2021全國高三（上）期中數(shù)學匯編：拋物線及其方程

第14頁/共14頁2021全國高三（上）期中數(shù)學匯編拋物線及其方程一、單選題1．已知拋物線：的焦點為，準線為，點在上，直線交軸于點，若，則點到準線的距離為（

）A．6 B．5 C．4 D．32．拋物線上的一點到其焦點的距離等于（

）A． B． C． D．3．已知雙曲線和拋物線有相同的焦點，兩曲線相交于兩點，若（為雙曲線的左焦點）為直角三角形，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．4．拋物線的準線方程是A． B． C． D．5．已知點是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為該拋物線的焦點，拋物線上縱坐標為1的點P滿足，則（

）A． B．4 C． D．2二、多選題6．在平面直角坐標系中，已知為拋物線的焦點，點在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，，則（

）A． B．直線過點C．的面積最小值是 D．與面積之和的最小值是7．已知點是拋物線上一動點，則（

）A．C的焦點坐標為（2，0） B．C的準線方程為C． D．的最小值為三、填空題8．已知為坐標原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，若，則的準線方程為______.9．若拋物線y2=4x上的點M到焦點的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是_______．10．若點是拋物線上一動點，是拋物線的焦點，點，則的最小值為______．11．若拋物線上一點P到焦點的距離為5，則點P的縱坐標為________．12．已知拋物線上一點，則點A到拋物線焦點的距離為______________.13．拋物線（）上點到其準線的距離為1，則a的值為_________．14．已知拋物線，過點作拋物線的切線為切點，則_________．15．若拋物線上的一點到坐標原點的距離為，則點到該拋物線焦點的距離為______.16．已知拋物線C:y2=4x的焦點F和準線l，過點F的直線交l于點A，與拋物線的一個交點為B，且=，則|AB|=__________.17．拋物線過點，則點P到拋物線準線的距離為___________．18．頂點在坐標原點，準線為的拋物線的標準方程為________．19．過拋物線C：y2＝4x的焦點F的動直線交C于A，B兩點，線段AB的中點為N，點P（12，4）．當|NA|+|NP|的值最小時，點N的橫坐標為____．四、解答題20．已知點在拋物線上，過點的直線與拋物線C有兩個不同的交點A、B，且直線PA交軸于M，直線PB交軸于N.(1)求拋物線C的方程；(2)求直線的斜率的取值范圍；(3)設O為原點，，求證：為定值.21．已知是拋物線的焦點，點是拋物線上橫坐標為2的點，且．(1)求拋物線的方程；(2)設直線交拋物線于兩點，若，且弦的中點在圓上，求實數(shù)的取值范圍．22．已知拋物線：（）的焦點為，為上的動點，為在動直線（）上的投影.當為等邊三角形時，其面積為.(1)求的方程；(2)設為原點，過點的直線與相切，且與橢圓交于，兩點，直線與交于點.試問：是否存在，使得為的中點？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.23．已知點，，直線的斜率之積為，設點的軌跡為曲線.(1)求曲線的軌跡方程；(2)若拋物線與曲線交于點，設，求面積最大時的值.

