線性代數(shù)復(fù)習(xí)題

第一部分專項同步練習(xí)一、單項選擇題1．下列排列是5階偶排列的是().(A)24315(B)14325(C)41523(D)243512．如果階排列的逆序數(shù)是,則排列的逆序數(shù)是().njjjkjjj2112nnn!n(n(A)(B)(C)(D)nkkkk223.階行列式的展開式中含的項共有(aa項.n(A)0(B)(C)(D)n2(n2)!(n1)!0001001001001000(A)04．().(B)(C)(D)2110010010000011000(A)05.().(B)(C)(D)2).11112xx1x126．在函數(shù)中3項的系數(shù)是(f(x)x3020x301(A)0(B)(C)(D)2111aDaaaa2aaa2a127.若，則().aaD2aaaa2aa2a1aa2a(A)4(B)(C)2(D)42aaaaka8．若，則().aaaka(A)(B)(C)(D)ka2ka29．已知4階行列式中第1行元依次是,第3行元的余子式依次為4,0,1,3,則().(B)2,5,xx(A)0(C)(D)233386743211110.若，則中第一行元的代數(shù)余子式的和為(D).D11437(B)5(A)(C)(D)0123310141001011.若，則中第四行元的余子式的和為(D).D015322(A)(B)(C)(D)0123xxkx012312.等于下列選項中哪個值時，齊次線性方程組有非零解.xkxx0k123kxxx0123()(A)(B)(C)3(D)012二、填空題21.階排列的逆序數(shù)是.2n(2n(21)n2．在六階行列式中項aaaaaa所帶的符號是.3254416513263．四階行列式中包含aa且?guī)д柕捻検?22434．若一個階行列式中至少有2個元素等于,則這個行列式的值等于0nn1n.11100101011100105.行列式.010...00002...6．行列式7．行列式..........0000...n1n0...0aa...aa11211(n1)1n...a...0.2(n1)...a...00n1aaaaa3a3a3a3a8．如果，則.DaaaaMDaa3aa3a1aaa9．已知某5階行列式的值為5，將其第一行與第5行交換并轉(zhuǎn)置，再用2乘所有元素，則所得的新行列式的值為.311111x11x1110．行列式.1x111x11111...1111...11．階行列式n....1......1112．已知三階行列式中第二列元素依次為1,2,3,其對應(yīng)的余子式依次為3,2,1，則該行列式的值為.123456784321876513，為D中第四行元的代數(shù)余子式，D(j2,3,4)A4j則.4A3A2AA41424344abcacbab14．已知，D中第四列元的代數(shù)余子式的和為.Dbaccacbd123433441567112215．設(shè)行列式，為a的代數(shù)余子式，則D6(j1,2,3,4)A4j4j，.AAAA414243444135...2n1120...103............0016．已知行列式，D中第一行元的代數(shù)余子式的和為D100...n.kx2xx012317．齊次線性方程組僅有零解的充要條件是0.2xkx12xxx0123x2xx012318．若齊次線性方程組有非零解，則=.2x5x0k233x2xkx0123三、計算題abcdxyxya2a3b2b3c2c3d2d31.;2．；yxyxyxyxbcdacdabdabcxaa...a112n2n2n201x1101......11aaxaaa112xax3．解方程；4．；02x1101x10............aaaaaa...x11112233...an15a111.........111111...11101a3111...b115.(；6.1111a1,0,2...b...1ajn2j............1...11...a1...(n1)bn11...1xaa...a122nnn1...x2xx1xx1b1aa...a...aaxa...a...a12n112111......xx2x22xx27.；8a;9.1n;b1baax22112.....................xxnxxn...1x2b1bb...aaaa...x12n23n23210...00001aa000a00121...011aa012...0............10．11．.D00011a00011aa00000...210...1011a2四、證明題11abc2222a1111a2a11bc1．設(shè)1，證明：2.0bb11c2c11ddd2dabxaxbcabccc111111231231232．.abxaxbcx2)abb222232abxaxbca333361a1b1c1d3．