2020小學(xué)奧數(shù)讀本-數(shù)論之位值原理

數(shù)論是什么？可以理解為是關(guān)于整數(shù)的一些結(jié)論、論斷、定論、推論，比如：一個(gè)數(shù)的末尾數(shù)如果能被2或者5整除，那么這個(gè)數(shù)就能被或者5整除，偶數(shù)加偶數(shù)一定等于偶數(shù)，奇數(shù)乘以奇數(shù)一定等于奇數(shù)，如果兩個(gè)數(shù)除以同一個(gè)數(shù)得到的余數(shù)相同，那么這兩個(gè)數(shù)的差一定能被這個(gè)數(shù)整除，……，等等。數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位是很獨(dú)特的，享有“數(shù)學(xué)王子”之稱的德國(guó)著名數(shù)學(xué)家高斯就曾說(shuō)過(guò)“如果說(shuō)數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，那么數(shù)論就是數(shù)學(xué)中的皇冠”，歷史上的一些懸而未決的數(shù)論疑難問(wèn)題，常被人們稱為“皇冠上的明珠”，而“摘取”這些明珠的人往往會(huì)獲得極其崇高的榮譽(yù)并名載史冊(cè)。數(shù)論是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，位值原理（有的書稱為位值原則）屬于數(shù)論的一部分。位值原理是什么咱們暫且不用理會(huì)，咱們從一道例題開始。0）組成的所有的三位數(shù)的和是1332，（年·小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)賽試）eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,析)試題中只有一個(gè)數(shù)字是什么樣的三位數(shù)是未知的么要計(jì)算出每位數(shù)字嗎？信息似乎太少了能不是的在于試題給出的信息個(gè)不同數(shù)組成的所有三位數(shù)字的和是”、“三位數(shù)中最大數(shù)”，主要是這兩個(gè)條件，你能從這兩條信息中提煉出什么？可能因此要得出三位數(shù)字之間的關(guān)系，進(jìn)而要做一些推導(dǎo)才能得到答案。從題目得信息中理出解題頭緒需要靠你平時(shí)的訓(xùn)練積累一般的數(shù)論試題都需要做些推導(dǎo)和推理才能得出所要的答案。__________________________________________________eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,程)__________假設(shè)這三個(gè)不為零的不同的數(shù)分別是a據(jù)題目描述所有的三位數(shù)的和abc+ab____________________+bac+bca+cab+cba=1332。即（100×a+10×b+c）+（100×a+10×c+b）+（100×b+10×a+c）+（100×b+10×c+a）+（100×c+10×a+b）+（100×c+10×b+a進(jìn)一步222×a+222×b+222×c=1332222×（a+b+c）=1332所以a+b+c=6因?yàn)閍、c各不相同，所以a只能是1、2這三個(gè)數(shù)，那么組成的最大三位數(shù)就是321。eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,考)

