第十二講小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)與形白色底板

第十二講小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)與形白色底板第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日教學(xué)目標(biāo)★掌握分?jǐn)?shù)、小數(shù)的概念及其分類★理解分?jǐn)?shù)和小數(shù)的性質(zhì)★了解分?jǐn)?shù)、小數(shù)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的安排和要求第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日二、分?jǐn)?shù)和小數(shù)1、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的概念及性質(zhì)（1）分?jǐn)?shù)概念及意義小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的表述：分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)的叫做分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數(shù)的叫做分?jǐn)?shù)單位。分?jǐn)?shù)的實(shí)質(zhì)——部分和整體的關(guān)系分?jǐn)?shù)的認(rèn)識被安排在兩個學(xué)段中進(jìn)行學(xué)習(xí)，即三年級初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)，五年級進(jìn)一步認(rèn)識分?jǐn)?shù)的意義。第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中分?jǐn)?shù)的概念的描述法給出

具體教學(xué)中是通過動手操作法來實(shí)現(xiàn)：在描述中，安排了平均分實(shí)物、圖形和線段等內(nèi)容。教學(xué)時，讓學(xué)生動手將實(shí)物、圖形和線段分一分，進(jìn)而給出了分?jǐn)?shù)的含義。心理學(xué)研究表明：兒童的思維是從動手開始的，切斷活動與思維的聯(lián)系，思維就不能得到發(fā)展。美國華盛頓圖書館的墻上貼有這樣的話：“我聽見了就忘了，我看見了就記住了，我做了就理解了。”這充分說明了小學(xué)生在學(xué)習(xí)中動手做的重要性。因此，對描述性概念的教學(xué)，必須根據(jù)其特點(diǎn)，努力為學(xué)生提供動手操作的機(jī)會，讓他們在做中學(xué)，在做中理解和掌握。例如，第五冊“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”中“分?jǐn)?shù)”這一概念，沒有給出定義，而是通過描述的方法說明它的含義的。第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日q一般的分?jǐn)?shù)的概念：兩個正整數(shù)p、q相除，可以用分?jǐn)?shù)p/q表示。即p÷q=p/q,其中p為分子，q為分母。P/q讀作p分之q.當(dāng)q=1時，p/q=p

第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日解釋一：一般的，分?jǐn)?shù)的意義p/q是將一個總體等分為q份而取其中p份.

根據(jù)這個意義，分?jǐn)?shù)的乘法可以解釋為：兩個分?jǐn)?shù)相乘p/q×m/n的意義是：在分?jǐn)?shù)p/q的基礎(chǔ)上，以p/q為總體，“再”等分為n份而取其中m份，其結(jié)果是p×m/q×n(q、n不等于零)，即P/q×m/n=p×m/q×n(q、n不等于零)例：3/4×2/5解釋二：當(dāng)一個整體（指基準(zhǔn)量）被等分后，集聚其中一部份的量稱為「分量」，而「分?jǐn)?shù)」就是用來表示或紀(jì)錄這個「分量」。這是從分?jǐn)?shù)的意義可從分割及合成活動來解釋，例如：2/5是指一個整數(shù)被分成五等分后，集聚其中二分的「分量」。

（2）分?jǐn)?shù)的意義

第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或都除以同一個不為零的數(shù)，所得到的分?jǐn)?shù)與原分?jǐn)?shù)的大小相等。a/b=a×k/b×k=a÷n/b÷n(b、k、n不等于零)

最簡分?jǐn)?shù)：分子與分母互素的分?jǐn)?shù)叫做最簡分?jǐn)?shù)

