2021-2022學(xué)年貴州省貴陽市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

202L2022學(xué)年貴州省貴陽市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共32.0分）

1.若五，方是兩個(gè)單位向量，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.a=KB-a2=b2C.a//bD.a-b=l

2.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足i-z=l-i,貝llz在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.某校從參加高一年級(jí)期中考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們的數(shù)學(xué)成績?nèi)?/p>

下：（滿分：100分）

學(xué)生ABCDEFGH/J

成績（分）82816578687596908872

由此可知，這10名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的75%分位數(shù)是分.（）

A.81B.82C.85D.88

4.如圖①，普通蒙古包可近似看作是圓柱和圓錐的組合體；如圖②，已知圓柱的底

面直徑4B=16米，AD=4米，圓錐的高PQ=6米，則該蒙古包的側(cè)面積約為（）

A.3367r平方米B.272兀平方米C.2087r平方米D.1447r平方米

5.從貴陽市某高中全體高一學(xué)生中抽取部分學(xué)生參加體能測試，按照測試成績繪制莖

葉圖,并以[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]為分組作出頻率分布直

方圖，后來莖葉圖受到了污損，可見部分信息如圖，則參加體能測試的人數(shù)n和頻

率分布直方圖中a的值分別是（）

s68

634589

71234579

o

A.n=20,a=0.02B.n=20,a=0.025

C.n=40,a=0.02D.n=40,a=0.025

6.已知兩條不同的直線1,m,三個(gè)不同的平面a,/?,y,則以下結(jié)論正確的是（）

A.若Iua,muB，a〃氏則〃/zn

B.若aly,0上丫,貝!]a〃0

C.若I1a,mca,則I1m

D.若2ua,muB,11m,則a10

7.如圖，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組要測量地面上一棵大樹AB的

高度（大樹48垂直于地面），在與樹底B同一水平面內(nèi)

選取兩個(gè)測量基點(diǎn)C和。，在C點(diǎn)測得大樹頂部4的仰

角是也在。點(diǎn)測得大樹頂部4的仰角是，測得水平

oq

面上的NBDC=pDC=20米，則大樹的高度為（）

A.10米B.10百米C.20米D.20百米

8.在AABC中，AB=2,4C=1,乙4cB是線段4B上的點(diǎn)，則錨?請的取值范圍

是()

A.(-3,0]B.[-3,-^]C.(0,2]D.[0i]

loO

二、多選題（本大題共2小題，共8.0分）

9.拋擲一枚質(zhì)地均勻的股子，定義以下事件：必="點(diǎn)數(shù)大于2"，D2="點(diǎn)數(shù)不大

于2"，A="點(diǎn)數(shù)大于3”，。4="點(diǎn)數(shù)為4”，則下列結(jié)論正確的是（）

A.。3-B.。4-。3C.DIu。3=。3D.。1n。2—0

10.十二水硫酸鋁鉀是一種無機(jī)物，又稱明磯，是一種

含有結(jié)晶水的硫酸鉀和硫酸鋁的復(fù)鹽，生活中常用

R

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于凈水，我們連接一個(gè)正方體各個(gè)面的中心，可以得到明機(jī)晶體的結(jié)構(gòu)，即為一個(gè)

正八面體E-ABCD-"如圖）.假設(shè)該正八面體的所有棱長均為2,則（）

A.以正八面體各面中心為頂點(diǎn)的幾何體為正方體

B.直線BC與平面8E0F所成的角為g

C.正八面體的表面積為8g

D.二面角E-AB-F的余弦值為:

三、填空題（本大題共5小題，共20.0分）

11.已知一組樣本數(shù)據(jù)為0,1,0,2,2,則該組數(shù)據(jù)的方差為.

12.已知i是虛數(shù)單位,若1-2i是方程/一2x+k=0的一個(gè)虛根，則實(shí)數(shù)k=.

13.將邊長為2的正△ABC水平放置后，利用斜二測畫法得其直觀圖△AB'C',則△AB'C'

的面積為.

