2021-2022學(xué)年廣東省陽江市高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（四）（附答案詳解）

2021-2022學(xué)年廣東省陽江市陽春一中高三（上）月考數(shù)

學(xué)試卷（四）（12月份）

1.已知集合4={陽―1<x<5},B={1,3,5},則4nB=（）

A.{1,3}B.{1,3,5}C.[1,2,3,4}D.{04,2,3,4,5）

2.設(shè)z=—3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.函數(shù)y=e2—elM的圖象可能是（）

A.B.

C.D.x

4,已知AABC的邊BC上有一點(diǎn)滿足而=4比，則而可表示為（）

A.AD=-AB+-ACB.AD=-AB+-AC

4444

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB+-AC

5555

5.下列有關(guān)命題的說法錯(cuò)誤的是（）

A.在△4BC中，“4>8”是“a>“’的充要條件

B.“x=1”是“x21”的充分不必要條件

2

C.若命題p：3x0eR，以20,則命題->p：VxeR,x<0

D."sinx=的必要不充分條件是“x=J”

6.明朝早期，鄭和七下西洋過程中，將中國古代天體測(cè)量方面所取得的成就創(chuàng)造性地

應(yīng)用于航海，形成了一套先進(jìn)航海技術(shù)-“過洋牽星術(shù)”.簡單地說，就是通過觀測(cè)

不同季節(jié)、時(shí)辰的日月星辰在天空運(yùn)行的位置和測(cè)量星辰在海面以上的高度來判斷

方位.其采用的主要工具是牽星板，由12塊正方形木板組成，最小的一塊邊長約2

厘米（稱一指），木板的長度從小到大依次成等差數(shù)列，最大的邊長約24厘米（稱十

二指）.觀測(cè)時(shí)，將木板立起，一手拿著木板，手臂伸直，眼睛到木板的距離大約為

72厘米，使?fàn)啃前迮c海平面垂直，讓板的下緣與海平面重合，上邊緣對(duì)著所觀測(cè)

的星辰，依高低不同替換、調(diào)整木板，當(dāng)被測(cè)星辰落在木板上邊緣時(shí)所用的是幾指

板，觀測(cè)的星辰離海平面的高度就是幾指，然后就可以推算出船在海中的地理緯度.

如圖所示，若在一次觀測(cè)中，所用的牽星板為六指板，則tan2a=()

7.已知根，〃是兩條不同直線，a,夕是兩個(gè)不同平面，有下列四個(gè)命題:

①若m〃a,n//a,則巾〃n；

②若n1a,ml/?,m//n,則a〃伙

③若al/?,mlfa,n1/?,則?n〃n；

④若a〃0,mca,mln,則n1因

其中，正確的命題個(gè)數(shù)是()

A.3B.2C.1D.0

8.已知關(guān)于x的不等式黨產(chǎn)>lnx在(0,+8)上恒成立，則實(shí)數(shù)/I的取值范圍為()

A.(^,+oo)B.(e,+oo)C.D.(0,e)

9.若a<b<0,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的有()

A.-<iB.0<-<1C.ab>b2D.->-

abbab

10.若將函數(shù)/(x)=cos(2x+￡)的圖象向左平移g個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象,

1Z8

則下列說法正確的是()

A.g(x)的最小正周期為兀B.g(x)在區(qū)間［0,堂上單調(diào)遞減

C.函數(shù)g(x)的象關(guān)于點(diǎn)邑0)對(duì)稱D.g(x)在［-2勺上的最小值為一：

3662

11.設(shè){an}(n€N*)是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，Kn是其前"項(xiàng)的積，且&<

K6,K6=K7>K8,則下列選項(xiàng)中成立的()

A.0<q<1B.a7=1

C.K9>K5D.9與%均為K”的最大值

12.如圖所示,在正方體ZBCD-A/iGDi中，過對(duì)角線

的一個(gè)平面交棱441于E,交棱CG于凡則下列命題中

是真命題的為()

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A.四邊形有可能是正方形

B.平面BFDiE有可能垂直于平面B/D

C.設(shè)久尸與。C的延長線交于M,與D4的延長線交于N,則M、N、B三點(diǎn)共

線

D.四棱錐&-BFDiE的體積為定值

13.已知向量五=(l,fc),b=(9,fc-6).若五〃反則實(shí)數(shù)k=.

