2021北京朝陽高二（上）期末數(shù)學(xué)（教師版）

14/142021北京朝陽高二（上）期末數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1．（5分）圓的圓心的坐標(biāo)為A． B． C． D．2．（5分）已知直線的方向向量為，平面的法向量為，若，0，，，0，，則直線與平面A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．位置關(guān)系無法確定3．（5分）雙曲線的焦點到漸近線的距離為A． B． C． D．4．（5分）如圖，已知直線與圓相交于，兩點，若平面向量，滿足，則和的夾角為A． B． C． D．5．（5分）光圈是一個用來控制光線透過鏡頭，進(jìn)入機身內(nèi)感光面的光量的裝置．表達(dá)光圈的大小我們可以用光圈的值表示，光圈的值系列如下：，，，，，，，，．光圈的值越小，表示在同一單位時間內(nèi)進(jìn)光量越多，而且上一級的進(jìn)光量是下一級的2倍，如光圈從調(diào)整到，進(jìn)光量是原來的2倍．若光圈從調(diào)整到，則單位時間內(nèi)的進(jìn)光量為原來的A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍6．（5分）過拋物線上的一點，作其準(zhǔn)線的垂線，垂足為，拋物線的焦點為，直線在軸下方交拋物線于點，則A．1 B． C．3 D．47．（5分）下列有四個說法：①若直線與拋物線相切，則直線與拋物線有且只有一個公共點；②函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減；③某質(zhì)點沿直線運動，位移（單位：與時間（單位：滿足關(guān)系式，則時的瞬時速度是；④設(shè)，，，則在上函數(shù)的圖象比的圖象要“陡峭”．其中正確的序號是A．①③ B．②③ C．①④ D．③④8．（5分）如圖，將邊長為4的正方形折成一個正四棱柱的側(cè)面，則異面直線和所成角的大小為A． B． C． D．9．（5分）已知橢圓，橢圓的左、右焦點分別為，，是橢圓上的任意一點，且滿足，則橢圓離心率的取值范圍是A． B． C． D．10．（5分）如圖，在三棱錐中，三條側(cè)棱，，兩兩垂直，且，，的長分別為，，．為內(nèi)部及其邊界上的任意一點，點到平面，平面，平面的距離分別為，，，則A． B． C．1 D．2二、填空題：本大題共6小題每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上.11．（5分）已知兩條直線，平行，則的值為．12．（5分）等差數(shù)列滿足，，則．13．（5分）已知函數(shù)，且，則的值為．14．（5分）如圖，平行六面體的底面是菱形，且．．則與平面（填“垂直”或“不垂直”；的長為．15．（5分）2020年11月24日我國在中國文昌航天發(fā)射場，用長征五號遙五運載火箭成功發(fā)射探月工程“嫦娥五號”探測器，開啟我國首次地外天體采樣返回之旅年，中國正式開展月球探測工程，并命名為“嫦娥工程”年10月24日“嫦娥一號”成功發(fā)射升空，探月衛(wèi)星運行到地月轉(zhuǎn)移軌道之前在以地心為橢圓焦點的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個軌道飛行（如圖所示），三個橢圓軌道的長半軸長、半焦距和離心率分別為，，，2，，探月衛(wèi)星沿三個橢圓軌道的飛行周期（環(huán)繞軌道一周的時間）分別為16小時，24小時和48小時，已知對于同一個中心天體的衛(wèi)星，它們運動周期的平方與長半軸長的三次方之比是定值．現(xiàn)有以下命題：①；②；③；④．則以上命題為真命題的是（寫出所有真命題的序號）16．（5分）把正奇數(shù)列按如下規(guī)律分組（1），，5，，，11，13，15，，，21，23，25，27，29，，，則在第組里有個數(shù)，第9組的所有數(shù)之和為．三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證朋過程.17．（13分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點，（e）的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．18．（13分）已知圓，若直線與圓相交于，兩點，且．（Ⅰ）求圓的方程．（Ⅱ）請從條件①條件②這兩個條件中選擇一個作為點的坐標(biāo)，求過點與圓相切的直線的方程．①；②．19．（14分）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列的通項滿足，求的前項和的最小值及取得最小值時的值．20．（15分）在如圖所示的多面體中，且，，且，且，平面，，，分別為棱，的中點．（1）求點到直線的距離；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點，使得平面平面？若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由．21．（15分）在平面直角坐標(biāo)系中，點，的坐標(biāo)分別為，，是動點，且直線與的斜率之積等于．（1）求動點的軌跡的方程；（2）設(shè)是曲線的左焦點，過點的直線與曲線相交于，兩點，過，分別作直線的垂線與軸相交于，兩點．若，求此時直線的斜率．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1．【分析】根據(jù)題意，將圓的方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，圓，即，其圓心為，故選：．【點評】本題考查圓的一般方程，注意圓的一般方程的形式，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】求出，得到直線與平面垂直．【解答】解：若，0，，，0，，則，，則直線與平面垂直，故選：．