2021北京初二（上）期末數(shù)學(xué)匯編：等腰三角形

29/292021北京初二（上）期末數(shù)學(xué)匯編等腰三角形一、單選題1．（2021·北京通州·八年級期末）如圖，在ABC中，∠ACB＝90°，邊BC的垂直平分線EF交AB于點(diǎn)D，連接CD，如果CD＝6，那么AB的長為（）A．6 B．3 C．12 D．4．52．（2021·北京大興·八年級期末）等腰三角形的一個(gè)角是，則它的底角是（

）A． B． C．或 D．或3．（2021·北京門頭溝·八年級期末）如圖，每個(gè)小方格的邊長為1，A，B兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，點(diǎn)C也是圖中小方格的頂點(diǎn)，并且△ABC是等腰三角形，那么點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．44．（2021·北京豐臺·八年級期末）等腰三角形的一邊長是5，另一邊長是10，則周長為（）A．15 B．20 C．20或25 D．25二、填空題5．（2021·北京東城·八年級期末）如圖，在中，D是上一點(diǎn)，，則________°．6．（2021·北京延慶·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，∠BAD＝20°，且AE＝AD，則∠CDE的度數(shù)是______．7．（2021·北京豐臺·八年級期末）右圖是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，且邊長為，點(diǎn)均在格點(diǎn)上，在網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系．如果點(diǎn)也在此的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，且是等腰三角形，請寫出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)_______；滿足條件的點(diǎn)一共有_______個(gè)．8．（2021·北京西城·八年級期末）如圖，，點(diǎn)D在邊上，，則________°．9．（2021·北京東城·八年級期末）小明同學(xué)用一根鐵絲恰好圍成一個(gè)等腰三角形，若其中兩條邊的長分別為和，則這根鐵絲的長為_________．10．（2021·北京平谷·八年級期末）等腰三角形的一個(gè)角是70°，則它的頂角的度數(shù)是____________．11．（2021·北京房山·八年級期末）如圖，長方形ABCD中，AB=6,BC=2,直線l是長方形ABCD的一條對稱軸，且分別與AD,BC交于點(diǎn)E,F,若直線l上的動點(diǎn)P,使得△PAB和△PBC均為等腰三角形.則動點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有_______個(gè).12．（2021·北京順義·八年級期末）如圖,在中,于點(diǎn),則的度數(shù)為__________．13．（2021·北京朝陽·八年級期末）“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角.這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA,OB組成，兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動，C點(diǎn)固定，OC=CD=DE,點(diǎn)D、E可在槽中滑動．若∠BDE=75°,則∠CDE的度數(shù)是__________14．（2021·北京門頭溝·八年級期末）學(xué)習(xí)了等腰三角形的相關(guān)內(nèi)容后，張老師請同學(xué)們交流這樣一個(gè)問題：“如果一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別為2和5，求它的周長”．同學(xué)們經(jīng)過片刻的思考和交流后，小明同學(xué)舉手講“它的周長是9或12”，你認(rèn)為小明的回答是否正確：_____，你的理由是_____．15．（2021·北京延慶·八年級期末）如圖，在長方形的對稱軸上找點(diǎn)，使得，均為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)有_________個(gè).16．（2021·北京昌平·八年級期末）已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為______．三、解答題17．（2021·北京昌平·八年級期末）已知：如圖，為銳角，點(diǎn)A在射線上．求作：射線，使得．小靜的作圖思路如下：①以點(diǎn)A為圓心，為半徑作弧，交射線于點(diǎn)B，連接；②作的角平分線．射線即為所求的射線．（1）使用直尺和圓規(guī)，按照小靜的作圖思路補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：，（__________）．是的一個(gè)外角，___________________．．平分，．．（__________）．18．（2021·北京西城·八年級期末）課堂上，老師提出了這樣一個(gè)問題：如圖1，在中，平分交于點(diǎn)D，且．求證：．小明的方法是：如圖2，在上截取，使，連接，構(gòu)造全等三角形來證明結(jié)論．

