中考數(shù)學試題圖形與證明試卷及參考答案與試題解析

中考數(shù)學試題圖形與證明試卷及參考答案與試題解析(共33

小題)

【命題方向】圖形的證明是平面幾何的重要內容。在各省、

市中考題中所占的比例都很大，題型多以證明題為主，也有

很多是與其他知識綜合的壓軸題。

【備考攻略】尤其是近幾年在這個問題中引入了運動變化的

形式，增加了試題的開放性與靈活性，既考查了學生的邏輯

推理能力，也考查了運用數(shù)學知識解決問題的能力，解答這

部分題需較高的思維水平，善于發(fā)現(xiàn)運動中變化的量的規(guī)律

及不變量，正確畫出變化后的圖形，運用圖形相關的定理進

行論證。

93?如圖，點B在線段AD上，BC||DE，AB=ED，BC=DB?求

證：ZA=ZE?(

94,已知：如圖，D是AC上一點，AB=DA，DE||AB，ZB=Z

DAE?求證：BC=AE?(

95?在AABC中，AB=AC，ZBAC=a(0°<a<60°)，將線段

BC繞點B逆時針旋轉60°得到線段BD?

(1)如圖1，直接寫出NABD的大小(用含a的式子表示)；

(2)如圖2,NBCE=150°，ZABE=60°?判斷4ABE的形狀

并加以證明；

(3)在(2)的條件下，連接DE，若NDEC=45°，求a的值?

圖1

96,已知：如圖，點E，A，C在同一直線上，AB||CD，AB=CE，

AC=CD-

求證:BC=ED,

97?如圖，點A、B、C、D在同一條直線上‘BE||DF5NA=

ZF,AB=FD,求證：AE=FC,

ACBD(

98?如圖，在4ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，BE±

ACTAE?求證：NCBE=NBAD?(

99?如圖，公路AC5BC互相垂直，公路AB的中點M與點C

被湖隔開?若測得AM的長為1.2km，則M，C兩點間的距離

為()(

A-0.5kmB-0.6kmC-0.9kmD-1.2km

100?如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點E，Z

BAC=90°NCED=45°，NDCE=30°，DE=&，BE=2%-求CD

的長和四邊形ABCD的面積?(

101?如圖，在四邊形ABCD中，NABC=90°，AC=AD，M，N分

別為AC，CD的中點，連接BM，MN，BN?

(1)求證：BM=MN；

(2)ZBAD=600,AC平分NBAD，AC=2，求BN的長?

(1)如圖1—7是亂邊上的兩點，AP=AQ5NBAP=20°，

求NAQB的度數(shù)；

(2)點P，Q是BC邊上的兩個動點(不與點B,C重合)，

點P在點Q的左側,且AP=AQ，點Q關于直線AC的對稱點為

M，連接AM，PM?

①依題意將圖2補全；

②小茹通過觀察、實驗提出猜想：在點P，Q運動的過程中，

始終有PA=PM，小茹把這個猜想與同學們進行交流，通過討

論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1：要證明PA=PM，只需證4APM是等邊三角形；

想法2：在BA上取一點N5使得BN=BP，要證明PA=PM，只

需證△ANP04PCM；

想法3:將線段BP繞點B順時針旋轉60°，得到線段BK，要

證PA=PM，只需證PA=CK,PM=CK…

請你參考上面的想法，幫助小茹證明PA=PM（一種方法即可）?

103?內角和為540°的多邊形是（）

104?如圖是由射線AB，BC，CD，DE，EA組成的平面圖形，

貝1JN1+N2+N3+N4+N5=-（

105?正十邊形的每個外角等于（）（

A-18°B-36°C-45°D-60°

106?如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE平分NBAD，交

DC的延長線于點E?求證：DA=DE?

107?在口ABCD中，過點D作DELAB于點E，點F在邊CD上，

DF=BE，連接AF，BF?

（1）求證：四邊形BFDE是矩形；

（2）若CF=3，BF=45DF=5，求證：AF平分NDAB?（本題已

被至少82套試卷使用）

108?如圖5在DABCD中，F(xiàn)是AD的中點，延長BC到點E，

使CE=1BC，連接DE，CF?

2

(1)求證：四邊形CEDF是平行四邊形；

(2)若AB=4，AD=6，/B=60°，求DE的長?(本題已被至少

78套試卷使用)

109?如圖，在4ABC中，NACB=90°，D是BC的中點，DE±

BC，CE||AD，若AC=2，CE=4，求四邊形ACEB的周長?(本題

E

110?在口ABCD中，NBAD的平分線交直線BC于點E，交直線

DC于點F?

(1)在圖1中證明CE=CF；

(2)若NABC=90°，G是EF的中點(如圖2)，直接寫出/

BDG的度數(shù)；

（3）若NABC=120°，F(xiàn)G||CE，F(xiàn)G=CE，分別連接DB、DG（如

圖3），求NBDG的度數(shù)?