14.“中國天眼”是我國具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)、世界最大單口徑、最

靈敏的球面射電望遠(yuǎn)鏡（如圖，其反射面的形狀為球冠（球冠是

球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圓為底，垂直于圓面的

直徑被截得的部分為高，設(shè)球冠底的半徑為r,球冠的高為/i,則球的半徑R=

15.如圖，一個(gè)電路中有三個(gè)元件4B,C及燈泡D,每個(gè)元件能正常工作的概率都是

0.5,且能否正常工作不相互影響，電路的不同連接方式對燈泡。發(fā)光的概率會(huì)產(chǎn)生

影響，在圖①所示的電路中燈泡。發(fā)光的概率為；在圖②所示的電路中燈泡

D發(fā)光的概率為

忸⑴

四、解答題（本大題共5小題，共40.（）分）

16.已知落ft,H是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中Z=(l,l).

⑴若」〃落且花|=2,求向量^的坐標(biāo)；

(2)若方是單位向量，且五_L(五―2加)，求值與方的夾角仇

17.在AABC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且acosA=些變手里

(1)求角4的值；

(2)若BC=V7,AB=2,過C作AC的垂線與力B的延長線交于點(diǎn)C,求△BCD的面

積.

18.如圖①所示，在中，AB1AC,AB=2,AC=4,D,E分另U是棱BC和4C的

中點(diǎn).如圖②所示，現(xiàn)沿。岳將4CDE折起到△PDE的位置，使平面POE1底面4BDE,

過點(diǎn)E作EF1P。于點(diǎn)心

iWi)曄

(1)求證：PD_L平面力EF；

(2)求三棱錐尸-AEP的體積.

19.第24屆冬奧會(huì)于2022年2月4-20日在北京勝利召開，“一起向未來”的主題口號(hào)

掀起了全民冰雪運(yùn)動(dòng)的熱潮，北京冬奧會(huì)上，數(shù)字媒體技術(shù)的創(chuàng)新性應(yīng)用，讓每一

個(gè)項(xiàng)目的特點(diǎn)與運(yùn)動(dòng)員的精彩瞬間都會(huì)被鏡頭完美地捕捉，北京冬奧會(huì)也成為奧運(yùn)

史上首次實(shí)現(xiàn)8K視頻技術(shù)直播和重要體育賽事轉(zhuǎn)播的冬奧會(huì)，貴陽市某學(xué)校課外

興趣小組為了解本市市民奧運(yùn)會(huì)期間平均每天觀看奧運(yùn)比賽節(jié)目時(shí)間的情況，隨機(jī)

抽取了1000名市民，收集相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：

每天觀看奧運(yùn)比賽節(jié)目的時(shí)0<t1<t2<t3<t4<t5<t

間t/小時(shí)<1<2<3<4<5<6

人數(shù)X120180y280120

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已知這1000名市民中平均每天觀看奧運(yùn)比賽節(jié)目時(shí)間不少于2小時(shí)的市民占80%.

(1)求%和y的值，并將樣本頻率直方圖補(bǔ)全；

(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試估計(jì)該市市民每周閱讀時(shí)間的平均值；

(3)我們把每天觀看奧運(yùn)比賽節(jié)目時(shí)間不少于4小時(shí)的市民成為“奧運(yùn)迷”，用分層

抽樣的方法從這1000名市民中抽出5人.現(xiàn)從這5人中任選2人，求其中至少有一名

“奧運(yùn)迷”的概率.

20.閱讀材料：三角形的重心、垂心、內(nèi)心和外心是與三角形有關(guān)的四個(gè)特殊點(diǎn)，它們

與三角形的頂點(diǎn)或邊都具有一些特殊的性質(zhì).

(一)三角形的“四心”

1.三角形的重心：三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，重心到頂點(diǎn)的距離與

重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1.

2.三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心，垂心和頂點(diǎn)的連線

與對邊垂直.

3.三角形的內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，也就是內(nèi)切圓

的圓心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r.

4三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做三角形的外心，也就是三

角形外接圓的圓心，它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

(二)三角形“四心”的向量表示

在△ABC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c.

1.三角形的重心：萬J+而+元=0=。是AABC的重心.

2.三角形的垂心：OAOB=OBOC=OCOA。是△4BC的垂心.

3.三角形的內(nèi)心：a成+6而+c岳=0Q。是△4BC的內(nèi)心.

4.三角形的外心：|成|=|話|=|元|o0是△ABC的外心.