4．.(ba)(ca)(da)(cb)(db)(dc)(abcd)a2a4b2b4c2c4d2d411...1aaa.........a122na22a2n.(aa)1na...ijii11ijna2a2...a2nnn12naa...annnn121a1b15．設(shè)a,b,c兩兩不等，證明的充要條件是.abc0c0a3b3c3參考答案一．單項選擇題ADACCDABCDBB二．填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.n1;“”aaaa2200(1)n!n143143n(n7.;8.;9.;10.;11.n1;12.;24(2aa1n2(na3M(n)xn1113.;14.;15.;16.n;17.;18.2,3k70012,9n!(1)kkk1三．計算題1．；2.3)3；(abcd)(ba)(ca)(da)(cb)(db)(dc)2(xy3.;4.n1x2,0,1(xa)kk171nn5.7.;6.;b(a)(2)(1)...((2))bbnka1k00kkn;8.nn;(xa)(1)(ba)(xa)nkkkkk11k1k9.n;10.;11xnkk111..4a)(1aa)2第二章矩陣一、單項選擇題1.A、B為n階方陣，則下列各式中成立的是()。(a)(d)2(b)(c)AA2ABAB()ABA()A2B2A2()ABTTT2.設(shè)方陣A、B、C滿足AB=AC,當(dāng)A滿足()時，B=C。(a)AB=BA(b)(c)方程組AX=0有非零解(d)B、C可逆A03.若為n階方陣，為非零常數(shù)，則k()。A(a)(b)(c)(d)nkAkAkAknA4.設(shè)為n階方陣，且A，則()。A0(a)中兩行(列)對應(yīng)元素成比例(b)中任意一行為其它行的線性組合AA(c)中至少有一行元素全為零A(d)中必有一行為其它行的線性組合A5.設(shè)，為n階可逆矩陣,下面各式恒正確的是()。BA(a)(c)(b)(AB)AB()AB111T(d)(AB)ABAB1()B1T1A116.設(shè)為n階方陣,*為的伴隨矩陣,則()。AAA8(a)(a)(b)(c)(d)An1AAn1A*A1A*AA**7.設(shè)為3階方陣,行列式A,為的伴隨矩陣,則行列式AA1A*()。(2A)2A1*27882788(a)(b)(c)(d)27278.設(shè)，為n階方矩陣,A,則下列各式成立的是()。2BA2B(a)(b)(c)(d)AB2B2ABABA9.設(shè)，均為n階方矩陣,則必有()。BA(a)(b)(c)(d)AABABABBA2B2ABBA10.設(shè)為階可逆矩陣，則下面各式恒正確的是（nA（a）(b)2A2AAA(2)211T(c)(d)A)]A)]A)]A)]11TTT1TT11TTaaaaa3aa3aa3aa11.如果，則（AaaaaaaAaaaa100010103003100100（a）(b)(c)(d)01000101100130103113112.已知，則（A220311（a）T(b)1*AAAA9100113100113（c）（d）A001202001A20201031101031113.設(shè)（a）為同階方陣，為單位矩陣，若I，則（A,B,C,III（b）（c）I（d）II14.設(shè)為階方陣，且n，則（A|A|0（a）經(jīng)列初等變換可變?yōu)閱挝魂嘇（b）由I，可得AXBAXB（c）當(dāng)經(jīng)有限次初等變換變?yōu)闀r，有A(A|I)(I|B)1B（d）以上（abc）都不對15.設(shè)為階矩陣，秩mn，則（A(A)rmn（a）中階子式不全為零r（b）中階數(shù)小于的子式全為零rAA00I（c）經(jīng)行初等變換可化為A（d）為滿秩矩陣Ar016.設(shè)為A矩陣，為階可逆矩陣，，則(B)。mnCn(a)秩()>秩()B(b)秩()=秩()ABA(c)秩()<秩()A(d)秩()與秩()的關(guān)系依而定CBAB17.，為n階非零矩陣，且A，則秩()和秩()(B)。B0A(a)有一個等于零(b)都為n(c)都小于n(d)一個小于nn18.n階方陣可逆的充分必要條件是(A)。(a)(b)的列秩為nAr(A)rn(c)的每一個行向量都是非零向量A(d)伴隨矩陣存在19.n階矩陣可逆的充要條件是(A)。(a)的每個行向量都是非零向量A(b)中任意兩個行向量都不成比例A(c)的行向量中有一個向量可由其它向量線性表示A(d)對任何n維非零向量，均有X010二、填空題1.設(shè)為n階方陣,為n階單位陣,且I,則行列式_______AAAI20ab2.行列式_______a0cbc01013.設(shè)2，則行列式的值為_______A020(3I)(A9I)A12001314.