備戰(zhàn)2022年高考數學名師預測模擬卷（上海專用）模擬卷五（解析版）

備戰(zhàn)2022年高考名師預測模擬卷（5）

一.填空題（共12小題）

1.設集合聞={0,1,2},/V={X|X2-3X<0},則加「|^=_{12_2}_.

【分析】求出集合N,利用交集定義求出.

【解答】解：?.?集合M={0,1,2）,

W={x|x2-3x<0}={x|0<x<3},

.?.Mp|N={l，2}.

故答案為：{1，2}.

2.若方程f-2x+3=0的兩個根為a和"，則|a|+|?|=_26_.

【分析】利用方程的兩個根互為共桅復數，然后由韋達定理以及復數模的定義求解即可.

【解答】解：方程*-2x+3=0的兩個根為a和4，

設a=x+”，則尸=x-”，

所以a?=犬+y?=3,

所以|a|+|力|二2|a|=Rf+,2=20.

故答案為：273.

3.函數y=sinx,xwg/］的反函數記為g（x）,則g（；）=_葛_.

【分析】令函數y=sinx=g,解得x,從而得出結論.

TT

【解答】解：,函數y=sinx,入￡［萬,乃）的反函數記為g（x）,

15幾

令函數y=sinx=/,解得x=

6

4.已知awR,sina+3costz=JI5,則tanc=-.

-3-

【分析】已知等式兩邊平方，利用完全平方公式展開，再利用同角三角函數間的基本關系變

形，即可求出tana的值.

【解答】解：己知等式平方得：（sincr+3coscr）2=10,

即sin2cr+6sinacoscr+9cos2a=14-6sinorcosa+8cos2a=10,

7.c，八n”6sinacosa+8c3'a6tancr4-8C

/.osinacosa+8cos-a=9,即-----；-----------------=-------------=9,

sin~a+cos~atarra+1

整理得：9tan2a-6tana+l=0,即(3tana-l)2=0,

解得：tuna=-.

3

故答案為：1

3

5.關于x、y的二元一次方程組的增廣矩陣為(；:；)，則x+2v=5

【分析】由關于x、y的二元一次方程組的增廣矩陣得到[*=3,由此能求出x+2y的

[x+y=4

值.

【解答】解：???關于X、y的二元一次方程組的增廣矩陣為f[

x=3,解得廣=:

x+y=4Iy=1

則x+2y=3+2=5.

故答案為：5.

6.直線3x+4y—5=0與3x+4v+10=0的距離是3.

【分析】利用平行線間的距離公式直接求解.

【解答】解；直線3x+4y-5=0與3x+4y+10=0的距離:

故答案為：3.

7.若（五+逅,展開式中的常數項為5,lim（。+a2+/+...+。"）=_一__.

x"->0°-2-

【分析】由題意利用二項展開式的通項公式求得。的值，再利用等比數列的求和公式，求數

列的極限，可得結果.

【解答】解：?.?（&+江）6展開式中的通項公式為心=C〉（6）F嚀，

X

令3-2=0,求得r=2,可得常數項為C>a=5,.?.a=L

1111；口-《)"1JiJ

/.lim(a+/+/+??.+a")=]im(-+—+—+-----)=lim(---------——)=lim—(1)=—,

UTS”T839273”…?1M-XJO23"2

1—

3

故答案為：

2

8.已知數列｛%｝是公比q不等于1的正項等比數列，則log『(a「/…”火)=

27

T--

【分析】由已知結合等比數列的性質及對數的運算性質，即可求解.

【解答】解：因為數列｛4｝是公比q不等于I的正項等比數列，4?4。=%，

所以a%9=a1g8,所以〃聞=1,

所以4o=a｝cf=弋，%?a2…%=a；=q”,

2727

則崛。(q?生…”^)=vi°g/=甘?

oo

故答案為：—.

8

9.第28屆金雞百花電影節(jié)將在福建省廈門市舉辦，近日首批影展片單揭曉，《南方車站的

聚會》《春江水暖》《第一次的離別》《春潮》《抵達之謎》五部優(yōu)秀作品將在電影節(jié)進行展映.若

從這五部作品中隨機選擇兩部放在展映的前兩位，則《春潮》與《抵達之謎》至少有一部被

選中的概率為—.

一期一

【分析】基本事件總數〃=瑪=10,《春潮》與《抵達之謎》至少有一部被選中包含的基本

個數〃?=C；G+C；=7,由此能求出《春潮》與《抵達之謎》至少有一部被選中的概率.

