必修41三角函數(shù)

要點·疑點·考點課前熱身

能力·思維·方法

延伸·拓展誤解分析第1課時三角函數(shù)的相關(guān)概念3.任意角三角函數(shù)的定義

設(shè)α是一任意角，角α的終邊上任意一點P(x，y)，P與原點距離是r，則sinα=y/r，cosα=x/r，

tanα=y/x，cotα=x/y，secα=r/x，cscα=r/y.要點·疑點·考點1.角的概念的推廣

所有與α角終邊相同的角的集合S={β|β＝α+k·360°，k∈Z}2.弧度制

任一個已知角α的弧度數(shù)的絕對值|α|＝l/r(l是弧長，r是半徑)，1°＝π/180弧度，1rad=(180/π)°≈57.30°＝57°18′弧長公式l=|α|r，扇形面積公式S＝1/2lr

要點·疑點·考點4.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式①倒數(shù)關(guān)系：sinαcscα＝1，cosαsecα＝1，tanαcotα＝1②商數(shù)關(guān)系：tanα=sinαcosα，cotα＝cosαsinα③平方關(guān)系：sin2α+cos2α＝1，1+tan2α=sec2α，1+cot2α=csc2α返回5.三角函數(shù)值的符號sinα與cscα，一、二正，三、四負，cosα與secα，一、四正，二、三負，tanα與cotα,一、三正，二、四負

1.已知α∈[0，2π)，命題P：點P(sinα-cosα，tanα)在第一象限.命題q:α∈[π/2，π].則命題P是命題┒q的()(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分又不必要條件課前熱身A2.已知角α的終邊過點P(-5，-12)，則cosα=_______，tanα=_______.-5/1312/5A3.已知集合A={第一象限的角}，B={銳角}，C={小于90°的角}，下列四個命題：①A=B=C；②AC;③CA；④AC=B.其中正確命題個數(shù)為()(A)0(B)1(C)2(D)4返回5.在(0，2π)內(nèi)，使sinα·cosα＜0，sinα＋cosα＞0，同時成立的α的取值范圍是()(A)(π/2，3π/4)(B)(3π/4，π)(C)(π/2，3π/4)∪(7π/4，2π)(D)(3π/4，π)∪(3π/２，7π/4)4.已知2α終邊在x軸上方，則α是()(A)第一象限角(B)第一、二象限角(C)第一、三象限角(D)第一、四象限角CC能力·思維·方法【解法回顧】各個象限的半角范圍可以用下圖記憶，圖中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分別指第一、二、三、四象限角的半角范圍；再根據(jù)限制條件，解的范圍又進一步縮小.

1.若α是第三象限的角，問α/2是哪個象限的角?2α是哪個象限的角?2．已知sinα=m(|m|≤1)，求tanα.【解題回顧】此類例題的結(jié)果可分為以下三種情況.(1)已知一個角的某三角函數(shù)值，又知角所在象限，有一解.(2)已知一個角的某三角函數(shù)值，且不知角所在象限，有兩解.(3)已知角α的三角函數(shù)值是用字母表示時，要分象限討論.α分象限討論的依據(jù)是已知三角函數(shù)值具有平方關(guān)系的那個三角函數(shù)值符號，一般有四解.【解題回顧】在各象限中，各三角函數(shù)的符號特征是去絕對值的依據(jù).另外，本題之所以沒有討論角的終邊落在坐標軸上的情況，是因為此時所給式子無意義，否則同樣要討論3．化簡【解題回顧】容易出錯的地方是得到x2＝3后，不考慮P點所在的象限，分x取值的正負兩種情況去討論，一般地，在解此類問題時，可以優(yōu)先注意角α所在的象限，對最終結(jié)果作一個合理性的預測返回4．設(shè)α為第四象限角，其終邊上的一個點是P(x，)，且cosα＝，求sinα和tanα.5.已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R.①若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積.②若扇形的周長是一定值C(C＞0)，當α為多少弧度時，該扇形的面積有最大值?并求出這一最大值?延伸·拓展【解題回顧】扇形的弧長和面積計算公式都有角度制和弧度制兩種給出的方式，但其中用弧度制給出的形式不僅易記，而且好用.在使用時，先要將問題中涉及到的角度換算為弧度.

