考研網(wǎng)804材料力學(xué)電子chap

第八章梁的彎曲應(yīng)（bending§8－1對(duì)稱

qq 8－1b8－1c8－1d續(xù)梁（8－1e）等。在工程結(jié)構(gòu)中有許多梁至少有一個(gè)縱向?qū)ΨQ面，或者說梁截面有一beambending對(duì)稱彎曲（symmetricalbending。下面先討論對(duì)稱梁的純彎曲問題?！?－2對(duì)稱梁的純彎曲如果某一段梁的截面上剪力為零，彎矩為不等于零的常數(shù)，該段梁的彎曲稱為純彎曲bending一、幾何關(guān)系yxyx x

M 8－3c斷在材料力學(xué)里廣泛稱為平面截面假設(shè)。因?yàn)槊恳粋€(gè)單元經(jīng)歷相同的變形，那么，原-xbyoya o 8－4所示，根據(jù)平面截面的推斷，變形前在兩個(gè)截面（aca’c’）x軸向所有的線段都有相同的長度。彎曲變形后，梁的頂面的縱向線段aa縮短最大，而在底cc的伸長最大。于是可以推斷在梁的中間某處（oo）的線段既不縮短，也不伸長，仍然保持原來的長度。這一層面稱為中性面（neutralsurface）或稱為中性層(圖8－5a)。中性面與橫截面的交線稱為中性軸（neutralaxis。在對(duì)稱彎曲問題中，梁所承受度處的線段bb’變形前與oo的長度相同，變形后的長度為(y)d（d是梁段左右兩截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。因此，在y高度處縱向線段的應(yīng)變?yōu)?y)dd

yyxz xyxzyz0。二、物理關(guān)系1[()] 因 0 所以xyxzyz

xz0

yz 只有x不等于零。從式（a）可知E

y1[()] x 1[()]x

z三、平衡關(guān)系FxxdAAMyzxdAA

Mz－yx A式（8－5）y8－5b8－5FdA EydA 式中ydASzAyc為橫截面對(duì)中性軸的面積矩（A為截面面積，yc為截面形心坐標(biāo)A MzxdAEyzdAEyzdA 式中yzdAIyzy軸對(duì)稱，所以慣性積為零，式AM Ey2dA y2dA 其中Iz A1Mz 1/是梁軸線的曲率。上式表示純彎梁的曲率與彎矩成正比。式中EIz稱為抗彎剛度，（8－2，得到Mz xx IIZ

上式的 M WWzWIz

b的矩形截面的抗彎截面系數(shù)為 bh3 Wz z h h/2 D4/ W D D/2 8－18－7所示矩形截面懸臂梁，截面寬5cm，高10cm。右端有制成，彈性模量E＝200GPa。梁的正應(yīng)力（8－9）

xyyzyyz M 10103Nm6WWz

120bh2/ 0.050.12曲率半徑（EIzEbh3/12200109Pa0.050.13m3 10103Nm

83.3§8－3剪切彎曲的正應(yīng)力和切應(yīng)力一、對(duì)稱梁剪切彎曲時(shí)的正應(yīng)力工程實(shí)踐中的梁在一般的載荷情況下彎矩Mz1Mz Mz(x) xx對(duì)于剪彎梁，Mz是x1/x都是x的函數(shù)。正應(yīng)力在給定的截力學(xué)”的處理方法。細(xì)長梁用上述的計(jì)算結(jié)果與精確解比較，發(fā)現(xiàn)上述近似解有足夠二、對(duì)稱梁的彎曲切應(yīng)力xdA－xdA－yxbdx zzxybzy

A1

xy

x其中積分面積A2＝A1 Mzy (MzdMz)IIxIz

xz（a(MzdMz)

Mz

—

dA－bdxIII

z

AdxA2dMz s FSs

zz是截面上y坐標(biāo)以上部分面積（A1或A2）對(duì)z軸的面積矩。* ydAh/2bydybh2y2z ( z2 22byzybyzyh 圖 （8－13，y bh3( y 1.5Fs1.5 例8－3 圖8－10所簡支形截面長度為l，截面的寬和高分別為b和h。在梁中間承受一集中載荷F。試求最大切應(yīng)力ax與最正應(yīng)力ax比值。解：最大彎矩發(fā)生的梁的跨度的中點(diǎn) MmaxFL61.5

