2018年數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題11.5幾何證明（講）理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE15學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題11。5幾何證明【最新考綱解讀】【考點(diǎn)深度剖析】1.江蘇近幾年的高考,幾何證明選講主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)定理、圓的切線的判定與性質(zhì)定理、圓周角定理、弦切角定理、切割線定理和圓的內(nèi)接四邊形問題等。。2。平行截割定理是平行線等分線段定理的一般情形，是研究相似形最重要和最基本的理論,其證明體現(xiàn)了化歸的思想,把它應(yīng)用在三角形上就得到了定理的一個(gè)重要推論,這個(gè)推論是判定三角形相似的理論基礎(chǔ).本講的內(nèi)容在初中已經(jīng)通過觀察、實(shí)驗(yàn)和操作的方法初步了解，這里不僅是對(duì)初中知識(shí)的深化，更側(cè)重于邏輯推理與抽象思維.【經(jīng)典例題精析】考點(diǎn)1：相似三角形【1-1】如圖，F(xiàn)為?ABCD的邊AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，DF＝AD，BF分別交DC，AC于G，E兩點(diǎn)，EF＝16，GF＝12，則BE的長(zhǎng)為________．【答案】8【解析】由DF＝AD，AB∥CD知BG＝GF＝12，又EF＝16知EG＝4，故BE＝8.【1-2】在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，∠BAC＝∠ADC，AC＝8，BC＝16，則CD的長(zhǎng)為________．【答案】4【1—3】如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，DE∥BC且eq\f（AD,DB）＝2，那么△ADE與四邊形DBCE的面積比是________．【答案】eq\f（4,5)【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f（S△ADE，S△ABC)＝eq\f(AD2，AB2）。∵eq\f(AD，DB)＝2，∴eq\f（AD,AB)＝eq\f（2,3），∴eq\f(S△ADE，S△ABC)＝eq\f（4,9)，∴eq\f(S△ADE，S四邊形DBCE）＝eq\f（4,5）.【1-4】如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB于D點(diǎn),BC2＝BD·AB，則∠ACB＝______?！敬鸢浮?0°【解析】在△ABC與△CBD中,由BC2＝BD·AB，得eq\f（BC,BD)＝eq\f(AB,BC），且∠B＝∠B，所以△ABC∽△CBD.則∠ACB＝∠CDB＝90°?！?-5】如圖，在?ABCD中，E是BC上一點(diǎn),BE∶EC＝2∶3，AE交BD于F，則BF∶FD等于________．【答案】eq\f（2，5）【基礎(chǔ)知識(shí)】1．平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等．推論1：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊．推論2：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰．2．平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．3．相似三角形的判定與性質(zhì)(1)判定定理：內(nèi)容判定定理1兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似判定定理2兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等的兩個(gè)三角形相似判定定理3三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似(2）性質(zhì)定理：內(nèi)容性質(zhì)定理1相似三角形對(duì)應(yīng)高、中線、角平分線和它們周長(zhǎng)的比都等于相似比性質(zhì)定理2相似三角形的面積比等于相似比的平方結(jié)論相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比,外接圓的面積比等于相似比的平方射影定理直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)；斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng)【思想方法】。1．判定兩個(gè)三角形相似的常規(guī)思路（1）先找兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等；（2)若只能找到一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，則判斷相等的角的兩夾邊是否對(duì)應(yīng)成比例；（3)若找不到角相等，就判斷三邊是否對(duì)應(yīng)成比例，否則考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的“傳遞性”．2．借助圖形判斷三角形相似的方法（1）有平行線的可圍繞平行線找相似；（2）有公共角或相等角的可圍繞角做文章，再找其他相等的角或?qū)?yīng)邊成比例；（3)有公共邊的可將圖形旋轉(zhuǎn)，觀察其特征，找出相等的角或成比例的對(duì)應(yīng)邊．【溫馨提醒】1．