返回1.答案不惟一是三角函數(shù)習題的顯著特點之一，因此在解題時，一定要適時討論，討論不全必然招致漏解.誤解分析2.角的范圍容易忽視，從而三角函數(shù)值也易出錯.返回xyoa的終邊a的終邊P(x，y)a的終邊P(x，y)a的終邊P(x，y)P(x，y)X>0y>0X>0y<0X<0y<0X<0y>0r>0xyor>or>or>orya=sin=rya=sin=rya=sin=rya=sin=正弦值對于第一、二象限的角是正的，對于第三、四象限的角是負的。ryy<0y>0y>0y<0r>o>0>0<0<0xyoX>0X<0X<0r>or>or>oX>0r>orxa=cosrxa=cosrxa=cosrxa=cos====>0>0<0<0余弦值對于第一、四象限的角是正的，對于第二、三象限的角是負的。rxxyoX>0X<0X<0y<0y>0y>0y<0X>0xya=tanxya=tanxya=tanxya=tan正切值對于第一、三象限的角是正的，對于第二、四象限的角是負的。xy====>0<0>0<0xyo三角函數(shù)全為正正弦為正正切為正余弦為正其余為負其余為負其余為負Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦任意角的三角函數(shù)

角的范圍已經(jīng)推廣，那么對任一角是否也能像銳角一樣定義其四種三角函數(shù)呢？

我們已經(jīng)學習過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值，定義了角的正弦、余弦、正切、余切的三角函數(shù)，本節(jié)課我們研究當角是一個任意角時，其三角函數(shù)的定義及其幾何表示．

任意角的三角函數(shù)定義

設(shè)是任意角，的終邊上任意一點的坐標是，當角在第一、二、三、四象限時的情形，它與原點的距離為，則．

任意角的三角函數(shù)所在象限的課件①比值叫做的正弦，記作，即．②比值叫做的余弦，記作，即．定義：③比值叫做的正切，記作，即．提問：

對于確定的角，這三個比值的大小和點在角的終邊上的位置是否有關(guān)呢？

觀察當時，的終邊在軸上，此時終邊上任一點的橫坐標都等于0，所以無意義，除此之外，對于確定的角，上面三個比值都是惟一確定的．把上面定義中三個比的前項、后項交換，那么得到另外三個定義．

④比值叫做的余切，記作，則．⑤比值叫做的正割，記作，則．⑥比值叫做的余割，記作，則．我們把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上六種函數(shù)統(tǒng)稱三角函數(shù)．三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)

→角（其弧度數(shù)等于這個實數(shù)）→三角函數(shù)值（實數(shù)）實數(shù)三角函數(shù)的一種幾何表示利用單位圓有關(guān)的有向線段，作出正弦線，余弦線，正切線．

三角函數(shù)的幾何表示課件當角的終邊不在坐標軸上時，我們把，都看成帶有方向的線段，這種帶方向的線段叫有向線段．由正弦、余弦、正切函數(shù)的定義有：

當角的終邊在軸上時，正弦線、正切線分別變成一個點；這幾條與單位圓有關(guān)的有向線段叫做角的正弦線、余弦線、正切線．當角的終邊在軸上時，弦線變成一個點，正切線不存在．例1