設(shè)22，且已知，則行列式_______AIA6A1131225.設(shè)為5階方陣，是其伴隨矩陣，且*，則_______A3A*AA6.設(shè)4階方陣的秩為2，則其伴隨矩陣的秩為_______*AAab1...abab11221nab2ab2......ab7.非零矩陣的秩為________n12.........abnabn...ab12nn8.設(shè)為100階矩陣，且對任何100維非零列向量，均有A，則的秩AX0為_______9.若為15階矩陣，則的第4行第8列的元素是_______A(a)ijAAT10.若方陣與相似，則_______4IA12K21111.K_______limK1K3KK1112n121112._______lim030n104三、計算題1.解下列矩陣方程(X為未知矩陣).212322201013201)3)4)5)；2)10X3100X21110011210210；310101,其中；X(IB1C)BI404C212BTT422121；101,其中2AXI020A101；42310,其中A2X1A123；2.設(shè)為階對稱陣,且A,求A.nA2011013.已知,求21A020(A2IA4I).1112342300001201.A1AA4.設(shè),,,A,求AAA32412401A3121125.設(shè)6.設(shè),求一秩為2的方陣,使B.A224AB0336211011,求非奇異矩陣,使C.A101,B121CBCAT1101107.求非奇異矩陣,使P為對角陣.P1112121121)2)A13A2018.已知三階方陣的三個特征根為1,1,2,其相應(yīng)的特征向量依次為A,求矩陣.A,(,(TTT5329.設(shè),求.A100A644445四、證明題1.設(shè)、均為階非奇異陣,求證可逆.ABn2.設(shè)3.設(shè)(為整數(shù)),求證k可逆.AA0kI為實數(shù),且如果,如果方陣滿足Aa.a,,aa012kkAaA1aAaI0kk,求證是非奇異陣.A1k1k4.設(shè)階方陣與中有一個是非奇異的,求證矩陣n相似于.BAAB5.證明可逆的對稱矩陣的逆也是對稱矩陣.6.證明兩個矩陣和的秩小于這兩個矩陣秩的和.7.證明兩個矩陣乘積的秩不大于這兩個矩陣的秩中較小者.8.證明可逆矩陣的伴隨矩陣也可逆，且伴隨矩陣的逆等于該矩陣的逆矩陣的伴隨矩陣.139.證明不可逆矩陣的伴隨矩陣的逆不大于1.10.證明每一個方陣均可表示為一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣的和。第二章參考答案一：1.a；2.b；3.c；4.d；5.b；6.d；7.a；8.d；9.c；10.d；11.b；12.c；13.b；14.a；15.a；16.b；17.c；18.b；19.d.15二．1.1或-1；2.0；3.-4；4.1；5.81；6.0；7.1；8.100；9.；aai4i8i1020010.I；12.0；11..11100114320103010222三、1.1234；132353116016402100021101328696031215.2.0；1313.；0214.；212901000311010113115.8.不唯一；6.7.1.2)、；11101010021121100112320031001310022）223100100100；9.100100100100100.1022344223）2323111123100）213）100100一、單項選擇題1.，都是四維列向量，且四階行列式,,,1231214,,則行列式nm11223311232()12(a)mn(b)mn(c)mn(d)mn2.設(shè)為階方陣，且nA0,則（A(a)A(b)A中任意一行為其它行性組合(d)A中必有一行為其它行性組合(c)A零3.設(shè)為階方陣，n，則在的個行向nAAr(A)rn(a)r(c)r(d)(b)rr4.階方陣可逆的充分必要條件是（）nA(a)r(A)rnbAn()的列秩為（c）A（d）A的伴隨矩陣存在5.維向量組線性無關(guān)的充分條件是(),n12s都不是零向量中任一向量均不能由其它向(a),(b),12s12s量線性表示中任意兩個向量都不成比例中有一個部分組(c),(d),12s12s線性無關(guān)6.維向量組,(線性相關(guān)的充要條件是()sn12s中至少有一個零向量中至少有兩個向量成比例b(),(a),12s12s15中任意兩個向量不成比例中至少有一向量可由其(c),(d),,...,12s12s它向量線性表示7.維向量組線性無關(guān)的充要條件是()sn),n12s使得(a)存在一組不全為零的數(shù)k,kkkkk012s1122ss中任意兩個向量都線性無關(guān)(b),12s中存在一個向量,它不能被其余向量線性表示(c),12s中任一部分組線性無關(guān)(d),,...,12s8.