河北省秦皇島市中鐵山橋集團中學高三數(shù)學理期末試卷含解析

河北省秦皇島市中鐵山橋集團中學高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)（是虛數(shù)單位），則

(

)

A．

B．

C．

D．

參考答案：A2.（5分）（2015?萬州區(qū)模擬）已知三棱錐的三視圖如圖所示，則它的體積為（）A．B．C．D．參考答案：【考點】：由三視圖求面積、體積．【專題】：計算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】：幾何體是三棱錐，結(jié)合直觀圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)代入棱錐的體積公式計算．【解答】：由三視圖知：幾何體是三棱錐，如圖：其中SO⊥平面ABC，O為BC的中點，BA⊥AC，BA=，AC=1，SO=1，∴幾何體的體積V=×××1×1=．故選：A．【點評】：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征及數(shù)據(jù)所對應的幾何量是解題的關(guān)鍵．3..已知集合，，則（）A. B. C.

D.參考答案：B【分析】集合研究對象是定義域，集合的研究對象是值域，分別求得的范圍，由此得出選項.【詳解】集合研究對象是定義域，即，解得.集合的研究對象是值域，由于，即.所以集合是集合的子集.故選B.【點睛】本小題主要考查集合的研究對象，考查函數(shù)的定義域與函數(shù)的值域，還考查了子集的知識，屬于基礎(chǔ)題.4.已知函數(shù)f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是(

)A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，2] C．（﹣4，4] D．（﹣4，2]參考答案：C【考點】復合函數(shù)的單調(diào)性；二次函數(shù)的性質(zhì)；對數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【專題】計算題．【分析】若函數(shù)f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數(shù)，則x2﹣ax+3a＞0且f（2）＞0，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，我們可得到關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范圍．【解答】解：若函數(shù)f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數(shù)，則當x∈[2，+∞）時，x2﹣ax+3a＞0且函數(shù)f（x）=x2﹣ax+3a為增函數(shù)即，f（2）=4+a＞0解得﹣4＜a≤4故選C【點評】本題考查的知識點是復合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其中根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造關(guān)于a的不等式，是解答本題的關(guān)鍵．5.已知集合;,則中所含元素的個數(shù)為

(）A．

B．

C．

D．參考答案：D6.曲線f（x）=+在（1，a+1）處的切線與直線3x+y=0垂直，則a等于（）A．﹣ B． C． D．參考答案：B【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】方程思想；分析法；導數(shù)的概念及應用；直線與圓．【分析】求導函數(shù)，求得切線的斜率，利用曲線在點P（1，a+1）處的切線與直線3x+y=0互相垂直，即可求得結(jié)論．【解答】解：f（x）=+，可得f′（x）=﹣，當x=1時，f′（x）=﹣a，∵曲線在點P（1，a+1）處的切線與直線3x+y=0互相垂直，∴﹣3?（﹣a）=﹣1，∴a=．故選B．【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查兩直線的位置關(guān)系，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．7.設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，則y＝f(x)的圖象可能是()圖2－1參考答案：B8.已知向量等于A.3 B. C. D.參考答案：B9.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的體積為（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】將三視圖還原為原圖，幾何體是底面為邊長為2的等邊三角形，高為2的三棱錐.根據(jù)等邊三角形外接圓的半徑，計算出外接球的半徑，進而求得外接球的體積.【詳解】將三視圖還原為原圖如圖，可得幾何體是底面為邊長為2的等邊三角形，高為2的三棱錐.等比三角形的外接圓半徑為，所以其外接球的，.則，故選：C.【點睛】本小題主要考查三視圖還原為原圖，考查三棱錐外接球體積有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題.10.已知定義域為，值域為，則A．

B．

C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知x，y滿足約束條件，且z=2x+4y的最小值為6，則常數(shù)k=