已知角的終邊經(jīng)過，求的六個三角函數(shù)值．提問：分，兩種情形討論．求的六個三角函數(shù)值呢？若將改為，如何例2

（1）；（2）；（3）．求下列各角的六個三角函數(shù)值例3作出下列各角的正弦線，余弦線，正切線．（1）；（2）．例4

求證：當為銳角時，．課堂練習

（1）角的終邊在直線上，求的六個三角函數(shù)值．（2）角的終邊經(jīng)過點，求，，，的值．（3）說明的理由．（2）函數(shù)的定義域是（

）．

A．

B．

C．

D．反饋訓練

（1）若角終邊上有一點，則下列函數(shù)值不存在的是（

）．A．B．C．D．（4）若角的終邊過點，且，（3）若，都有意義，則．則．本課小結(jié)

利用定義求三角函數(shù)值，首先要建立直角坐標系，角α頂點和始邊要按既定的位置設(shè)置．角的三角函數(shù)定義式，其實是比例的化身，它的背后是相似形在支稱著，不過這個定義具有一般性，如軸上角的三角函數(shù)，如果沒有定義作為論據(jù)，欲求其函數(shù)性就不是很容易．

分類討論（角位置）是三角函數(shù)求值過程中，使用頻率非常高的一個數(shù)學思想，而分類標準往往是四個象限及四個坐標半軸．

兩角和與差的正弦、余弦、正切在研究三角函數(shù)時，我們還常常遇到這樣的問題：已知任意角α、β的三角函數(shù)值，如何求α+β、α–β或2α的三角函數(shù)值？下面我們先引出平面內(nèi)兩點間的距離公式，并從兩角和的余弦公式談起.在坐標平面內(nèi)的任意兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),xyO..P1(x1,y1)P2(x2,y2)M1(x1,0)M2(x2,0)N1(0,y1)N2(0,y2)QP1Q=M1M2=┃x1–x2┃，QP2=N1N2=┃y1–y2┃，由勾股定理，可得P1P22=P1Q2+QP22=(x1–x2)2+(y1–y2)2,=┃x1–x2┃2+┃y1–y2┃2由此得到平面內(nèi)P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點間距離公式：P1P2=∟∟∟∟∟接下來，我們繼續(xù)考慮如何運用兩點間的距離公式，把兩角和的余弦cos(α+β)用α、β的三角函數(shù)來表示的問題.xyO如圖，在直角坐標平面xOy內(nèi)作單位圓O,并作出角α、β和–β，αP1P2P3P4β–βα+βP1(1,0),各點坐標：P2(cosα,sinα),P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(–β),sin(–β)),xyOαP1P2P3P4β–βα+βP1(1,0),各點坐標：P2(cosα,sinα),P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(–β),sin(–β)),由P1P3＝P2P4及兩點間距離公式，得[cos(α+β)–1]2+sin2(α+β)=[cos(–β)–cosα]2+[sin(–β)–sinα]2,[cos(α+β)–1]2+sin2(α+β)=[cos(–β)–cosα]2+[sin(–β)–sinα]2,cos2(α+β)–2cos(α+β)+1+sin2(α+β)=cos2β–2cosαcosβ+cos2α+sin2α+2sinαsinβ+sin2β，2–2cos(α+β)=2–2cosαcosβ+2sinαsinβ，∴

cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ，（C（α+β））cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ（C（α+β））這個公式對于任意角α、β都成立.例如cos(62°＝cos62°–cos59°+59°)sin62°sin59°;cos(113°＝cos113°–cos27°+27°)sin113°sin27°;cos[α＝cosα–cos(–β)+(–β)]sinαsin(–β)，cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ.（C（α+β））cos[α＝cosα–cos(–β)+(–β)]sinαsin(–β)，cosβcos(α＝cosα+–β)sinαsinβ.（C（α–β））例如cos(113°＝cos113°+cos27°–27°)sin113°sin27°;cos(113°＝cos113°+cos27°+27°)sin113°sin27°;cosβcos(α＝cosα+–β)sinαsinβ.（C（α–β））+cosα–α)sinαcos(π2＝cosπ2sinπ2=sinα，即–α)cos(π2=sinα，π2這里，等號兩邊的角的和為，αcosπ2=sin(–α)，∴即–α)cos(π2=sinα，π2這里，等號兩邊的角的和為，αcosπ2=sin(–α)，∴這就是說，誘導公式–α)cos(π2=sinα，cosα,π2sin(–α)＝當α為任意角時仍然成立.–α)cos(π2=sinα，cosα,π2sin(–α)＝cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ.運用上述公式，得sin(α+β)=cos[–(α+β)]π2=cos[(–α)–β]π2=cos(–α)cosβπ2+sin(–α)sinβπ2=sinαcosβ+cosαsinβ,即sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,（S（α+β））在上式中用–β代替β，得sin(α–β)=sinαcosβ–cosαsinβ,（S（α–β））當cos(α+β)≠0時，有tan(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ–sinαsinβ,若cosαcosβ≠0，得tan(α+β)=

