河南省許昌市第四高級中學2021-2022學年高三數(shù)學理模擬試卷含解析

河南省許昌市第四高級中學2021-2022學年高三數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，系數(shù)的最大值為b，則A．

B．

C．

D．參考答案：A2.已知，則方程所有實數(shù)根的個數(shù)為 A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：D略3.復數(shù)z=i（1+i）（i是虛數(shù)單位）在復平面內所對應點的坐標為（）A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（1，﹣1） D．（﹣1，1）參考答案：D【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】先將z=i（1+i）化簡，從而判斷即可．【解答】解：z=i（1+i）=﹣1+i，∴復數(shù)z=i（1+i）（i是虛數(shù)單位）在復平面內所對應點的坐標為：（﹣1，1），故選：D．4.已知向量||=10，||=12，且=﹣60，則向量與的夾角為（）A．60° B．120° C．135° D．150°參考答案：B【考點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角．【分析】利用向量的模、夾角形式的數(shù)量積公式，列出方程，求出兩個向量的夾角余弦，求出夾角．【解答】解：設向量的夾角為θ則有：，所以10×12cosθ=﹣60，解得．∵θ∈[0，180°]所以θ=120°．故選B5.r是相關系數(shù)，則結論正確的個數(shù)為

①r∈［－1，－0.75］時，兩變量負相關很強②r∈［0.75，1］時，兩變量正相關很強③r∈（－0.75，－0.3］或［0.3，0.75）時，兩變量相關性一般④r=0.1時，兩變量相關很弱A.1

B.2

C.3

D.4

參考答案：D6.某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是A.3

B.5

C.7

D.9參考答案：B7.下列命題中，真命題是A．

B．C．

D．參考答案：D因為，所以A錯誤。當時有，所以B錯誤。，所以C錯誤。當時，有，所以D正確，選D.8.先后兩次拋擲一枚骰子，在得到點數(shù)之和不大于6的條件下，先后出現(xiàn)的點數(shù)中有3的概率為（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：A略9.設集合，則=

A.

B.

C.

D.參考答案：B解析：..故選B.10.復數(shù)的共軛復數(shù)是（）A．-1+

B．-1-

C．1+

D．1-參考答案：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若直線為函數(shù)圖像的切線，則參考答案：412.一盒中有6個小球，其中4個白球，2個黑球?從盒中一次任取3個球，若為黑球則放回盒中，若為白球則涂黑后再放回盒中．此時盒中黑球個數(shù)X的均值E（X）=．參考答案：4考點：離散型隨機變量的期望與方差．專題：計算題；概率與統(tǒng)計．分析：由題意可得，當取出的3個小球全為白色時，X=5，當取出的小球是2白1黑時，X=4，當取出的小球是1白2黑時X=3，根據(jù)等可能事件的概率公式求出概率，進而可求期望值解答：解：由題意可得X可能取值為3，4，5P（X=3）==P（X=4）==P（X=5）==E（X）==4故答案為：4點評：本題主要考查了離散型隨機變量的期望值的求解，解題的關鍵是隨機變量取不同值時所對應的情況要準確求出13.記，對于任意實數(shù)，的最大值與最小值的和是

.參考答案：414.在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為的正方形，AA1=3，E是AA1的中點，過C1作C1F⊥平面BDE與平面ABB1A1交于點F，則CF與平面ABCD所成角的正切值為．參考答案：【考點】直線與平面所成的角．【分析】連結AC、BD，交于點O，當C1F與EO垂直時，C1F⊥平面BDE，從而F∈AA1，進而∠CAF是CF與平面ABCD所成角，由△C1A1F∽△EAO，求出AC，由此能求出CF與平面ABCD所成角的正切值．【解答】解：連結AC、BD，交于點O，∵四邊形ABCD是正方形，AA1⊥底面ABCD，∴BD⊥平面ACC1A1，則當C1F與EO垂直時，C1F⊥平面BDE，∵F∈平面ABB1A1，∴F∈AA1，∴∠CAF是CF與平面ABCD所成角，在矩形ACC1A1中，△C1A1F∽△EAO，則=，∵A1C1=2AO=AB=2，AE=，∴A1F=，∴AF=，∴tan==．∴CF與平面ABCD所成角的正切值為．故答案為：．【點評】本題考查線面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．15.已知實數(shù)x，y滿足，則點P（x，y）構成的區(qū)域的面積為，2x+y的最大值為，其對應的最優(yōu)解為

．參考答案：8，11，（6，﹣1）．【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】先畫出滿足條件的平面區(qū)域，從而求出三角形的面積，令z=2x+y，變形為y=﹣2x+z，顯然直線y=﹣2x+z過B（6，﹣1）時，z最大，進而求出最大值和最優(yōu)解．【解答】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，∴點P（x，y）構成的區(qū)域的面積為：S△ABC=×8×2=8，令z=2x+y，則y=﹣2x+z，當直線y=﹣2x+z過B（6，﹣1）時，z最大，Z最大值=2×6﹣1=11，∴其對應的最優(yōu)解為（6，﹣1），故答案為：8，11，（6，﹣1）．16.如圖，BC是單位圓A的一條直徑，F(xiàn)是線段AB上的點，且，若DE是圓A中繞圓心A轉動的一條直徑，則的值是