14.已知x>0,y>0,Ig2x+lg8^=lg2,則:+己的最小值是.

15.已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.

16.若在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同

樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.現(xiàn)對(duì)數(shù)列3,4進(jìn)行構(gòu)造，第一次得到數(shù)列3,7,

4；第二次得到數(shù)列3,10,7,11,4；依次構(gòu)造第n(nGN*)次得到數(shù)列3,與，小，…，

xfc.4,記即=3+%1+x2+—+xk+4,則=，設(shè)數(shù)列｛時(shí)｝的前n項(xiàng)和為

Sn,則Sn=.

17.己知數(shù)列｛%J，若.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)歹股」一｝的前n項(xiàng)和7.

anan+ln

從下列3個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上，然后對(duì)題目進(jìn)行求解.

①為=1,a4=7,2an=即_1+an+1(neN*,n>2)；

②前n項(xiàng)和&=n2：

③臼=1,點(diǎn)4(n,an),B(n+l,an+i)在斜率是2的直線上.

18.已知△ABC中，a,h,c分別為角A,B,C的對(duì)邊，a>b且acos2B=bsinA.

⑴求8；

(2)若。為BC邊的中點(diǎn)，AD=?BC=2遮,求△4BC的面積.

19.如圖，在多面體ABCDE中，AE8為等邊三角形，AD//BC,BCLAB,CE=2近,

AB=BC2AD=2,F為EB的中點(diǎn).

(1)證明：AF〃平面OEC；

(2)求多面體ABCQE的體積.

20.已知數(shù)列｛%｝中,%=1,即+1a九+3eN*>

(1)求。2，。3；

(2)求證：｛高+｝是等比數(shù)列，并求5｝的通項(xiàng)公式％?；

(3)數(shù)列｛'｝滿足垢=(3"-1)?奈an,數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為〃，若不等式

(-l)nA<7；+會(huì)對(duì)一切neN*恒成立，求;I的取值范圍.

21.在四棱錐P—4BCD中，底面ABCQ為正方形，PB=PD,

(1)證明：ffiP/lCIffiABCD-,

(2)若PA與底面ABCD所成的角為30。，PA1PC,求二面角的B-PC-。余弦值.

22.已知函數(shù)/'(x)=(%-2)-ez-j(x-l)2,g(x)=m(x+Inx)-2ex.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)a=0時(shí)，令尸(%)=f。)-g(x)，若的是函數(shù)F(%)的極值點(diǎn),且尸(&)>0,

求證：F(x)>—2%Q+2x0.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了交集的定義及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：???4=團(tuán)-1cx<5},B={1,3,5),

AC\B={1,3}.

故選：A.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查共朝復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

求出z的共挑復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

【解答】

解：?：z=-3+2i,

**.z=-3—23

???在復(fù)平面內(nèi)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-3,-2),在第三象限.

故選C.

3.【答案】B

【解析】解：函數(shù)y=e?-e團(tuán)是偶函數(shù)，x=0時(shí);y=e2-e>0,x>0時(shí)，函數(shù)是

減函數(shù)，所以函數(shù)的圖象是B.

故選：B.

利用函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性，推出結(jié)果即可.

本題考查函數(shù)的圖象的判斷，函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性是判斷函數(shù)圖象的常用方

法.

4.【答案】D

【解析】解：:前=4瓦;

.-.AD-AB=4(AC-AD)；

???5AD=4AC+AB；

一1一4一

***AD=4~~AC.

故選：D.

根據(jù)前=4反即可得出而一通=4（前一而），解出向量而即可.