【點評】本題考查了平面的法向量，直線的方向向量以及共線向量問題，是基礎(chǔ)題．3．【分析】利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求解焦點坐標(biāo)，漸近線方程，然后求解焦點到漸近線的距離即可．【解答】解：雙曲線的焦點，到漸近線，所以雙曲線的焦點到漸近線的距離為：．故選：．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，漸近線方程的求法，點到直線的距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．4．【分析】根據(jù)題意，設(shè)和的夾角為，易得，由向量夾角公式求出的值，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)和的夾角為，已知直線與圓相交于，兩點，則，又由，則，又由，則，故選：．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及向量數(shù)量積的計算，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】由題意，可得單位時間內(nèi)的進(jìn)光量形成公比為的等比數(shù)列，即可求出．【解答】解：由題意，可得單位時間內(nèi)的進(jìn)光量形成公比為的等比數(shù)列，則對應(yīng)單位時間內(nèi)的進(jìn)光量為，對應(yīng)單位時間內(nèi)的進(jìn)光量為，則由光圈從調(diào)整到，則單位時間內(nèi)的進(jìn)光量原來的倍．故選：．【點評】本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】由點，在拋物線上，得，寫出直線的方程，聯(lián)立拋物線的方程得點的橫坐標(biāo)，再由拋物線的定義，即可得出答案．【解答】解：因為點，在拋物線上，所以，拋物線的準(zhǔn)線為，焦點，所以，，直線的方程為，即，聯(lián)立，得，由拋物線的定義可得，故選：．【點評】本題考查直線與拋物線的相交問題，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．7．【分析】結(jié)合直線與拋物線位置關(guān)系可判斷①，結(jié)合反比例函數(shù)單調(diào)性可判斷②；結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義可判斷③；結(jié)合函數(shù)的變化率與函數(shù)圖象的變化關(guān)系可判斷④．【解答】解：①若直線與拋物線相切，則直線與拋物線有且只有一個公共點，正確；②根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，但在定義域上不單調(diào)，錯誤；③由得，則時的瞬時速度是，正確；④，，由且得，故當(dāng)時，的圖象更陡峭，當(dāng)時，的圖象更陡峭，錯誤．故選：．【點評】本題主要考查了直線與拋物線位置的判斷，基本初等函數(shù)單調(diào)性的判斷，導(dǎo)數(shù)的幾何意義及變化率的大小與函數(shù)圖象變化的關(guān)系，屬于中檔題．8．【分析】根據(jù)題意，作出正四棱柱的還原圖，取的中點，連接，分析可得為異面直線和所成角，由此計算可得答案．【解答】Ⅷ解：根據(jù)題意，作出正四棱柱的還原圖，如圖，取的中點，連接，則有，為銳角，則為異面直線和所成角，而，，則有，則，即異面直線和所成角為；故選：．【點評】本題考查異面直線所成角的計算，涉及棱柱的結(jié)合結(jié)構(gòu)，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】設(shè)，，由，推出，又表示橢圓上的點到原點的距離的平方，則，即可得出答案．【解答】解：，，設(shè)，，則，，，，因為，所以，，，所以，所以，因為點為橢圓上的任意一點，所以表示橢圓上的點到原點的距離的平方，所以，所以，所以，所以．故選：．【點評】本題考查向量與橢圓問題，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．10．【分析】由題意可得，，分別是面，，對應(yīng)的高，然后利用三棱錐的體積公式可得，對于任意點，連結(jié)，，，，將四面體分別為四個部分，，因為點在平面內(nèi)，故，利用體積相等，列出等式關(guān)系，化簡變形即可得到答案．【解答】解：在四面體中，由于，，兩兩垂直，故，，分別是面，，對應(yīng)的高，即，又，，，故，對于任意點，連結(jié)，，，，將四面體分別為四個部分，，因為本題中點在平面上，故，，，四點共面，所以，所以，又因為，則有，將等式兩邊同時除以，可得．故選：．【點評】本題考查了棱錐體積的理解和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用等體積法構(gòu)建等式關(guān)系，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上.11．【分析】根據(jù)題意，由直線的一般式方程與直線平行的判斷方法可得關(guān)于的方程，解可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，兩條直線，平行，則有，解可得，故答案為：4．【點評】本題考查直線平行的判斷，涉及直線的一般式方程，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)先求出公差，進(jìn)而可求．【解答】解：因為等差數(shù)列滿足，，所以，所以，則．故答案為：．【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】利用導(dǎo)數(shù)的計算公式求解即可求得．【解答】解：，所以，解得，故答案為：1．【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】由向量的運算得出面面垂直，再由向量表示出所求向量進(jìn)行計算即可．