高中各種函數(shù)圖像畫法與函數(shù)性質(zhì)

創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日一次函數(shù)之答祿夫天創(chuàng)作f間創(chuàng)作時一次函數(shù)k,b符號k>0k<0b>0b<0b=0b>0b<0b=0圖象JLk上J/oxO\x性質(zhì)y隨x的增年夜而增年夜y隨x的增年夜而減小二次函數(shù)a>0a<0圖像xJ-b\211丿)aox=-；2a1界說域(-8,+8)對稱軸bx=一——2a極點坐標'b4ac-b2'2a'4a丿值域'4ac-b2),+8I4a丿'4ac—b2)co14a丿單調(diào)區(qū)間’b)一一8,<2a丿'b)-——,+8.2a丿遞加遞增廠b)一-8,j2a丿'b'-——,+82a丿遞增遞加反比例函數(shù)1、反比例函數(shù)圖象：反比例函數(shù)的圖像屬于以原點為對稱中心的中心對稱的雙曲線反比例函數(shù)圖像中每一象限的每一支曲線會無限接近X軸Y軸但不會與坐標軸相交(KZ0).2、性質(zhì)：當k>0時，圖象分別位于第一、三象限，同一個象限內(nèi)，y隨x的增年夜而減??；當k<0時，圖象分別位于二、四象限，同一個象限內(nèi)，y隨x的增年夜而增年夜.k>0時，函數(shù)在x<0上同為減函數(shù)、在x>0上同為減函數(shù)；k<0時，函數(shù)在x〈0上為增函數(shù)、在x〉0上同為增函數(shù).界說域為x#0；值域為y工0.因為在y=k/x(k#0)中,x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數(shù)的圖象不成能與x軸相交，也不成能與y軸相交.在一個反比例函數(shù)圖象上任取兩點P，Q，過點P，Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為S1，S2則S1=S2=|K|反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸y=xy=-x(即第一三，二四象限角平分線)，對稱中心是坐標原點.指數(shù)函數(shù)y二ax(a>0,a#1)注意：1?指數(shù)函數(shù)對外形要求嚴格，前系數(shù)要為1，否則不能為創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日指數(shù)函數(shù).指數(shù)函數(shù)的界說僅是形式界說.指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)OVaV1<4）匕足増閑數(shù)OVaV1<4）匕足増閑數(shù)<11/I：R上足減祿i數(shù)>1Vt1￥=白t/1)y=；1/象一-(OJ)0（Q世乂」或:R€2）值:（O4規(guī)律：1.當兩個指數(shù)函數(shù)中的a互為倒數(shù)時,兩個函數(shù)關于y軸對稱,但這兩個函數(shù)都不具有奇偶性.當a>l時，底數(shù)越年夜，圖像上升的越快，在y軸的右側(cè)，圖像越靠近y軸；當0VaV1時，底數(shù)越小，圖像下降的越快，在y軸的左側(cè)，圖像越靠近y軸.在y軸右邊“底年夜圖高”；在y軸左邊“底年夜圖低”.四字口訣：“年夜增小減”.即：當a>1時，圖像在R上是增函數(shù)；當0VaV1時，圖像在R上是減函數(shù).指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)比力冪式年夜小的方法：當?shù)讛?shù)相同時，則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比力