（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截長法”，那么還可以用“補(bǔ)短法”通過延長線段構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明．輔助線的畫法是：延長至F，使_________，連接．請補(bǔ)全小天提出的輔助線的畫法，并在圖1中畫出相應(yīng)的輔助線；（2）小蕓通過探究，將老師所給的問題做了進(jìn)一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問題：如圖3，點(diǎn)D在的內(nèi)部，，，分別平分，，，且．求證：．請你解答小蕓提出的這個(gè)問題；（3）小東將老師所給問題中的一個(gè)條件和結(jié)論進(jìn)行交換，得到的命題如下：如果在中，，點(diǎn)D在邊上，，那么平分．小東判斷這個(gè)命題也是真命題，老師說小東的判斷是正確的．請你利用圖4對這個(gè)命題進(jìn)行證明．

19．（2021·北京西城·八年級期末）如圖，，點(diǎn)E在的延長線上，，．（1）求證：；（2）連接，求證：．20．（2021·北京西城·八年級期末）小紅發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)直角三角形都可以分割成兩個(gè)等腰三角形．已知：在中，．求作：直線，使得直線將分割成兩個(gè)等腰三角形．下面是小紅設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程．作法：如圖，①作直角邊的垂直平分線，與斜邊相交于點(diǎn)D；②作直線．所以直線就是所求作的直線．根據(jù)小紅設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：∵直線是線段的垂直平分線，點(diǎn)D在直線上，∴．（_______）（填推理的依據(jù)）∴_________________．∵，∴，_________．∴．∴．（_______）（填推理的依據(jù)）∴和都是等腰三角形．21．（2021·北京順義·八年級期末）已知：如圖，，，分別平分和，點(diǎn)E在上．用等式表示線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．22．（2021·北京大興·八年級期末）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，CF平分∠DCE，AD∥EB，∠ADC=∠BCE，AD=BC，求證：DF=FE．23．（2021·北京房山·八年級期末）如圖，在ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接BD．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）求∠DBC的度數(shù)．24．（2021·北京海淀·八年級期末）已知，點(diǎn)為射線上一定點(diǎn)，點(diǎn)為射線上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），點(diǎn)在線段的延長線上，且．過點(diǎn)作于點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到如圖的位置時(shí)，點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，此時(shí)與的數(shù)量關(guān)系是；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到如圖的位置時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形，并證明：；（3）在點(diǎn)運(yùn)動的過程中，點(diǎn)能否在射線的反向延長線上？若能，直接用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；若不能，請說明理由．25．（2021·北京門頭溝·八年級期末）閱讀材料：小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6，求BC的長．小明的想法：因?yàn)镃D平分∠ACB，所以可利用“翻折”來解決該問題．即在BC邊上取點(diǎn)E，使EC＝AC，并連接DE（如圖2）．（1）如圖2，根據(jù)小明的想法，回答下面問題：①△DEC和△DAC的關(guān)系是，判斷的依據(jù)是；②△BDE是三角形；③BC的長為．（2）參考小明的想法，解決下面問題：已知：如圖3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2，求AD的長．26．（2021·北京通州·八年級期末）如圖，在ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一點(diǎn)，EA⊥AB，且EB＝EC．（1）如果∠ABC＝40°，求∠DEC的度數(shù)；（2）求證：BC＝2AB．27．（2021·北京朝陽·八年級期末）在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，直線BC上有一點(diǎn)P，M，N分別為點(diǎn)P關(guān)于直線AB，AC的對稱點(diǎn)，連接AM，AN，BM．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，求∠MAN和∠MBC的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長線上時(shí)，①依題意補(bǔ)全圖2；②探究是否存在點(diǎn)P，使得，若存在，直接寫出滿足條件時(shí)CP的長度；若不存在，說明理由．28．（2021·北京朝陽·八年級期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E．求證：E為AB的中點(diǎn)．29．（2021·北京延慶·八年級期末）已知：如圖，線段AB和射線BM交于點(diǎn)B．（1）利用尺規(guī)完成以下作圖，并保留作圖痕跡（不寫作法）①在射線BM上作一點(diǎn)C，使AC=AB，連接AC；②作∠ABM的角平分線交AC于D點(diǎn)；③在射線CM上作一點(diǎn)E，使CE=CD，連接DE.（2）在（1）所作的圖形中，猜想線段BD與DE的數(shù)量關(guān)系，并證明之．

