2021-2022學(xué)年山東省棗莊市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年山東省棗莊市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

-l+i

z=------

1.已知復(fù)數(shù)-i,貝!|z=（）

A.-1-iB.-l+iC.1-iD.l+i

B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z,即可得到其共枕復(fù)數(shù);

z-T+i_(7+i)i_1i

z------------———1-1—

【詳解】解：T-，所以z=-l+i.

故選：B

2.平行四邊形NBC。中，E為邊8c的中點，E在邊0C上且。尸=2FC,則

EF=()

AAB+-AD二萬+，力

A.32B.32

2—1—

^AB-^-AD-AB——AD

C.32D.32

A

【分析】利用平面向量的加法法可得出而關(guān)于的表達(dá)式.

EF=EC+CF=-BC+-CD=--AB+-Ab

2332

故選：A.

3.拋擲兩個質(zhì)地均勻的骰子，則“拋擲的兩個骰子的點數(shù)之和是6"的概率為（）

1』j_

A.7B.TTC.36D.12

C

【分析】先求出總的基本事件，列舉出點數(shù)之和是6的基本事件，再由古典概率求解

即可.

【詳解】拋擲兩個質(zhì)地均勻的骰子，總的基本事件有6x6=36個，其中點數(shù)之和是6

的有。5），（2,4）,（3,3）,（4,2）,（51）共個，

5

則“拋擲的兩個骰子的點數(shù)之和是6"的概率為正.

故選：C.

4.用斜二測畫法畫一個邊長為2的正三角形的直觀圖，則直觀圖的面積是：

下>石R

A.2B.4c.4D,2

C

【詳解】分析：先根據(jù)直觀圖畫法得底不變，為2,再研究高，最后根據(jù)三角形面積

公式求結(jié)果.

/r1y/2_y/b

73x—x—=—

詳解：因為根據(jù)直觀圖畫法得底不變，為2,高為224,

_x2x___=___f

所以直觀圖的面積是244

選C.

點睛：本題考查直觀圖畫法，考查基本求解能力.

5.在平面直角坐標(biāo)系x°y中，*，1)，8(0，-2),點。滿足

反商=2灰//方，則點C的坐標(biāo)為()

A.段)B.8)C.A

A

【分析】設(shè)C(XJ),則由℃°"=2,℃〃力8列方程組可求出工,卜的值，從而可得點

C的坐標(biāo)

【詳解】設(shè)C(x，V),由近=("),

因為4(1,1),8(0,-2),所以豆=(1,1),礪=(0,-2),茄=(-1,-3),

因為反京=2灰//亞

x+y=2X~2

<xy3

所以IT-3,解得「2,

fl,2)

所以點C的坐標(biāo)為122人

故選：A

6.若復(fù)數(shù)4=3-必=-37*3=2+而/4="后在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在同一個圓

上，則正實數(shù)〃的值為()

A.6B.舊C.&D.

D

【分析】根據(jù)復(fù)平面內(nèi)各點的坐標(biāo)，結(jié)合圓方程的兒何求法求解圓心，再根據(jù)半徑列

式求解即可

【詳解】由題意，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為

4（3,-1）/2（-3,-1）/3（2,由圓的性質(zhì)可得，圓心。在乎2的中垂線

x=0上，設(shè)°（°」），則舊不7=.+（指,故產(chǎn)+2/+10=產(chǎn)_2.+10,

解得》=°,故°（Q°）,圓的半徑，=J'+（T）2=曬,故J"+2）=回,故正實

數(shù)。的值為近

故選：D

7.高一某班參加“紅五月校園合唱比賽”，10位評委的打分如下：&5,8,7,8,6,9,

7,7,5,則（）

A.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7,眾數(shù)為75

B.該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為6

C.如果再增加一位評委給該班也打7分，則該班得分的方差變小

D.評判該班合唱水平的高低可以使用這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)，也可以使用這組

數(shù)據(jù)的眾數(shù)

C

【分析】首先將數(shù)據(jù)從小到大排列，再根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差的定義計算