（本題已被至少38套試卷使用）

111,如圖，在DABCD中，AE平分NBAD，交BC于點E，BF

平分NABC，交AD于點F，AE與BF交于點P，連接EF，PD?

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若AB=4，AD=6，/ABC=60°，求tanZADP的值?（本題

已被至少72套試卷使用）

112?如圖，0是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的

中點?若AB=5，AD=12，則四邊形ABOM的周長為?（本

題已被至少96套試卷使用）

113-在正方形ABCD中，BD是一條對角線，點P在射線CD

上（與點C、D不重合）,連接AP，平移4ADP，使點D移動

至U點c，得到ABCQ，過點Q作QH±BD于H，連接AH，PH?

(1)若點P在線段CD上，如圖1?

①依題意補全圖1；

②判斷AH與PH的數(shù)量關系與位置關系并加以證明；

(2)若點P在線段CD的延長線上，且NAHQ=152°，正方形

ABCD的邊長為1,請寫出求DP長的思路?(可以不寫出計算

114?在正方形ABCD外側作直線AP，點、B關于直線AP的對

稱點為E，連接BE，DE，其中DE交直線AP于點F-

(2)若NPAB=20°，求NADF的度數(shù)；

(3)如圖2，若45°<NPAB<90°，用等式表示線段AB，F(xiàn)E，

FD之間的數(shù)量關系，并證明,

115?閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個問題：如圖1，在邊長為a（a>2）的正

方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當NAFQ=/BGM=

NCHN=/DEP=45°時，求正方形MNPQ的面積?

小明發(fā)現(xiàn)，分別延長QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的

延長線于點R，S，T，W，可得4RQF，ASMG，△TNH，AWPE

是四個全等的等腰直角三角形（如圖2）

請回答：

（1）若將上述四個等腰直角三角形拼成一個新的正方形（無

縫隙不重疊），則這個新正方形的邊長為；

（2）求正方形MNPQ的面積。

（3）參考小明思考問題的方法，解決問題：

如圖3，在等邊4ABC各邊上分別截取AD=BE=CF，再分別過

點D，E，F(xiàn)作BC，AC，AB的垂線，得到等邊△RPQ?若$,=返，

3

則AD的長為

被至少10套試卷使用）

116?如圖，。0的直徑AB垂直于弦CD唾足為E，NA=22.5°，

0C=4,CD的長為（）（本題已被至少97套試卷使用）

B

D

A?2&B?4C?4&D?8

117?如圖，AB為。0的直徑，F(xiàn)為弦AC的中點，連接OF并

延長交介于點D，過點D作。0的切線，交BA的延長線于點

E-

(1)求證：AC||DE；

(2)連接CD，若0A=AE=a，寫出求四邊形ACDE面積的思路?

118?如圖，AB是。0的直徑，過點B作。0的切線BM，弦

CD||BM，交AB于點F，且左而，連接AC，AD，延長AD交BM

于點E,

(1)求證：ZXACD是等邊三角形；

(2)連接0E，若DE=2，求0E的長?(本題已被至少62套

試卷使用)

119?如圖，AB是。0的直徑，C是篇的中點，00的切線BD

交AC的延長線于點D，E是OB的中點，CE的延長線交切線

BD于點F，AF交。0于點H，連接BH?

(1)求證：AC=CD；

(2)若0B=2，求BH的長?(本題已被至少62套試卷使用)

120?如圖AB是。0的直徑，PA，PC與。0分別相切于點A，

C，PC交AB的延長線于點D，DE±PO交P0的延長線于點E?

(1)求證：ZEPD-ZED0；

(2)若PC=6，tanNPDA=3,求0E的長?(本題已被至少74

4

套試卷使用)

121?已知：如圖，AB是。0的直徑，C是。0上一點，0D±

BC于點D，過點C作。0的切線，交0D的延長線于點E，連

接BE?

(1)求證：BE與。0相切；

（2）連接AD并延長交BE于點F，若0B=9，sinZABC=2.,

3

求BF的長?（本題已被至少23套試卷使用）

cJ

122?如圖，在AABC，AB=AC，以AB為直徑的。0分別交AC、

BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且NCBF=LNCAB?

2

（1）求證：直線BF是。0的切線；

（2）若AB=5，sinZCBF=VE，求BC和BF的長?（本題已被

5

至少92套試卷使用）

123?在平面直角坐標系xOy中，點P的坐標為（xi，yi），

點Q的坐標為（X2，丫2），且xi#X2，yiWyz，若P，Q為某個

矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱

該矩形為點P，Q的“相關矩形”，如圖為點P，Q的“相關

矩形”示意圖?