字、b、c所組成的三位數(shù)用abc在示+10×b+c，簡(jiǎn)潔的寫法++abcd=（1000×a++++++e3試題中只有一個(gè)數(shù)字通過(guò)計(jì)算推導(dǎo)和推理得出了正確答案那么我們會(huì)進(jìn)一步地想，題目中出現(xiàn)的是“三個(gè)不同數(shù)組成的所有三位數(shù)字的和是”什么是呢？因?yàn)槲覀冏詈蟮贸隽巳齻€(gè)不同數(shù)組成的所有三位數(shù)字的和是可以用（a+b+）來(lái)表示，而1332可以被除，從而可以得出a+b+c的值，就是知道了三位數(shù)字的和，那我們會(huì)想：如果是二位數(shù)或者四位數(shù)有什么變化嗎？是不是可以換成其他的數(shù)呢？①0）組成的所有的二位數(shù)的和是44，這____解答假設(shè)這二個(gè)不為零的不同的數(shù)分別是a根據(jù)題目描述所有的二位數(shù)的和就是ab____+ba=44。即（10×a+b）+（10×b+a）=44進(jìn)一步11×a+11×b=4411×（a+b）=44所以a+b=4因?yàn)閍、b各不相同，所以a、b只能是1、3這二個(gè)數(shù)，那么組成的最大二位數(shù)就是。想一想：a，a不同且不為0，那么推理出a、b組成的最大兩位數(shù)是31，如果a+b等于其他數(shù)呢？比如a+b=7（就是兩位數(shù)的和是最大的兩位數(shù)是多少呢？答案是，如果a+b=9（就是兩位數(shù)的和是99么最大數(shù)就是81，想一想為什么？變換試題：②是66，這答案：最大的兩位數(shù)是51。還可以變換：③、7、8答案：根據(jù)前面我們得到的公式就是222×（5+7+8）÷6=740。是不是思維活躍了一些？繼續(xù)變換。④、c是1～9中3個(gè)不的6個(gè)無(wú)重復(fù)（+b+c）答案：222。⑤1中取出3個(gè)數(shù)字，用這三個(gè)數(shù)字可組成個(gè)沒有果這個(gè)三位數(shù)之和2220么這6個(gè)三？小數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題庫(kù)試題）解答：假設(shè)這三個(gè)數(shù)字是a、b、c那么根據(jù)前面的描述，（a+b+c）=2220那么a+b+c=10，所以6個(gè)三位數(shù)中最小的可能是，最大的是721。⑥11所學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題庫(kù)試題）_____解答：假設(shè)這三位數(shù)abc，那么就有100×a+10×b+c=（a+b+c，進(jìn)一步（一般稱為這一步叫化簡(jiǎn)（b10×c）÷89。因?yàn)閍、c是1～9中的數(shù)字，那么a不等于，可能等于1或者2，排除2的可能因?yàn)閎+10×c不可能超過(guò)，所以a等于1，也就是+10×c等于89，所以b=9，c=8，綜合結(jié)論：a=1，b=9，c=8。我們來(lái)看是四位數(shù)的情況。⑦為0）是66660，eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,析)通過(guò)前面的三位數(shù)字的情況我們知道了解決這類問(wèn)題的手段和方式四位數(shù)字相比較兩位數(shù)和三位數(shù)不過(guò)就是復(fù)雜一些而已，方法是相通的，一般情況下就是要得出各個(gè)位上的數(shù)之間的關(guān)系，再應(yīng)用一些數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)推理，僅此而已。eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,程)假設(shè)這四個(gè)不為零的不同的數(shù)分別是a、c、d，那么以a打頭的四位數(shù)就有6個(gè)（排列組合別是__________________________________________就是abc、adc、acd、ad、adc、adcb，也就是a打頭的四位數(shù)的所有四位數(shù)的和是（1000×a+100×b++）+（1000×a+100×b+10×c+）+（1000×a+100×c+10×bd）++100×c10×db）+（1000×a+100×d10×b+c）+（1000×a+100×d+10×c+b）=6000×a+222×b++222×d那么我們依照規(guī)律，以b打頭的所有四位數(shù)的和一定是6000×b+222×a+222×c+。以c打頭的所有四位數(shù)的和一定是6000×c+222×a+222×b+。以d打頭的所有四位數(shù)的和一定是6000×d+222×a+222×b+。依照題目意思，就有（6000×a+222×b+222×c+222×d）++222×a+222×c+222×d）+（6000×c+222×a222×b+222×d+（6000×d+222×a+222×b222×c）=6666×a+6666×b+6666×c+6666×d=666606666×（a+b+c+d）=66660a+b+c+d=10因?yàn)閍、b、d各不相同，所以a、b只能是1、2、3、4這三個(gè)數(shù)，那么組成的大三位數(shù)就是4321。eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,考)我們依據(jù)以a打頭的四位數(shù)組成為6000×a+++222×d，推理出b、c打頭的四位數(shù)組成，沒有再一一畫圖和計(jì)算，是依照合理推理的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，這種能力需要練習(xí)和加強(qiáng)。根據(jù)前面的說(shuō)明，66660是不是可以換成其他的數(shù)字？后面的試題都是我根據(jù)原題變換得來(lái)的只要掌握了基本方法類似的題目都可以據(jù)推導(dǎo)和推理出來(lái)。想過(guò)是五位數(shù)字的情況嗎？五位數(shù)的情況比較復(fù)雜了，想一想就可以了5位數(shù)字有120種組合，但解題的方法是相同的?？戳松厦娴脑囶}和解答，你可能比較迷惑，這些知識(shí)在課本上沒有出現(xiàn)，老師似乎也沒有講過(guò)，的確，這些知識(shí)屬于奧數(shù)的范疇，但解題需要的推理知識(shí)卻是四年級(jí)及以上小學(xué)生可以具備的，也是應(yīng)該具備的。這些知識(shí)點(diǎn)就是位值原理以及它的衍生。所表示的數(shù)也不同也5__________5個(gè)一5個(gè)十示個(gè)百，等等。1010個(gè)一，叫做“十”，10個(gè)，718表7個(gè)百，個(gè)一，即++8abc示a個(gè)b個(gè)十c個(gè)一a可以1～9中0，b和是我們繼續(xù)通過(guò)例題來(lái)學(xué)習(xí)：：一個(gè)兩1，是77eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,析)題目主要提供了兩條信息：一是個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字1；二是交換位置后原數(shù)和新數(shù)相加的和是77，一般情況下，兩個(gè)未知數(shù)，兩條信息，足以求出這兩個(gè)未知數(shù)。eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,程)________假設(shè)原數(shù)是ab，那么新數(shù)就是ba。____原ab+b____新ba+a________根據(jù)題目描述ab+ba=77即10×a+b+10×b+a=7711×（a+b）=77a+b=77分解開有三種組合，7=1+6，7=2+5，7=3+4，____因?yàn)樵瓟?shù)中的個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字小1所以ab=43。eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,考)上面的解答很簡(jiǎn)單，還有一個(gè)快速解法。eq\o\ac(○,另)eq\o\ac(○,解)