llzz

4 1.5FS1.5F3

1h2

4l>10h板很薄，腹板的厚度出現(xiàn)在切應(yīng)力的分母中，使得切應(yīng)力相對(duì)增大。所以應(yīng)該注意薄F xy

FS(h2y2z z面，將產(chǎn)生S型的翹曲（見圖811。如果梁的各橫截面上剪力相等，則各個(gè)截面的翹曲解相比，誤差不超過1％。三、工字形截面梁的彎曲切應(yīng)力工字形截面梁由中間的腹板與上下兩翼緣板組成。如圖8－12所示，截面關(guān)于y軸成對(duì)稱圖形。截面總高度h，翼緣的寬度為b，厚度為t，腹板的厚度為d。下面將分析腹板和腹板上距離中性軸y處的切應(yīng)力可以用（8－13）直接計(jì)算。坐標(biāo)y以上部分截 hhh/2h h/2 bh2h dh d(1y) 1(1y bh2 s

dh2 h2 Id

(1 y

s(1

ytyytydFb(h2h2 min 8IzzF[bh2h2(bdmax

Iz

hbhb處作截面abba的一段翼緣為分離體。分離體的兩端截面FSxz s t FS Fth sz s s t

可見翼緣上切應(yīng)力沿成線性分布。按切應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定，四個(gè)翼緣上的切應(yīng)力出現(xiàn)了不 a’

a’b’ z

b’c’

8－418號(hào)工字鋼梁的截面8－14所示。已知截面上的剪力Fs＝24kN，彎矩18

·z·

y

zI1660cm4zIz15.4cmSzmax

圖 F 24103 zSzmax Id 15.4102m0.65102mz

腹板的最小切應(yīng)力在與翼緣交界處，該處的Sz*為翼緣對(duì)z軸的面S*(9.41.07)cm2181.07cmz FS*

24103N85.1106Sz 18.9MPaz I 1660108m40.65102zF h2 )h]d[18.9106Pa2(2418.9)106 min min (1821.07)102m0.65102mFs123.0kN y181.07102m8.465102 M

29.6103Nm8.465102mz I

1660

設(shè)A1為一個(gè)翼緣的截面積，那Mz12aA12150.9106Pa9.41.07104m28.465102m25.7kNMz125.7kNm *§8－4一、復(fù)合梁的應(yīng)力和變形總高為h，上層材料的高度為h。梁兩端受一對(duì)力偶矩M作用，發(fā)生彎曲變形。對(duì)復(fù)合yz軸分別為截面對(duì)稱軸和中性軸，現(xiàn)在中性

ybyyoozoo是中性層處梁軸線的曲率半徑。梁內(nèi)材料都處于單向應(yīng)力狀態(tài)。當(dāng)梁的正應(yīng)力不E1y

E2

界處，正應(yīng)力發(fā)生突變（815。由于截面上的軸向力為零，所以 E1AydA1E2AydA2 或 E1S1E2S2

E1()hydyE2(1)hydyE(EE) A1ydA1Ay2dA2

E1

y2dA

y2dA2 1

1 y，2 y

EIE EIE1 2 1 2二、轉(zhuǎn)換截面法II1 AydA1AydA2

1

My M 8－161截面1不變，將材料2那部分截面寬度 （比較式（8－19）和（8－24）可知，圖面的形心軸重合，都是z軸。等效截面對(duì)z

yoo

z

yoo例題8－5梁的上半部分和下半部分由兩種彈性模量不同的材料牢固粘合在一起制（817a彈性模量分別為E1＝80GPa和E2＝200GPa面寬和高分別是b=10mm，h=10mm（1）試確定中性層位置；（2）彎矩M＝20Nm，求梁的上下表面的正應(yīng)

b byzyzyzyz因?yàn)?.5，所以E(EE)2200GPa(20080)GPa0.52 2[E2(E2E1) 2[200(20080)

ych0.607先確定圖8－17c等效截面的形心。對(duì)z’軸取面積矩1052.52.5105

]mm 1053105(6.072.5)I

2.51052.5105(106.072.5)2]mm My 20N 1257.41012 M(hy)2.5 20N 3.93103m 1257.41012一，梁彎曲的強(qiáng)度條件

§8－5梁彎曲的強(qiáng)度條件單向拉伸（或壓縮）狀態(tài)。彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件為（參見式8－9）