設(shè)向量組的秩為,則(),r12s中至少有一個由個向量組成的部分組線性無關(guān)r(a),12s中存在由個向量組成的部分組線性無關(guān)(b),r112s中由個向量組成的部分組都線性無關(guān)r(c),12s中個數(shù)小于的任意部分組都線性無關(guān)r(d),,...,12s9.設(shè)均為維向量,那么下列結(jié)論正確的是(),n12s若,則,線性相關(guān)(a)(b)0kkk1122ss12s若對于任意一組不全為零的數(shù),都有,則kk1,,...,kk0kk2s1122ss線性無關(guān),12s若,線性相關(guān),則對任意不全為零的數(shù),都有(c),,...,kkk12s12s0kkk1122ss若,則,線性無關(guān)0000(d)12s12s1610.已知向量組,,,線性無關(guān)，則向量組（）1234線性無(a),,,(b),,,1223344112233441線性無關(guān)線性無(c),,,(d),,,1223344112233441線性無關(guān)11.若向量可被向量組線性表示，則（）,12s存在一組不全為零的數(shù)使得(a)(b)(c)(d),,...,kk...kkkk12s1122ss存在一組全為零的數(shù)使得kk,,...,1k...kkk2s1122ss存在一組數(shù)使得,,...,kkk...kkk12s1122ss對的表達(dá)式唯一12.下列說法正確的是（）若有不全為零的數(shù)，使得，則(a),,...,kk...0kkkkk12s1122ss線性無關(guān),,,12s若有不全為零的數(shù),...0kkk(b),,...,kk12s1122ss12s線性無關(guān)若,線性相關(guān)，則其中每個向量均可由其余向量線性表示(c)12s任何個維向量必線性相關(guān)n(d)1n13.設(shè)是向量組T(0,0)T（）0,0)12(a)(0,3,0)(b2,0,1)(c)(0,0,1)(d)(0,2,1)TTTT，14.設(shè)有向量組，1,1,2,40,3,1,2TT1217，則該，，3,0,7,141,2,2,02,5,10TTT345向量組的極大線性無關(guān)組為（）(a),,(b),,123124(c),,(d),,,125124515.設(shè)(,)，，，，T,b)(,aa)(,bb)2aa,a(,bbTTT12312311211下列正確的是（）(a)若,線性相關(guān)，則,也線性相關(guān);11(b)若,,11(c)若,,(d以上都不對11二、填空題1.若1)，，線性相關(guān)，則▁▁)T2,3)3,tTT123▁▁。2.n維零向量一定線性▁▁▁▁關(guān)。3.向量線性無關(guān)的充要條件是▁▁▁▁。4.若線性相關(guān)，則線性▁▁▁▁關(guān)。,,,s(3)12312s5.n維單位向量組一定線性▁▁▁▁。6.設(shè)向量組,的秩為r,則中任意r個▁▁▁▁的向量都是,12s12s它的極大線性無關(guān)組。7.設(shè)向量0,1)T與T正交，則▁▁▁▁。aa)128.正交向量組一定線性▁▁▁▁。9.若向量組,與,的秩與的秩,,12s12t12s12t▁▁▁▁。10.若向量組,可由向量組,線性表示，則(,)▁▁r12s12t12s18▁▁。r(,)12t的T11.向量組a，a，a,1,1,0,0,1,1,0TT112233線性關(guān)系是▁▁▁▁。12.設(shè)n階方陣,則▁▁▁▁.A,,...,,A12n123113.設(shè)，，若T是標(biāo)準(zhǔn)正交向量，則x(0,y,)(,0,0)和xT122和y的值▁▁▁▁.14.兩向量線性相關(guān)的充要條件是▁▁▁▁.三、計算題1.設(shè)，，，T,1)1,1)1,1)TT123(0,,)2T，問（1）為何值時，能由,,唯一地線性表示？1233（2）為何值時，能由,,線性表示，但表達(dá)式不唯一？12（3）為何值時，不能由,,線性表示？1232.設(shè)T，T，T，0,2,3)3,5)1,a2,1)1232,4,8)b3,5)aT，T問：4（1）（2）為何值時，不能表示為的線性組合？,,,a,ba,b1234為何值時，能唯一地表示為的線性組合？,,,12343.求向量組，，，T0,4)(2,5,6)2,5,2)TT123，的一個極大線性無關(guān)組，T2,0)(3,0,7,14)T4519并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。4.