2023學(xué)年完整版正弦定理(一)

1.1正弦定理和余弦定理1.1.1.正弦定理(一)∵邊AB、AC在y軸上射影相等,∴bsinC＝csinB,＝bsinBcsinC∴.

同理＝.asinAbsinB

＝＝.asinAbsinBcsinC∴ABCabcxyxyABCabc[證明舉例]

在一個(gè)三角形中各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.

＝＝asinAbsinBcsinC＝正弦定理？

＝＝asinAbsinBcsinC＝2R.=2RbsinBB`ABCbOABCbOB`ABCbO（1）已知兩角及一邊；（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角；（3）已知兩邊及夾角；（4）已知三邊.ABCabc

＝＝asinAbsinBcsinC＝2R.例1：在ABC中，已知c＝10，A＝45°，

C＝30°，求b.解：∵＝，bsinBcsinCB=180°–(A＋C)＝105°，ABCcbb

＝≈19.csinBsinC∴例2：在ABC中，已知a＝20，b＝28，

A＝40°，求B和c.解：∵sinB＝≈0.8999bsinA

a∴B1＝64°，B2＝116°40°ABCbB1B2······

在例2中，將已知條件改為以下幾種情況，結(jié)果如何？（1）b＝20，A＝60°，a＝20√3;（2）b＝20，A＝60°，a＝10√3;（3）b＝20，A＝60°，a＝15.60°ABCb（1）b＝20，A＝60°，a＝20√3sinB＝＝，bsinAa12B＝30°或150°，∵150°＋60°>180°，∴B＝150°應(yīng)舍去.60°2020√3ABC（2）b＝20，A＝60°，a＝10√3sinB＝＝1，bsinAaB＝90°.B60°AC20（3）b＝20，A＝60°，a＝15.sinB＝＝，bsinAa2√332√33

∵>1，∴無(wú)解.60°20AC

思考：當(dāng)b＝20，A＝60°，a＝？時(shí)，有1解、2解、無(wú)解.例3：已知向量a與a＋b夾角為60°，且a＝8，b＝7，求a與b的夾角及a·b.解：在OAC中，bsin60°asin∠OCA∵＝∴sin∠OCA＝≈0.9897,8

sin60°

7∴∠OCA＝81.8°或98.2°,∴∠OAC＝38.2°或21.8°,過(guò)O作OB∥AC，∠AOB＝141.8°或158.2°,∴a·b＝a

bcos∠AOB＝－44.0或－52.60°aa+bOAC1C2B1B2√230°練習(xí)ABC中，（1）已知c＝√3，A＝45°，B＝75°，則a＝____，（2）已知c＝2，A＝120°，a＝2√3，則B＝____，（3）已知c＝2，A＝45°，a＝，則

B＝_____________.2√6375°或15°小結(jié)2.正弦定理可解以下兩種類型的三角形：