或或,關(guān)于的方程的解集中所有元素之和為,故④正確.故答案為:①③④三?解答題(本大題共3小題,共35分)16.已知集合,.(1)若,求;(2)若,求的取值范圍;(3)若,求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)求出集合,再由并集與補(bǔ)集的定義求解即可;(2)根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想列出不等式,即可求解;(3)根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想列出不等式,即可求解;【小問1詳解】或,當(dāng)時(shí),,或,;【小問2詳解】當(dāng)時(shí),滿足條件,此時(shí)有,此時(shí)無解,故;當(dāng)時(shí),由得:,解得,所以的取值范圍是;【小問3詳解】由(2)可知,由可知:或,解得或,所以的取值范圍是17.已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根.(1)求的取值范圍;(2)若,求的值;(3)求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)利用判別式,即得解;(2)利用韋達(dá)定理,轉(zhuǎn)化,結(jié)合,計(jì)算即可(3)利用韋達(dá)定理,轉(zhuǎn)化,結(jié)合以及二次函數(shù)的性質(zhì),即得解【小問1詳解】由題意,關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根故解得:故的取值范圍是:小問2詳解】由題意,當(dāng),即時(shí)有故,即解得:或,又故:【小問3詳解】由題意,當(dāng),即時(shí)有故關(guān)于為開口向上的二次函數(shù),對(duì)稱軸為故在單調(diào)遞增故即的取值范圍為18.函數(shù)為定義在上的奇函數(shù),已知當(dāng)時(shí),.(1)當(dāng)時(shí),求的解析式;(2)判斷在上的單調(diào)性,并利用單調(diào)性的定義證明;(3)若,求的取值范圍.【答案】(1);(2)在上的單調(diào)遞增,證明見解析;(3)【解析】【分析】(1)由奇偶性的定義結(jié)合已知求解即可;(2)先判斷,再用單調(diào)性的定義證明即可;(3)由函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解即可【小問1詳解】函數(shù)為定義在上的奇函數(shù),時(shí),.當(dāng)時(shí),,所以,所以時(shí),求的解析式為;【小問2詳解】在上的單調(diào)遞增;證明:設(shè),則,因?yàn)?,所以,,即,所以在上的單調(diào)遞增;【小問3詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的奇函數(shù),且在上的單調(diào)遞增,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,由得,所以,解得,所以的取值范圍是四?填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)19.比較大?。篲__________(填“”或“”).【答案】【解析】【分析】由于,,所以通過比較的大小可得答案【詳解】因?yàn)?,,,所以,即,故答案?0.設(shè)集合,,若,則___________;___________.【答案】①.1②.1【解析】【分析】先求解集合A,B中的不等式,再結(jié)合,列出關(guān)于的等量關(guān)系,即得解【詳解】由題意,集合由于,即或故,否則故集合或故解得故答案為:1,121.設(shè)關(guān)于的不等式的解集為.(1)若中有且只有一個(gè)元素,則的值為___________;(2)若且,則的取值范圍是___________.【答案】①.1②.【解析】【分析】(1)由題意,不等式的解集只有一個(gè)元素,利用開口方向和判別式控制,列出不等關(guān)系,即得解;(2)由且,列出不等關(guān)系,求解即可【詳解】(1)由題意,不等式的解集只有一個(gè)元素故,解得(2)由題意,且故,解得故答案為:1,22.某電熱元件在通電狀態(tài)下僅有兩種模式,在A模式下元件溫度保持不變;從A模式切換到B模式后,在B模式下,元件溫度(單位)與通電累積時(shí)間(即從通電時(shí)刻開始累積計(jì)時(shí),單位)的乘積保持不變;從B模式再切換到A模式后,原件溫度繼續(xù)保持不變……現(xiàn)將該元件通電,初始溫度為,已知在這四個(gè)時(shí)刻下的元件溫度如表所示,而在時(shí)間內(nèi)隨變化的圖像如圖所示.請(qǐng)根據(jù)以上信息推斷:___________;___________.通電累積時(shí)間(單位)13612元件溫度(單位℃)30201510【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)圖像得到分段函數(shù)解析式,得到,,,,解得答案.【詳解】根據(jù)題意知:,,故,,即,,即,,即,故.故答案為:;.五?解答題(本大題共3小題,共30分)23.設(shè)函數(shù).(1)求的最小值,及取得最小值時(shí)的值;(2)已知且,求證:“”是“”的充分必要條件.【答案】(1)當(dāng)時(shí),取得最小值2(2)證明見解析【解析】【分析】(1)化簡后利用基本不等式求解即可,(2)利用充分條件和必要條件的定義證明即可【小問1詳解】,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),所以當(dāng)時(shí),取得最小值2【小問2詳解】證明:充分性:因?yàn)榍遥?,所以,所以,必要性:?dāng)時(shí),,所以因?yàn)椋?,所以,所以“”是“”的充分必要條件24.已知函數(shù),(其中).(1)若對(duì)任意,都有恒成立,求的值;(2)設(shè)關(guān)于x的函數(shù)的最小值為.①若,解不等式,并直接寫出的值;②試判斷是否為的函數(shù)?若是,直接寫出的函數(shù)表達(dá)式(用分段函數(shù)形式表示);若不是,說明理由.【答案
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