設(shè)，，)t為何值時線性相tTTT,,123123關(guān)，t為何值時,,線性無關(guān)？1235.將向量組，，標(biāo)準(zhǔn)正交化。T2,0)(0,2)(0,1,2)TT123四、證明題1.設(shè)，試證線性相關(guān)。,,2,,1122213121232.設(shè),,在n為奇數(shù)時線性無關(guān)；12n1223n1在n為偶數(shù)時線性相關(guān)。3.設(shè),,,能由線,12s142s12s性表示且表示式唯一。4.設(shè),,線性相關(guān)，不能由線性表示。,,,,1232341235.線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個向量是,(s12s其余向量的線性組合。6.設(shè)向量組,中都不能由前個向量線性表示10i12s1i，求證,線性無關(guān)。(i3,...,s)12s7.證明：如果向量組中有一個部分組線性相關(guān)，則整個向量組線性相關(guān)。8.設(shè),,,...,,,也001020s012s線性無關(guān)。一、單項選擇1.b2.d3.a4.b5.b6.d7.d8.a9.b10.c11.c12.d13.a14.b15.a二、填空題1.52.相關(guān)3.4.相關(guān)5.無關(guān)6.線性無關(guān)7.-102018.無關(guān)9.相等10.14.對應(yīng)分量成比例11.線性無關(guān)12.013.xy2三、解答題1.解：設(shè)xxx112233)xxx0123則對應(yīng)方程組為)xxx123xx)x212311111其系數(shù)行列式A111(3)21（1）當(dāng)時，，方程組有唯一解，所以可由唯一0,30,A12,3地線性表示;11101110（2）當(dāng)時，方程組的增廣陣，011100000A11100000，方程組有無窮多解，所以可由線性表示，r(A)r(A)13,12,3但表示式不唯一;（3）當(dāng)時，方程組的增廣陣321211101213，A13033(A)r(A)r129000所以不能由線性表示。,12,32.解以為列構(gòu)造矩陣,,,,123421111011121101101111211a100123a24b35412a351a8000b4（1）當(dāng)a且b0不能表示為,,,的線性組合；1234（2）當(dāng)a1,b任意時，能唯一地表示為,,,的線性組合。12341211307101021112101000010003.解：(,,,,)11123450455262000,,為一個極大無關(guān)組，且,02124312451241114.解：，,,1235t12313t當(dāng)時,,線性相關(guān)，當(dāng)時,,線性無關(guān)。t5t51231235.解：先正交化：令1,2,0T11,T4,525=,2212211,1,,T1116=,,311322,,33136122再單位化：12T215T，22，1,,0,,1155222211T,,333666為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。,,123四、證明題1.證：∵3()4(2)01213∴∴5340123線性相關(guān),,1232.證：設(shè)k(1)()kk()012223nn1則(kk)(kk)(kk)01n1122n1nn∵,,線性無關(guān),12nkk01nk0k∴12kk0n1n1011001010010002,為奇數(shù)n其系數(shù)行列式=1(1)n10,n為偶數(shù)0001000011∴當(dāng)n為奇數(shù)時，當(dāng)n為偶數(shù)時，只能為零，,,線性無關(guān)；k,k,,k,12n12n可以不全為零，,,線性相關(guān)。k,k,,k,12n12n3.證：∵,,線性相關(guān),,12s23∴存在不全為零的數(shù)使得k,k,,k,k12s0kkkk1122ss若，則）k00k,,,kkkkk1122ss12s與,,線性無關(guān)矛盾,12s所以k0kkk于是12s12skkk∴能由線性表示。,,,12s設(shè)①②kskk1122slsll1122s則①-②得(kl)(kl)(kl)0111222sss∵,,線性無關(guān),12s∴kl0,(i1,2,,s)ii∴即表示法唯一kl,(i1,2,,s)ii4.證：假設(shè)能由線性表示,,4123∵,,線性無關(guān)，∴,線性無關(guān)23423∵,,線性相關(guān)，∴,線性表示，123123∴能由,線性表示，從而,,線性相關(guān)，矛盾423234∴不能由線性表示。,,41235.