約分：把一個分?jǐn)?shù)的分子與分母的公因數(shù)約去的過程稱為約分。

第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日（3）分?jǐn)?shù)大小的比較根據(jù)分?jǐn)?shù)的定義可以給出分?jǐn)?shù)大小的定義：有兩個分?jǐn)?shù)a/b與c/d，若ad=bc,則a/b=c/d；若ad>bc,則a/b>c/d.方法一:根據(jù)分?jǐn)?shù)大小的定義比較分?jǐn)?shù)的大小方法二:分母相同比較分子大小方法三:分子相同比較分母大小方法四:求差第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日（4）百分?jǐn)?shù)的概念

小學(xué)數(shù)學(xué)五年級課程目標(biāo)一、數(shù)與代數(shù)1．?dāng)?shù)的認(rèn)識進(jìn)一步認(rèn)識小數(shù)和分?jǐn)?shù)，認(rèn)識百分?jǐn)?shù)；探索小數(shù)、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，并會進(jìn)行轉(zhuǎn)化（不包括將循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)）。理解倒數(shù)和百分?jǐn)?shù)的意義，會正確的讀、寫百分?jǐn)?shù)。百分?jǐn)?shù)的概念

第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日（5）分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系基本關(guān)系：被除數(shù)÷除數(shù)=被除數(shù)/除數(shù)

p÷q=p/q(q≠0,p∈Z,q∈N＋)注意：p∈Z，q∈N＋的含義分?jǐn)?shù)和除法的聯(lián)系：分子、分母和除號分別相當(dāng)于被除數(shù)、除數(shù)和分?jǐn)?shù)線。分?jǐn)?shù)和除法的區(qū)別：分?jǐn)?shù)是一種數(shù)，除法是一種運(yùn)算第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日（6）倒數(shù)的認(rèn)識

關(guān)于倒數(shù)，《辭海》給出的定義是：“如果a是一個不等于零的數(shù)，則稱1／a為a”的倒數(shù)”（1999年版，第一卷，644頁）。顯然這個定義對于小學(xué)生來說太過抽象。在初中的教材中，對倒數(shù)的概念是這樣給出的：“乘積為1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)。例如，－3與－1／3,－3／8與－8／3.”（義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)組、北京師范大學(xué)國家基礎(chǔ)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗教材總編委會編《數(shù)學(xué)（七年級上冊）》），這個定義中學(xué)生比較好理解。在我們的教材中，敘述更加貼近兒童語言，但實(shí)質(zhì)是一樣的。

第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日

第三單元《倒數(shù)》（如下圖）一課中，“什么是倒數(shù)”，是通過觀察總結(jié)得出概念的：第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日

（7）小學(xué)數(shù)學(xué)中分?jǐn)?shù)的安排和要求（三年級）教學(xué)內(nèi)容：初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)，會讀、寫簡單的分?jǐn)?shù)。會比較同分母分?jǐn)?shù)的大小。初步學(xué)會計算簡單的同分母分?jǐn)?shù)的加、減法。教學(xué)要求：初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)，會讀、寫簡單的分?jǐn)?shù)。會比較同分母分?jǐn)?shù)的大小。初步學(xué)會計算簡單的同分母分?jǐn)?shù)的加、減法。

（五年級）教學(xué)內(nèi)容：分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)。分?jǐn)?shù)的意義。分?jǐn)?shù)單位。分?jǐn)?shù)大小的比較。分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)。帶分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。約分。通分。分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化。分?jǐn)?shù)的加法和減法。分?jǐn)?shù)加、減法的意義。分?jǐn)?shù)加、減法運(yùn)算（不含帶分?jǐn)?shù)）。加法的運(yùn)算定律推廣到分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)、小數(shù)加、減混合運(yùn)算。教學(xué)要求：理解分?jǐn)?shù)的意義和基本性質(zhì)。會比較分?jǐn)?shù)的大小，比較熟練地進(jìn)行約分和通分。會進(jìn)行分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化。理解分?jǐn)?shù)加、減法的意義。掌握分?jǐn)?shù)加、減法的計算法則，能夠比較熟練地計算分?jǐn)?shù)加、減法。正確地進(jìn)行分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算。會口算簡單的分?jǐn)?shù)加、減法。第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日（六年級）教學(xué)內(nèi)容：分?jǐn)?shù)的乘法和除法。分?jǐn)?shù)乘法的意義。分?jǐn)?shù)乘法。乘法的運(yùn)算定律推廣到分?jǐn)?shù)。倒數(shù)。分?jǐn)?shù)除法的意義。分?jǐn)?shù)除法。分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算。