創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日當?shù)讛?shù)中含有字母時要注意分類討論；當?shù)讛?shù)分歧,指數(shù)也分歧時,則需要引入中間量進行比力；對多個數(shù)進行比力,可用0或1作為中間量進行比力底數(shù)的平移：在指數(shù)上加上一個數(shù),圖像會向左平移；減去一個數(shù),圖像會向右平移.在f(X)后加上一個數(shù)，圖像會向上平移；減去一個數(shù)，圖像會向下平移.對數(shù)函數(shù)由于指數(shù)函數(shù)y二ax在界說域(-8,+8)上是單調(diào)函數(shù)，所以它存在反函數(shù)，我們把指數(shù)函數(shù)y二ax(a>0,a#1)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)，并記為y=logx(a>0,a#1).a因為指數(shù)函數(shù)y二ax的界說域為(-8,+8),值域為(0,+8),所以對數(shù)函數(shù)y=logx的界說域為(0,+8),值域為(-8,+8).a對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),因此它們的圖像對稱于直線y=x.據(jù)此即可以畫出對數(shù)函數(shù)的圖像,并推知它的性質(zhì).為了研究對數(shù)函數(shù)y=logx(a>0,a#1)的性質(zhì)，我們在同一a直角坐標系中作出函數(shù)y=lOg2x，y=lOg10x，y=lOg10x，y=lOg1x，y=lOgWX的草圖創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日(KO)圖象a>1y2麗xw.〉f)(KO)圖象a>1y2麗xw.〉f)(l)x>0:(Z0)+*aV1TT1⑵當x=l時，y=0⑶當x>l時，y>0OVxVl時，yVO(4)在(0,+*)上是增函數(shù)⑶當x>l時，yVOOVxV1時，y>0(4)在(0,+*)上是減函數(shù)設y「logxy=logx其中a>1，b>1(或0VaVlOVbVl)當x>l時“底年夜圖低”即若a>b則y>y12比力對數(shù)年夜小的經(jīng)常使用方法有：若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進行判斷.若底數(shù)為同一字母，則按對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對底數(shù)進行分類討論.若底數(shù)分歧、真數(shù)相同，則可用換底公式化為同底再進行比力.若底數(shù)、真數(shù)都不相同，則常借助1、0、-1等中間量進行比力.名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一般形式y(tǒng)=ax(a>0，aH1)y=logx(a>0，aH1)a界說域(一^，+OO)(0，+x)值域(0，+x)(—oo，+^)

函當a>1時，當a>1時數(shù)1(x>0)|>0(x>1)值ax<=1(x=0)logx<=0(x=1)變<1(x<0)a<0(x<1)化、、情當OVaVl時，當OVaVl時，況<1(x>0)<0(x>1)ax<=1(x=0)logx<=0(x=1)[>1(x<0)卜0(x<1)單調(diào)性當a>1時，ax是增函數(shù)；當a>1時，logx是增函當0VaV1時，ax是減函數(shù).”》a數(shù)；當0VaV1時，logx是減,?a函數(shù).圖像y=ax的圖像與y=logx的圖像關于直線y=x對稱.冪函數(shù)冪函數(shù)y=xn隨著n的分歧，界說域、值域城市發(fā)生變動，圖像都過（1,1）點_11乜）上是增函數(shù).a"2,一人一2時，冪函數(shù)圖像不外原點且在（0,乜）上是減函a乜）上是增函數(shù).a"2,一人一2時，冪函數(shù)圖像不外原點且在（0,乜）上是減函數(shù)．n<0IVIVIVOxxn<0IVIVIVOxxOxy=xy二x2y二x31y=x2y二x-1界說域RRR{x1x>0}{x1x豐0}奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第I象限的增減性在第I象限單調(diào)遞增在第I象限單調(diào)遞增在第I象限單調(diào)遞增在第I象限單調(diào)遞增在第I象限單調(diào)遞加幕函數(shù)y=xa（xgR,a是常數(shù)）的2--1--圖像在第一象限的分布規(guī)律是:①所有幕函數(shù)y=爐（xgR,a是常數(shù)）的圖像都過點（1，1）;②那時a二1，2,3,2函數(shù)y二xa的圖像都過原點（0,0）；那時a二1,y二xa的的圖像在第一象限是第一象限的平分線（如c2）；那時a二2,3,y二xa的的圖像在第一象限是“凹型”曲線（如c1）_1a二2時，y二xa的的圖像在第一象限是“凸型”曲線（如c3a=一1時，y=xa的的圖像不外原點（0，0）,且在第一象限是“下滑”曲線（如c4）那時a>0,幕函數(shù)y=xa有下列性質(zhì)：(1)圖象都通過點(0,0),(1,1)；在第一象限內(nèi)都是增函數(shù)；在第一象限內(nèi)，?>1時，圖象是向下凸的；0<?<1時，圖象是向上凸的；在第一象限內(nèi)，過點(1,1)后，圖象向右上方無限伸展.那時a<0,幕函數(shù)y=爐有下列性質(zhì)：圖象都通過點(1,1)；在第一象限內(nèi)都是減函數(shù)，圖象是向下凸的；在第一象限內(nèi)，圖象向上與y軸無限地接近；向右無限地與x軸無限地接近；在第一象限內(nèi)，過點