參考答案1．C【解析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DC=DB=6，則∠DCB=∠B，由∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，得∠A+∠B=90°，從而∠A=∠ACD，DA=DC=6，則AB=AD+DB便可求出．【詳解】∵EF是線段BC的垂直平分線，DC=6，∴DC=DB=6，∴∠DCB=∠B，又∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ACD，∴DA=DC=6，∴AB=AD+DB=6+6=12．故選：12．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】分類討論這個(gè)的角是等腰三角形的頂角還是底角．【詳解】解：若的角是頂角，則底角是，若的角是底角，則底角是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)．3．C【分析】分AB為腰和為底兩種情況考慮，畫出圖形，即可找出點(diǎn)C的個(gè)數(shù)．【詳解】解：如下圖：當(dāng)AB為腰時(shí)，分別以A、B點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AB為半徑作圓，可找出格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有2個(gè)；當(dāng)AB為底時(shí)，作AB的垂直平分線，可找出格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有1個(gè)，所以點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為：2+1=3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，能分以AB為底和以AB為腰兩種情況，并畫出圖形是解題關(guān)鍵.4．D【分析】由于沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)腰為5時(shí)，5+5=10，所以不能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰為10時(shí)，5+10＞10，所以能構(gòu)成三角形，周長是：10+10+5=25．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答．5．25【分析】設(shè)∠ADC＝α，然后根據(jù)AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，表示出∠B和∠BAD的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ADC的度數(shù)，進(jìn)而求得∠B的度數(shù)即可．【詳解】解：∵AC＝AD＝DB，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，設(shè)∠ADC＝α，∴∠B＝∠BAD＝，∵∠BAC＝105°，∴∠DAC＝105°﹣，在△ADC中，∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，∴2α+105°﹣＝180°，解得：α＝50°，∴∠B＝∠BAD＝＝25°，故答案為：25．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：①等腰三角形的兩腰相等；②等腰三角形的兩個(gè)底角相等，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．10°【分析】設(shè)∠B＝∠C＝x，∠CDE＝y(tǒng)，分別表示出∠DAE，構(gòu)建方程解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)∠B＝∠C＝x，∠EDC＝y(tǒng)，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝x＋y，∵∠DAE＝180°?2（x＋y）＝180°?20°?2x，∴2y＝20°，∴y＝10°，∴∠CDE＝10°．故答案為：10°【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，還涉及三角形內(nèi)角和等知識點(diǎn)，需要熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)．7．

（答案不唯一，符合題意即可）

8【分析】分別以A，B為圓心，AB為半徑作圓弧，尋找在圓弧上的格點(diǎn)即可．【詳解】①如圖，以A為圓心，AB為半徑作圓弧，符合題意的格點(diǎn)有5個(gè)；②如圖，以B為圓心，AB為半徑作圓弧，符合題意的格點(diǎn)有3個(gè)；③如圖，在AB的垂直平分線上時(shí)，無符合題意的格點(diǎn)；綜上，符合題意的格點(diǎn)共有8個(gè)，故答案為：（答案不唯一，符合題意即可）；8．【點(diǎn)睛】本題考查在網(wǎng)格中作等腰三角形，根據(jù)已知邊可作為底邊或者腰進(jìn)行分類討論，熟練掌握尺規(guī)作圖方法是解題關(guān)鍵．8．【分析】先由，得到，繼而解得，由等邊對等角解得，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和180°解題即可．【詳解】故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．9．50或55【分析】等腰三角形中兩條邊的長分別為15cm和20cm時(shí)，第三邊的長可能為15cm或20cm，分別求得三角形的周長，即為鐵絲的長.【詳解】∵等腰三角形中兩條邊的長分別為15cm和20cm，∴當(dāng)?shù)谌龡l邊的長為15cm時(shí)，這根鐵絲的長為15+15+20=50(cm)，此時(shí)15+15>20，符合三角形的三邊關(guān)系；當(dāng)?shù)谌龡l邊的長為20cm時(shí)，這根鐵絲的長為15+20+20=55(cm)，此時(shí)15+20>20，符合三角形的三邊關(guān)系；故答案為：50或55.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定及三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理并分類討論是解題的關(guān)鍵.10．40°或70°【分析】因?yàn)轭}中沒有指明該角是頂角還是底角，所以要分兩種情況進(jìn)行分析．【詳解】解：①70°是底角，則頂角為：180°-70°×2=40°；②70°為頂角；綜上所述，頂角的度數(shù)為40°或70°．故答案為：40°或70°．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵．11．5【分析】利用分類討論的思想，此題共可找到5個(gè)符合條件的點(diǎn)：一是作AB或DC的垂直平分線交l于P；二是在長方形內(nèi)部，在l上作點(diǎn)P1，使P1C=DC，AB=P1B，同理，在l上作點(diǎn)P2，使P2A=AB，P2D=DC；三是如圖，如圖，在長方形外l上作點(diǎn)P3，使AB=AP3，DC=P3D，同理，在長方形外l上作點(diǎn)P4，使BP4=AB，CP4=DC．【詳解】分三種情況討論：①如圖，作AB或DC的垂直平分線交l于P，②如圖，在l上作點(diǎn)P1，使P1C=DC，AB=P1B，同理，在l上作點(diǎn)P2，使P2A=AB，P2D=DC，③如圖，在長方形外l上作點(diǎn)P3，使AB=AP3，DC=P3D，同理，在長方形外l上作點(diǎn)P4，使BP4=AB，CP4=DC，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定；解題中利用等腰三角形的判定來解決特殊的實(shí)際問題，其關(guān)鍵是根據(jù)題意，結(jié)合圖形，再利用數(shù)學(xué)知識來求解．12．25°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和已知可求得兩底角的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可求得∠的度數(shù)．【詳解】∵，∠°，∴∠∠°，∵，∴∠°°°．故答案為：25°．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行答題．13．80°【分析】根據(jù)OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求出∠ODC數(shù)，進(jìn)而求出∠CDE的度數(shù)．【詳解】∵，∴，，設(shè)，∴，∴，∵，∴，即，解得：，.【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，理清各個(gè)角之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．14．