證：必要性24設(shè)向量組,,線性相關(guān),12s則存在不全為零的數(shù)使得k,k,,k,kk0k12s1122sskkkk不妨設(shè)，則，k0121sssk12ks1sss即至少有一個向量是其余向量的線性組合。充分性設(shè)向量組,,中至少有一個向量是其余向量的線性組合,12s不妨設(shè)kkks1122s1s1則，0kkk1122s1s1s所以,,線性相關(guān)。,12s6.證：用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)s=1時，，線性無關(guān)，01當(dāng)s=2時，∵不能由線性表示，∴線性無關(guān)，,2112設(shè)s=i-1時，,,線性無關(guān),12i1則s=i時，假設(shè)可線性相關(guān)，線性無關(guān)，,,,,,,12i121ii由,,線性表示，矛盾，所以,,線性無關(guān)。得證,,12i112i7.,,（）,,,,212s1r線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)使得k,k,,k,12r0kkk1122rr于是0k00kk1122rrr1s25因為0，┈，0不全為零k,k,,k,12r所以,,線性相關(guān)。,12s8.證：設(shè)()()()0kkkk00101202s0s則(kkkk)kkk0012s01122ss因,,,線性無關(guān)，,012skkkk0012sk01所以解得k020kkkks0120k所以向量組s線性無關(guān)。,,,,001020s一、單項選擇題1．設(shè)元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，則r有非零解的充nAX0AX0分必要條件是（）(A)(B)rnrn(C)(D)rnrn2．設(shè)是矩陣，則線性方程組有無窮解的充要條件是（）AXbmnA(A)(B)r(A)nr(A)m(C)(D)r()r(A)nr()r(A)m3．設(shè)是矩陣，非齊次線性方程組的導(dǎo)出組為，若，mnmnAXbAX0A則（）(A)必有無窮多解必有非零解(B)(D)必有唯一解必有唯一解AXbAX0AXbAX0(C)x2xx41234．方程組無解的充分條件是（）x2x223(2)x(3)(4)(1)326(A)1(B)2(C)3(D)4xxx11232xx25．方程組有唯一解的充分條件是（）23x34(1)x(3))(1))3(A)1(B)2(C)3(D)4x2xx11236．方程組有無窮解的充分條件是（）3xx223x(3)(4)(2)x23(A)1(B)2(C)3(D)47．已知是非齊次線性方程組的兩個不同的解，b是導(dǎo)出組,,AX1212的基本解系，為任意常數(shù)，則的通解是（）bAX0,kAXk12(A)(B)()()kkk12k12221121211212(C)8．設(shè)為(D)()()kkk12k122矩陣，則下列結(jié)論正確的是（）21121211212mnA(A)若(B)若(C)若(D)若僅有零解，則有非零解，則有唯一解有無窮多解僅有零解AX0AX0AXbAXbAXbAXb有無窮多解，則有無窮多解，則AX0有非零解AX0AX0(B)9．設(shè)為矩陣，齊次線性方程組僅有零解的充要條件為（）的列向量線性相關(guān)AmnA(A)(C)的列向量線性無關(guān)的行向量線性無關(guān)AA(D)的行向量線性相關(guān)Axxx112310．線性方程組（）2x3x0x1234x7x10x1123(A)無解(B)有唯一解(C)有無窮多解(D)其導(dǎo)出組只有零解二、填空題271.設(shè)為100階矩陣，且對任意100維的非零列向量，均有，則的AAXAX0秩為.kx2xx01232.線性方程組僅有零解的充分必要條件是.2xkx012xxx01233.設(shè)和均為非齊次線性方程組的解X,X,XcXcXcXsbAX12s1122s（.c,c,cccc12s12s4.若線性方程組的導(dǎo)出組與0(r(B)r)有相同的基礎(chǔ)解系，則BXAXb.r(A)5.若線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，則其增廣矩陣的秩為m.AXbmn6.設(shè)矩陣的秩為，則的解向量組的秩為AX0.87.如果階方陣的各行元素之和均為AA)n1AX0n0r的通解為.8.若元齊次線性方程組有個線性無關(guān)的解向量，則n.nAX0A1211x1239.設(shè)，若齊次線性方程組只有零解，A23a2,b3,xxAX001a2x則.a1211x110.設(shè)，若線性方程組無解，則AXbA23a2,b3,xx2301a2x.a11.