【解答】解：首批影展片單揭曉，《南方車站的聚會》《春江水暖》《第一次的離別》《春潮》

《抵達之謎》五部優(yōu)秀作品將在電影節(jié)進行展映.

從這五部作品中隨機選擇兩部放在展映的前兩位，

基本事件總數”=C；=10,

《春潮》與《抵達之謎》至少有一部被選中包含的基本個數m=C；C；+C；=7,

則《春潮》與《抵達之謎》至少有一部被選中的概率為

n10

故答案為：—.

10

10.A、8是直線y=x上的兩個動點，且[48|=2e，點C(3+0cose,-l+&sin6)(其

中0e[0,2%)),則C4?。的最小值等于0.

【分析】設4%，X)，B(x2,x2),>x2,利用已知條件求出現=/+2,然后利用向

量數量積的坐標表示，求出C4?C耳，利用輔助角公式進行化簡，結合二次函數的性質求解

最值即可.

【解答】解：因為A、B是直線y=x上.的兩個動點，

所以設A(七,%),B(x2,x2),xA>x2,

又|A8|=25/2,

則(X—工2)~+(X]-%2)2=(2^2)2,

所以％-9=2,則%=%+2,

所以C4=(X]-3-夜cos6,X[+1-5/2sin0)=(x2-1-V2cos0,x2+3-拒sin6),

CB=(x2-3-V2cos0,x2+l-\/2sin0),

所以y=C4?圍=(x2-1-x/2cos^)?(x2-3-V2cos6)+(x2+3-&sin0)?(x2+1-5/2sin0)

2

=2X2-2瓶(cos6+sin0)x2+4\/2(cos6-sin6)+8

2

=2X2-4sin(^+^)x2+8cos(8+?)+8,

因為關于馬的二次函數y=2武-4sin(6+()/+8cos(<9+5)+8的圖象開口向上，

-4sin(6+7)

所以當％=----------a~=sin(6+2)時，y取得最小值，

44

y疝n=2s加~(。+—)—4sin~(0+—)+8cos(。+—)+8

JTJT

—2cos-(9H—)+8cos(6H—)+6,

44

又。w[0,2乃)，

☆f=cos(e+2),貝i],

此時y=2/+8r+6=2(f+2)2-2,re［-1,1］,

因為函數在［-1,1］上單調遞增，

所以當f=-l時，y取得最小值2-8+6=0，

則C/C月的最小值等于0.

故答案為：0.

11.在空間直角坐標系中，點P(x,y,z)滿足：x2+y2+z2=16,平面a過點加(1,2,

3),且平面a的一個法向量元=(1,1,1),則點尸在平面々上所圍成的封閉圖形的面積等于

【分析】點尸所在的幾何體球在平面a上圍成一個圓，求得圓半徑，即可求得封閉圖形面

積.

【解答】解：?.?點P(x,y,z)滿足V+y2+z2=i6,

.?.點P在以O為球心、4為半徑的球面上.

球與平面a相交圍成的封閉圖形為圓，

設圓心為A，則OA±a.

?.?平面a的一個法向量為=(1,1,1),

可設A(f,t,t),又?.?點M(l,2,3),AM=(l-t,2-t,3—f).

?.?平面a過點M(l,2,3),riA.AM,n-AM=0,

.?.l-r+2-r+3-r=0,解得，=2,

：］OA\=2y/3,.,.圓A的半徑為J42—(2名>=2,

.?.圓A的面積為4萬.

故答案為：4萬.

2x,0?x<1

12.已知函數y=f(x)的定義域是［0,+00),滿足/(x)=x2-4x+5,l,,x<3,且

-2x+8,3?x<4

,t\x+4)=/(x)+a,若存在實數Z,使函數g(x)=/(x)+4在區(qū)間［0,2021］上恰好有2021

個零點，則實數a的取值范圍為.

—505504—

【分析】作出函數/(x)在［0,4)上的圖像，利用/(x+4)=f(x)+a,得到函數值的關系，

推出g(x)在［0,4］上最多有4零點，得到不等式，然后求解。的范圍.