參考答案1．B【分析】過點作軸的垂線，垂足為，進而根據(jù)得，再結(jié)合拋物線定義即可得答案.【詳解】解：如圖，過點作軸的垂線，垂足為，由題知，即因為，所以所以，所以點到準線的距離為.故選：B2．C【分析】由點的坐標求得參數(shù)，再由焦半徑公式得結(jié)論．【詳解】由題意，解得，所以，故選：C．3．B【分析】由焦點坐標可求得拋物線方程，根據(jù)對稱性可求得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立可求得點坐標，根據(jù)雙曲線定義可求得，結(jié)合可求得離心率.【詳解】是拋物線的焦點，，解得：，拋物線方程為：；由對稱性可知：，，設為第一象限內(nèi)的點，則，直線方程為，將代入拋物線方程可得，由雙曲線定義可知：，解得：，又，雙曲線離心率.故選：B.4．A【詳解】拋物線,滿足，所以，則.所以準線方程是.故選A.5．C【分析】借助拋物線定義和兩點間距離公式求解即可．【詳解】由題意，，點，故，，．故選：C．6．BCD【分析】設：，聯(lián)立方程后得關于的一元二次方程，由韋達定理寫出，，再由，即可得，再結(jié)合，求解出，從而判斷AB，再根據(jù)三角形面積公式表示出與的面積，由基本不等式可判斷CD.【詳解】設：，，消可得.，得，，∴，則或∵，∴，∴，，故A錯；：過，故B對；設定點，，當且僅當時，取等號，故C對；又，不妨設，又，，當且僅當時，取等號，故D對.故選：BCD.【點睛】解決直線與拋物線的綜合問題時，要注意：（1）注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、拋物線的條件；（2）強化有關直線與拋物線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．7．BCD【分析】根據(jù)拋物線方程直接求出焦點和準線，即可判斷A、B；利用拋物線的定義即可判斷選項C；根據(jù)拋物線方程消元，得到構(gòu)造基本不等式求出最小值.【詳解】拋物線，所以焦點坐標為，C的準線方程為，故A錯誤；B正確；根據(jù)拋物線的定義可得P到焦點的距離等于P到準線的距離，即.故C正確；因為，所以，（當且僅當，即時，等號成立.）故的最小值為.故D正確.故選：BCD.8．【分析】先用坐標表示，再根據(jù)向量垂直坐標表示列方程，解得，即得結(jié)果.【詳解】拋物線：()的焦點,∵P為上一點，與軸垂直，所以P的橫坐標為，代入拋物線方程求得P的縱坐標為,不妨設,因為Q為軸上一點，且，所以Q在F的右側(cè)，又，因為，所以,，所以的準線方程為故答案為：.【點睛】利用向量數(shù)量積處理垂直關系是本題關鍵.9．【詳解】試題分析：.【考點】拋物線的定義．【思路點睛】當題目中出現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離時，一般都會想到轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到準線的距離．解答本題時轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到準線的距離，進而可得點到軸的距離．10．4【分析】由拋物線的定義可得，等于點到拋物線準線的距離，則可得的最小值為點到拋物線準線的距離，即可得出答案【詳解】拋物線的焦點為，準線為，過作準線的垂線，交準線于由拋物線的定義可得，等于點到拋物線準線的距離，所以所以的最小值為4，故答案為：411．3【分析】利用拋物線的定義求解.【詳解】拋物線的焦點為準線方程為：，設，因為拋物線上一點P到焦點的距離為5，由拋物線的定義得：，解得，故答案為：312．【分析】先根據(jù)拋物線的方程求出準線方程，進而利用點A的縱坐標求得到點A準線的距離，進而根據(jù)拋物線的定義求得答案.【詳解】解：由題意得：拋物線的準線方程為點A到準線的距離為根據(jù)拋物線的定義可知點A與拋物線的距離就是點A與拋物線準線的距離點A與拋物線焦點的距離為故答案為：13．【分析】求出拋物線的準線，結(jié)合題意即可求解【詳解】拋物線即，可得準線方程，拋物線上點到其準線的距離為1，可得，可得.故答案為：14．【分析】先設出切線方程與拋物線方程聯(lián)立，令可求出切線斜率；再求出切線方程及切點坐標；然后即可求出.【詳解】切線過點，且交拋物線于兩點，切線斜率存在，設切線斜率為,則過的切線方程為,聯(lián)立，則，令，，切線的方程分別為：和，聯(lián)立，則，，，同理可知;,,.故答案為：15．2【分析】求得點的坐標，將點到該拋物線焦點的距離轉(zhuǎn)化為點到拋物線的準線的距離即可．【詳解】解：設點，，，，或（舍去），，到拋物線的準線的距離，點到該拋物線焦點的距離等于點到拋物線的準線的距離，點到該拋物線焦點的距離為：．故答案為：2.16．