在我們的知識(shí)儲(chǔ)備里有：十位數(shù)字比各位數(shù)字1，交換后的結(jié)果一定是原數(shù)比新數(shù)大9，所以新數(shù)加9就等于原數(shù)，也可以是新數(shù)原數(shù)-9。根據(jù)題意：因?yàn)橐簿褪羌此?/p>

原數(shù)+新數(shù)=77原數(shù)+（原數(shù)-9）=77原數(shù)×2=77+9=86原數(shù)=43很簡(jiǎn)單直接吧？！是不是對(duì)“十位數(shù)字比各位數(shù)字大1，交換后的結(jié)果一定是原數(shù)比新數(shù)大9”不理解？我們可以舉例：98（89（67（56（45（34（12這也是可以證明的：假設(shè)十位數(shù)上的數(shù)字是a，那么個(gè)位數(shù)字就是-1原數(shù)=10×a+（a-1）=11×a-1新數(shù)=10×（a-1）+a=11×a-10那么

原數(shù)-新數(shù)=（11×a-1）-（11×a-10）=9對(duì)于上面的這道題，我們做了兩種解法，如果我們做過(guò)數(shù)字謎的試題（參看算式謎專題這個(gè)時(shí)候可能也會(huì)聯(lián)想到用下面的方法來(lái)做。eq\o\ac(○,另)eq\o\ac(○,解)

____假設(shè)原數(shù)是ab，那么就是兩個(gè)數(shù)字之和的尾數(shù)等于7，只有（、6據(jù)題意，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字小1，那么只有（、4）的組合了、9）要進(jìn)位不合適，答案就是。上面的練習(xí)和拓展思考讓我們知道了位值原理（位值原則知道和習(xí)慣了不同位數(shù)表示方法，這些知識(shí)點(diǎn)有廣泛的應(yīng)用，當(dāng)然也要進(jìn)一步結(jié)合其他的知識(shí)點(diǎn)來(lái)解題，這些知識(shí)點(diǎn)需要日常多訓(xùn)練來(lái)鞏固和加強(qiáng)。我們來(lái)看略微復(fù)雜一點(diǎn)的例子：、2、3、4、5、64個(gè)數(shù)的各個(gè)并且個(gè)數(shù)于100如果