參考答案：17.已知C是平面ABD上一點，AB⊥AD,CB=CD=1.①若=3，則=

;3

=+，則的最小值為

.參考答案：；三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為，點P的極坐標是.（1）求直線l的極坐標方程及點P到直線l的距離；（2）若直線l與曲線C交于M，N兩點，求的面積.參考答案：（1）極坐標方程為.（2）【分析】（1）現(xiàn)將直線方程轉化為普通方程，再利用公式求出直線的極坐標方程，進而可得點到直線的距離；（2）在極坐標下，利用韋達定理求出MN的長度，從而得出面積.【詳解】（1）由消去，得到，則，∴，所以直線的極坐標方程為.點到直線的距離為.（2）由，得，所以，，所以，則的面積為.【點睛】本題考查了直線的極坐標方程與普通方程的互化以及在極坐標下求解直線與曲線的弦長問題，利用韋達定理是解題的關鍵.19.某企業(yè)招聘工作人員，設置A、B、C三組測試項目供參考人員選擇，甲、乙、丙、丁、戊五人參加招聘，其中甲、乙兩人各自獨立參加A組測試，丙、丁兩人各自獨立參加B組測試．已知甲、乙兩人各自通過測試的概率均為，丙、丁兩人各自通過測試的概率均為．戊參加C組測試，C組共有6道試題，戊會其中4題．戊只能且必須選擇4題作答，答對3題則競聘成功．（Ⅰ）求戊競聘成功的概率；（Ⅱ）求參加A組測試通過的人數(shù)多于參加B組測試通過的人數(shù)的概率；（Ⅲ）記A、B組測試通過的總人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；相互獨立事件的概率乘法公式．【分析】（I）設戊競聘成功為A事件，則事件的總數(shù)為，而事件A競聘成功分為兩種情況：一種是戊會其中4題都選上，另一種是選上會其中4題的其中3道題和另一道題有種方法，再利用概率計算公式即可得出．（Ⅱ）設“參加A組測試通過的人數(shù)多于參加B組測試通過的人數(shù)”為B事件，包括兩種情況：第一種是甲乙兩人都通過，而丙丁兩人都沒有通過；第二種情況是甲乙兩人都通過，而丙丁兩人種只有一人通過，第三種情況是甲乙兩人中只有一人都通過，而丙丁兩人都沒有通過．再利用互相獨立事件的計算公式、互斥事件的概率計算公式即可得出．（Ⅲ）ξ可取0，1，2，3，4．ξ=0表示甲乙丙丁四人都沒有通過；ξ=1表示四人中只有一人通過；ξ=3表示由3人通過；ξ=4表示四人都通過，利用分類討論和獨立事件的概率計算公式及其互斥事件的概率計算公式及其對立事件的概率計算公式和概率的性質即可得出，P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）﹣P（ξ=4）．【解答】解：（I）設“戊競聘成功”為A事件，而事件A競聘成功分為兩種情況：一種是戊會其中4題都選上，另一種是選上會其中4題的其中3道題和另一道題，基本事件的總數(shù)為．∴P（A）==（Ⅱ）設“參加A組測試通過的人數(shù)多于參加B組測試通過的人數(shù)”為B事件，包括三種情況：第一種是甲乙兩人都通過，而丙丁兩人都沒有通過；第二種情況是甲乙兩人都通過，而丙丁兩人種只有一人通過；第三種情況是甲乙兩人中只有一人都通過，而丙丁兩人都沒有通過．∴P（B）=+=．（Ⅲ）ξ可取0，1，2，3，4．可得P（ξ=0）==，P（ξ=1）=+=，P（ξ=3）=+=，P（ξ=4）==，P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）﹣P（ξ=4）=．列表如下：ξ01234P∴Eξ==．20.已知，函數(shù)，，.（Ⅰ）當時,求函數(shù)在點的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)在的極值;（Ⅲ）若在區(qū)間上至少存在一個實數(shù)，使成立，求正實數(shù)的取值范圍．

參考答案：由求導得，.（Ⅰ）當時,,所以在點的切線方程是（Ⅱ）令,(1)當即時(-1,0)0+0-0+↗極大值↘極小值↗故的極大值是;極小值是;(2)當即時在上遞增,在上遞減,所以的極大值為,無極小值.（Ⅲ）設

.對求導，得，因為，，所以，在區(qū)間上為增函數(shù)，則.依題意，只需，即，即，解得或（舍去）.所以正實數(shù)的取值范圍是.

略21.已知{an}是遞增的等比數(shù)列，，成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式；(Ⅱ)設數(shù)列{bn}滿足，，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.參考答案：(Ⅰ).(Ⅱ).【分析】(Ⅰ)由條件求出等比數(shù)列的首項和公比，然后可得通項公式．(Ⅱ)由題意得，再利用累加法得到，進而可求出．【詳解】(Ⅰ)設等比數(shù)列的公比為，∵，，成等差數(shù)列，∴，即，∴，解得或（舍去）又，∴.∴.(Ⅱ)由條件及（Ⅰ）可得．∵，∴，∴，∴．又滿足上式，∴∴．【點睛】對于等比數(shù)列的計算問題，解題時可轉化為基本量（首項和公比）的運算來求解．利用累加法求數(shù)列的和時，注意項的下標的限制，即注意公式的使用條件．考查計算能力和變換能力，屬于中檔題．22.已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，其中a為常數(shù)，設e為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當a=﹣1時，求f（x）的最大值；（2）設g（x）=xf（x），h（x）=2ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1，若x≥1時，g（x）≤h（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可；（2）當x≥1時，g（x）≤h（x）恒成立，即為xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x≤a﹣1，討論x=1和x＞1，由參數(shù)分離和構造函數(shù)g（x）=xlnx﹣（x﹣1）﹣（x﹣1）2（x＞1），求出導數(shù)和單調性，即可判斷g（x）的單調性，可得a的范圍．【解答】解：（1）a=﹣1時，f（x）=﹣x+lnx，f′（x）=﹣1+，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，故f（x）max=f（1）=﹣1；（2）當x≥1時，g（x）≤h（x）恒成立，即為xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x≤a﹣1，當x=1時，上式顯然成立．當x