tanα+tanβ1–tanαtanβ.（T（α+β））tan(α+β)=

tanα+tanβ1–tanαtanβ.∵tan(–β)==–tanβ，

sin(–β)cos(–β)

–sinβcosβtan(α–β)=

tanα–tanβ1+tanαtanβ.∴（T（α–β））公式S（α+β）、

C（α+β）、

T（α+β）給出了任意角α、β的三角函數(shù)值(這里指正弦、余弦或正切)與其和角α+β的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.為方便起見，我們把這三個公式都叫作和角公式.（T（α+β））tan(α+β)=

tanα+tanβ1–tanαtanβ.∵tan(–β)==–tanβ，

sin(–β)cos(–β)tan(α–β)=

tanα–tanβ1+tanαtanβ.∴（T（α–β））類似地，公式S（α–β）、

C（α–β）、

T（α–β）都叫作差角公式.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,（S（α+β））sin(α–β)=sinαcosβ–cosαsinβ,（S（α–β））

cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ，（C（α+β））

cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ，（C（α–β））等號右邊“±”的記憶方式：在銳角范圍內(nèi)，正弦函數(shù)是增函數(shù)，余弦函數(shù)是減函數(shù)，∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,（S（α+β））

cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ，（C（α+β））記憶方式：αPQβMNEFαsin(α+β)=QM=ONsinα+QNcosα1xyO=sinαcosβ+cosαsinβ;cos(α+β)=OM=ONcosα–QNsinα=cosαcosβ–sinαsinβ.=NE+QF=OE–FN∟∟∟∟例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、余弦和正切的值.解：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°–sin45°sin30°例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、余弦和正切的值.tan75°=或tan75°=tan(45°+30°)sin75°cos75°例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、余弦和正切的值.sin15°=cos75°或sin15°=sin(45°–30°)=sin45°cos30°–cos45°sin30°例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、余弦和正切的值.cos15°=sin75°或cos75°=cos(45°–30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、余弦和正切的值.tan15°=或tan15°=tan(45°–30°)sin15°cos15°例2、已知sinα=，α∈(,π)，34π2cosβ=–,β∈(π，),3π2求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).解：23∵sinα=，α∈(,π)，π223∴cosα=∵34cosβ=–,β∈(π，),3π2∴sinβ=例2、已知sinα=，α∈(,π)，34π2cosβ=–,β∈(π，),3π2求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).23∴sin(α–β)=sinαcosβ+cosαsinβ例2、已知sinα=，α∈(,π)，34π2cosβ=–,β∈(π，),3π2求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).23cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ例2、已知sinα=，α∈(,π)，34π2cosβ=–,β∈(π，),3π2求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).23sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ∴tan(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)例3、利用和角公式求的值.解：=tan(45°+15°)=tan60°例3′、△ABC中，求證tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.證明：∴tanA+tanB=∵tanA、tanB、tanC都有意義，∴△ABC中沒有直角，∵tan(A+B)==tan(180°–C)–tanAtanBtan(180°–C)=–tanC+tanAtanBtanC，∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.tan(A+B)–tanAtanBtan(A+B)∴tanAtanB≠1.本課小結(jié)：在這節(jié)課中，我們研究了兩個角的和與差的正弦、余弦和正切公式，這些公式在今后有大量的應用，應熟練地、靈活地掌握