可得；

【詳解】解：這組數(shù)據(jù)從小到大排列為5、5、6、7、7、7、8、8、8、9,

—（5x2+6+7x3+8x3+9）=7

故平均數(shù)為10,眾數(shù)為7和8,中位數(shù)為7,故A錯誤；

方差為款5-7戶2+（6-7）2+（8-7力3+（9-7）2-1.6

7+8_75

因為10x60%=6,所以第60百分位數(shù)為2一,，故B錯誤；

如果再增加一位評委給該班也打7分，則平均分不變也為7,

—r（5-7）2x2+（6-7）2+（8-7）2x3+（9-7）21=—<1.6

此時的方差為11LJ11，故C正確：

對于D：因為眾數(shù)有兩個，故不能用眾數(shù)評判該班合唱水平的高低，故D錯誤；

故選：C

Z-ACB--BCcosB+—\+ACcos\A——

8.在ARBC中，AB=2,12,則I(>)<6J的值為

()

A.?B.6C.2D.2

B

【分析】利用兩角和與差的余弦公式、正弦定理化簡可得所求代數(shù)式的值.

【詳解】在AZBC中，設(shè)內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,

則A/8C的外接圓直徑為sinC,貝ijc=2rsinC,

ab

由正弦定理sinNsinB可得4sinB=bsin4,

—cos5--sin5]+/>&s/+Lsin/

6Ccos[B+.)+4Ccos(4一看=a

2222

皂

x2尸sin(4+5)

2

=—x2rsinC=—c=V3

22

故選：B.

二、多選題

9.已知4=2-匕為復(fù)數(shù)，則()

A.存在唯一的Z2,使%=5

B.存在唯一的Z2,使2仔2=5

C.存在唯一的Z2,使Z|+Z2=4

D.存在唯一的Z2,使2必2+4+句=9

BCD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)判斷A,再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則計算，即可判斷

B、C^D；

【詳解】解：對于A：因為4=2-i,所以㈤二四朽了二石，

又|斗21=〔訃團(tuán)=5,所以㈤=,,此時復(fù)數(shù)Z2有無數(shù)多個，故A錯誤；

555(2+i)

?z2=-=-------r=7--------=2+1

對于B：4=2T且2=5,所以42-1(2-i)(2+i),故B正確；

對于C：4=2-i且Z|+Z2=4,所以Z2=4-Z|=4-（2-i）=2+i,故c正確；

對于D：4=2—i且ZR2+4+Z2=9,所以

__7jH_（7+i）（3+i）_21+7i+3i+i?=?.

Z===+

^-=2-i+l-（3-i）（3+i）—15—\故口正確；

故選：BCD

10.袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中3個白球、2個黑球，從中不放回地

依次隨機(jī)摸出2個球，則（）

A.“至少有一個白球”與“至少有一個黑球”是互斥事件

B.“都是白球”與“都是黑球”是互斥事件

C.“至少有一個白球''與"都是黑球”是對立事件

D.“第一次摸到的是臼球”與“第二次摸到的是黑球”相互獨立

BC

【分析】根據(jù)互斥，對立事件與相互獨立事件的定義逐個判斷即可

【詳解】對A,“至少有一個白球”與“至少有一個黑球”均包含“一個白球一個黑球”的情

況，故A錯誤：

對B,“都是白球”與“都是黑球”不能同時發(fā)生，且不是對立事件，故為互斥事件，故B

正確；

對C,“至少有一個白球”與“都是黑球”是對立事件，故C正確；

P（J）=-

對D,事件A“第一次摸到的是白球”的概率5,事件8"第二次摸到的是黑球”

32212323

的概率尸（8）=?丁差又尸（匈=英=歷，因為尸（眼HP⑷尸⑻，故

“第一次摸到的是白球''與"第二次摸到的是黑球“不相互獨立，故D錯誤；

故選：BC

11.設(shè)°"=。，4B=B,BC=c,CO=d,|a|=4,,|=2,|C|=1,則（）

A.d=-（a+b+c）B.同的取值范圍是I］，7］

C.工力的最大值是7D.的最小值是-7

ABD

【分析】根據(jù)行了的加法運(yùn)算法則即可判斷A；根據(jù)￡，瓦工同向時，河=卜+”+，1取得

最大值，￡了反向，坂［同向時，向=卜+'+，1取得最小值，即可判斷B：根據(jù)工友聯(lián)同

向時,取得最小值，同向,反向時,展方取得最大值，即可判斷CD.

【詳解】解：因為況=￡,在=5,BC=c,

所以Z+B+入沅=-2,即2=-（a+5+c）,故A正確；

同叩+國,當(dāng)同向時，口卜F+i+q取得最大值,為7,

當(dāng)￡3反向，瓦工同向時，同=卜+%+4取得最小值，為］,

所以W的取值范圍是［L7］,故B正確；

因為％=-（￡+/+“

當(dāng)￡區(qū)）同向時，則工，2反向，且同取得最大值7,

所以此時32取得最小值-7,故D正確；

當(dāng)同向,反向時,2=_（a+1+c）與展同向,

此時同=5,取得最大值5,故C錯誤.