考查向量減法的兒何意義，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算.

5.【答案】D

【解析】解：對(duì)于：A：在△ABC中，根據(jù)大邊對(duì)大角和大角對(duì)大邊，所以“4>

B"Q“a>b”即“A>B”是“a>b”的充要條件；故A正確；

對(duì)于8：當(dāng)“x=1”時(shí)，“%>r成立，反之不成立，故"x=r是"X>1"的充

分不必要條件，故8正確；

2

對(duì)于C：命題p：3%06R，xl>0,則命題rp：VxGR,x<0,故C正確；

對(duì)于D：“sinx=的充分不必要條件是"x=,故。錯(cuò)誤.

26

故選：D.

直接利用充分條件和必要條件的應(yīng)用判斷ABC的結(jié)論，進(jìn)一步利用命題的否定的應(yīng)用

判斷C的結(jié)論.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：命題的否定和充分條件和必要條件的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算

能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

6.【答案】A

【解析】解：由題意知六指為2+5x三號(hào)=12厘米,

所以tana=!|=：,

2tana_2xq_12

所以tan2a=

l-tan2a1--35

36

故選：A.

由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出六指高度，再計(jì)算tana和tan2a的值.

本題考查了三角函數(shù)求值問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：已知機(jī)，〃是兩條不同直線，a,/?是兩個(gè)不同平面，

①若m〃a,n//a,則直線相和〃可能相交也可能異面，故m〃九錯(cuò)誤.

②若九_(tái)La,ml/?,m//n,則直線相和〃可以看成是平面a和￡的法向量，由于小〃幾，

則a〃丑，故正確；

③若al/?,mlja,n1.0,則m〃九也可能7nl.九，故錯(cuò)誤；

④若a〃￡,mea,mln,沒說明直線〃的位置，也有可能九〃￡,故幾，￡錯(cuò)誤.

故選：C.

直接利用線面平行和線面垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：線面垂直和線面平行的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的轉(zhuǎn)換

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能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.

8.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算

求解能力，是中檔題.

不等式轉(zhuǎn)化為>(x4-l)lnx=(elnx4-l)lnx,設(shè)/(%)=(e*+l)x,x>0,則

/(Ax)>/(lnx),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得%>等在(1,+8)上恒成立，

設(shè)。(乃=手，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可求出4的取值范圍?

【解答】

解：關(guān)于x的不等式作：：：)&>Inx在(0,+8)上恒成立，

則(e&+l)Ax>(%4-l)lnx=(elnx+l)lnx,

設(shè)/(%)=(/+1)%，x>0,

???f(Ax)>/(Inx),

??,/'(%)=ex(x+1)+1>0,

???/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

:.Ax>Inx>0,

A>?在(1,+8)上恒成立，

設(shè)g(x)=竽x>1,

...g'(x)=等，

令g'(x)=0，解得％=e，

當(dāng)l<xVe時(shí)，g'(%)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)%>e時(shí),g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

-gQ)max=g(e)=%

**?A>

e

故選：4

9.【答案】ABD

11

貝n

J->-

【解析】解：對(duì)于A,令a=-2,b=-1,ad

對(duì)于8,令a=-2,b=-1,則：=2,故8錯(cuò)誤，

b

對(duì)于C,va<b<0,

/.ab—b2=b(a—6)>0,B|Jab>b2,故C正確，

對(duì)于￡>,令Q=—2,b=—1,滿足a<bV0,但2Vs故。錯(cuò)誤.

ab

故選：ABD.

根據(jù)已知條件，結(jié)合特殊值法和作差法，即可求解.