2002年南京小學(xué)生智力數(shù)學(xué)冬令營(yíng)試）eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,析)這個(gè)題目有7個(gè)未知數(shù)最后要得到一個(gè)兩位數(shù)看似不好清理頭緒但依照我們前面的解題方式，肯定是要根據(jù)題目描述來(lái)得到明確的表達(dá)式或者等式，再通過(guò)位值原理來(lái)推導(dǎo)。題目中的信息點(diǎn)：七個(gè)數(shù)字，各不相同，但是都是1、2、3、4、6、7中某個(gè)數(shù)字；三個(gè)兩位數(shù)、一個(gè)一位數(shù)；4個(gè)數(shù)的和等于100；最大的兩位數(shù)盡可能大。解題中都要把這些信息點(diǎn)準(zhǔn)確地用數(shù)學(xué)方式來(lái)表達(dá)。eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,程)____________假設(shè)組成的四個(gè)數(shù)字分別是ab、cd、ef、g，____________那么ab+cd+ef+g=100（10×a+b）+（10×e+d）+（10×e+f）+g=10010×（a+c+e）+(b+d+f+g)=100①?gòu)纳厦娴牡仁街形覀兛梢酝评沓?b+d+f+g)必須是10的倍數(shù)，因?yàn)閍、b、c、d、e、f、g是1、2、3、4、5、7這個(gè)7個(gè)數(shù)字，a+b+c+d+e+f+g=1+2+3+4+5+6+7=28②那么(b+d+f+可能大于28，也就只有兩種可能，要么等于10，要么你等于20，當(dāng)(b+d+f+g)等于10時(shí)，根據(jù)a+b+c+d+e+f+g=28推出a+b+c=18而根據(jù)前面的10×（a+c+e）+(b+d+f+g)=100推出（a+c+e）=9顯然是不符合的。當(dāng)(b+d+f+g)等于20時(shí)，根據(jù)a+b+c+d+e+f+g=28推出a+b+c=8而根據(jù)前面的10×（a+c+e）+(b+d+f+g)=100推出（a+c+e）=8兩者是相符合的。所以我們推導(dǎo)出：+c+e=8+d+f+g=20因?yàn)閍、b、d、e、f是1、2、3、4、6、7這個(gè)7個(gè)數(shù)字，并且a、e是十位數(shù)上的數(shù)字，所以只能是a、e分別是1、2、5，個(gè)位數(shù)上的b、d、f、g別是3、4、6、7，最后我們得出結(jié)論，最大的兩位數(shù)是。eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,考)

據(jù)10×（ac++(b++f+=(b+d+f+g)必須是10的據(jù)+b+cd+e+f+g=(b+d+f+于10，要么等于20導(dǎo)b+d+f+g)的結(jié)果。

規(guī)范寫法：在實(shí)際書寫時(shí)，比如有10×（a+c+e+(b+d+f+g)=100，我們后面要引用它往在它的后面做個(gè)標(biāo)記①么后面要用的時(shí)候就可以寫成據(jù)①可以推導(dǎo)出……，而不用像我們?cè)谏厦娼忸}中再次書寫一遍等式，想一想，如果解題過(guò)程中要引用多次，那是不是要重復(fù)書寫很多次呢？！從這道試題的解答中可以看出數(shù)論的試題給出的條件信息比較隱晦解題過(guò)程也就從這些條件信息中一步一步地推演，其中用枚舉法和排除法是個(gè)不錯(cuò)的解題方式。是1～9中不同的用a、b、c共可以組成個(gè)沒有重復(fù)的中5個(gè)數(shù)字2234，eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,析)還記得開始我們做過(guò)的試題嗎？a、b、c組成的個(gè)不同的數(shù)字可以表示為（a++c個(gè)數(shù)字之和是知道了，總和可能是個(gè)范圍值，要做推理。eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,程)__________三個(gè)不為零的不同的數(shù)分別是a據(jù)題目描述所有的三位數(shù)的和就是abc+ab+____________________bac+bca+cab+cba。即（100×a+10×b+c）+（100×a+10×c+b）+（100×b+10×a+c）+（100×b+10×c+a）+（100×c+10×a+b）+（100×c+10×b+a進(jìn)一步222×a+222×b+222×c222×（a+b+c）因?yàn)檫@六個(gè)數(shù)字中5個(gè)數(shù)字的和是2234，那么（a+b+）一定大于2234，也就是222×（a+b+c）>2234，得出a+b+c>10。還有一個(gè)三位數(shù)就算它是987開頭，那么應(yīng)該有（a+b++987，也就是222×（a+b+c）<3221，得出a+b+c<15。綜合以上推導(dǎo)，a+b+c可能是11、12、13。如果a+b+c=11，那么根222×11-2234=208，得出a、b、c三個(gè)數(shù)是2、0、8，a+b+c=10，不符合。如果a+b+c=12，那么根222×12-2234=430，得出a、b、c三個(gè)數(shù)是4、3、0，a+b+c=7，不符合。如果a+b+c=13，那么根222×13-2234=652，得出a、b、c三個(gè)數(shù)是6、5、2，a+b+c=13，符合題意。如果a+b+c=14，那么根222×14-2234=874，得出a、b、c三個(gè)數(shù)是8、7、4，a+b+c=19，不符合。所以，另外一個(gè)數(shù)字是652。eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,考)這道試題，通過(guò)解答我們知道在確定a+b+范的情況下通過(guò)枚舉來(lái)找出合適答案，其實(shí)我們也可以用另外的方法來(lái)做。eq\o\ac(○,另)eq\o\ac(○,解)