Mz[

FmaxSbIZ,max[

z集中力F＝20kN的作用。已知截面慣性矩Iz4.0107mm4，從截面形心到下表面和上表面8－18b]=應(yīng)力[－]=140MPa，試校核此梁的強(qiáng)度。解：1，梁的內(nèi)力分析，確定截先作出梁的彎矩圖（圖818c），在截面D處有最大正彎矩MD=10kNm，在截面B最大負(fù)彎矩MB＝－20kNm。截面D和B都可能是截面qBEqBE a

bb cbbm m d+ddB20kN- B截 D截 8－18d所示，截面B的底面b點(diǎn)和截面D的頂面c點(diǎn)受壓。由于MBy1>MDy2，My20103Nm140103m B

4.0105

My20103Nm60103m B I

4.0

（拉應(yīng)力My10103Nm140103m DI

4.0105

（拉應(yīng)力 可 70MPa[ 35MPa[ 解8－19 40103N zW z [] 160106Paz

ad.Cad.CB

200x x從型鋼表查到20b工字鋼可以滿足要求，其Wz＝250cm3，Iz=2500cm4，IZ/SZ

因?yàn)樽畲蠹袅Πl(fā)生在支座A和支座B處，F(xiàn)S,max=40kN，最大切應(yīng)力在截面的中性 S 40103 S,maxz,max z I 16.90.9104zr3132max52.6MPa[MZ,Cya37.5103Nm(10011.4)103mIz 2500108 Iz S,CZ Iz

35103N(10211.494.3)1092500108m49103

aa

例 圖8－20所示Bah Bah知載荷F＝60kN，截面高＝200mm，翼緣寬b100mm，厚度 慣性矩Iz＝2370cm4，抗面系數(shù)Wz＝237cm3 //I Z

許用應(yīng)力[]＝160MPa。試用第三強(qiáng)度理論做強(qiáng)度校

21.0103Nm 237106 [F 60103 Sz,max z z

0.007r32max249.83MPa99.67MPa]3，在固支端腹板與翼緣交界處的a點(diǎn)Mzh 21103Nm0.2m 88aaI

237010m

F Fbt(haSZ 60103N(0.1m)(0.0114m)(0.2m 2(0.007m)(2370108m4

2 r3 78.512438.882MPa2 *二，塑性極限彎矩MsWzMs6 1(

()sh 的彎矩稱為極限彎矩21 M

y

yshh ys M ydy=2bs ydy)= 00412yss[1 ) s ys處的應(yīng)變正好等于s，從式（a）1s 2ys(1/)s 1/（c 1(1/)M s[1

s]1/

Mu4 是屈服彎矩的1.5倍。8－22所示的簡支梁，當(dāng)最hinge

C一，彎扭組合變

§8－6組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算圖FaaCyaBxlxza a圖 ＝Fl，扭矩Mx＝Fl18－23b所示。截面上Mz WW WW ar3 [aar4 [ar3

M2M(Mz(Mz)24(Mx

[

M20.75MM20.75MWWz

8－98－24a所示鋼制圓軸支承在滾珠軸承上，可以看作簡支。有兩個(gè)傳動(dòng)輪，C輪上作用著垂直方向的切向力F1＝5kND輪上作用著水平切向力F2＝10kN。C輪的直徑解8－24b所示，先將F1和F2的作用等效到軸線AB上，成為作用于C點(diǎn)的垂直力F1，力矩TF1dC20.75kNm，以及作用于D點(diǎn)的水平力F2，力矩TF2dD20.75kNm傳動(dòng)軸在CD段受扭矩作用，其值為T0.75kNm8－24c)垂直力F1形成xy平面內(nèi)的彎矩Mz8－24d。Mz的最大值在C點(diǎn)，MzC＝截面上互相垂直的彎矩Mz和My可以按矢量相加，得到合彎矩M，其值為MzMzMMz(kNm)AxyA

zACACByAx

x F1

xACBACBxMC 0.676kN22 MD 1.141kN22 合彎矩M8－24f。D點(diǎn)處的彎矩最大。可以證明，在C與D之間的合彎矩值沿軸所以截面D是截面。點(diǎn)在軸的外表面，那里處于拉剪應(yīng)力狀態(tài)。根據(jù)第三強(qiáng)度理M2M2

1.140520.752103Nm8.531106 160106

1/

328.531106

1/d(z 0.04429m例8－10曲拐的尺寸如圖8－25所示。如果作用力F＝50kN材料的許用應(yīng)力[＝截面和n－n截面上的點(diǎn)進(jìn)行強(qiáng)度校核。解：1，m－m截面上a點(diǎn)的強(qiáng)度校核

m b MxF

50kN0.17m8.5kN

MzF(0.160.07/250kN0.25m12.5kN

圖 32Mz 3212.528.52kNm d

0.123

[n－nFSF50kNMxF(0.0550.035)m50kN0.09m4.5kNMzF0.11m50kN0.11m5.5kN s 50103 1.5 A

4.5103N'max 2 bc

0.2490.07max'max(24.587.14)MPar32max231.72MPa63.44MPa<[]3，n－n截面的短邊中點(diǎn)b1'max0.7924.58MPaMz65.5103Nm 0.070.152 20.952419.422MPa=44.13MPa[FN，那么軸向力產(chǎn)生的正應(yīng)力與彎曲正 MzFN WWz