(例3就是反過來用公式的例子).要點·疑點·考點課前熱身

能力·思維·方法

延伸·拓展誤解分析三角變換與求值要點·疑點·考點1.誘導公式

α+k·360°(k∈Z)，-α，180°±α，360°-α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號.

n·90°±α(n∈Z)誘導公式滿足十字訣“奇變偶不變，符號看象限”2.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式3.二倍角的正弦、余弦、正切公式返回4.半角的正弦、余弦、正切公式2.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式2.若α是銳角，，則cosα的值等于()

(A)(B)(C)(D)課前熱身1.已知x∈(-π/2，0)，cosx=4/5，則tan2x=()(A)7/24(B)-7/24(C)24/7(D)-24/7DA3.已知，則

取值范圍是()(A)(2kπ+π，2kπ+3/2π)k∈Z(B)(2kπ+3/2π，2kπ+2π)k∈Z(C)[2kπ+π，2kπ+3/2π]k∈Z(D)[2kπ+3/2π，2kπ+2π]k∈ZC4.已知tanA·tanB=tanA+tanB+1,則cos(A+B)的值是()(A)(B)

(C)(D)C返回5．設(shè)是方程

的兩個不相等的實根，則α+β等于()(A)(B)

(C)(D)B能力·思維·方法【解題回顧】這是三角形中的求值問題，一般要用正、余弦定理.

1.△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，若acosB-bcosA=0，3tanA+tanC=0．試求A、B、C.2.設(shè)cos(α-β)=-4/5，cos(α+β)=12/13，α-β∈(π/2，π)，α+β∈(3π/2，2π)，求cos2α、cos2β的值.【解題回顧】解條件求值問題，要仔細觀察條件與求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運算之間的差異及聯(lián)系，要么將已知式進行變形向求式轉(zhuǎn)化，要么將求式進行變形向已知式轉(zhuǎn)化，總之，設(shè)法消除已知式與求式之間的種種差異是解這類問題的關(guān)鍵本題中，求式中的角“2α”與條件中出現(xiàn)的兩個“整體角”：“α+β”、及“α-β”恰有關(guān)系(α+β)+(α-β)=2α,(α+β)-(α-β)=2β，因此將求式中的角轉(zhuǎn)化成了條件中的角(整體角)，使問題迎刃而解3.求值：【解題回顧】本題中，關(guān)健在于將1+3·tan10°，通過“切化弦”及“輔助角公式”使其得到化簡．一般地，

而

可以化為一個角的一個

三角函數(shù).另外，對于形如1±cosα、1±sinα的式子的化簡同學們也應熟練掌握.【解題回顧】可以考慮利用半角公式，在已知條件下先求tanθ、或sinθ、cosθ，然后代入計算，讀者不妨一試.返回4.已知相等?若存在，求x的值；若不存在，請說明理由.延伸·拓展返回【解題回顧】活用公式也是一種能力要求，不同角的三角函數(shù)關(guān)系式使用起來與同角的三角函數(shù)關(guān)系式最大的不同點是必須根據(jù)題目的題設(shè)條件與結(jié)論去確定所應用的公式，而選定公式的能力靠觀察角度關(guān)系、熟悉公式特征來培養(yǎng)；特別地，要學會運用公式的不同變式來解題，如cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α可變形2cos2α=1+cos2α,2sin2α=1-cos2α等1.在利用誘導公式求三角函數(shù)的值時，一定要注意符號誤解分析2.如何巧妙地靈活地運用兩角和與差、倍角、半角公式，是三角變換的關(guān)鍵3.三角變換一般有①化切、割為弦，②降次，③變角，④化單一函數(shù)，⑤妙用1，⑥分子分母同乘除，⑦和積互化等技巧，方法不當就會很繁，只能通過總結(jié)積累解題經(jīng)驗，選擇出最佳方法.返回二倍角的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切一二三四五復習新課例題練習小結(jié)作業(yè)返回一、復習兩角和（差）的三角公式S(αβ)C(αβ)T(αβ)練習返回二倍角公式的推導利用變形為注返回例一、（公式鞏固性練習）求值：1．sin2230’cos2230’=

2.3.