（1）已知點A的坐標為（1，0），

①若點B的坐標為（3，1），求點A，B的“相關矩形”的面

積；

②點C在直線x=3上，若點A，C的“相關矩形”為正方形，

求直線AC的表達式；

（2）。。的半徑為&，點M的坐標為（1）1，3），若在。0上存

在一點N，使得點M，N的“相關矩形”為正方形，求m的取

值范圍?

VA

5-

4-

3

2

1

□——?—?---------->

o12345x

124-在平面直角坐標系xOy中，0C的半徑為r，P是與圓

心C不重合的點，點P關于。C的反稱點的定義如下：若在

射線CP上存在一點P'，滿足CP+CP'=2r，貝U稱P'為點P

關于。C的反稱點，如圖為點P及其關于。C的反稱點P’的

示意圖?

特別地，當點P'與圓心C重合時，規(guī)定CP'=O-

（1）當。0的半徑為1時?

①分別判斷點M（2，1），N（1_，0），T（1，正）關于。0的

反稱點是否存在？若存在，求其坐標；

②點P在直線y=-x+2上，若點P關于。0的反稱點P’存

在，且點P’不在x軸上，求點P的橫坐標的取值范圍；

（2）0C的圓心在x軸上，半徑為1，直線y=-返x+2%與

3

x軸、y軸分別交于點A，B，若線段AB上存在點P，使得點

P關于。C的反稱點P"在。C的內部，求圓心C的橫坐標的

取值范圍,

125?對于平面直角坐標系xOy中的點P和。C，給出如下的

定義：若。C上存在兩個點A、B，使得NAPB=60°，則稱P

為。C的關聯(lián)點?已知點D（上，L），E（0，-2），F(xiàn)（2行，

22

0）.

（1）當。0的半徑為1時，

①在點D'E'F中500的關聯(lián)點是,

②過點F作直線1交y軸正半軸于點G，使NGFO=30°，若直

線1上的點P（m，n）是。0的關聯(lián)點，求m的取值范圍；

（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關聯(lián)點，求這個圓

的半徑I■的取值范圍?（本題已被至少6套試卷使用）

圖形與證明（共33小題）

【命題方向】圖形的證明是平面幾何的重要內容。在各省、

市中考題中所占的比例都很大，題型多以證明題為主，也有

很多是與其他知識綜合的壓軸題?！緜淇脊ヂ浴坑绕涫墙鼛?/p>

年在這個問題中引入了運動變化的形式，增加了試題的開放

性與靈活性，既考查了學生的邏輯推理能力，也考查了運用

數(shù)學知識解決問題的能力，解答這部分題需較高的思維水

平，善于發(fā)現(xiàn)運動中變化的量的規(guī)律及不變量，正確畫出變

化后的圖形，運用圖形相關的定理進行論證。

93-（2014?北京）如圖，點B在線段AD上，BC||DE，AB=ED，

BC=DB,求證：NA=/E?

【考點】全等三角形的判定與性質?

【專題】證明題?

【分析】由全等三角形的判定定理SAS證得△ABCgAEDB，

則對應角相等：ZA=ZE?

【解答】證明：如圖，「BC||DE，

ZABC=ZBDE,

在AABC與AEDB中，

'AB=DE

<ZABC=ZBDE

BC=BD

/.△ABC^AEDB（SAS），

/.ZA=ZE?

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質?全等三角形

的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要

工具?在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件?

94?（2013?北京）已知：如圖，口是人（2上一點，AB=DA，DE

||AB,NB=NDAE?求證：BC=AE?

【考點】全等三角形的判定與性質?

【專題】證明題?

【分析】根據兩直線平行，內錯角相等求出/CAB=NADE，

然后利用“有邊角”證明AABC和ADAE全等，再根據全等

三角形對應邊相等證明即可?

【解答】證明：.「DEllAB，

ZCAB=ZADE，

?/^△ABC^ADAE中,

，ZCAB=ZADE

<AB=DA'

,NB=NDAE

/.△ABC^ADAE(ASA)，

，BC=AE?

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的性

質，利用三角形全等證明邊相等是常用的方法之一，要熟練

掌握并靈活運用?

95?(2013?北京)在4ABC中，AB=AC，NBAC=a(0°<a

<60°)，將線段BC繞點B逆時針旋轉60°得到線段BD?

(1)如圖1，直接寫出NABD的大小(用含a的式子表示)；

(2)如圖2，NBCE=150°，NABE=60°，判斷4ABE的形狀

并加以證明；

(3)在(2)的條件下，連接DE，若NDEC=45°，求a的值?

【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；等

腰直角三角形；旋轉的性質?

【專題】壓軸題?