百分?jǐn)?shù)、比和比例，百分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)。比例的意義和基本性質(zhì)。解比例。成正比例的量和成反比例的量。比的意義和性質(zhì)。比例的意義和基本性質(zhì)。解比例。成正比例的量和成反比例的量。

教學(xué)要求：理解分?jǐn)?shù)乘、除法的意義。掌握分?jǐn)?shù)乘、除法的計算法則。會計算分?jǐn)?shù)乘、除法。會口算簡單的分?jǐn)?shù)乘、除法。會進(jìn)行分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算（不超過三步）。理解百分?jǐn)?shù)的意義。知道百分?jǐn)?shù)在實(shí)際中的應(yīng)用。會進(jìn)行有關(guān)百分?jǐn)?shù)的計算。理解比的意義和性質(zhì)。會求比值和化簡比。理解比例的意義和基本性質(zhì)。會解比例。理解正、反比例的意義。會判斷兩個量是否成正比例或反比例。通過比例的教學(xué)，使學(xué)生進(jìn)一步受到辯證唯物主義觀點(diǎn)的啟蒙教育。第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日參考資料：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中分?jǐn)?shù)的引入

根據(jù)三年級學(xué)生思維發(fā)展和生活經(jīng)驗的特點(diǎn)，教材從學(xué)生熟悉的、并且能夠?qū)嶋H操作的分物情境引入分?jǐn)?shù)。問題：一個蘋果平均分給兩個人，每人分多少？怎樣表示呢？鼓勵學(xué)生討論用什么方式來表示“一半”。這個討論過程，一方面可以使學(xué)生意識到原來學(xué)過的數(shù)不夠用了，感到學(xué)習(xí)新知識的必要性；另一方面可以鼓勵學(xué)生發(fā)揮想象，大膽創(chuàng)造表示“一半”的方法。學(xué)生可以畫圖來表示，也可以發(fā)明自己的符號來表示。在此基礎(chǔ)上，再引入“一半可以用1/2來表示”。這實(shí)際上鼓勵學(xué)生經(jīng)歷了從運(yùn)用自己的符號表示到運(yùn)用數(shù)學(xué)符號進(jìn)行表示的過程。

第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日進(jìn)而，教師安排了分別涂出一些圖形的1/2，不僅有利于學(xué)生借助幾何模型體會分?jǐn)?shù)的意義，并且學(xué)生將感受到1/2不僅可以表示半個蘋果，還可以表示許多事物的“一半”，感受數(shù)學(xué)符號的作用。“分一分（二）”的主要內(nèi)容是感受可以用分?jǐn)?shù)表示由多個個體組成的整體中的若干份。這種分?jǐn)?shù)“整體”意義的拓展，更多突出了分?jǐn)?shù)的實(shí)質(zhì)——部分和整體的關(guān)系。第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日2、小數(shù)的概念、性質(zhì)及分類（1）小數(shù)概念及意義小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的表述：小數(shù)：像5.98、0.85、2.60的數(shù)叫做小數(shù)。小數(shù)計數(shù)單位是：十分之一、百分之一、千分之一......分別記作:0.1、0.01、0.001，......小數(shù)的產(chǎn)生是由于測量的需要.在進(jìn)行測量和計算時,往往不能正好得到整數(shù)的結(jié)果,這時常用小數(shù)來表示第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日（2）小數(shù)的讀法和寫法小數(shù)的記數(shù)法（寫數(shù)）記數(shù)的含義：用符號表示數(shù)，就是把數(shù)寫下來的意思。記數(shù)的基礎(chǔ)：位值制.數(shù)位順序表,如下表：具體方法：記數(shù)符號——阿拉伯?dāng)?shù)字（１０個）和小數(shù)點(diǎn)順序——從高往低寫起整數(shù)部分讀法同自然數(shù)，小數(shù)部分依次讀出每個數(shù)字小數(shù)部分......位百位十位個位小數(shù)點(diǎn)......百十一(個).十分位百分位千分位萬分位...十分之一百分之一千分之一萬分之一...小數(shù)部分