【解答】解：設(shè)，，，由題意可得，則，，同理可證，，故平面．．，，，即的長為．故答案為：垂直【點評】本題考查空間向量的運算，屬于中檔題．15．【分析】由圖象可知三個橢圓軌道的左頂點重合，焦點重合，從而可判斷①；由已知可得，計算可判斷②；由，計算可判斷③；離心率，由為定值，，利用不等式的性質(zhì)即可判斷④．【解答】解：由圖可知，三個橢圓軌道的左頂點重合，焦點重合，所以，故①正確；由題意可知，又，所以，所以，故②錯誤；，所以，即，故③正確；，由①知為定值，，所以，故④正確，故命題為真命題的是①③④．故答案為：①③④．【點評】本題考查了簡易邏輯的判定方法，橢圓的簡單性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．16．【分析】第1組有1個正奇數(shù)，第2組有3個正奇數(shù)，第3組有5個正奇數(shù)，第4組有7個正奇數(shù)，，，推導(dǎo)出在第組里有個數(shù)，從而第9組有個正奇數(shù)，第8組一共包含的正奇數(shù)個數(shù)為：個，從而求出第9組的第一個數(shù)，由此能求出第9組的所有數(shù)之和．【解答】解：把正奇數(shù)列按如下規(guī)律分組：（1），，5，，，11，13，15，，，21，23，25，27，29，，，第1組有1個正奇數(shù)，，第2組有3個正奇數(shù)，，第3組有5個正奇數(shù)，，第4組有7個正奇數(shù)，，在第組里有個數(shù)．第9組有個正奇數(shù)，第8組一共包含的正奇數(shù)個數(shù)為：個，第9組的第一個數(shù)為：．第9組的所有數(shù)之和為：．故答案為：，2465．【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用，考查等差數(shù)列的通項公式、前項和公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證朋過程.17．【分析】（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得（e），又（e），再由直線方程的點斜式得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，由，求解函數(shù)的增區(qū)間，由，求解函數(shù)的減區(qū)間．【解答】解：（Ⅰ）由，得，（e），又（e），曲線在點，（e）的切線方程為，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，由，得，由，得，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，．【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．18．【分析】（Ⅰ）設(shè)圓心到直線的距離為，進(jìn)而根據(jù)，計算即可得到答案；（Ⅱ）選①：當(dāng)直線斜率不存在時，恰好與圓相切，滿足題意，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)的方程為，進(jìn)而根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可求得答案；選②：由于在圓上，故為切點，進(jìn)而根據(jù)圓的性質(zhì)求得切線的斜率，進(jìn)而的方程．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)圓心到直線的距離為，則，即，又，所以，故圓的方程為；（Ⅱ）選①：當(dāng)直線斜率不存在時，，恰好與圓相切，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)的方程為，即，則圓心到直線的距離為，解得，此時的方程為，即，綜上：直線的方程為或；選②：由于在圓上，故為切點，則切點與圓心連線的斜率為，則切線的斜率為，所以直線的方程為，即．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓的切線方程求解，屬于中檔題．19．【分析】設(shè)出公比，由已知列出方程求出首項和公比即可；求得，得出，利用二次函數(shù)性質(zhì)可求．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，由可得，解得，；，，即，，則當(dāng)時，取得最小值為．【點評】本題考查了求等比數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列的前項和的最值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求最值，屬于基礎(chǔ)題．20．【分析】（1）由題知，，，又，建立以點為原點的空間直角坐標(biāo)系，求得向量，，則點到直線的距離為；（2）求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角求得平面與平面夾角的余弦值；（3）假設(shè)上存在點使得平面平面，設(shè)出坐標(biāo)，求得平面的法向量，與平面的法向量應(yīng)共線，驗證是否存在即可．【解答】解：（1）由平面知，，，又，則建立以點為原點的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，0，，，0，，，2，，，0，，，0，，，1，，，2，，則，，1，，，，所以點到直線的距離為，（2）由（1）知，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，故平面與平面的夾角的余弦值為．（3）設(shè)上存在一點，設(shè)，，，，，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，平面平面，，即，無解，故不存在，即不存在點使得平面平面．【點評】本題主要考查點面距離的計算，面面角的求解，立體幾何中的探索性問題等知識，