（eccentrccopressionFNF，MzFey MyFNMzyMyzFFeyyFez I I Ixz eyxz eybhFozFoz+

y

y

eyeyeyFFeyyF(112eyy I yh/2

(h/2)F6FeyF(16ey (h/2)F6FeyF(16ey 由上式可見，當(dāng)偏心矩ey<h/6個(gè)截面上都為壓應(yīng)力，當(dāng)偏心矩8－26b

行于zy0h/(12e2yy

feb/2一般情況下，在式b/20

1eyyezz

I

上式表示的直線上的各點(diǎn)y,z)8－27a

Fez

y z z

c c6ey6ez 類似地可以確定另三條邊界線。所以，矩形截面的為圖8－27b所示陰影部分的菱形區(qū)域。zay28zay FN＝F1＋F2＝400 Mz＝F2c=50aaN z FMN z z a2z 650103N 25010a31.6aa1.542ma1.6m3.基礎(chǔ)底部的內(nèi)力FN和Mz等效于偏心載荷FN的作用，其偏心eMz50kNm =§8－7非對(duì)稱彎曲能遇到更一般的情況：（1）梁的截y yzzy yzz8－29所示，一個(gè)任意截面的等 y-z坐標(biāo)，x軸與梁的軸線方向一致。首x-y平面的彎曲，z軸作為中性相同，縱坐標(biāo)y處的正應(yīng)力為

y其中1/yx-yx-z平面的彎曲，確定了在橫坐標(biāo)z處的正應(yīng)力x xz其中1/z是變形后軸線在x-z平面內(nèi)的曲率。以上意味著在x-z平面的凹曲線具有正 E(yz x xdAAxydAA

沒有負(fù)號(hào)。方程（a）確定了y和z軸應(yīng)通過形心。從方程（b）和（cM

ydAE(1

y2dA

yzdA)E(I

Iyz AAM＝zdA

1y

1zAz

Iyz

y y

y z 1MzIyMyI E(III2y 1MyIzMzI E(III2y E(yz)y(MzIyMyIyz)z(MyIzMzIyz) III y 如果只有Mz的作用，即My=0，此時(shí)兩個(gè)曲率的表達(dá)式成1 MzI E(III2y 1 MzI E(III2y yMzIyzMzI IIIy 如果進(jìn)一步假設(shè)y-z是一對(duì)形心主慣性軸，Iyz＝01 Mzy

1z如果兩個(gè)彎矩My和Mz都存在，而y－z1 1M

MyzMz xI bendingMyzMzy I tanyIzM Iy

8－30a解：1，求中性MzFylFlMy-Fzl-Fl（8－49)＝－l y)xI I I 令x0n-nzsinycosI 8－30b：tanyIz I

IzIy。彎曲發(fā)生在與中性軸垂直的平面內(nèi)。梁的彎曲變形發(fā)生在與中不在同一平面上。所以這不是平面彎曲，而是斜彎曲。中性軸n－n右上方部分的截面是yylCzBx+nynyC znn圖 MyMMyM

max I

fyf2f2f

，

Ffz

fzFzIzIztantanf FyI I+ynCz+ynCzn軸最遠(yuǎn)的是一角點(diǎn)，這一點(diǎn)距離y軸最遠(yuǎn)，同時(shí)（8－53疊加即可。對(duì)于一般的截面，例如圖8－31所示線，得到切點(diǎn)A和C。C點(diǎn)拉應(yīng)力最大，A點(diǎn)壓應(yīng)（8－49－52）可知角度＝。也就是說，撓度方向始

截面對(duì)形心主慣性軸y-z的慣性矩

70411cm4，I

5419cm4，主慣性軸的方位o26.45(BB－3)，梁長l1m。試求最大彎曲正應(yīng)力。解：1，確定點(diǎn)MFl100kN1m100kNMzMcos0100kNmcos26.4589.53kNMyMsin0100kNmsin26.4544.54kN1.272y8.219z根據(jù)式tanyznCF CF

e M M 4