本題主要考查特殊值法和作差法，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AQ

【解析】解：???將函數(shù)/。)=85(2》+3)的圖象向左平移三個(gè)單位長度，

128

得到函數(shù)g(x)=cos(2x+q+*)=cos(2x+g)的圖象，

故g(x)的最小正周期為§=TT,故4正確；

在區(qū)間[0為上，2%+^e[py],函數(shù)gQ)沒有單調(diào)性，故B錯(cuò)誤；

當(dāng)x=g時(shí)，g(x｝=-1,故％=三是函數(shù)g(x)圖象的對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤；

在[一2勺上，2x+ge[0,3，函數(shù)g(%)的最小值為g(g)=—；,故O正確，

故選:AD.

由題意利用函數(shù)y=4sin(3x+0)的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論.

本題主要考查函數(shù)y=Asin(3x+尹)的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中

檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于8,若%=跖,則Ci7=?=l,故8正確；

K6

對(duì)于A,由K5＜《可得。6=》＞1，則勺=氣€(0,1),故A正確；

對(duì)于C,由｛即｝是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列且q6(0,1)可得數(shù)列單調(diào)遞減，則有跖＜降,

故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，結(jié)合K5＜K6,K6=K7＞K8,可得。正確.

故選：ABD.

根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)分析選項(xiàng)，綜合即可得答案.

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意等比數(shù)列的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)A,若四邊形BF5E有可能是正方形，則

又1平面2BB14,EBu平面28814，

???D1A11EB,又OiEDDiAi=

???EB平面4山送，而4B，平面

???E與A重合，此時(shí)四邊形BFDiE為矩形D14BG，

.??四邊形BFDiE不可能是正方形，二4錯(cuò)誤；

對(duì)8,當(dāng)E,F都為中點(diǎn)時(shí)，可知EF〃/1C,而易知4cl平面BB/i。，

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EF1平面BB/i。，EFu平面BFQE,

二平面BFOiE，平面88也。，???8正確；

對(duì)C,-：MeDyFu平面BFQE,MeDCu平面ABCD,

又NGDrEu平面8尸。止，N&ADu平面ABCD,

M,NABCD,又BC平面BF^En平面ABC。，

M,N,B三點(diǎn)在平面BFD]E與平面ABC。的交線上，C正確；

對(duì)D,VBI-BFD'E=2VBi-EFB=2%-BFB]=2x,xS^BFB1xAB=2x-x(-xBBrx

BC)xAB

???四棱錐Bi-BFDiE的體積為定值，D正確.

故選：BCD.

根據(jù)線面垂直的判定定理，線面垂直的性質(zhì)定理，面面垂直的判定定理，面面相交的公

理，轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)的等體積思想即可求解.

本題考查線面垂直的判定定理，線面垂直的性質(zhì)定理，面面垂直的判定定理，面面相交

的公理，轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)的等體積思想，屬中檔題.

13.【答案】—：

【解析】

【分析】

本題考查向量共線的充要條件，若3=(%i,yi),K=(%2，丫2)，則日〃方Q與了2-x2yi=0.

根據(jù)向量共線的充要條件可得關(guān)于火的方程，解出即可.

【解答】

解：由N〃1,得1x(k-6)-9k=0,解得k=-￡

故答案為：一*

14.【答案】4

【解析】解:lg2x+1g8y=lg2x+1g23y=(%+3y)lg2,

又由lg2"+lg8y=lg2,

則x+3y=1,

進(jìn)而由基本不等式的性質(zhì)可得，

—+--=(%+3y)(—+—)=24--+—>2+2=4,

x3y'，八43y7x3y

當(dāng)且僅當(dāng)％=3y時(shí)取等號(hào)，

故答案為：4.

由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，lg2”+lg8y=lg2x+lg23y=(%+3y)lg2,結(jié)合題意可得,%+3y=

1;再利用1的代換結(jié)合基本不等式求解即可.

本題考查基本不等式的性質(zhì)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算，注意基本不等式常見的變形形式與運(yùn)用，如

本題中，1的代換.