【分析】(1)求出ZABC的度數(shù)，即可求出答案；

(2)連接AD，CD，ED，根據旋轉性質得出BC=BD，NDBC=60°，

求出NABD=NEBC=30°-la，且ABCD為等邊三角形，證^

2

ABD=△ACD，推出NBAD=ZCAD=工ZBAC=a，求出/

22

BEC=La=/BAD，證△ABDgAEBC，推出AB=BE即可；

2

(3)求出NDCE=90°，ADEC為等腰直角三角形，推出

DC=CE=BC，求出NEBC=15°，得出方程30°-L1=15°，求出

2

即可?

【解答】(1)解：，/AB=AC?ZA=a，

...NABC=NACB=L(180°-ZA)=90°-la，

22

,/ZABD=ZABC-NDBC，NDBC=60°，

即NABD=30°-la；

2

(2)AABE是等邊三角形，

證明：連接AD?CD?ED5

.??線段BC繞B逆時針旋轉60°得到線段BD，

則BC=BD，NDBC=60°，

?..NABE=60°，

/.ZABD=60°-ZDBE=ZEBC=30°-La，且ABCD為等邊三角

2

形，

在AABD與4ACD中

'AB=AC

<AD=AD

,BD=CD

/.△ABD^AACD(SSS)，

/.ZBAD=ZCAD=LZBAC=La，

22

,/ZBCE=150°，

/.ZBEC=180°-(30°-La)-150°=La=/BAD，

22

在AABD和4EBC中

rZBEC=ZBAD

<ZEBC=ZABD

BC=BD

/.△ABD^AEBC(AAS)，

.*.AB=BE，

「.△ABE是等邊三角形；

(3)解：.//BCD=60°，NBCE=150°，

/.ZDCE=15O°-60°=90°，

?「NDEC=45°，

「.△DEC為等腰直角三角形，

.?.DC=CE=BC，

,/ZBCE=150°，

/.ZEBC=|(180°-150°)=15°，

,/ZEBC=30°-LQ=15°，

2

.,.a=30°?

AZ

B

B

圖1圖2

【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，等邊三角形

的性質和判定，等腰直角三有形的判定和性質的應用，注意：

全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形

的性質是全等三角形的對應邊相等，對應國相等?

96?(2012?北京)已知：如圖，點E，A，C在同一直線上，

AB||CD，AB=CE，AC=CD?

求證:BC=ED,

【考點】全等三角形的判定與性質?

【專題】證明題?

【分析】首先由AB||CD，根據平行線的性質可得NBAC=/

ECD，再有條件AB=CE，AC=CD可證出ABAC和4ECD全等，

再根據全等三角形對應邊相等證出CB=ED?

【解答】證明：:AB||CD，

ZBAC=ZECD、

'AB=EC

在ABAC和AECD中,ZBAC=ZECD'

AC=CD

/.△BAC^AECD(SAS)，

/.CB=ED-

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，全等三

角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的

重要工具?在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l

件.

97?(2011?北京)如圖，點A、B、C、D在同一條直線上，

BE||DF,NA=NF，AB=FD?求證：AE=FC?

ACBD

【考點】全等三角形的判定與性質；平行線的性質?

【專題】證明題?

【分析】根據BE||DF，可得NABE=ND，再利用ASA求證△

ABC和△FDC全等即可?

【解答】證明：,/BE||DF，

/.ZABE=ZD，

在AABE和△FDC中，

NABE=/D，AB=FD，ZA=ZF

/.△ABE^AFDC(ASA)，

.*.AE=FC-

【點評】此題主要考查全等三角形的判定與性質和平行線的

性質等知識點的理解和掌握，此題的關鍵是利用平行線的性

質求證aABC和△FDC全等?

98?（2015?北京）如圖，在4ABC中，AB=AC，AD是BC邊

上的中線，BE_1AC于點E,求證：ZCBE=ZBAD,

【考點】等腰三角形的性質?

【專題】證明題?

【分析】根據三角形三線合一的性質可得NCAD=NBAD，根

據同角的余角相等可得：ZCBE-ZCAD，再根據等量關系得

至UZCBE=ZBAD?

【解答】證明：:ABnAC，AD是BC邊上的中線，BELAC，

.,.NCBE+NC=NCAD+NC=90°，NCAD=NBAD，

ZCBE=ZBAD,

【點評】考查了余角的性質，等腰三角形的性質：等腰三角

形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合?

99,（2015?北京）如圖5公路AC，BC互相垂直，公路AB

的中點M與點C被湖隔開?若測得AM的長為1.2km，則M，

C兩點間的距離為（）

A,0.5kmB-0.6kmC,0.9kmD,1.2km

【考點】直角三角形斜邊上的中線?

【專題】應用題?

【分析】根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可

得MC=AM=1.2km?

【解答】解:?在RSABC中，ZACB=90°為AB的中點，

...MC=LAB=AM=1.2km?