因?yàn)橛胊、b、c組成的6個(gè)三位數(shù)之和是的倍數(shù)，如果a+b+的值等于10，222×10=2220，2220<2234另外一個(gè)三位數(shù)肯定大于0，所以ab+c值必須大于10；如果a+b+的值等于15，222×15=3330，3330-2234=1096不是三位數(shù)，所以a+b+c的值必須小15，綜合所得+b+c>10a+b+c<15，那么a+b+c只能取11、12、13、14，再一一驗(yàn)證，這也是一種解題方法。通過(guò)余數(shù)來(lái)做更直接一些：eq\o\ac(○,另)eq\o\ac(○,解)

因?yàn)橛胊、c組成的6個(gè)三位數(shù)之和是222的倍數(shù)，而2234÷222=10……14，222-，也就是說(shuō)剩下那個(gè)數(shù)要么等208，要么就是的倍數(shù)+208，經(jīng)過(guò)證222×2+208=652符合題意，所以另外一個(gè)數(shù)字是。記得以前我們?cè)谧龀ㄟ\(yùn)算的時(shí)候，老師教過(guò)我們：3整被3“知其然，更其所以然在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，對(duì)自己有這樣的明確要求能充分凸顯你的獨(dú)立和優(yōu)秀?，F(xiàn)在我們有了一些知識(shí)積累了，能不能證明這個(gè)原理？這里我只做兩位數(shù)和三位數(shù)的證明多位數(shù)的原理是一樣的當(dāng)然也可以采用我們下用到______________________________________________________的證明方式。________假設(shè)兩位數(shù)為ab，那么ab=10×a++a+b，如果+b被3整除的話，那____么3×3×a+a+b也一定能被3整除，從而ab一定能被整除。____________假設(shè)三位數(shù)abc=100×a+++9×ba+b++3×3×b+a+b+，如果+b+c能被3整除的話，那么100×a+10×b+c就能被整______除，也就是abc能被3整除。發(fā)現(xiàn)了嗎？對(duì)于9也一樣，因?yàn)椋篲___==9×a+a+b______abc+9×b+a+b+c=9×（11×a+b）+a+b+c也就是說(shuō)如果一個(gè)數(shù)，它的各位數(shù)字之和能被整除的話，這個(gè)數(shù)一定能被9整除。注意這個(gè)結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立如果一個(gè)數(shù)能被或者9整除那么這個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和也能被3或者9整除。大eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,析)這道試題給定的信息比較明確，原數(shù)的反序數(shù)比它大8802，這可以表示為一個(gè)等式，這是解題的入口，正確表達(dá)后進(jìn)行推理即可。eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,程)假設(shè)這個(gè)四位數(shù)是bcd，根據(jù)題意abcd-dcba=8802也即