15.【答案】日兀

【解析】解：因?yàn)閳A錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)該為該

圓錐的內(nèi)切球，

如圖，圓錐母線BS=3,底面半徑BC=1,

則其高SC=>JBS2-BC2=2>/2,

不妨設(shè)該內(nèi)切球與母線BS切于點(diǎn)D,

令。。=0C=r,由^SODs&SBC,則絲=—,

OSBS

即—一=三，解得r=立，

242-r32

4V2

Vlz=-nr3=——n,

33

故答案為：當(dāng)加

易知圓錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)為圓錐的內(nèi)切球，作圖，求得出該內(nèi)切球的半徑即可求出球

的體積.

本題考查圓錐內(nèi)切球，考查球的體積公式，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

16.【答案】987(3，'+1+2n~3)

4

【解析】解：根據(jù)題意，由的=3+7+4=14,%=+21,%=。2+63,%=。3+

3n-1

7X3,?,,,可得an=an_i4-7x3,

n

即即—an_i=7x3t,

a12

所以a九=Cl^—Cln-i+CLn-l—n-2+…+。2—%+%=14+7X(3+3+…

+3nT)=14+7X=14+^(3n-3)=|(3n4-l),

n=

所以的=((3?+1)=98,所以％=%+的+…+冊(cè)=式31+32+…+3)+(九QX

3(1-3")+Z九_(tái)21(3九-1)+工九_(tái)7(3-+1+2」—3)

1-3丁2-4丁2一4?

故答案為：98；7(3-1拌2.

4

根據(jù)題意可得an=an-i+7x3吁1,即即-an_x=7X3”、再利用累加法可求出a”

從而確定。3的值，再利用分組求和法即可計(jì)算出工.

本題主要考查數(shù)列的遞推公式與分組求和法，考查推理與運(yùn)算求解能力，涉及邏輯推理、

數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

17.【答案】解:(1)若選①,則⑴由2%=冊(cè)-1+冊(cè)+1(716”,71心2)可得：數(shù)列｛斯｝為

等差數(shù)列，

又因?yàn)榈?1,%=7,所以4—%=3d,即d=2,

所以61n=1+(n-1)x2=2n—1.

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若選②，貝1］（1）由571=所以nN2,S71T=（幾一I）2,

22

兩式相減可得：n>2,an=n-（n-I）=2n-1,

而在%=M中令n=i可得：%=1,符合上式，

故冊(cè)=2n—1.

若選③，則（1）由點(diǎn)4（幾即），8（幾+1,。九+1）在斜率是2的直線上得：；；；；；：；=2,

即％i+l-Qn=2,

所以數(shù)列｛Qn｝為等差數(shù)列且Qn=14-（n-1）x2=2n-1.

（2）由⑴知:肅丁而總寸L一熹），

所以7n=；［（l-｝+G—｝+……+（表一擊）］

=i（l--）=—.

2'2n+ly2n+l

【解析】若選①，Q）由26=即_1+即+iCnG/V*,n>2）可得：數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列,

進(jìn)而即可得出數(shù)列｛^｝的通項(xiàng)公式；（2）將所求式子裂項(xiàng)為-^=#7-六，然后求

。日。n十］2?T1ZZlI1

和即可得出所求的答案.

2

若選②，（1）首先由％=7?可得：n>2,Sn_i=（n-I）,然后兩式相減化簡即可得出

n>2,a“的通項(xiàng)公式，但要注意驗(yàn)證第一項(xiàng)是否也滿足；（2）同上.

若選③，（1）由點(diǎn)A（n,an）,B（n+i,an+i）在斜率是2的直線上可得:an+1-an=2,

進(jìn)而得出數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列，即可求出其通項(xiàng)；（2）同上.

本題考查等差數(shù)列及其前〃項(xiàng)和、裂項(xiàng)相消法求和，屬中檔題.