4.例二.

2.1.繼續(xù)

3．

4．

例三、若tan=3，求sin2

cos2

的值解：sin2

cos2=

例四、條件甲：條件乙：那么甲是乙的什么條件？解：

即當在第三象限時，甲乙；當a>0時，乙甲∴甲既不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件。繼續(xù)例五、（P43例一）已知

求sin2，cos2，tan2的值。

cos2=tan2=解：∵∴∴sin2=2sincos=返回練習2返回1、二倍角公式是和角公式的特例，體現(xiàn)將一般化歸為特殊的基本數(shù)學思想方法。 2、二倍角公式與和角、差角公式一樣，反映的都是如何用單角的三角函數(shù)值表示復角（和、差、倍）的三角函數(shù)值，結(jié)合前面學習到的同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導公式可以解決三角函數(shù)中有關(guān)的求值、化簡和證明問題。歸納總結(jié)返回三角形中的三角問題知識點：一、正、余弦定理的應用。二、公式：①②在非直角三角形中：③1、若△ABC中，則△ABC的形狀為2、在△ABC中，若，則A的取值范圍為3、14、在△ABC中，已知求證：（1）、、成等比數(shù)列；（2）注意幾個結(jié)論：（1）若A、B、C成等差數(shù)列，則：（2）若三邊a、b、c成等差數(shù)列，則：（或、、成等比數(shù)列）（或、、成等差數(shù)列）5、△ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等比數(shù)列，公比為0.5則6、在△ABC中，邊a、b、c分別是角A、B、C所對邊，若，求的值。7、在△ABC中，求的最小值。并指出取最小值時△ABC的形狀，并說明理由。8、設(shè)a、b、c分別為△ABC的邊BC、CA、AB的長，且，若，求實數(shù)m的值。9、在△ABC中，邊a、b、c分別是角A、B、C所對邊，已知，又△ABC的面積為求a+b的值。分析：由得：由得：①另一方面由余弦定理得：②聯(lián)立①②得：分析：已知復合函數(shù)的解析式，求函數(shù)的解析式，可用換元法。因為f(cos2C)=cos(B+C-A)=-cos2A所以只需尋找角A與角C之間的關(guān)系式即可。成等差數(shù)列10、在銳角三角形ABC中，已知

若f(cos2C)=cos(B+C-A)，求函數(shù)y=f(x)的解析式?！阎獌蓚€復數(shù)集合若M∩N=，求實數(shù)的取值范圍。※已知復數(shù)（其中，且求的值?！阎獜蛿?shù)，其中為某一三角形的兩個內(nèi)角，求復數(shù)的模與輻角主值。1、若△ABC中，則△ABC的形狀為分析：由三角函數(shù)的有界性可得：或（舍去？）即△ABC為等腰RT△2、在△ABC中，若，則A的取值范圍為分析：分析：因為三個內(nèi)角成等比數(shù)列，且公比為0.5，所以可設(shè)三個內(nèi)角分別為：、、則：分析：正弦、余弦的誘導公式能否再把～間的角的三角函數(shù)求值，化為我們熟悉的～間的角的三角函數(shù)求值問題呢？

如果能的話，那么任意角的三角函數(shù)求值，都可以化歸為銳角三角函數(shù)求值，并通過查表方法而得到最終解決，本課就來討論這一問題．設(shè)，對于任意一個到的角，以下四種情形中有且僅有一種成立．誘導公式二、三的推導過程