【解析】求出拋物線的焦點與準線，設A(-1，a)，B(m，n)，由題意以及拋物線的定義可得m+1=，從而由|AB|=即可求解.【詳解】拋物線C:y2=4x的焦點F(1，0)和準線l:x=-1，設A(-1，a)，B(x，y)，∵=3，∴，∴x+1=，|AB|=.故答案為：17．5【分析】根據(jù)點為拋物線上一點可求出的值，即可知拋物線的準線方程，從而求出所求．【詳解】解：點為拋物線上一點，，解得，拋物線方程為準線方程為，點到拋物線的準線的距離為．故答案為：5．18．【分析】由拋物線的標準方程求得，即可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得拋物線的標準方程為：,由，得，所以所求拋物線的方程為．故答案為：.19．9【分析】根據(jù)橢圓定義問題可轉(zhuǎn)化為|MN|+|NP|的最小值問題，數(shù)形結(jié)合可得M，N，P三點共線時有最小值.【詳解】分別過點A，B，N作準線的垂線，垂足為A1，B1，M，如圖所示，由拋物線的定義知，|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，∴|AB|＝|AF|+|BF|＝|AA1|+|BB1|＝2|MN|，∴|NA|+|NP|＝|AB|+|NP|＝|MN|+|NP|，故原問題可轉(zhuǎn)化為|MN|+|NP|的最小值問題，當M，N，P三點共線時，|MN|+|NP|取得最小值，此時yN＝y(tǒng)P＝4，設A（x1，y1），B（x2，y2），則，兩式相減得，＝＝＝，即直線AB的斜率為，又直線AB經(jīng)過點F（1，0），∴直線AB的方程為y＝（x﹣1），把代入，得解得＝9，∴當|NA|+|NP|的值最小時，點N的橫坐標為9．故答案為：920．(1)(2)(3)定值為2【分析】(1)將點P的坐標代入即可求出拋物線C的方程.(2)設出直線l方程，聯(lián)立直線l與拋物線C的方程，借助判別式即可計算得解.(3)利用給定的向量關系，用點M，N的縱坐標表示和，結(jié)合(2)的信息并借助韋達定理即可計算作答.(1)因點在拋物線上，則，解得，所以拋物線C的方程為.(2)令直線的斜率為k，則直線方程為：，由消去y并整理得：，因直線與拋物線C有兩個不同的交點A、B，則，解得且，又直線PA，PB與軸相交，而點(1，-2)在拋物線C上，則直線不能過點(1，-2)，否則PA或PB之一平行于y軸，矛盾，因此，綜上得：，且，所以直線的斜率的取值范圍.(3)設點，，，而，則，同理，設，由(2)知，直線方程：，即，則，令，得，同理，于是得，所以為定值2.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．21．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義，將點P到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，進而求得答案；（2）設出直線l，并代入拋物線方程化簡，通過根與系數(shù)的關系得到和線段的中點公式，進而將中點坐標代入圓的方程，然后將所得式子化簡，最后通過函數(shù)求值域的方法求得答案.(1)拋物線的漸近線為，由拋物線的定義可知，，則拋物線的方程為：．(2)設直線的方程為，，．將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，得，于是，，，且，化簡得①．設弦的中點為，則，將點的坐標代入圓的方程，得，且，由①代入消元，消去，得．令，則，于是，解得或．若當時，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以隨單調(diào)遞增（增+增），故．若當時，令，則．因為，所以，即單調(diào)遞減，故.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．【點睛】的下一步進行換元，可以簡化式子，這一步的處理非常重要；然后解得或之后的處理一定要注意，如果通過不等式不好處理，那么一定要從函數(shù)的角度來處理范圍問題．22．(1)；(2)存在，，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)的面積可求出等邊三角形的邊長為，再由，求出的值即可得的方程；（2）設，則，可得，由導數(shù)的幾何意義可得，設，，中點，由點差法可得，，因此可求出即可.（1）設，，因為為等邊三角形時，其面積為，所以，解得，即，由拋物線定義可知，y=t為拋物線的準線，由題意可知，所以，所以的方程；（2）設，則在動直線上的投影，當時，，由可得，所以切線的斜率為，設，，線段的中點，由，可得，所以，整理可得：，即，所以，可得，又因為，所以當時，，此時三點共線，滿足為的中點，綜上，存在，使得點為的中點恒成立，.【點睛】方法點睛：對于中點弦問題常用