不正確

2+2＜5，2，2，5不構(gòu)成三角形．【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為2和5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【詳解】解：當(dāng)腰為5時(shí)，周長=5+5+2=12；當(dāng)腰長為2時(shí)，因?yàn)?+2＜5，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知此情況不成立；根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知：等腰三角形的腰長只能為5，這個(gè)三角形的周長是12．故答案為不正確，2+2＜5，2，2，5不構(gòu)成三角形．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識，解題時(shí)根據(jù)是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．15．5【分析】利用分類討論的思想，此題共可找到5個(gè)符合條件的點(diǎn)：一是作AB或DC的垂直平分線交l于P；二是在長方形內(nèi)部在l上作點(diǎn)P，使PA=AB，PD=DC，同理，在l上作點(diǎn)P，使PC=DC，AB=PB；三是如圖，在長方形外l上作點(diǎn)P，使AB=BP，DC=PC，同理，在長方形外l上作點(diǎn)P，使AP=AB，PD=DC．【詳解】如圖，作AB或DC的垂直平分線交l于P，如圖，在l上作點(diǎn)P，使PA=AB，同理，在l上作點(diǎn)P，使PC=DC，如圖，在長方形外l上作點(diǎn)P，使AB=BP，同理，在長方形外l上作點(diǎn)P，使PD=DC，故答案為:5.【點(diǎn)睛】考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，注意分類討論思想在解題中的應(yīng)用.16．和【詳解】試題分析：首先知有兩種情況（頂角是40°和底角是40°時(shí)），由等邊對等角求出底角的度數(shù)，用三角形的內(nèi)角和定理即可求出頂角的度數(shù)．解：△ABC，AB=AC．有兩種情況：（1）頂角∠A=40°，（2）當(dāng)?shù)捉鞘?0°時(shí)，∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°﹣40°﹣40°=100°，∴這個(gè)等腰三角形的頂角為40°和100°．故答案為40°或100°．考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．17．（1）見解析；（2）等邊對等角；；；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【分析】（1）按照步驟作圖即可；（2）由作法知，OA=AB，AC是∠MAB的平分線，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，以及角平分線的定義說明即可．【詳解】解：（1）作圖如下：（2）證明：，（等邊對等角）．是的一個(gè)外角，．平分，..（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故答案為：等邊對等角；；；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題考查了作一條線段等于已知線段，作角的角平分線，以及等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，以及角平分線的定義等知識，熟練掌握各知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．18．（1）BD，證明見解析；（2）見解析；（3）見解析．【分析】（1）延長AB至F，使BF＝BD，連接DF，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠ABC＝2∠F，則可利用SAS證明△ADF≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證明結(jié)論；（2）在AC上截取AE，使AE＝AB，連接DE，則可利用SAS證明△ADB≌△ADE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（3）延長AB至G，使BG＝BD，連接DG，則可利用SSS證明△ADG≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、角平分線的定義即可證明結(jié)論．【詳解】證明：（1）如圖1，延長AB至F，使BF＝BD，連接DF，則∠BDF＝∠F，∴∠ABC＝∠BDF＋∠F＝2∠F，∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD，∵AB＋BD＝AC，BF＝BD，∴AF＝AC，在△ADF和△ADC中，，∴△ADF≌△ADC（SAS），∴∠ACB＝∠F，∴∠ABC＝2∠ACB．故答案為：BD．