（1000×d+100×c+10×b+a）-（1000×a×100×b+10×c+d）=8802___________________________展開999×d+90×c-999×a-90×b=8802化簡(jiǎn)999×（d-a）+90×（c-b）=8802111×（d-a）+10×（c-b）=978111×（d-a）=978-10×（c-b）到這里就需要推導(dǎo)了，顯然111×（d-a）只能是111的整數(shù)倍，-b能是0～9數(shù)字，10×（c-b）就只能是0、10、20、30、40、60、70、80、90-10×（c-b）等于111的整數(shù)倍，用枚舉方法試驗(yàn)，-b=9滿足，從而得出c=9，b=0。也就是111×（d-a）=978–90=888d–a=8d=9，a=1或者d=8，a=0，如果a=0，那么就不是四位數(shù)了，顯然只能是，a=1。最后的答案就是1099。eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,考)在得到111×-a）+10×（c-b）=978后，我們又是通過(guò)枚舉法結(jié)合驗(yàn)證（一一排除不和題意的答案）來(lái)得出最后答案的。通過(guò)尾數(shù)判定可以更簡(jiǎn)潔一些。因?yàn)?11×（d-）+10×（c-b）=978，10×（c-）的尾數(shù)為0，那么111×（d-a）的尾數(shù)為8，所以d-a=8，代入得出c-b=9，從而得出最后答案1099上面的解法是前面我們一直沿用的慣常方法記得前面我們做過(guò)的算式謎的解法嗎？這個(gè)題目也可以這樣來(lái)做。eq\o\ac(○,另)eq\o\ac(○,解)

假設(shè)abcd，它的反序數(shù)就是dcba根據(jù)題意，有如下的算式成立：d–a=8，那么d=9、a=1或者d=8、a=0而a=0不和題意，那么、a=1。__________________________________注意最后是a–d=2，要向前面的借位。因c–bc=10×c+b-10×b-c=9×（c-b）=80+1=81所以c-b=9，那么c=9，b=1最后結(jié)果：這個(gè)四位數(shù)是1099。果將eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,析)記得我們前面做的那個(gè)反序數(shù)的題目嗎？?jī)傻李}差不多。eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,程)假設(shè)這個(gè)三位數(shù)的三個(gè)數(shù)字分別是a、b、c，并且假設(shè)最大，c最小。根據(jù)題意最大三位數(shù)與最小三位數(shù)的差等于abc-cba=100×a++c-（100×c+10×b+a）=99×-c）原來(lái)的三位數(shù)是什么，這里不好進(jìn)行判斷，進(jìn)行到這里似乎不好做了。我們可以用枚舉法來(lái)做。原來(lái)的三位數(shù)等于99×（a-就是99的倍數(shù)，即198、297、396、594、693、792、891，經(jīng)過(guò)試驗(yàn)，只有滿足題意，所以這個(gè)三位數(shù)是495。eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,考)到這里，我們總結(jié)一下前面的所學(xué)。解位值原理的試題，一般情況下都要用到如下的知識(shí)：_____a展開+10×b+c，其中不等0，________________________________________abc展開是+10×b+c中不等于0，abcd=+100×b++d中a不等于0，數(shù)abcde=（10000×a++++ea不等0，如100設(shè)、an