【解答】解：作出函數/(x)在［0,4)上的圖像，

因為f(x+4)=/(x)+a,

所以/(4)=/(0)+a=a,

f(8)=f(4)+a=f(0)+%=2a,

/(2020)=/(0)+505o=505。，

同理可得f(1)=1，f(5)=f(I)+a,,../(2021)=/(1)+505。，

f(2)=2,f(6)=f(2)+a,.../(2018)=/(2)+505。，

由g(x)=f(x)+",令g(x)=Q,得/(x)=-Z，

因為xe［0,2021］時，g(x)有2021個零點，

所以存在k,使得y=/(x)與y=-左有2021個交點，

由圖像可得g(x)在［0,4］上最多有4零點，

所以一1<505〃<1,

二.選擇題（共4小題）

13.若圓的半徑為6c"?,則圓心角為亮的扇形面積是（）

A.—cm2B.C.—c/n2D.271cm2

22

【分析】由已知利用扇形的面積公式即可計算得解.

【解答】解：?.”=6,tz=—,

18

扇形面積S==—x62x—=/rem2.

2218

故選：B.

14.已知xeR,則“x>l"是"的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

【分析】x>l,|x—2|有可能大于1,|x—2|<l=l<x<3,由此能推導出“x>l”是

的必要非充分條件.

【解答】解：|x-2|有可能大于1,比如x=4,|4-2|=2>1,

|x-2|<l=l<x<3,

ax>ln是a|x-2|<l"的必要非充分條件,

故選：B.

15.已知拋物線C1、C?的焦點都為F(2,G)，G的準線方程為x=0，G的準線方程為

x-百y=0,G與Cz相交于M、N兩點，則直線的方程為()

A.百x+y=()B.y/3x—j=0C.x—y=0D.x+\/5y=0

【分析】由拋物線的定義，求得拋物線crG的方程，聯(lián)立兩方程可得交點所在直線的方

程，注意交點的位置.

【解答】解：設拋物線G上的任一點的坐標為(x,y)，

由拋物線的定義可得向球忑=W=EI，①

兩邊平方可得(y-石)2=43-1),X..1,

設G的匕任一點的坐標為(x,y),

可得-2)2+(y_后」,②

聯(lián)立①②可得|x-Gy|=2|x|,

即為x+-Uy=0或\[3x-y=0,

由于尸在第一象限，G的準線方程為x=0，即y軸，

C2的準線方程為x-75y=O,位于第一象限和第三象限,

由拋物線的定義可得拋物線G，。2的交點”，N在第一象限,

可得MN的方程為bx-y=0,

故選：B.

16.如圖，棱長為2的正方體4B8-ABCR中，P、。分別是面對角線4R與瓦）上的

動點，且AP=。。，給出下列兩個判斷:

（1）PQ和始終是異面直線;

（2）PQ長的最小值是手.

則下列說法正確的是（）

B.（1）錯誤，（2）正確

C.（1）正確，（2）正確D.（1）錯誤，（2）錯誤

【分析】建立空間坐標系求出P，Q的坐標，計算P。的長度，利用二次函數的性質進行求

解判斷即可.

【解答】解：建立如圖的坐標系：則42,0,0）8(2,2,0),〃(0,0,2),A(2，0,

2),6(0,2,2)

設AP=mAD,--(-2m,0,2m),

則P(2-2相，0,2m),DQ=mDB=(2w,2m,0),

則Q(2m,2m,0),

則|尸Q|=7(4w-2)2+(2m)2+(2w)2=J24M—16〃?+4,

則當m=_二!￡=!時，|P0的長度最小，

2x243

此時|PQI=j24x1-16x；+4=5=苧,故(2)正確,

由異面直線的定義知，PQ和AG始終是異面直線，故（1）正確,

故選：c.

4

三.解答題（共5小題）

17.如圖，在直三棱柱qG中，AC=BC=CCt=6,NAC8=90。，D,F分別為

4蜴和CG的中點，E為棱4G上一點，且A、D、E、尸四點共面.

（1）求Eq的長；

（2）求三棱錐8-AEF的體積.

【分析】（1）延長所交直線AG丁連接ZW,則DM與BC交點即為E,確定E點

位置之后根據幾何關系即可求得EC,的長;

（2）直接根據三棱錐體積公式求解即可.

【解答】解：（1）延長川交直線AC于〃，連接zw,則zw與4G交點即為E,

因為尸是CG的中點，則G為4加的中點，

故E為△A4M的中線8￡的交點,

即E為MABM的重心，則EG=；B￡=2.

(2)因為S^BEF=SBCC圈-S網￡—SA￡FC,—SABCF=36—12—3—9=12,

且AC_L8C,AC1CC,,

又因為BC「|CG=C,

4?_1平面3。。中，

=

故VB-AEF=^A-BEF§SgEFxAC=4X12x6=24.