故選：ABD.

12.我國有著豐富悠久的“印章文化”，古時候的印章一般用貴重的金屬或玉石制成，

本是官員或私人簽署文件時代表身份的信物，后因其獨特的文化內(nèi)涵，也被作為裝飾

物來使用.圖1是明清時期的一個金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)可以看作是一個正四

棱柱和一個正四棱錐組成的幾何體；如圖2,已知正四棱柱和正四棱錐的高相等，且

底面邊長均為2,若該幾何體的所有頂點都在球。的表面上，則（）

A.正四棱柱和正四棱錐的高均為5

B.正四棱柱和正四棱錐組成的幾何體的表面積為12+40

C.球。的表面積為9兀

D.正四棱錐的側(cè)面、側(cè)棱與其底面所成的角分別為,則夕

BC

【分析】根據(jù)正四棱柱和正四棱錐的幾何的性質(zhì)，結(jié)合球的對稱性、球的表面積公式、

線面角、二面角的定義逐一判斷即可.

【詳解】設(shè)正四棱柱和正四棱錐的高為小，球0的半徑為"，

根據(jù)正四棱柱和球的對稱性可知：該幾何體的外接球的球心為正四棱柱的中心,

球的直徑2廠即為正四棱柱的體對角線，

lh=r

且正四棱柱的體心到正四棱錐的頂點的距離3―〃，

(2r)2=22+22+h2n4/-2=8+—r2r=—

根據(jù)正四棱柱的體對角線公式得92,

、9

4兀/2=4兀?一=9兀

因此〃=1,所求球的表面積為4,故選項A不正確，C正確；

￡G=J12+(-X2)2=6

在直角三角形EFG中，V2,

所以正四棱柱和正四棱錐組成的兒何體的表面積為：

4x—x2xV2+2x2+4x2xI=12+4收

2,所以選項B正確，

tana=tanZ.EGF=-=1

如圖所示：1,

1y/2

tanP=tanZ.FHE=---------=——

2

-2xVFT,F顯然有tana>ta,n〃na>/?〃

所以選項D不正確，

13.棣莫佛(Demoivre,"67~1754)是出生于法國的數(shù)學(xué)家.由于在數(shù)學(xué)上成就卓著,

他被選為柏林科學(xué)院和巴黎科學(xué)院的外籍院士.棣莫佛定理為：["cose+isine)]”

=rn(cosnO+isinnO),這里若[rfcosg+isine)]'=-16,則

2

【分析】直接使用棣莫佛定理，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的定義進(jìn)行求解即可.

［詳解］由［"cos6+isin=-16=>r4(cos4/9+isin46^)=-16

/cos46=—16

于是有b4sin46=0,因為9,所以有廠>0,

于是有：46=E/eZ),

當(dāng)上為偶數(shù)時，顯然有，=T6,該方程無實根，

當(dāng)當(dāng)人為奇數(shù)時，顯然有一/=-6,而，,OnrnZ,

故2

14.軸截面是邊長為2的正三角形的圓錐的側(cè)面積

2乃

【分析】根據(jù)圓錐的軸截面是正三角形，得到圓錐底面半徑和母線長，再利用側(cè)面積

公式易得結(jié)果.

【詳解】圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，則易知圓錐底面半徑r=1,母線長

1=2,結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式$="/=2%，

故2乃

15.高一某班有男生28人，女生21人，現(xiàn)用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從該

班全體同學(xué)中抽取出一個容量為7的樣本，己知抽出的男生的平均身高為176cm,抽

出的女生的平均身高為162cm,估計班全體同學(xué)的平均身高是cm.

170

【分析】由題意知在7個樣本中，男生4人，女生3人，進(jìn)而得到全體同學(xué)平均身高

-(176x4+162x3)=170

為7

7x-28—=47x^—=3

【詳解】根據(jù)題意，抽出來的男生人數(shù)28+21,女生人數(shù)28+21

?1(176x4+162x3)=170

所以全體同學(xué)平均身高為7

故答案為:170

16.棱長為1的正四面體的中心為°，S是該正四面體表面的點構(gòu)成的集合，

7={°€S|°°Wr},若集合T恰有4個元素，則，?的值為(注：正四面體,

是由四個全等正三角形圍成的空間封閉圖形)

【分析】根據(jù)題意知此時「為該正四面體的內(nèi)切球半徑，然后利用等體積法可得.