階方陣，對于，若每個維向量都是解，則n.A(A)nAX0r12.設(shè)54矩陣的秩為，是非齊次線性方程組的三個不同的AXb3,,A123的通解AXb2(2,0,0,0),3(2,4,6,8)TT1231228為.13.設(shè)為矩陣，有個線mn(A)rm,n)AX0Ar性無關(guān)的解.三、計算題1.已知是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，問0,,AX123是否是該方程組的一個基礎(chǔ)解系？為什么？,,122331543311201000101226560212.設(shè)，，已知的行向量都是線BAB32113101111112320性方程組什么？的解，試問的四個行向量能否構(gòu)成該方程組的基礎(chǔ)解系？為BAX0xx03.設(shè)四元齊次線性方程組為（12xx0241）求（）的一個基礎(chǔ)解系2）如果k(0,1,1,0)k(1,2,2,1)T是某齊次線性方程組（II）的通解，問方程組T12（）和（）是否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若無，說明理由。4.問a,bxaxxaxxbx41231231）2）xx1xbxxbax2123123xxaxaxx2x421231235.求一個非齊次線性方程組，使它的全部解為12x11xx1c3c3.cc任意實數(shù))2312123212922136.設(shè)，求一個矩陣，使得B，且。A42AB0r(B)29528參考答案一、單項選擇題1.B2.D3.C4.B5.A6.C7.B8.D9.A10.C二、填空題1.1002.3.14.5.m6.7k2且k3r7.（為任意實數(shù)）8.0k9.10.11.k或3a1aT0112.TT13.無窮，nr(,0,0,0)k(0,2,3,4),k任意實數(shù)2三、計算題1.是3.1）2.不能2）v(0,0,1,0),v(1,1,0,1)k((其中k為任意非零常數(shù))TTT121a1(1a)24.1時有唯一解：）T；a2a2且a1（-,,2a2a2a當(dāng)時有無窮多解：TTTa1(1,1,0)c(1,0,1)(1,0,0)(其中c,c為任意常數(shù))c12122）當(dāng)時，無解；當(dāng)時有唯一解：b1b2且b4bb(2)42；當(dāng)2時有無窮多解：（,,b1）4bTb1b1c(3,1,1其中c為(常,4TT5.9x5x3x512310016.11212521230一、單項選擇題0011.設(shè),則的特征值是()。AA010100(a)-1,1,1(b)0,1,1(c)-1,1,2(d)1,1,21102.設(shè),則的特征值是()。AA101011(a)0,1,1(b)1,1,2(c)-1,1,2(d)-1,1,13.設(shè)為階方陣,n,則()。AA2I(a)(b)的特征根都是1(c)A(d)一定是對稱陣A|A|1r(A)n4.若分別是方陣的兩個不同的特征值對應(yīng)的特征向量,則A也x,x1kxkx21122是的特征向量的充分條件是()。A(a)(b)(c)(d)kk0k0且k0k0且k0k0且k0121212125.若階方陣n的特征值相同,則()。A,B(a)(b)(c)與相似B(d)與合同ABAB|A||B|A6.設(shè)為階可逆矩陣,是的特征值,則的特征根之一是()。nA*AA(a)1n(b)1(c)(d)||n||||||AAAA17.設(shè)2是非奇異陣的一個特征值,則A至少有一個特征值等于()。(A)213(c)1/2(a)4/3(b)3/4(d)1/48.設(shè)階方陣的每一行元素之和均為n,則1有一特征值為EAa(a2A()。312(a)a(b)2a(c)2a+1(d)+1a9.矩陣A的屬于不同特征值的特征向量（(a)線性相關(guān)(b)線性無關(guān)(c)兩兩相交(d)其和仍是特征向量10.是階矩陣與相似的()。nAB|A||B|(a)充要條件(b)充分而非必要條件(c)必要而非充分條件(d)既不充分也不必要條件11.階方陣有個不同的特征根是與對角陣相似的()。nnAA(a)充要條件(b)充分而非必要條件(c)必要而非充分條件(d)既不充分也不必要條件1100012.設(shè)矩陣與相似,則的值分別為()。A1B010,11002(a)0,0(b)0,1(c)1,0(d)1,113.設(shè)為相似的階方陣,則()。nA,B(a)存在非奇異陣,使P(b)存在對角陣,使與都相似于DABD1BP(c)存在非奇異陣,使P(d)與有相同的特征向量BTPBA14.若階方陣與某對角陣相似,則()。nA(a)(b)有個不同的特征值nr(A)nA(c)有個線性無關(guān)的特征向量(d)必為對稱陣An15.若相似于,則()。