判定兩個(gè)三角形相似要注意結(jié)合圖形特征靈活選擇判定定理，特別要注意對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊．2．相似三角形的性質(zhì)可用來(lái)證明線段成比例、角相等；也可間接證明線段相等．考點(diǎn)2：直線與圓【2—1】如圖所示，在四邊形ABCP中，線段AP與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，已知AB＝AC且A,B，C，P四點(diǎn)共圓．（1)求證:eq\f（PC,AC）＝eq\f（PD，BD）;（2)若AC＝4，求AP·AD的值．【答案】(1)詳見解析(2）1616?！?-2】如圖，EB，EC是⊙O的兩條切線，B，C是切點(diǎn)，A，D是⊙O上兩點(diǎn)，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，則∠BAD等于________．【答案】99【2-3】如圖，PA是⊙O的切線,切點(diǎn)為A，過PA的中點(diǎn)M作割線交⊙O于點(diǎn)B和C，若∠BMP＝110°，∠BPC＝30°,則∠MPB＝________?！敬鸢浮?0°【解析】由切割線定理得，MA2＝MB·MC，又MA＝MP，故MP2＝MB·MC，即eq\f(MB，MP)＝eq\f(MP，MC）,又∠BMP＝∠PMC。故△BMP∽△PMC,所以∠MPB＝∠MCP，所以30°＋∠MPB＋∠MCP＝∠AMB＝180°－110°＝70°，所以∠MPB＝20°.【2—4】如圖，過圓O外一點(diǎn)P分別作圓的切線和割線交圓于點(diǎn)A，點(diǎn)B,且PB＝7，C是圓上一點(diǎn)，使得BC＝5，∠BAC＝∠APB,則AB＝________?！敬鸢浮縠q\r（35）【解析】由PA為圓O的切線可得，∠PAB＝∠ACB，又∠BAC＝∠APB，于是△APB∽△CAB,所以eq\f(PB，AB）＝eq\f（AB,BC）,而PB＝7,BC＝5,故AB2＝PB·BC＝7×5＝35,即AB＝eq\r（35).【2—5】如圖，△ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，且BD∥AC.過點(diǎn)A作圓的切線與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AD與BC交于點(diǎn)F。若AB＝AC，AE＝6,BD＝5，則線段CF的長(zhǎng)為________．【答案】eq\f(8，3）【基礎(chǔ)知識(shí)】1．圓周角定理(1）圓周角定理圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．（2)圓心角定理圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)．推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等．推論2：半圓(或直徑）所對(duì)的圓周角是直角;90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．2．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理(1）性質(zhì)定理1：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角．(2）判定判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ),那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角,那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．3．圓的切線性質(zhì)及判定定理（1)性質(zhì)：性質(zhì)定理:圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．(2)判定定理:經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．(3）弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角．4．與圓有關(guān)的比例線段（1）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等．(2)割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等．(3)切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．(4）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．【思想方法】1．與圓有關(guān)的輔助線的五種作法（1）有弦，作弦心距．（2)有直徑，作直徑所對(duì)的圓周角．（3）有切點(diǎn)，作過切點(diǎn)的半徑．(4）兩圓相交,作公共弦．(5)兩圓相切，作公切線．2．證明四點(diǎn)共圓的常用方法（1）利用圓內(nèi)接四邊形的判定定理，證明四點(diǎn)組成的四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；（2）證明它的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角;（3)證明四點(diǎn)到同一點(diǎn)的距離相等．當(dāng)證明四點(diǎn)共圓以后，圓的各種性質(zhì)都可以得到應(yīng)用．3．圓冪定理與圓周角、弦切角聯(lián)合應(yīng)用時(shí)，要注意找相等的角，找相似三角形，從而得出線段的比，由于圓冪定理涉及圓中線段的數(shù)量計(jì)算，所以應(yīng)注意代數(shù)法在解題中的應(yīng)用．【溫馨提醒】1．圓周角定理及其推論與弦切角