．參考答案：﹣3【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程斜截式，由圖得到可行域內(nèi)的最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)后由z的值等于6求得k的值．【解答】解：由約束條件作可行域如圖，圖中以k=0為例，可行域為△ABC及其內(nèi)部區(qū)域，當k＜0，邊界AC下移，當k＞0時，邊界AC上移，均為△ABC及其內(nèi)部區(qū)域．由z=2x+4y，得直線方程，由圖可知，當直線過可行域內(nèi)的點A時，z最?。?lián)立，得A（3，﹣k﹣3）．∴zmin=2×3+4（﹣k﹣3）=﹣4k﹣6=6，解得k=﹣3．故答案為：﹣3．12.（幾何證明選講選做題）如圖，從圓外一點引圓的切線和割線，已知，，圓的半徑為，則圓心到的距離為__________.參考答案：13.已知,且滿足，則__________。參考答案：由，所以,(kz)。14.若函數(shù)的定義域是

.參考答案：15.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A為橢圓E：的左頂點，B、C在橢圓E上，若四邊形OABC為平行四邊形，且∠OAB＝30°，則橢圓E的離心率等于

．參考答案：16.如圖，從圓O外一點P作圓O的割線PAB、PCD，AB是圓O的直徑，若PA=4，PC=5，CD=3，則∠CBD=

參考答案：17.如圖放置的邊長為1的正方形沿軸滾動.設(shè)頂點的軌跡方程是，則在其兩個相鄰零點間的圖象與軸所圍區(qū)域的面積為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題12分）在正三棱柱中，底面三角形ABC的邊長為,側(cè)棱的長為，D為棱的中點。①求證：∥平面②求二面角的大?、矍簏c到平面的距離。

參考答案：向量解法1）略

2）

3）19.（本小題滿分13分）已知函數(shù)，方程在上的解按從小到大的順序排成數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求的表達式．參考答案：（Ⅰ）.

（Ⅱ）.

考點：1.和差倍半的三角函數(shù)；2.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)；3.等差數(shù)列的通項公式；4.“裂項相消法”.20.（本小題滿分14分）已知數(shù)列的前項和記為，且滿足．求數(shù)列的通項公式；設(shè)，記，求證：．參考答案：（Ⅰ）當時，，解得，----------------1分

當時，，，-----------------------------------------------------------------------2分兩式相減得：，即，

------------------------------------------------------------------------------------------5分所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，------------------6分（Ⅱ）證法1：當為偶數(shù)時，----------------------------7分

，--------------------------------10分=；-----------11分

當是奇數(shù)時，.綜上可知.---------------------------------------------------------------------------------14分證法2：當時，，，,不等式顯然成立-------8分當時,要證明，只要證明，只要證明.

--------9分又因為當時，，即故而

-----------------------------------------------12分----------------------------------------------------------------------13分.-------------------------------------------------------------------------------14分21.已知函數(shù)為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）設(shè)g（x）=xf'（x），其中f'（x）為f（x）的導函數(shù)．證明：對任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．參考答案：解：（I）函數(shù)為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），∴=，x∈（0，+∞），由已知，，∴k=1．（II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），設(shè)h（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，+∞），h'（x）=﹣（lnx+2），當x∈（0，e﹣2）時，h'（x）＞0，當x∈（e﹣2，1）時，h'（x）＜0，可得h（x）在x∈（0，e﹣2）時是增函數(shù)，在x∈（e﹣2，1）時是減函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，又h（1）=0，h（e﹣2）＞0，又x趨向于0時，h（x）的函數(shù)值趨向于1∴當0＜x＜1時，h（x）＞0，從而f'（x）＞0，當x＞1時h（x）＜0，從而f'（x）＜0．綜上可知，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）．（III）由（II）可知，當x≥1時，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2，故只需證明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1時成立．當0＜x＜1時，ex＞1，且g（x）＞0，∴．設(shè)F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），則F'（x）=﹣（lnx+2），當x∈（0，e﹣2）時，F(xiàn)'（x）＞0，當x∈（e﹣2，1）時，F(xiàn)'（x）＜0，所以當x=e﹣2時，F(xiàn)（x）取得最大值F（e﹣2）=1+e﹣2．所以g（x）＜F（x）≤1+e﹣2．綜上，對任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．略22.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c,已知．（1）求證：a,b,c成等差數(shù)列；

（2）若，求的值．參考答案：(1)由已知得sinAsinB+sinBsinC=