研究三角形“四心”的向量表示，我們就可以把與三角形“四心”有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化

為向量問題，充分利用平面向量的相關(guān)知識(shí)解決三角形的問題，這在一定程度上發(fā)

揮了平面向量的工具作用，也很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：

(1)在△ABC中，若4(1,1),B(3,5),C(2,6),求△ABC的重心G的坐標(biāo)；

(2)如圖所示，在非等腰的銳角△力8C中，已知點(diǎn)H是AHBC的垂心，點(diǎn)。是A4BC的

外心.若M是BC的中點(diǎn)，求證：

2

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：方了是單位向量，方向可能不同，二4(70都錯(cuò)誤；

a2=l,b2=1-a2=b2<B正確.

故選：B.

單位向量的長度為1,但乙方的方向可能不同，從而判斷4。。都錯(cuò)誤，從而只能選8.

本題考查了單位向量的定義，向量數(shù)量積的計(jì)算公式，考查了計(jì)算能力，屬于容易題.

2.【答案】C

【解析】解：i?z=1-3

l-i(l-i)i[.

AZ在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)(-1,-1)位于第三象限.

故選：C.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：這10名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績從小到大排列為：65,68,72,75,78,81,

82,88,90,96,

10x0.75=7.5,

則這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是88,

故選：D.

利用百分位數(shù)的定義即可去求這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù).

本題考查了百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：依題意得，

圓柱的側(cè)面積Si=2兀x(；AB)xAD=271X^x16x4=64TT,VDC=AB=16.

QC=9DC=N16=8，

在Rt△PQC中，PC=y/PQ2+QC2=V62+82=10.

圓錐的側(cè)面積S2=ixPCx2n-xQC=|x10x2TTx8=80兀，

二該蒙古包的側(cè)面積S=Si+S2=647r+807r=144zr,

故選：D.

首先根據(jù)圓柱的側(cè)面展開圖為長方形求出圓柱的側(cè)面積，再根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為扇

形求出圓錐的側(cè)面積，進(jìn)而得到蒙古包的側(cè)面積.

本題考查了圓柱和圓錐側(cè)面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：測試成績位于［50,60）的頻數(shù)為2,頻率為0.01x10=0.1,

,…臺(tái)=20；

測試成績位于［90,100］的頻率等于測試成績位于［50,60）的頻率為0.1,

???測試成績位于［90,100］的有2人，

測試成績位于［50,60）,［60,70）,［70,80）有2+5+7=14人，

二測試成績位于［80,90）：20—14-2=4人，

4

Aa=—r10=0.02.

20

故選：A.

測試成績位于［50,60）的頻數(shù)為2,頻率為0.1,由此能求出n；測試成績位于［90,100］的

頻率等于測試成績位于［50,60）的頻率為0.1,從而測試成績位于［90,100］的有2人，測試

成績位于［50,60）,［60,70）,［70,80）有14人，進(jìn)而能求出測試成績位于［80,90）有4人，

由此能求出a.

本題考查頻率分布直方圖、莖葉圖的性質(zhì)、頻率、頻數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，

是基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：A-.若Iua,muB，a///?,則，，m可能平行或異面，錯(cuò)誤；

B：若aly,2,則a,0可能相交或平行，錯(cuò)誤；

C：若11a,mca,由線面垂直的性質(zhì)知：I1m,正確；

D：若，ua,mu0,則a,。可能相交或平行，錯(cuò)誤.

故選：C.

根據(jù)平面的基本性質(zhì)可判斷4、B、D,由線面垂直的性質(zhì)判斷C.

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本題考查了平面的基本性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：設(shè)=則BC=靠=B/i,BD=總裝=無，

在4BCO中，由余弦定理可得3公=BC2=CD2+BD2-2BD-CDcos^=400+h2-

20h,

整理可得序+lO/i-400=0,

h>0,解得/i=10,

因此，大樹的高度為10m.

故選：A.

設(shè)4B=/un,可得出BC=6h，BD=h,利用余弦定理可得出關(guān)于無的方程，即可解

得九的值.

本題考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：因?yàn)?B=2,4C=l,44CB=m，

是以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，

C(0,0),B(V3,0)M(0,l)-因?yàn)镕是線段4B上的點(diǎn)，

所以屈=4詬(OSiS1).所以(x,y-1)=i(百,一1).

所以x=V3A,y=-A+1＞所以尸(百尢-2+1),

FA-CF=(-V3A,A)(V3A,-A+1)=-412+九

當(dāng)4=機(jī)寸，前?可有最大值看，當(dāng);1=1時(shí)，諄?亨有最小值-3.