18.【答案】解：（1）在A4BC中由正弦定理目=七=三=2/?及B

'sinAsinBsmC

條件acos2B=bsinA,

可得sirh4cos2B=sinBsin/,」

因?yàn)?€（0,兀），sin4>0,'

所以cos2B=sinB,

因?yàn)閏os28=1-2sin2B=sinB,

所以2sin?B+sinB—1=0,可得sinB=—1,或sinB=

又因?yàn)镼>b,可得

所以8為銳角，sinB>0,

所以8=2

6

（2）D為BC邊的中點(diǎn)，AD=V7,BC=2由,得BD=6,

△ABD中，由余弦定理得4。2=+BD2_2AB.BD.cosB,

所以7=4爐+3—2AB-V3cos-,

6

所以力B2-34B-4=0,

解得AB=4,

可得S—BC=\AB-BC-sinB=|x4x2V3xsin30°=2Vl

【解析】(1)在△ABC中由正弦定理，二倍角的余弦公式化簡已知等式可得2siMB+

sinB-1=0,解方程可得sinB的值，結(jié)合B為銳角，可得B的值.

(2)由題意可求8。的值，在AABD中，由余弦定理得482-348-4=0,解方程可得

AB的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可計(jì)算得解.

本題主要考查了正弦定理，二倍角的余弦公式，余弦定理，三角形的面積公式在解三角

形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和方程思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)證明：取EC中點(diǎn)例，連結(jié)FM,DM,

???AD//BC//FM,AD=^BC=MF,

???四邊形AQMF是平行四邊形，

.-.AF//DM,

???AFC平面DEC,DMu平面DEC,

AF〃平面DEC.

(2)解：vEB2+CB2=EC2,CB1BE,

又?:CBLAB,ABC\BE=B,AB,BEu平面ABE,

：■CB1平面ABE,

■■■BCu平面ABCD,二平面ABCD1平面ABE,

過E作AB的垂線，垂足為”，則EH為四棱錐E-4BC。的高.EH=V3,

底面四邊形438為直角梯形，其面積5=史詈=3,

二多面體ABCDE的體積：

^E-ABCD=孑Sh=孑X3XV3=V3.

【解析】本題考查線面平行的證明，考查多面體的體積的求法，考查空間中線線、線面、

面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

(1)取EC中點(diǎn)M,連結(jié)尸M,DM,推導(dǎo)出4F〃OM,由此能證明/平面DEC.

(2)推導(dǎo)出CB1BE,CB1.AB,從而CB1平面A8E,進(jìn)而平面48CDJ?平面ABE,過E

作AB的垂線，垂足為“，則E"為四棱錐E-ABCD的高.EH=6,由此能求出多面

體ABCDE的體積.

20.【答案】(1)解：a?=士=”3=寸=套

1十3q—+jio

4

(2)證明：由a“+i='吃得二一=阻9=1+二，

即+3an+1anan

即一a--F-=3(-+-),

n+i2an2

又三+3=5

Q122

第12頁，共16頁

???｛2+§是以|為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

1,13?好_13n

an222

即0=-

Fn3n-l

(3)解：由(2)知:即=于占.

nn

因?yàn)閎n=(3-1)--?an,所以bn=(3-1)*./三=景P

因此〃=lx蠢+2**+3*表+...+(『1).會(huì)+展篇，

?=lx*+2x蠢+…+5-1).肅+n*,

兩式相減得

7；1111n

22°丁21T22TT2n_12n

_Y)"n_271+2

1-12n2n

所以7n=4—翳，

因此不等式(—1)-<〃+券對(duì)一切neN*恒成立等價(jià)于：

不等式(―1)”<4-對(duì)一切neN*恒成立.

①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，不等式(一1)”<4-w9對(duì)一切偶數(shù)n,neN*恒成立等價(jià)于:

不等式4<4-治對(duì)一切偶數(shù)"，n€N*恒成立，

而數(shù)列"-紊｝是單調(diào)遞增數(shù)列，

因此當(dāng)n=2時(shí)，數(shù)列｛4-於｝有最小值3,

所以3.