2

故選D-

【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質：在直

角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半?理解題意，將

實際問題轉化為數(shù)學問題是解題的關鍵?

100?（2013?北京）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，

BD交于點E，NBAC=90°，NCED=45°，NDCE=30°，DE=&，

BE=2我,求CD的長和四邊形ABCD的面積?

【考點】勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三

角形?

【分析】利用等腰直角三角形的性質得出EH=DH=1，進而得

出再利用直角三角形中30°所對邊等于斜邊的一半得出CD的

長，求出AC，AB的長即可得出四邊形ABCD的面積?

【解答】解:過點D作DH_LAC，

?../CED=45°，DH_LEC，DE=&，

.\EH=DH，

,/EH2+DH2=ED2，

.\EH2=1,

.\EH=DH=1，

又.../DCE=30°，

/.DC=2，HC”

,/ZAEB=45°，ZBAC=90°，

BE=2&，

/.AB=AE=2，

/.AC=2+1+V3=3+V3，

??S四邊形ABCD二lx2x(3+e)+lxlx(3+愿)=3a+9.

【點評】此題主要考查了解直角三角形和三角形面積求法，

根據已知構造直角三角形進而得出直角邊的長度是解題關

鍵.

101?（2016?北京）如圖，在四邊形ABCD中，NABC=90°，

AC=AD，M，N分別為AC，CD的中點，連接BM，MN，BN?

(1)求證：BM=MN；

(2)NBAD=60°，AC平分NBAD，AC=2，求BN的長-

【考點】三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線；勾

股定理?

【分析】（1）根據三角形中位線定理得MN="D，根據直角三

2

角形斜邊中線定理得BM=LAC，由此即可證明?

2

（2）首先證明NBMN=90°，根據BN2=BM2+MN2即可解決問題?

【解答】（1）證明：在ACAD中一「M、N分別是AC、CD的

中I八占、、，

/.MN||AD，MN=1AD，

2

在RT4ABC中，/M是AC中點，

...BM=1AC，

2

,/AC=AD，

「.MN=BM-

（2）解：?.?NBAD=60°，AC平分NBAD，

/.ZBAC=ZDAC=300,

由（1）可知，BM="C=AM=MC，

2

.,.ZBMC=ZBAM+ZABM=2ZBAM=60°，

*/MN||AD，

...NNMC=NDAC=30°，

/.ZBMN=ZBMC+ZNMC=90°?

/.BN2=BM2+MN2，

由（1）可知MN=BM="C=1，

2

.,.BN=V2

【點評】本題考查三角形中位線定理、直角三角形斜邊中線

定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解

決問題，屬于中考常考題型?

102?（2016?北京）在等邊4ABC中，

（1）如圖1，P，Q是BC邊上的兩點，AP=AQ5NBAP=20°，

求NAQB的度數(shù)；

（2）點P，Q是BC邊上的兩個動點（不與點B，C重合），

點P在點Q的左側，且AP=AQ，點Q關于直線AC的對稱點為

M，連接AM，PM?

①依題意將圖2補全；

②小茹通過觀察、實驗提出猜想：在點P，Q運動的過程中，

始終有PA=PM，小茹把這個猜想與同學們進行交流，通過討

論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1：要證明PA=PM，只需證4APM是等邊三角形；

想法2：在BA上取一點N，使得BN=BP，要證明PA=PM，只

需證△ANPgAPCM；

想法3:將線段BP繞點B順時針旋轉60°，得到線段BK，要

證PA=PM，只需證PA=CK，PM=CK…

請你參考上面的想法，幫助小茹證明PA=PM（一種方法即可）?

【考點】三角形綜合題?

【分析】（1）根據等腰三再形的性質得到NAPQ=NAQP，由

鄰補角的定義得到NAPB=NAQC，根據三角形外角的性質即

可得到結論；

（2）如圖2根據等腰三角形的性質得到NAPQ=NAQP，由鄰

補角的定義得到NAPB=NAQC，由點Q關于直線AC的對稱點

為M，得到AQ=AM，/OAC=NMAC，等量代換得到NMAC=NBAP，

推出AAPM是等邊三角形，根據等邊三角形的性質即可得到

結論?

【解答】解：⑴?「AP=AQ，

ZAPQ=ZAQP，

ZAPB=ZAQC?