所以而?加的取值范圍是［-3,白.

16

故選：B.

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，因?yàn)镕是線段4B上的點(diǎn)，所以和=AAB(O<A<1).

求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，代入西?麗=-4/+；(，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案.

本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

9.【答案】ABD

【解析】解：對于4&=“點(diǎn)數(shù)大于3”，%="點(diǎn)數(shù)大于2”，顯然。3=5,A正

確；

對于B,。4="點(diǎn)數(shù)為4”，。3="點(diǎn)數(shù)大于3”，。4=。3,B正確；

對于C,由4選項(xiàng)知，。3二。1，則D1U/)3=D1，C錯(cuò)誤；

對于="點(diǎn)數(shù)大于2”，。2="點(diǎn)數(shù)不大于2”，顯然不能同時(shí)發(fā)生，則=0，

。正確.

故選：ABD.

由事件的基本關(guān)系及運(yùn)算依次判斷即可.

本題主要考查事件發(fā)生的概率即之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AC

【解析】解：N,S分別為ZB,BC的中點(diǎn)，設(shè)AAEB,4BCE,^ABF,ABCF的中心

分別為M，R,H,K,

連接EF交平面ABCO于0,可得EF=2E0=2在，MH=-EF=—,

33

M/?=-/VS=—.所以MR=MH,易證MR1MH,所以四邊形MHKR為正方形，

33

同理可得其余中心也構(gòu)成正方形，故以正八面體各面中心為頂點(diǎn)的幾何體為正方體，故

A正確，

易證AC_L平面BEDF,所以NCB0為直線BC與平面BED尸所成的角,

第10頁，共17頁

顯然AB。。是等腰三角形，故NCBO=t，故8錯(cuò)誤，

正八面體的表面積為8xShABE=8x]x2xxsin60°=873,故C正確.

易證ZENF為二面角E-AB-尸的平面角，

血/=溪連=-[，故。錯(cuò)誤，

故選：AC.

N,S分別為AB,BC的中點(diǎn)，設(shè)A4EB,4BCE,AABF,ABCF的中心分別為M,R,

H,K,可得四邊形MHKR為正方形，可判斷A；求得直線BC與平面BEOF所成的角，表

面積，二面角E-AB-尸的平面角的余弦值判斷BCD.

本題考查空間幾何體的性質(zhì)，考查線面角，面面角的求法，屬中檔題.

11.【答案】I

【解析】解：.=。+1+；+2+2=1,

s2=Ix[2x(0-I)2+(1-I)2+2x(2-I)2]=

故答案為：

先求出平均數(shù)，再根據(jù)方差公式求解即可.

本題考查了求平均數(shù)與方差的問題，記住平均數(shù)與方差的公式是解題的關(guān)鍵.

12.【答案】5

【解析】解：???1-2i是方程/一2x+k=0的一個(gè)虛根，

1+2i也是方程/一2x+k=0的一個(gè)虛根，

???由韋達(dá)定理，可得(l—2i)(l+2i)=5=k.

故答案為：5.

根據(jù)已知條件，結(jié)合一元二次函數(shù)在復(fù)平面中的復(fù)數(shù)根互為共軻復(fù)數(shù)，即可求解.

本題主要考查一元二次函數(shù)復(fù)數(shù)根的求法，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案呼

【解析】解：根據(jù)題意，原圖為邊長為2的正AaBC,其面積S=^X2X2X^=M，

22

其其直觀圖△AB'C'的面積S'=立xg=漁；

44

故答案為：立.

4

根據(jù)題意，求出正AABC的面積，由直觀圖與原圖的關(guān)系，分析可得答案.

本題考查斜二測畫法，涉及平面圖形的直觀圖，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】—

2h

【解析】解：如下圖所示：

球心到截面圓的距離為R-h,由勾股定理可得(R-h)2+r2=R2,

化簡得產(chǎn)+F=Rh,解得R=

22/1

故答案為：空匕

2/1

作出圖形，可知球心到截面圓的距離為R-九，利用勾股定理列等式可求得R.