請同學們思考回答點關(guān)于軸、軸、原點對稱的已知任意角的終邊與單位圓相交于點，三個點的坐標間的關(guān)系．點關(guān)于軸對稱點，關(guān)于軸對稱點，關(guān)于原點對稱點．演示課件公式二：軸對稱，所以．

角的終邊與單位圓相交于點，這兩個角的終邊關(guān)于如圖，利用單位圓作出任意角與單位圓相交于點，我們再來研究角與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，演示課件

公式三：例題講解（3）；（4）．（1）；（2）；例1求下列三角函數(shù)值：例2

化簡：．推導誘導公式四、五，與的三角函值之間的關(guān)系？請同學們思考如何利用已學過的誘導公式推導閱讀課本公式四、五推導過程公式四：公式五：誘導公式小結(jié)前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號，的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，概括如下：，，，公式一、二、三、四、五都叫做誘導公式．簡化成“函數(shù)名不變，符號看象限”的口訣．例題講解（1）；（2）．例3求下列各三角函數(shù)：解題一般步驟任意負角的三角函數(shù)用公式三或公式一任意正角的三角函數(shù)用公式一0°到360°的角的三角函數(shù)用公式二或四或五銳角三角函數(shù)查表求值練習反饋

（3）已知，求的值．（2）已知，求的值．（1）已知，求的值．

本課小結(jié)（1）求任意角的三角函數(shù)式的一般程序：負（角）變正（角）→大（角）變小（角）→（一直）變到～之間（能查表）．

（2）變角是有一定技巧的，如可寫成，也可以寫成不同表達方法，決定著使用不同的誘導公式．

（3）湊角方法也體現(xiàn)出很大技巧。如，已知角“”，求未知角“”，可把改寫成．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.sinα、cosα、tgα的幾何意義.

o11PMAT正弦線MP余弦線OM正切線AT想一想?三角問題幾何問題4.8正弦函數(shù).余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)4.7兩倍角的正弦、余弦、正切4.8正弦函數(shù).余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)能否利用正弦線作出正弦函數(shù)的圖像？單擊圖像動畫演示在作函數(shù)的圖像中起關(guān)鍵作用的點有哪些？幾何畫板課件簡圖作法4.8正弦函數(shù).余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)與x軸的交點圖象的最高點圖象的最低點五點作圖法(1)列表(列出對圖象形狀起關(guān)鍵作用的五點坐標)(2)描點(定出五個關(guān)鍵點)(3)連線(用光滑的曲線順次連結(jié)五個點)---11--1---------1-1由于所以余弦函數(shù)與函數(shù)是同一個函數(shù)；余弦曲線余弦函數(shù)的圖像可以通過正弦曲線向左平移

各單位長度而得到．4.8正弦函數(shù).余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)利用變換法作余弦函數(shù)的圖像4.8正弦函數(shù).余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)----11--1與x軸的交點圖象的最高點圖象的最低點在作函數(shù)的圖像中起關(guān)鍵作用的點有哪些？4.8正弦函數(shù).余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)例1．畫出下列函數(shù)的簡圖（1）y=sinx+1,x∈[0,2π]列表描點作圖---（2）y=－cosx,x∈[0,2π]解:（1）--（2）10-101-1010-1練習：（1）作函數(shù)y=1+3cosx，x∈[0,2π]的簡圖(２)作函數(shù)y=2sinx-1，x∈[0,2π]的簡圖4.8正弦函數(shù).余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1）yx§4.6兩角和與差的三角函數(shù)

（一）我們的目標掌握兩角和與差的余弦公式，初步理解二倍角的余弦公式；掌握“變角”和“拆角”的思想方法解決問題一字師兩角和與差的余弦公式1、兩點間的距離公式xy0一字師兩角和與差的余弦公式2、兩角和的余弦公式xy03、兩角差的余弦公式典型例題解：典型例題解：典型例題解：典型例題解：典型例題提示：提示：典型例題解：§4.6兩角和與差的三角函數(shù)