?「△ABC是等邊三角形,

...NB=NC=60°，

...NBAP=NCAQ=2(r，

/.ZAQB-ZAPQ=ZBAP+ZB=80°；

(2)如圖2，..?AP=AQ，

ZAPQ=ZAQP5

NAPB=NAQC，

/△ABC是等邊三角形，

...NB=NC=6(r，

/.ZBAP-ZCAQ，

...點Q關于直線AC的對稱點為M，

/.AQ=AM，NQAC=NMAC，

/.ZMAC-ZBAP，

...NBAP+NPAC=NMAC+NCAP=60°，

...NPAM=60°，

?/AP=AQ，

/.AP=AM，

「.△APM是等邊三角形，

...AP=PM-

【點評】本題考查了等邊三角形的性質和判定，等腰三角形

的性質，三角形的外角的性質，軸對稱的性質，熟練掌握等

邊三角形的判定和性質是解題的關鍵?

103?（2016?北京）內角和為540°的多邊形是（）

A.Z\B.AC.OD.<D

【考點】多邊形內魚與外角?

【分析】根據多邊形的內角和公式（n-2）?180°列式進行

計算即可求解?

【解答】解：設多邊形的邊數(shù)是n，則

（n-2）-180°=540°，

解得n=5,

故選：C?

【點評】本題主要考查了多邊形的內角和公式，熟記公式是

解題的關鍵?

104?（2015?北京）如圖是由射線AB，BC，CD，DE，EA組

成的平面圖形，則/l+/2+N3+N4+N5=360°?

一/

'B

1

5

【考點】多邊形內角與外角?

【分析】首先根據圖示，可得/1=180°-ZBAE，N2=180°

-NABC，Z3=180°-/BCD，Z4=180°-ZCDEZ5=180°

-ZDEA，然后根據三角形的內角和定理，求出五邊形ABCDE

的內角和是多少，再用180°x5減去五邊形ABCDE的內角和，

求出Z1+Z2+Z3+Z4+Z5等于多少即可?

【解答】解：N1+N2+N3+N4+N5

=(180°-ZBAE)+(180°-ZABC)+(180°-ZBCD)+(180°

-ZCDE)+(180°-ZDEA)

=180°x5-(ZBAE+ZABC+ZBCD+ZCDE+ZDEA)

=900°-(5-2)xl80°

=900°-540°

=360：

故答案為：360°-

【點評】此題主要考查了多邊形內角和定理，要熟練掌握，

解答此題的關鍵是要明確：(1)n邊形的內角和=(n-2)

?180(n23)且n為整數(shù))?(2)多邊形的外角和指每個

頂點處取一個外角，則n邊形取n個外有，無論邊數(shù)是幾，

其外角和永遠為360°?

105?(2012?北京)正十邊形的每個外角等于()

A-18°B-36°C-45°D-60°

【考點】多邊形內角與外角?

【專題】常規(guī)題型?

【分析】根據正多邊形的每一個外角等于多邊形的外角和除

以邊數(shù)，計算即可得解?

【解答】解:360=10=36°，

所以，正十邊形的每個外角等于36°?

故選：B?

【點評】本題考查了正多邊形的外角和、邊數(shù)、外角度數(shù)之

間的關系，熟記正多邊形三者之間的關系是解題的關鍵?

106?（2016?北京）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE

平分NBAD,交DC的延長線于點E?求證：DA=DE?

【考點】平行四邊形的性質?

【專題】證明題?

【分析】由平行四邊形的性質得出AB||CD，得出內錯角相等

NE=/BAE，再由百平分線證出NE=NDAE，即可得出結論?

【解答】證明：...四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AB||CD，

NE=NBAE，

.「AE平分NBAD，

ZBAE=ZDAE?

ZE=ZDAE5

/.DA=DE-

【點評】本題考查了平行四邊形的性質、平行線的性質、等

腰三角形的判定；熟練掌握平行四邊形的性質，證出NE=N

DAE是解決問題的關鍵?

107?(2015?北京)在口ABCD中，過點D作DE_LAB于點E，

點F在邊CD上，DF=BE，連接AF，BF?

(1)求證：四邊形BFDE是矩形；

(2)若CF=3，BF=4，DF=5，求證：AF平分NDAB?

【考點】平行四邊形的性質；角平分線的性質；勾股定理；

矩形的判定?

【專題】證明題?

【分析】(1)根據平行四邊形的性質，可得AB與CD的關系，

根據平行四邊形的判定，可得BFDE是平行四邊形，再根據

矩形的判定，可得答案；

(2)根據平行線的性質，可得NDFA=NFAB，根據等腰三角

形的判定與性質，可得NDAF=NDFA，根據角平分線的判定，

可得答案?

【解答】（1）證明：...四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AB||CD?

*/BE||DF，BE=DF，

四邊形BFDE是平行四邊形?

,/DE±AB，

...NDEB=90°，

四邊形BFDE是矩形；

（2）解：?..四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AB||DC，

/.ZDFA=ZFAB?

在RtABCF中，由勾股定理，得

BC=^^廬產，

/.AD=BC=DF=5，

ZDAF=ZDFA，

ZDAF=ZFAB，

即AF平分NDAB?