、a、a、a，nn1321=

a×10n

n-1

+an-1

n-2

+……+a×103

2

+a2+a

1：如果一個(gè)數(shù)，它的各位數(shù)字之和能9整除被整除：假設(shè)一個(gè)整數(shù)為

，那么=

a×10n

n-1

+an-2+…+a+an-132+a==

1由上可以看出a+an

n

+……+a+a+32

1

能被9整除便能被9整除。被3整除數(shù)的情況有什么不同嗎？你能寫出證明嗎？暫時(shí)看不明白也沒有關(guān)系，有點(diǎn)不適應(yīng)上面的寫法可以理解，小學(xué)六年級(jí)就可以看懂了，但越早適應(yīng)和理解對(duì)以后深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)越有利。__________________________________________________________________在解題過(guò)程中，我們根據(jù)位值原理做了一些推導(dǎo)，如何根據(jù)運(yùn)算得到的算式來(lái)做一些推理和推論，這個(gè)需要在以后的解題過(guò)程中不斷總結(jié)和豐富，需要積累經(jīng)驗(yàn)值。同時(shí)，我們應(yīng)用了很多知識(shí)和方法，有排列組合知識(shí)、分解質(zhì)因數(shù)、用到枚舉法、把試題轉(zhuǎn)換成算式謎來(lái)做等，我們學(xué)習(xí)了一些典型試題的不同解法。我們知道了多題一解，即多樣的位值原理的試題我們應(yīng)用了差不多同樣的方式方法；也了解了一題多解，對(duì)于同樣的試題我們切換其它的做題方式。我們來(lái)做一道有點(diǎn)繞的試題：：的2007eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,析)我們肯定要先根據(jù)位值原理把條件等式先列出來(lái)但預(yù)感會(huì)與前面做過(guò)的試題不一樣因?yàn)樗赡懿缓煤?jiǎn)化。先列等式假設(shè)這個(gè)五位數(shù)是abcde，根題意有abcde=（10000×a+1000×b+100×c+10×d+e）=2007×（a+b+c+d+e到這里還需要繼續(xù)像前面做的那樣化簡(jiǎn)嗎？如果繼續(xù)化簡(jiǎn)，那么就有7993×a-1007×b-1907×c-1997×d=0這就亂了思緒了，似乎不好進(jìn)行下去了。那就不能這么做簡(jiǎn)化！改換思路。還是從題目給出的條件中精煉出有突破口的信息，為什么是2007？為什么不是其它的數(shù)呢？！這有什么樣的價(jià)值提取呢？！出題者給出這個(gè)數(shù)字肯定是有用意的這是要考察做題者哪方面的知識(shí)呢？可以揣摩出題者的意圖因?yàn)?007=9×223這有什么表示嗎？在數(shù)的整除性里我們了解到整除性的傳遞原則，知道abcde肯定也是9的倍數(shù)，記得我們例題的題后思考嗎？那里提到的論證：如果一______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________個(gè)數(shù)的各個(gè)位數(shù)之和能被整除那么這個(gè)數(shù)就能被9整除反過(guò)來(lái)也成立也就是說(shuō)bcde是能被9整除的，這就是解題的入口了。eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,程)假設(shè)這個(gè)五位數(shù)是abcde，根題意有abcde=（10000×a+1000×b+100×c+10×d+e）=2007×（a+b+c+d+e因?yàn)?007=9×223，abcde能被9整除，也即a+b+c+d+9的倍數(shù)，又因?yàn)?、c、d、e～9之間的自然數(shù)，是間的自然數(shù)，所以+b+c+d+e大值是45，也就是說(shuō)a+b+c+d+e只能是9、18、27、45。如果a+b+c+d+e=9，那么abcde=2007×9=18063，經(jīng)過(guò)驗(yàn)算不合題意。如果a+b+c+d+e=18，那么abcde=2007×18=36126，經(jīng)過(guò)驗(yàn)算符合題意。如果a+b+c+d+e=27，那么abcde=2007×27=54189，經(jīng)過(guò)驗(yàn)算符合題意。如果a+b+c+d+e=36，那么abcde=2007×36=72252，經(jīng)過(guò)驗(yàn)算不合題意。如果a+b+c+d+e=45，那么a=2007×45=90315，經(jīng)過(guò)驗(yàn)算不合題意。所以，這個(gè)五位數(shù)是36126或者54189。eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,考)在這道試題的解答中我們沒有沿用以前的做法去化簡(jiǎn)及時(shí)轉(zhuǎn)變解決問(wèn)題的方式從特定數(shù)字出發(fā)，在這個(gè)數(shù)字上挖掘出了解題的突破點(diǎn)。這道題涉及了數(shù)的分解質(zhì)因數(shù)和數(shù)的整除性知識(shí)，后面我們有專題的學(xué)習(xí)。同樣的試題不同的視覺角度看到的內(nèi)容不一樣見多識(shí)廣后的經(jīng)驗(yàn)積累是你臨題沉穩(wěn)思維活躍的有效保證。________一個(gè)果5加寫a表示eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,析)這一看就是要列條件等式，再進(jìn)行推導(dǎo)。eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,程)假設(shè)這個(gè)數(shù)字是y，那么根據(jù)題意有________10×y+5=y+a1111，________10×y-y=a1111-5________9×y=a1106________也就是a1106