18.己知函數〃x)=等，將函數y=/(x)的圖象上每個點的縱坐標擴大到原來的2倍，

再將圖象上每個點的橫坐標縮短到原來的!，然后向左平移土個單位，再向上平移且個單

262

位，得到y(tǒng)=g(x)的圖象.

(I)當xe嗚|時，求g(x)的值域；

(2)已知銳角A48C的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若/(A)=J,a=4,

4

b+c=5,求AABC的面積.

【分析】(1)直接利用三角函數關系式的恒等變換，平移變換和伸縮變換的應用求出函數的

關系式，進一步利用函數的定義域求出函數的值域.

(2)利用函數的關系式求出A的值，進一步利用余弦定理和三角形的面積公式的應用求出

結果.

【解答】解：(1)函數/。)=等，將函數y=f(x)的圖象上每個點的縱坐標擴大到原來

的2倍，得到F(x)=sinx,

再將圖象上每個點的橫坐標縮短到原來的g,得到/(x)=sin2x,

然后向左平移巴個單位，再向上平移走個單位，得至Ug(x)=sin(2x+^)+且，

6232

由于xe[O,§,

所以2融x+2—,

333

所以一領J?in(2x+工)1>

23

故函數g(x)的值域為[0』+曰]；

(2)由于/(A)=弓，即/(4)二等，

由于OvAv4，解得A=工，

3

利用余弦定理/=b2+c2-2bccosA,

SSWa2=(b+c)2-2bc-2/JCCOSA,由于a=4,b+c=5,

解得be=3-

所以^MBC=」besinA=.

1Mllc2224

19.已知一企業(yè)今年第一季度的營業(yè)額為1.1億元，往后每個季度增加0.05億元，第一季度

的利潤為0.16億元，往后每一季度比前一季度增長4%.

(1)求今年起的前20個季度的總營業(yè)額；

(2)請問哪一季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%?

【分析】(1)由題意可知，可將每個季度的營業(yè)額看作等差數列，則首項4=1.1,公差

4=0.05,再利用等差數列的前〃項和公式求解即可.

(2)解法一：假設今年第一季度往后的第季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的

18%,則0.16x(1+4%)">(1.1+0.05M)18%,令/(n)=0.16x(1+4%)"-(1.1+0.05/7)-18%,

遞推作差可得當啜力9時，/(〃)遞減；當〃..10時，/(〃)遞增，注意到/(I)<0,

所以若則只需考慮10的情況即可，再驗證出f(24)<0,/(25)>0,即可得到

利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%的時間.

解法二：設今年第-季度往后的第"(〃eN*)季度的利潤與該季度營業(yè)額的比為勺，則

也=1.04(1.05+0?05“)=if。一26，所以數列[a]滿足

an1.1+0.05〃22+n"

al>a2>a3>a4=a5<a6<a7<...，再由〃勵的值即可判斷出結果.

【解答】解：(1)由題意可知，可將每個季度的營業(yè)額看作等差數列，

則首項q=1.1,公差d=0.05.

Sa)=20ax+2()(2；)-1)4=20x1」+10x19x0.05=31.5,

即營業(yè)額前20季度的和為31.5億元.

(2)解法一：假設今年第一季度往后的第"(weN*)季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的

18%,

則0.16x(l+4%)">(1.1+0.05〃)/8%,

令/(?)=0.16x(1+4%)"-(1.1+0.05n)48%,(itwN*),

即要解/(n)>0,

則當.2時，/(n)-f(n-1)=0.0064-(1+4%)向-0.009,

令f(〃)-/(〃T)>0，解得：?..10

即當掇M9時，/(〃)遞減；當〃..10時，/(")遞增,

由于/(1)<0,因此f(〃)>0的解只能在〃.」()時取得,

經檢驗，/(24)<0,/(25)>0,

所以今年第一季度往后的第25個季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%.

解法二：設今年第一季度往后的第〃(〃wN*)季度的利潤與該季度營業(yè)額的比為為,

1.04(1.05+0.05〃)…1.04

貝=---------------=1.04------1+0.04(1---),

an1.1+0.05〃22+〃22+〃

數列｛%｝滿足at>a2>ai>a4=a5<a6<a7<

注意到,=0.178...,a26=0.181....

今年第一季度往后的第25個季度利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%.

20.已知函數F(X)=WW(X*3，數列｛。“｝滿足4=2,a?+l=F(??),數列電｝滿足

2x-l2

(1)求證：數列｛"｝是等差數列;

(2)設數列｛%｝滿足?！?&"(左>1),且匕,｝中任意連續(xù)三項均能構成一個三角形的三邊長,

求公的取值范圍;

b〃=2k—1

(3)設數列｛4｝滿足4=S一…/wN*),求｛4｝的前〃項和S”.