【點評】本題考查了平行四邊形的性質，利用了平行四邊形

的性質，矩形的判定，等腰三角形的判定與性質，利用等腰

三角形的判定與性質得出NDAF=NDFA是解題關鍵?

108,（2013?北京）如圖，在口ABCD中，F(xiàn)是AD的中點，延

長BC到點E，使CE=1BC，連接DECF?

(1)求證：四邊形CEDF是平行四邊形；

(2)若AB=4，AD=6，ZB=60°，求DE的長?

【考點】平行四邊形的判定與性質；含30度角的直角三角

形；勾股定理?

【分析】(1)由“平行四邊形的對邊平行且相等”的性質推

知AD||BC，且AD=BC；然后根據中點的定義、結合已知條件

推知四邊形CEDF的對邊平行且相等(DF=CE，且DF||CE)，

即四邊形CEDF是平行四邊形；

(2)如圖，過點D作DH_LBE于點H，構造含30度角的直角

△DCH和直角ZXDHE?通過解直角△DCH和在直角ADHE中運

用勾股定理來求線段ED的長度?

【解答】證明：(1)在口ABCD中，AD||BC，且AD=BC-

.「F是AD的中點，

「.DFQAD.

^?/CE=1BC5

2

...DF=CE，且DF||CE，

四邊形CEDF是平行四邊形；

(2)解：如圖,過點D作DH_LBE于點H?

在口ABCD中，/NB=60°，

/.ZDCE=60°?

,/AB=4，

/.CD=AB=4，

.,.CH=1￡D=2，DH=2Vs-

在口CEDF中，CE=DF=1AD=3，則EH=1?

2

...在RtADHE中，根據勾股定理知DE寸（2?）2+廣岳?

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質、勾股定理?平

行四邊形的判定方法共有五種，應用時要認真領會它們之間

的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據條件合理、靈活地選擇方法?

109-（2011?北京）如圖，在4ABC中，ZACB=90°，D是BC

的中點，DE_LBC，CE||AD，若AC=2，CE=4，求四邊形ACEB

的周長?

【考點】平行四邊形的判定與性質；勾股定理?

【分析】先證明四邊形ACED是平行四邊形，可得DE=AC=2?由

勾股定理和中線的定義可求AB和EB的長，從而求出

四邊形ACEB的周長?

【解答】解：,/ZACB=90°，DE_LBC，

/.AC||DE?

又/CEllAD，

四邊形ACED是平行四邊形?

/.DE=AC=2-

在RtACDE中，由勾股定理得CD=^CE2_DE2=273,

.「D是BC的中點，

.,.BC=2CD=4V3?

在AABC中，NACB=90°，由勾股定理得AB={AC2+BC"2后,

?「D是BC的中點，DE±BC?

/.EB=EC=4-

四邊形ACEB的周K=AC+CE+EB+BA=10+2岳?

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質，勾股定理和

中線的定義，注意尋找求AB和EB的長的方法和途徑?

110?(2011?北京)在口ABCD中，ZBAD的平分線交直線BC

于點E，交直線DC于點F?

(1)在圖1中證明CE=CF；

(2)若NABC=90°，G是EF的中點(如圖2)，直接寫出/

BDG的度數(shù)；

(3)若NABC=120°，F(xiàn)G||CE，F(xiàn)G=CE，分別連接DB、DG(如

圖3),求NBDG的度數(shù)?

【考點】平行四邊形的判定與性質；全等三角形的判定與性

質；等邊三角形的判定與性質；菱形的判定與性質?

【專題】幾何綜合題；壓軸題?

【分析】(1)根據AF平分NBAD，可得NBAF=NDAF，利用

四邊形ABCD是平行四邊形，求證NCEF=NF即可?

(2)根據NABC=90°，G是EF的中點可直接求得?

(3)分別連接GB、GC，求證四邊形CEGF是平行四邊形，再

求證4ECG是等邊三角形?

由AD||BC及AF平分NBAD可得NBAE=NAEB，求證ABEG0

△DCG，然后即可求得答案

【解答】(1)證明：如圖1，

,/AF平分/BAD，

ZBAF=ZDAF，

...四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AD||BCAB||CD，

/.ZDAF=ZCEF，NBAF=NF，

/.ZCEF=ZF?

，CE=CF-

(2)解：連接GC、BG，

...四邊形ABCD為平行四邊形，ZABC=90°，

，四邊形ABCD為矩形，

?「AF平分NBAD，

，NDAF=NBAF=45°，

,/ZDCB=90°，DF||AB，

，NDFA=45°，ZECF=90°

/.△ECF為等腰直角三角形，

，.，G為EF中點，

...EG=CG=FG，CG_LEF，

.「△ABE為等腰直角三角形，AB=DC，

，BE=DC，

?「NCEF=NGCF=45°，

/.ZBEG=ZDCG=135°

在△BEG與ADCG中，

'EG=CG

??二NBEG=NDCG'

BE=DC

/.△BEG^ADCG，

「.BG=DG，

,/CG±EF，

/.ZDGC+ZDGA=90°，

又.../DGC=NBGA，

/.ZBGA+ZDGA=90°，

「.△DGB為等腰直角三角形，

.,.ZBDG=45°?