②當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，不等式(一1)”<4-方魯對(duì)一切奇數(shù)〃，iieN*恒成立等價(jià)于:

不等式-2<4一短對(duì)一切奇數(shù)〃，n€N*恒成立，

而數(shù)列｛4是單調(diào)遞增數(shù)列，

因此當(dāng)n=1時(shí)，數(shù)列｛4-有最小值2,

所以—2<2,解得4>—2.

綜上所述，—2<4<3,

即;I的取值范圍為(-2,3).

【解析】本題考查了不等式的恒成立問題，數(shù)列的遞推關(guān)系，等比數(shù)列的概念，等比數(shù)

列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法，數(shù)列的函數(shù)特征和分類討論思想，屬于較難題.

(1)利用的=1,a=-^7-,可求a?，a；

n+1an+s3

(2)把題目給出的數(shù)列遞推式取倒數(shù)，即可證明數(shù)列｛三+3是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的

an2

通項(xiàng)公式求得工+；=5X3"T=V-則數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)可求；

QnNN/n

n

(3)把數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)時(shí)代入匕=(3-l)~-an,由錯(cuò)位相減法求得7；=4-券，

從而把問題轉(zhuǎn)化為不等式(-1)-<4-六對(duì)一切nGN*恒成立，再對(duì)n分奇、偶討論,

結(jié)合數(shù)列的函數(shù)特征和不等式的恒成立問題處理策略，計(jì)算得結(jié)論.

21.【答案】證明：(1)連接AC,交點(diǎn)為。,

,??四邊形4BCD為正方形，.,?力CJ.BD,

vPB=PD,OB=0D,二BD10P,

又???opnac=o,OP、ACC?PAC,

BD1面PAC,

又BDu面ABCD,

.,.面PAC1面4BCD.

解：（2）?.?面PAC_L面A8CC,過點(diǎn)P作PEIAC,垂足為E,

???PE_L面ABCD,

???PA與底面ABCD所成的角為30。，二ZP4C=30°,

又PA1PC,設(shè)PC=2,

則4P=2V3,PE=6，AE=3,AC=4,AD=2或，

如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，48為》軸，AO為y軸，過4作平面ABC。的垂線為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系4-xyz,

則4(0,0,0),B(2V2,0,0),C(2或,2企,0),D(0,2V2,0),P(苧，苧,遮)，

設(shè)面PBC法向量為元=(x,y,z),FC=(0,2V2,0),CP=(-y,-y,V3),

(n-BC=2V2y=0

則一片V2V2,-，令z=l,Rijn=(V6,0,l),

[n-CP=——x——y+V3z=0

同理面PCD的法向量沅=(0,后,1),

一一n-m11

cos<n,m>=一一=———=

\n\-\m\V7-V77

由圖知二面角B-PC-。的平面角是鈍角，

.??二面角B-PC-。的余弦值為一：.

【解析】本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線

面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔

題.

(1)連接AC,交點(diǎn)為。，推導(dǎo)出4C_L8。，BD1OP,從而80_1面P4C,由此能證

明面尸ACL^ABCD.

(2)過點(diǎn)P作尸EL4C,垂足為E,以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，過A作平

面ABCO的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系4-xyz,利用向量法能求出二面角B-

PC-。的余弦值.

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22.【答案】解：(l)f(x)=(%-l)ex-a(x-1)=(%-l)(ex-a),

當(dāng)QWO時(shí)，則當(dāng)％€(-8,1)時(shí)，f(%)<0；

當(dāng)16(1,+8)時(shí)，ff(x)>0,所以/(%)在(一8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)Q>0時(shí)，由/'(%)=0,得％=1或x=Ina,若Q=e,則/(%)=(%—l)(ex—e)>0,

所以八》)在(一8,+8)上單調(diào)遞增，

②若0VaVe,則Ina<1,故當(dāng)％€(—8,Ina),(1,+8)時(shí),ff(x)>0,

當(dāng)xw(lna,l)時(shí)，f(x)<0,所以/(乃在(-8,Ina),(1,+8)上單調(diào)遞增,在(Ina,1)上

單調(diào)遞減，

③若Q