2n=2k

7=%二2一1=2-1

【分析】（1）等式兩邊同時減去1,得ae,從而=2，

2??-12??-1?！?1-]a”T

由此能證明數列｛2｝是以2為公差，I為首項的等差數列;

（2）由（1）可得數列｛"｝的通項公式，得到｛￡,｝遞增，將問題轉化為公"T+&2"M>*"+3,

解出^即可：

（3）利用等差數列等比數列求和公式對〃分奇偶分別求和.

【解答】（1）證明：4T=F3.）=吧3/」7-2，

2%-1

等式兩邊同時減去1,得4,「1=即3-1=上_,

2??-12??-1

所以一^=也」=2+」一，

4用-1%一14一1

所以」......-=2,又2=」一，

4+i-14,74,一1

所以2用-2=2，又4=」^=1，

4-1

所以數列｛〃｝是以2為公差，1為首項的等差數列.

(2)解：由(1)知2=l+(w-l)x2=2〃-l,所以q,=必=公"T,

因為4>1,所以數列｛%｝為遞增數列,

由｛c〃｝中任意連續(xù)三項均能構成一個三角形的三邊長,

得二"T+爐"+l>公”+3,即人+標>

解得匕叵<二<1±亞，又k>l,

22

所以

2

即公的取值范圍是a,上乎

).

2n-\n=2k-\

（3）解：因為4=

Tn=2k

所以當n為偶數時

(1+2??-3)-^

4(1-42)(/?-1>4(2〃-1)

S,.=1+5+9+…+2〃-3+4+16+...+2"+1-4-2->—~

2

當〃為奇數時n-\為偶數

57)(〃-2)+4(2,1-1)+2〃_「3+4(2“'1)5+即2”x-4

s“=Si+4=

23232~-3

n(n-1)4{2"_1)

n=2k

綜上??5.=J3keN*.

n--I2向-4

----+n=2k-\

23

21.在平面直角坐標系xO.v中，過方程/nr?+〃/=1("?,加，〃。0)所確定的曲線。

上點M(%，為)的直線與曲線C相切，則此切線的方程加%x+〃y°y=i.

(1)若〃=7〃=’,直線/過(6,2)點被曲線c截得的弦長為2,求直線/的方程；

4

(2)若m=1,〃=—1，點A是曲線C上的任意一點，曲線過點A的切線交直線4：gx-y=0

3-

于M，交直線4：Gx+y=O于N,證明：MA+NA=6；

(3)若》?=；,〃=g,過坐標原點斜率無>0的直線g交C于尸、Q兩點，且點尸位于第

一象限，點P在x軸上的投影為E,延長QE交C于點/?,求而?而的值.

【分析】(1)若，"=〃=2，則曲線C為以(0,0)為圓心，2為半徑的圓，設直線/過點(G，

4

2)且與圓C相交于A,B兩點,圓心(0,0)到宜線/的距離為d,由垂徑定理可得d=6,

分兩種情況：當直線/斜率不存在時，當直線/斜率存在時，直線/的方程.

(2)若相=1.〃=—；,則曲線C的方程為/一q=1,設A(x0,%),聯(lián)立過點A的切線

與直線4的方程，解得M點坐標，同理可得N點坐標，再計算畫+隔，即可得出答案.

(3)若機=；,〃=；，則曲線C的方程為:+；=1,設尸(X],yj,<2(-x,,-yt),7?(x0,

%)，則占2+2犬=4,君+2y=4,兩式相減得心，.心。■①，聯(lián)立直線PQ的方程

y=fcc(k>0)與橢圓C,解得E點坐標，推出軟Q=%E=&②，聯(lián)立①②得即尸/相=-1,

貝ljPQ-PR=0.

【解答】解：(1)若機="=」，則曲線C的方程為《+亡=1,即/+>2=4,

444

所以曲線。為以(0,0)為圓心，2為半徑的圓,

設直線/過點(右，2)且與圓C相交于A,5兩點，圓心(0,0)到直線/的距離為“,

所以|=244-/=2,解得d=6

當直線/斜率不存在時，直線/的方程為工=有，滿足題意,

當直線/斜率存在時，設直線/的方程為y-2=k(x-后),

所以4=11^?土2|=6,

解得k=也,

12

所以直線/的方程為y-2=*(x-G)，即y=+

綜上所述，直線/的方程為x=6或y=+