(3)解：延長AB、FG交于H，連接HD?

,/AD||GF，AB||DF，

四邊形AHFD為平行四邊形

?.?NABC=120°，AF平分NBAD

...NDAF=30°，ZADC=120°，ZDFA=30°

/.△DAF為等腰三角形

.\AD=DF，

.\CE=CF，

平行四邊形AHFD為菱形

/.△ADH，ADHF為全等的等邊三角形

.\DH=DF，ZBHD=ZGFD=60°

?「FG=CE，CE=CF，CF=BH，

.\BH=GF

在ABHD與AGED中，

'DH=DF

?*ZBHD=ZGFD'

BH=GF

/.△BHD^AGFD，

/.ZBDH=ZGDF

...NBDG=ZBDH+ZHDG=ZGDF+ZHDG=60°

【點評】此題主要考查平行四邊形的判定方法，全等三角形

的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，菱形的判定與性

質等知識點，應用時要認真領會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同

時要根據條件合理、靈活地選擇方法?同學們在解決此類問

題時，可以通過以下的步驟進行思考和分析：（1）通過測量

或特殊情況的提示進行猜想；（2）根據猜想的結果進行聯(lián)想

（如60度角可以聯(lián)想到等邊三角形，45度角可以聯(lián)想到等

腰直有三角形等）；（3）在聯(lián)想的基礎上根據已知條件利用

幾何變換（如旋轉、平移、軸對稱等）構造全等解決問題?

111?（2014?北京）如圖，在DABCD中5AE平分NBAD，交

BC于點E，BF平分NABC，交AD于點F，AE與BF交于點P，

連接EF，PD?

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若AB=4，AD=6，NABC=60°，求tanZADP的值?

D

【考點】菱形的判定；平行四邊形的性質；解直角三角形?

【分析】（1）根據平行四邊形和角平分線的性質可得AB=BE，

AB=AF，AF=BE，從而證明四邊形ABEF是菱形；

（2）作PH_LAD于H，根據四邊形ABEF是菱形，ZABC=60°，

AB=4，得到AB=AF=4，NABF=NADB=30°，AP_LBF，從而得到

PH=Vs'DH=5，然后利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可?

【解答】（1）證明：...四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AD||BC?

ZDAE=ZAEB,

.「AE是角平分線，

ZDAE=ZBAE,

ZBAE=ZAEB,

/.AB=BE-

同理AB=AF?

/.AF=BE-

四邊形ABEF是平行四邊形?

,/AB=BE，

四邊形ABEF是菱形?

(2)解：作PH_LAD于H，

四邊形ABEF是菱形，NABC=60°，AB=4，

.\AB=AF=4，ZABF=ZAFB=30°，AP±BF，

...AP=LAB=2，

2

.?.PH=?，DH=5，

」.tanNADP=^=返?

DH5

【點評】本題考查了菱形的判定及平行四邊形的性質，解題

的關鍵是牢記菱形的幾個判定定理，難度不大?

112?（2013?北京）如圖，0是矩形ABCD的對角線AC的中

點，M是AD的中點?若AB=5，AD=12，則四邊形ABOM的周

長為20?

【考點】矩形的性質；三角形中位線定理?

【專題】幾何圖形問題?

【分析】根據題意可知OM是4ADC的中位線，所以OM的長

可求；根據勾股定理可求出AC的長，利用直角三角形斜邊

上的中線等于斜邊的一半可求出B0的長，進而求出四邊形

ABOM的周長?

【解答】解：:。是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD

的中點，

...0M3=J_AB=2.5，

22

,/AB=5，AD=12，

,/o是矩形ABCD的對角線AC的中點，

/.BO=1AC=6.5，

2

二.四邊形ABOM的周長為AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，

故答案為：20?

【點評】本題考查了矩形的性質、三角形的中位線的性質以

及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這一性質，題目

的綜合性很好，難度不大?

113?（2015?北京）在正方形ABCD中，BD是一條對角線，

點P在射線CD上（與點C、D不重合），連接AP，平移4ADP，

使點D移動到點C，得到4BCQ，過點Q作QH±BD于H，連

接AH，PH?

（1）若點P在線段CD上，如圖1?

①依題意補全圖1；

②判斷AH與PH的數(shù)量關系與位置關系并加以證明；

（2）若點P在線段CD的延長