小數(shù)部分第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日練習(xí)：讀出下列小數(shù)２４５４３６８９.0387

２４５４，３６８９.0387３５７３８３４５１２.0005３５，７３８３，４５１２.0005

３８９０１０２０.2899３８９０，１０２０.2899１５０２８５４３２９００.0010１５０２，８５４３，２９００.0010１００２８５４３２９００１００２，８５４３，２９００.1000第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日

小數(shù)的認(rèn)識被安排在三個學(xué)段中進(jìn)行學(xué)習(xí)，即三年級初步認(rèn)識小數(shù)，四年級初步認(rèn)識小數(shù)的意義和性質(zhì),五年級認(rèn)識小數(shù)乘除法。三年級下冊的小數(shù)的初步認(rèn)識限制在元、角、分背景下，把元、角、分作為一種生活原型，幫助學(xué)生初步認(rèn)識和學(xué)習(xí)小數(shù)的讀、寫和一位小數(shù)的大小比較等。四年級下冊的小數(shù)加減法內(nèi)容則是脫離元、角、分背景，從實(shí)際情境的數(shù)量中抽象出小數(shù)的意義，進(jìn)行小數(shù)的比較大小。第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日參考資料：閱讀指導(dǎo)法

小學(xué)數(shù)學(xué)中的描述性概念主要是通過文字和圖形來體現(xiàn)的。課本中揭示概念的文字和圖形是指導(dǎo)學(xué)生閱讀的重要內(nèi)容。教師在教學(xué)時，不要認(rèn)為這些內(nèi)容可有可無而輕易放過，應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真閱讀，逐字逐句體會，從而達(dá)到真正理解的目的。例如第七冊“小數(shù)的初步認(rèn)識”這一單元中，對于“小數(shù)”，教材是通過列舉大量的例子來說明的。這樣的內(nèi)容，指導(dǎo)學(xué)生閱讀比由教師講學(xué)生聽效果好得多。第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日（3）小數(shù)的性質(zhì)根據(jù)這條性質(zhì)可以化簡小數(shù)。如0.20=0.2問題：0.20和0.2的意義相同嗎？小數(shù)的末尾添上“0”或去掉“0”小數(shù)的大小不變第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日（4）小數(shù)大小的比較練習(xí):比較下列分?jǐn)?shù)的大小209.05與209.12；0.002與0.010整數(shù)不為“0”時，先比較整數(shù)的大小整數(shù)為“0”時，依次比較十分位、百分位...的大小第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日（5）小數(shù)的分類

純小數(shù)循環(huán)小數(shù)小數(shù)小數(shù)帶小數(shù)不循環(huán)小數(shù)有限小數(shù)小數(shù)無限小數(shù)思考：分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？第二十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日（6）小學(xué)數(shù)學(xué)中小數(shù)的安排和要求

（四年級）教學(xué)內(nèi)容：小數(shù)的意義、性質(zhì)。小數(shù)的大小的比較。小數(shù)點(diǎn)移位引起小數(shù)大小的變化。小數(shù)的近似值。加法和減法。加法運(yùn)算定律推廣到小數(shù)。教學(xué)要求：理解小數(shù)的意義和性質(zhì)。比較熟練地進(jìn)行小數(shù)加、減法筆算（對位數(shù)個數(shù)的限制與整數(shù)加、減法相同