（2）如圖3，在AC上截取AE，使AE＝AB，連接DE，∵AD，BD，CD分別平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，∴∠DAB＝∠DAE，∠DBA＝∠DBC，∠DCA＝∠DCB，∵AB＋BD＝AC，AE＝AB，∴DB＝CE，在△ADB和△ADE中，，∴△ADB≌△ADE（SAS），∴BD＝DE，∠ABD＝∠AED，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠AED＝2∠ECD，∴∠ABD＝2∠ECD，∴∠ABC＝2∠ACB．（3）如圖4，延長AB至G，使BG＝BD，連接DG，則∠BDG＝∠AGD，∴∠ABC＝∠BDG＋∠AGD＝2∠AGD，∵∠ABC＝2∠ACB，∴∠AGD＝∠ACB，∵AB＋BD＝AC，BG＝BD，∴AG＝AC，∴∠AGC＝∠ACG，∴∠DGC＝∠DCG，∴DG＝DC，在△ADG和△ADC中，，∴△ADG≌△ADC（SSS），∴∠DAG＝∠DAC，即AD平分∠BAC．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、角平分線的定義，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．19．（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABC=∠ECD，則可利用AAS證明△ABC≌△ECD，再由全等三角形的性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）根據(jù)“等邊對等角”可得∠DBC=∠BDC，結(jié)合∠ABC=∠ECD，可得∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ECD+∠BDC，再利用三角形的外角性質(zhì)得∠EBD=∠ECD+∠BDC，即可證明∠ABD=∠EBD．【詳解】證明：（1）∵AB∥CD，∴∠ABC=∠ECD，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（AAS），∴BC=CD．（2）證明：如圖，∵BC=CD，∴∠DBC=∠BDC，∵∠ABC=∠ECD，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ECD+∠BDC，又∵∠EBD=∠ECD+∠BDC，∴∠ABD=∠EBD．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（1）見解析；（2）線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；DCB，DBC；DBC；等角對等邊．【分析】（1）根據(jù)題意，按照尺規(guī)作圖的基本要求，完成作圖即可；（2）根據(jù)證明過程可分析得出：此題的證明思路是利用線段垂直平分線的性質(zhì)與等腰三角形的判定，則可根據(jù)推理過程補(bǔ)充相應(yīng)的內(nèi)容即可．【詳解】解：（1）補(bǔ)全的圖形如下：（2）證明：∵直線MN是線段CB的垂直平分線，點(diǎn)D在直線MN上，∴DC＝DB．（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）∴∠DCB＝∠DBC．∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°?∠DCB，∠A＝90°?∠DBC．∴∠ACD＝∠A．∴DC＝DA．（等角對等邊）∴△DCB和△DCA都是等腰三角形．故答案為：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；DCB，DBC；DBC；等角對等邊．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)與等腰三角形的判定．21．AB=AC+BD，證明見詳解．【分析】延長AE，交BD的延長線于點(diǎn)F，先證明AB=BF，進(jìn)而證明△ACE≌△FDE，得到AC=DF，問題得證．【詳解】解：延長AE，交BD的延長線于點(diǎn)F，∵，∴∠F=∠CAF，∵平分，∴∠CAF=∠BAF，∴∠F=∠BAF，∴AB=BF，∵平分，∴AE=EF，∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED，∴△ACE≌△FDE，∴AC=DF，∴AB=BF=BD+DF=BD+AC．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判斷與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意添加輔助線構(gòu)造等腰三角形和全等三角形是解題關(guān)鍵．22．見解析．【分析】首先可根據(jù)條件判斷出△ACD≌△BEC，從而得到DC=CE，判斷出△DCE為等腰三角形，結(jié)合“三線合一”即可得出結(jié)論．【詳解】∵AD∥BE，∴∠DAC=∠CBE，在△ACD和△BEC中∴△ACD≌△BEC（ASA），∴DC=CE，∴△DCE是等腰三角形.∵CF平分∠DCE，∴DF=FE．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定以及“三線合一”的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．23．（1）見解析；（2）30°【分析】（1）依題意作出線段AB的垂直平分線即可；（2）由三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)求得∠