（二）我們的目標掌握兩角和與差的正弦公式結(jié)合余弦公式初步涉及“變角”和“拆角”以及“合一變形”的方法一字師兩角和與差的正弦公式1、兩角和的余弦公式2、兩角差的余弦公式典型例題解：典型例題解：典型例題典型例題典型例題提示：典型例題§4.6兩角和與差的三角函數(shù)

（三）我們的目標掌握正、余弦的和、差角及二倍角公式掌握角的組合（變角）及正切變形公式朝花夕拾1、兩角和、差角的余弦公式2、兩角和、差角的正弦公式3、二倍角的正、余弦公式一字師兩角和與差的正切公式1、兩角和的正切公式2、兩角差的正切公式3、二倍角的正切公式典型例題解：典型例題典型例題解：典型例題解：能力測試歡迎光臨！課題：兩角和與差的正切公式的應用浙大附中數(shù)學組蔣紅偉姚綺點此進入學習目標目標1目標2目標1目標2目標1目標1和角與差角正切公式的應用學習目標目標1目標2目標1目標2目標2和角與差角正切變形公式的應用和角與差角正切公式的應用學習目標朝花夕拾目標1目標2目標1和角與差角正切公式的應用目標2和角與差角正切變形公式的應用基礎(chǔ)應用例題1例題3例題2例題1例題3例題2基礎(chǔ)應用例題1例題1、不查表求值例題1例題3例題2例題2基礎(chǔ)應用例題1例題3例題2例題2基礎(chǔ)應用基礎(chǔ)應用例題1例題3例題2例題2例題3、計算例題1例題3例題2例題3基礎(chǔ)應用變形應用變形公式例題1例題3例題2例題4例題5例題6變形應用變形公式例題1例題3例題2例題4例題5例題6例題1變形公式例題1例題3例題2例題4例題5例題6變形應用變形公式例題1例題3例題2例題4例題5例題2例題6變形應用變形公式例題1例題3例題2例題4例題5例題3例題6變形應用討論：∴原等式成立變形公式例題1例題3例題2例題4例題5例題4例題6變形應用變形公式例題1例題3例題2例題4例題5例題5例題6變形應用變形公式例題1例題3例題2例題4例題5例題6例題6變形應用小結(jié)變形公式基礎(chǔ)應用變形應用1、非特殊角的求值2、角的組合3、公式逆用1、典型例題2、注意事項達標測試作業(yè)再見！§4.6兩角和與差的三角函數(shù)

（五）我們的目標掌握“合一變形”的技巧及其應用朝花夕拾1、兩角和、差角的余弦公式2、兩角和、差角的正弦公式3、二倍角的正、余弦公式4、兩角和、差的正切公式5、二倍角的正切公式朝花夕拾一字師引例把下列各式化為一個角的三角函數(shù)形式一字師化為一個角的三角函數(shù)形式令練習把下列各式化為一個角的三角函數(shù)形式典型例題1、化簡：3、化簡：典型例題能力測試1、化簡：一字師引例一組三角函數(shù)式的應用典型例題能力測試能力測試1、化簡：能力測試§4.7二倍角

（一）我們的目標1、掌握二倍角的正、余弦，正切公式2、會用二倍角公式求值，化簡及簡單的證明朝花夕拾1、二倍角的正、余弦公式2、二倍角的正切公式基礎(chǔ)應用典型例題2、化簡：3、求證：證明：小結(jié)1、余弦二倍角公式的變形公式：2、證明題的證明方向：作業(yè)§4.7二倍角

（二）我們的目標靈活應用二倍角的正、余弦公式朝花夕拾1、二倍角的正、余弦公式2、二倍角的正、余弦的變形公式基礎(chǔ)應用基礎(chǔ)應用能力測試能力測試作業(yè)三角函數(shù)復習課一、任意角的三角函數(shù)1、角的概念的推廣正角負角oxy的終邊的終邊零角度弧度02、角度與弧度的互化特殊角的角度數(shù)