【詳解】有題意可知，此時「為該正四面體的內(nèi)切球半徑，

如圖，記點4在底面BCD的投影為

cBO.=----=—

由正四面體的性質(zhì)可知，Q為△BCD的外心，由正弦定理得2sin6003

AO[=[AB?-BO；=與

所以

V=A0\=4xT^SCD，r

因為SJ

AO,y/6

-

所以=4r,即'.412

國

故12

四、解答題

AB=2,AC=4,cosABAC=-,D

17.在A/8C中，4是線段8c的靠近點8的三等分點.

⑴用福配表示而；

(2)求力。的長度.

—2—1—

AD=-AB+-AC

(1)33

3亞

⑵3

—>2--1—?

AD=-AB+-AC

【分析】（1）結(jié)合圖形由向量的線性分解知識可以得到33.

（2）利用向量的模長計算線段的長度，將向量平方結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算可得結(jié)果.

麗，阮

【詳解】(1)由題意知3,

AD=JB+JD=AB+-BC^AB+-(AC+-AC

所以3333

1—22""1—一）4——21——24.—‘‘一,

AD=（-AB+-AC）2=-AB-h-AC+—ABAC

（2）33999

2V10

=-X22+-X42+-X2X4X-=—AD=

99949,所以3

18.如圖，在正三棱柱/sc-44G中，"8=2,"4=2也,°為棱4c的中點.

⑴證明：物〃平面8G°；

⑵求8G與平面44CC所成角的大小.

(1)證明見解析；

⑵3?！?

【分析】(1)證明瓦，原題即得證;

(2)證明N8G。即為8c與平面所成的角，解三角形求出/8CQ=30。即得

解.

【詳解】(1)證明：連接8c交8c于后，連接?！?

在平行四邊形8℃內(nèi)中，可得E為8c的中點.又因為。為棱/C的中點,

所以DE為△陽。的中位線，所以O(shè)E〃典.

又月用《平面8CQ,￡＞后￡=平面8。。，所以/瓦〃平面

(2)解：因為A/8C為等邊三角形，

又。為棱"C的中點，所以

因為三棱柱ABC-A^為正棱柱，所以"4'平面ABC.

又5Ou平面/5C,所以8。，＜4.

又ZCu平面"4GC,"4u平面44]G。，ACC\AA}=A

所以8。,平面/&GC.所以ZBC.D即為5G與平面AA.C.C所成的角.

BD=N8sin60°=2x—=應(yīng)

在△/8c中，2.

在RtABCq中,BCX=/BC?CC；=標(biāo)記標(biāo)=273

在Rt^\BDC}中BC]2^32

所以/2G。=30°.所以8G與平面所成角的大小為30。.

19.2022年4月16日中國神舟十三號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，這標(biāo)志

著此次載人飛行任務(wù)取得圓滿成功.在太空停留期間，航天員們開展了兩次“天宮課堂”

,在空間站進(jìn)行太空授課，極大的激發(fā)了廣大中學(xué)生對航天知識的興趣.為此，某班

組織了一次“航空知識答題競賽”活動，競賽規(guī)則是：兩人一組，兩人分別從"個題中

不放回地依次隨機(jī)選出2個題回答，若兩人答對題數(shù)合計不少于3題，則稱這個小組為

“優(yōu)秀小組現(xiàn)甲乙兩位同學(xué)報名組成一組，己知〃個題中甲同學(xué)能答對的題有2個、

乙同學(xué)答對每個題的概率均為5,并且甲、乙兩人選題過程及答題結(jié)果互不影響.若

甲同學(xué)選出的兩個題均能答對的概率為3.求:

⑴〃；

（2）甲乙二人獲“優(yōu)秀小組”的概率.

(I)3

⑵12

【分析】（1）計算出樣本點的總數(shù)，結(jié)合古典概型的概率公式可得出關(guān)于〃的等式，

解之即可；

（2）設(shè)40=1，2）表示“甲答對的題數(shù)為1，，，4（'=1，2）表示“乙答對的題數(shù)為i?,c表

示“甲、乙二人獲得優(yōu)秀小組”，利用獨立事件和互斥事件的概率公式可求得P（G的值.