本題考查了球的半徑計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】第

oo

【解析】解：圖①為串聯(lián)，只有三個(gè)元件均正常工作，燈泡才會(huì)發(fā)光.故圖①所示的

電路中燈泡。發(fā)光的概率為弓)3=1,

2o

圖②為BC并聯(lián)，再與4串聯(lián)，故4正常工作，8或C正常工作可使燈泡D發(fā)光，

??.有以下三種情況①4B,C正常，概率為C)3=：,

@A,B正常，C不正常,概率為G)2X(1-}=],

③4,C正常，B不正常，概率為G)2X(1-}=],

故圖②所示的電路中燈泡D發(fā)光的概率為，

故答案為：5，"

oO

根據(jù)串聯(lián)電路和并聯(lián)電路的特性，逐一分析即可.

第12頁，共17頁

本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題.

16.【答案】解：=且下〃五,贄=kH=(k,k),

又=2,

?1-7k2+k2=2>解得k=±V2>

c=(V2,魚)或下=(-V2,-V2).

(2)v石是單位向量，a=(1,1).

???|K|=1,|a|=yf2>

■：al(a-2b)>即五?0—2])=0，

a-b=-a.2=1,

2

:.COSO=,

|5||b|2

???ee[o,7r],故。=*

【解析】(i)根據(jù)已知條件，結(jié)合向量平行的性質(zhì)，以及向量模公式，即可求解.

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，以及向量的夾角公式，即可求解.

本題主要考查向量平行的性質(zhì)，向量模公式，以及向量垂直的性質(zhì)，向量的夾角公式,

屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：(1)???在△4BC中，acos4=上空產(chǎn)

由正弦定理得：2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB,

???2sinAcosA=sin(B+C),

"A+B+C=n,

???IsinAcosA=sin(7T—A)=sinA,且si/MW0,

???co.sA=1

2

A幾

???4=］，

(2)根據(jù)題意：BC=小，AB=2,44。8=1且4=也則。=弓,

在A/IBC中，由正弦定理得：

-B-C-=---A-B---,得Sig4cB=亨

sinAs\nZ-ACB

???LACB+乙BCD=p

乙，，

cosBCD——77sinZ-BCD=—

在△BCD中，由正弦定理得：

■4^7=.,得；BD=4,則4。=6,

SinDs\nz.BCD

版，

ACAD-sinA=6x—2=3

???S^BCD=SA4C￡>-SAABC=-AC-sinA-^AB-AC-sinA=9.

故答案為：9.

【解析】利用正弦定理可解4的值，也可以求出sin乙4CB,再利用正弦定理可求BD、4。,

最后利用三角形4CC面積-三角形4BC的面積.

本題考查了正弦定理得應(yīng)用，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)證明：???4EJ.DE,又平面PDE底面4BDE,

且平面PDEn底面ABDE=DE,AEu底面ABDE,

AEJL平面PDE,又PDu平面PDE,

：.AE1PD,又EFJLPC且AECEF=E,

???PD1平面4EF；

(2)在Rt/iPDE中，PE=2,DE=1,EF1PD,

由等面積算法可得EF=黃=京,

在RtAPFE中，PF=>JPE2-EF2=^=,

從而SAPEF=4PF.EF=：

又由(1)知AE1平面PDE,

所以4-4EP=^A-PEF—3^APEF'=云，

即三棱錐F-AEP的體積為卷.

第14頁，共17頁

【解析】（1）先由面面垂直的性質(zhì)定理證明4E1平面PDE,從而得4E1PD,再結(jié)合EF1

PD及線面垂直判定定理即可證明；

（2）先由等面積算法求出EF,再求APE尸的面積，最后代入錐體的體積公式即可求解.

本題考查面面垂直的性質(zhì)定理,線面垂直的判定定理,等面積算法，三棱錐的體積公式，

屬基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：（1）由題意180+y+280+120=1000x80%,解得y=220,

而x+120=1000-800,解得x=80,

從而數(shù)據(jù)落在［0,1）的矩率為喘=0.08,數(shù)據(jù)落在［3,4）的燧:率為酷=0.22,

補(bǔ)齊直方圖如圖所示.

5?■大熏a比-

VHHNi

（2）因?yàn)?.5X0.08+1.5x0.12+2.5x0.18+3.5x0.22+4.5x0.28+5.5x0.12=

0.5+0.12+0.36+0.66+1.12+0.6=3.36,

所以該市市民每周閱讀時(shí)間的平均值約為3.36小時(shí).

（3）樣本中“奧運(yùn)迷”有280+120=400名，“非奧運(yùn)迷”有