ABC=70°，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出DA=DB，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得∠ABD=∠A=40°，進(jìn)而可求得∠DBC的度數(shù)．【詳解】(1)如圖，直線DE為線段AB的垂直平分線；(2)∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=70°，∵DE垂直平分AB，∴DA=DB.∴∠DBA=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=70°-40°=30°．【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖-線段垂直平分線、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟知線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段端點(diǎn)的距離相等是解答的關(guān)鍵．24．（1）；（2）補(bǔ)全圖形見解析，證明見解析；（3）能，【分析】（1）先證明是的垂直平分線，可得：可得：可得從而可得結(jié)論；（2）如圖，過作于證明：可得再證明：從而可得于是可得結(jié)論；（3）如圖，過作于同（2）理可得：可得再證明從而可得結(jié)論．【詳解】解：（1）當(dāng)重合時(shí)，點(diǎn)在線段的延長線上，，，是的垂直平分線，故答案：（2）補(bǔ)全圖形如圖所示，過作于（3）點(diǎn)能在射線的反向延長線上，如圖，過作于同理可得：【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的定義及性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形全等的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．25．（1）①全等；SAS；②等腰；③5.8；（2）4.3【分析】（1）①根據(jù)題意可知△DEC和△DAC的關(guān)系是全等且判定依據(jù)為SAS；②根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可以說明△BDE是等腰三角形；③根據(jù)全等三角形和等腰三角形的性質(zhì)以及線段的和差可得BC=AD+AC，最后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可（2）在BA邊上取點(diǎn)E，使BE=BC=2，連接DE，得到△DEB≌△DCB，在DA邊上取點(diǎn)F，使DF=DB，連接FE，得到△BDE≌△FDE，最后利用全等三角形的性質(zhì)以及等量代換即可解答．【詳解】（1）①∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠DCE∵CD=CD,∠ACD=∠DCE,EC=AC∴△DEC≌△DAC（SAS）故填：全等，SAS；②∵△DEC≌△DAC∴∠DEC=∠A=2∠B∵∠DEC是△BDE的外角∴∠DEC=∠B+∠EDB=2∠B∴∠EDB=∠B∴BE=DE∴△BDE是等腰三角形故填:等腰；③∵EC=AC=3.6,BE=DE=AD=2.2∴BC=EC+BE=3.6+2.2=5.8故填：5.8；（2）∵△ABC中，AB=AC，∠A=20°，∴∠ABC=∠C=80°，又∵BD平分∠ABC.∴∠1=∠2=40°，∴由三角形內(nèi)角和定理得∠BDC=60°.在BA邊上取點(diǎn)E，使BE=BC，連接DE.又∵BD=BD，∴△DEB≌△DCB.∴∠BED=∠C=80°，∠BDC=∠4=60°，BE=BC=2.又∵∠ADC=180°，∴∠3=60°.∴∠3=∠4.在DA邊上取點(diǎn)F，使DF=DB，連接FE，又∵DE=DE，∴△BDE≌△FDE，∴∠5=∠1=40°，BE=EF=2，BD=DF=2.3.又∵∠5=∠6+∠A，∠A=20°.∴∠6=20°，∴∠A=∠6，∴AF=EF=2，∴AD=BD+BC=4.3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義等知識點(diǎn)，弄清題意、正確的作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．26．（1）40°；（2）證明見解析【分析】（1）由角平分線的定義求出，再由等邊對等角和三角形的外角性質(zhì)，即可求出答案；（2）過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，先得到EA＝EF，然后證明△AEB≌△FEB，則AB=FB，然后得到BC＝2AB．【詳解】（1）解：∵∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，∴.∵EB＝EC，∴.∵∠DEC是△EBC的一個(gè)外角，∴.（2）證明：過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，如圖：∵BD平分∠ABC，EA⊥AB，∴EA＝EF.

在Rt△AEB和Rt△FEB中∵∴△AEB≌△FEB（HL）

∴AB=FB（全等三角形的對應(yīng)邊相等）

∵EB＝EC，EF⊥BC，∴BC＝2FB.

∴BC＝2AB．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的