AAB(a)(b)IB|IA||IB|IA(c)及與同一對角陣相似B(d)和有相同的伴隨矩陣ABA10016.設(shè),則與相似的矩陣是()。AA01000232110010002100020001101020001200011002(a)(b)(c)(d)17.下列說法不妥的是(a)因為特征向量是非零向量，所以它所對應(yīng)的特征向量非零（）(b)屬于一個特征值的向量也許只有一個(c)一個特征向量只能屬于一個特征值(d)特征值為零的矩陣未必是零矩陣18.若，則下列結(jié)論錯誤的是（）AB(a)(b)ABEAEB(c)存在可逆矩陣，使P(d)1BP二、填空題1.n階零矩陣的全部特征值為_______。2.設(shè)為n階方陣，且A，則的全部特征值為_______。A2AAI3.設(shè)為n階方陣，且A(m是自然數(shù))，則的特征值為_______。Am04.若，則的全部特征值為_______。A2AA5.若方陣與相似，則_______。A4I6.若n階矩陣有n個相應(yīng)于特征值A(chǔ)_______。AA7.設(shè)三階矩陣的特征值分別為-1,0,2,則行列式A。A2AI8.設(shè)二階矩陣滿足2，則的特征值為A。AA3A2EO9.特征值全為1的正交陣必是10.若四階矩陣陣。1111相似，的特征值為，則=。A與B,,,EAB12345123411.若，則x，=y。AByx33三、計算題1.若階方陣的每一行元素之和都等于,試求的一個特征值及該特征值anAA對應(yīng)的一個特征向量.2.求非奇異矩陣,使P為對角陣.P1112121121)2)A13A2013.已知三階方陣的三個特征根為1,1,2,其相應(yīng)的特征向量依次為A,求矩陣.T,(,(ATT212314.設(shè)，有一個特征向量，求的值，并求出對應(yīng)A5ab1ab,121于的特征值。33115.設(shè)6.設(shè)，有一個特征向量，求的值。st,At22213s3001有三個線性無關(guān)的特征向量，求滿足的條件。Ax1yxy,100ab7.求正交陣，使P為對角陣，其中。P1Aba8.設(shè)三階矩陣的特征值為-1,2,5，矩陣3AA2，求AB（1）的特征值；B（2）可否對角化，若可對角化求出與相似的對角陣；BB（3）求.B,A3E341112529.已知矩陣與相似，A24B233y（1）求；y（2）求一個滿足的可逆陣。PP1B53210.設(shè),求.A644A445四、證明題11.設(shè)是非奇異陣,是的任一特征根,求證是的一個特征根,并且AAA1A1關(guān)于的特征向量也是關(guān)于的特征向量.1A2.設(shè),求證的特征根只能是.A1A2E3.設(shè)階方陣與中有一個是非奇異的,求證矩陣B相似于.BAnA4.證明:相似矩陣具有相同的特征值.5.設(shè)n階矩陣，如果，證明：-1是的特征值。AAEr(AE)r(AE)n6.設(shè)，證明。kABABk7.設(shè),是n階矩陣分別屬于的特征向量，且參考答案，證明不,11A12是的特征向量。2212A第五章一、單項選擇題1.a2.c3.c4.d5.b6.b7.b8.d9.b10.c11.b12.a13.a14.c15.b16.b17.a18.a二、填空題2.1,-11.03.04.0,15.4I6.7.78.1,29.單位10.24I11.-17,-12三、計算題35113020111.4.2.(1)(2)3.a,,1)211211320111125.6.ab0,1s9,26t0xy11,4ab02278.(1)-4,2,-10(2),P1APP2110ab1022111(3)89.（1）（2）特征值2,2,6；p102y01331002(2233110010010010010.2(234232(31001001001001002(32(13)231100100100一、單項選擇題1．階對稱矩陣正定的充分必要條件是（nA存在階陣C，使T(a)A0(b)ACC負(fù)慣性指數(shù)為零各階順序主子式為正(c)(d)2．設(shè)為n階方陣，則下列結(jié)論正確的是（AA必與一對角陣合同若AA正定若A與(c)(a)(b)正定陣B合同，則A正定若A與一對角陣相似，則A必與一對角陣合同(d)3．設(shè)A，則下列結(jié)論不正確的是（A可逆1正定A的所有元素為正任給(a)(b)(c)(d)AX(x,x,,x)0,均有XA0TT12n4．方陣A正定的充要條件是（A的各階順序主子式為正；1是正定陣；(a)(b)A36A的所有特征值均大于零；是正定陣。(c)(d)AAT5．下列為二次型的是（f(x,y,z)(a)(b)(c)(d)2222226．設(shè)A、B為n階方陣，且則A=B的充要X(x,x,,x)TXXTT12n條件是（，，(a)r(A)r(B)(b)(c)(d)BBATABBATATT7．正定二次