是9的倍數(shù)，那么a可能是11106、21106、31106、41106、51106、61106、71106、81106、91106，經(jīng)過(guò)計(jì)算只有符合，所以9×y=11106，那么y=1234，答：這個(gè)數(shù)是1234。eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,考)________注意到了嗎？從9×y=a1106中，我們又是應(yīng)用枚舉法來(lái)一一排除不合題意的數(shù)字從而得到最后的正確答案1234。其實(shí)，如果你認(rèn)真學(xué)習(xí)和領(lǐng)會(huì)了例題

，那么就可以很簡(jiǎn)單來(lái)做了。eq\o\ac(○,另)eq\o\ac(○,解)

________a1106是9的倍數(shù)，也就是a+1+1+0+6是9的倍數(shù)，也即a+89的倍數(shù)，a在1～9之間，只能為1，11106÷9=1234，所以這個(gè)數(shù)字就是。最后兩道題得學(xué)習(xí)，涉及了數(shù)的整除性，這也是為了學(xué)習(xí)《數(shù)的整除性》做一點(diǎn)鋪墊，知識(shí)貫穿起來(lái)才會(huì)顯得價(jià)值更大。____________A73B?___________________A73B?______________A73B______________A73B我們來(lái)解最后一道試題：：A7B，請(qǐng)問(wèn)符合上述條件的原三位數(shù)共有eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,析)這個(gè)題目與我們前面學(xué)習(xí)的試題有明顯的不同之處，

____________

竟然還包含了兩個(gè)未知數(shù)，按我們一般性的認(rèn)識(shí)，根據(jù)題中給出的信息我們可以列出一個(gè)等式，可是未知數(shù)有個(gè)之多了，怎么解呢？從哪里入手呢？記得我們前面的例題和例題的題后思考嗎？是不是都提到了算式謎？假設(shè)三個(gè)數(shù)字分別是a、b、c，那么根據(jù)題意：abc–acb=也就是

____________到這里是不是思路清晰了？！eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,程)假設(shè)三個(gè)數(shù)字分別是a、b、c，那么根據(jù)題意：abc–acb=

____________A是a+a進(jìn)位所得，A是1～9之間的數(shù)字，只能為。并且a=8，b意：b+c不能等于13，如果等于13的話，十位上的不滿足件）12=3+9，12=4+8，12=5+7，13=6+6所以，滿足條件的三位數(shù)有839、893、848、884、875、866，共個(gè)。eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,考)解題時(shí)沒有頭緒，多在腦海里搜尋與題目相關(guān)的“蛛絲馬跡哪怕有一點(diǎn)的巧合，也可能成為解題的好入口。數(shù)論試題注重推理既需要在隱晦的條件中提煉有用的信息又要進(jìn)行適當(dāng)?shù)臋M向思考所謂的數(shù)學(xué)解題高手，豐富的經(jīng)驗(yàn)往往會(huì)給與他臨題時(shí)更多的靈光閃現(xiàn)。__________________下面測(cè)試一下你的學(xué)習(xí)成果，建議你不要著急先看答案，拿起筆，做一做，理一理你的解題思路，獨(dú)立思考后再參看后面的解答。練習(xí)題：1、一個(gè)兩位數(shù)，各位數(shù)字之和的5倍比原數(shù)大4，求這個(gè)兩位數(shù)。2、已知a×b×ab=，a與b的3、如果以個(gè)不為如99+____________________________________4、一個(gè)兩位數(shù)，各位數(shù)字之和的5倍比原數(shù)大6，求這個(gè)兩位數(shù)？5、如果一個(gè)三位數(shù)正好等于它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和136、abcd是四位，、b、c示1、2、3、4中2134，請(qǐng)寫出所有滿足a<b，b>c，c<d的四位a__________________1、一個(gè)兩位數(shù)，各位數(shù)字之和的5倍比原數(shù)大4，求這個(gè)兩位數(shù)。____【解題】假設(shè)兩位數(shù)是ab，根據(jù)題目意思（一般描述:根據(jù)題意）5×（a+b）=10×a+b+4化簡(jiǎn)得出5×a=4×（b-1）由上可以推理，5×a的末尾