【詳解】（1）解：從〃個題中不放回地依次隨機(jī)選出2個題，共有"（〃一1）個樣本點.

2x11

------=一

由古典概型的概率公式可得"（〃7）3,解得〃=3或〃=-2（舍去）.

(2)解：設(shè)40=L2)表示“甲答對的題數(shù)為i，，,B,0=L2)表示“乙答對的題數(shù)為i，，,

C表示“甲、乙二人獲得優(yōu)秀小組”.

P(4)=2X1+1X2=-p(4)=P(Z)=i-P(/i)=i--=-

由古典概型得33x23或'〃<"―233

「⑻=2$；

由事件的獨立性,

由題意，c=也”也.

而事件44、4與、4號兩兩互斥，事件4與4。=1,2)相互獨立，

尸(c)=p(44u4與口出與)=尸(44)+P(4與)+P(A2B2)

=P(4)尸⑻+P(4)P⑻+尸⑷尸⑸=2+2+衿

5

所以，甲、乙二人獲“優(yōu)秀小組”的概率為12.

20.已知./，c分別是A/8C三個內(nèi)角48,C的對邊，

且acosC+y/iasinC-6-2c=0

⑴求A；

(2)若a=2G，A/8C的面積為百，求6,c.

A,=——24

⑴3

(2)6=2,c=2

【分析】(1)由正弦定理將條件統(tǒng)一到角，再利用輔助角公式結(jié)合角的范圍得到

.2/r

A=——

3；

(2)利用面積公式先得到從=4,再利用余弦定理得到12=〃+/+A，聯(lián)立方程組

解得6=2,c=2.

［詳解］⑴由“osC+品sinC-b_2c=0及正弦定理得

sinAcosC+百sin/sinC—sin8—2sinC=0

sinJcosC+VJsin/sinC-sin(/+C)=2sinC,

sinAcosC+V3sinJsinC-sinAcosC-cosAsinC=2sinC,

所以J5sin4sinC-cosAsinC=2sinC又sinCwO,所以sin%-cos力=2

2sin(4-工］=2sinf——?=1

所以I6J,所以I6J

兀An5冗,乃7T.24

----<4-----<—A-----——A=——

又0<A<7T9所以666,所以62,所以3.

SIBC=—ftcsin—=73

⑵由題意，23,所以bc=4①

2j22I21

a=b+c-zbccos——、、

由余弦定理，得3,得12=從+°2+歷②.

由(1)(2),解得6=2,c=2.

21.某學(xué)校1000名學(xué)生參加信息技術(shù)學(xué)分認(rèn)定，用按性別比例分層隨機(jī)抽樣的方法從

(1)求圖中a的值，并估計全校學(xué)生中成績不低于70分的學(xué)生人數(shù)；

￡

(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)不低于70的男生占樣本中全部男生人數(shù)的且樣本中分?jǐn)?shù)不低于

70的男生與女生人數(shù)之比為4：3,求總體中男生人數(shù)和女生人數(shù)之比；

(3)估計該校1000名學(xué)生成績的平均值.

⑴a=0.004,350

⑵3:2

(3)64.3

【分析】(1)結(jié)合概率之和等于1可以求出。的值，進(jìn)而可以求出樣本中成績不低于

70分的頻率，從而可以得出結(jié)果；

(2)分別求出樣本中男生人數(shù)與女生人數(shù)，即可得出結(jié)果；

(3)利用頻率分布直方圖中求平均值的公式即可求出結(jié)果.

［詳解］⑴(0001+Q+0905+0.011x2+0.02x2+0.028)x10=1=0.004

樣本中成績不低于70分的頻率為。004+0.011+0.02)x10=0.35.

估計全校學(xué)生中成績不低于70分的學(xué)生人數(shù)為1000x035=350.

(2)由題意可知，樣本中分?jǐn)?shù)不低于70的學(xué)生人數(shù)為100x0.35=35.

4

35x-=20

所以樣本中分?jǐn)?shù)不低于70的男生人數(shù)為7.

又因為樣本中分?jǐn)?shù)不低于70的男生占樣本中全部男生人數(shù)的3,

所以樣本中全部男生人數(shù)為60,女生人數(shù)為1°0-60=40.

所以樣本中男生人數(shù)與女生人數(shù)之比為60:40=3:2.

從而，總體中男生和女生人數(shù)之比為3：2.

(3)估計該校1000名學(xué)生成績的平均值