2021-2022學年浙江省百校高三（下）開學數(shù)學試卷（附答案詳解）

2021-2022學年浙江省百校高三（下）開學數(shù)學試卷

1.已知集合4={x|/+尤一2W0},集合B={x|y=log2（x+1）}，貝物DB=（）

A.[-2,1]B.（-1,1]C.（-1,2]D.[1,+oc）

2.已知i為虛數(shù)單位，若復數(shù)z=l-V^i,則印|=（）

A.2B.2百C.4D.4>/3

3.在△ABC中，“荏?而<0”是“AABC是鈍角三角形”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

%+y<4,

4.若實數(shù)x,y滿足約束條件％—2yW0,則z=x+y的最小值是（）

y-2x<3,

A.-4B.--C.-3D.--

22

5.函數(shù)f（x）=S整聲的部分圖象大致為（）

6.如圖，己知某幾何體的正視圖，側視圖，俯視圖均為

腰長為2（單位：cm）的等腰直角三角形，則該幾何體內(nèi)

切球的半徑（單位：。巾）是（）

A.隹

3

B.1-更

3

C.2-2

3

D.這

3

7.在4ABCdp,OAOB=OBOC=OC-。彳，。為BC邊上一點(不含端點)，荏-AC=

y.則而?荷=()

A.1B.V3C.yD.2

8.已知雙曲線一今=1(。>0,b>0)與圓/+y2=非在第二象限相交于點M,a,

尸2分別為該雙曲線的左、右焦點，且sin4M&B=3sin/MF2Fi，則該雙曲線的離

心率為()

A.V2B.1C.V3D.2

9.已知實數(shù)機，n,函數(shù)/(x)=/+mx+n,滿足/'(2)?/(3)S0,則m?+2nm的最

大值為()

A.-B.-C.-D.-

3535

10.在數(shù)列｛即｝中，已知3〈叫<9,且0n+1==三+；,則以下結論成立的是()

0.2^140n+22

A.a6<1B.a7>1C.a8>1D.a9>1

11.已知函數(shù)/(x)=loga(x+1)，f(f(a-1))=2,則。=.

12.如圖，在棱長為2的正方體4BCD—4iBiGDi中，E,尸分別

為梭CD,DA的中點，則平面BEF截該正方體所得截面的面

積為.

13.在(1—2x)8的展開式中，第2項的系數(shù)為,含/項的系數(shù)是.

14.在ZiABC中，AM是NB4C的角平分線，且交BC于M.已知AM=275,=2,MC=

3,則4C=,cos4AMe=.

15.小明上學途中共有〃個紅綠燈，且小明遇到每個紅綠燈的概率均為號記某次小明

上學途中遇到紅燈的次數(shù)為《，且小明上學途中恰好遇到兩個紅燈的概率為卷，則

n=,E(f)=.

16.巳知(2a+V4a2+l)(b+舊H)=1,則2a+b+鬲富黑韋的最大值為

，此時a+b=,

17.已知平面向量落3和單位向量及，/滿足百=-五，|五-由+五|=3|五+瓦一行I，

3=21+〃區(qū)，2/1+〃=2,當方變化時，|方|的最小值為相，則根的最大值為.

18.已知函數(shù)/(X)=V5sinxcosx+g-cos?%,函數(shù)y=/Q)圖像上所有點的縱坐標保

持不變，橫坐標擴大為原來的2倍，再向左平移g個長度單位，得到函數(shù)y=9(%)的

圖象.

(1)求函數(shù)y=的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)當xe*引時，求函數(shù)y=g(x)的值域.

第2頁，共15頁

19.如圖，在四棱錐P-4BC0中，PAA.AD,PA1CD,Z.ADC=pAD=DC=^AP,

△ABC為正三角形.

(1)證明：PD1CD；

(2)求BP與平面PCO所成角的正弦值.

20.已知數(shù)列｛&｝中科>0,且滿足即_1=2碌-30n(nGN*,n>2),數(shù)列｛%｝滿足

bn=2an+l,7；是數(shù)列｛與｝的前〃項乘積，數(shù)列｛^｝為單調(diào)數(shù)列.

(1)求的的取值范圍；

(2)若數(shù)列｛斯｝為單調(diào)遞增數(shù)列，的=：,求”的取值范圍.

21.已知橢圓G：5+'=l(a>b>0)的左、右焦點分別為a,F2,焦距為2,離心

率6=與，拋物線E：y2=2px的焦點是尸2,M是橢圓C上的任意一點，且位于y

軸左側，過點M分別作拋物線E的兩條切線，切點分別為RQ.

(1)求橢圓C和拋物線E的方程；

(2)求仆MPQ面積的取值范圍.

22.已知函數(shù)/(x)=+Inx)+n.

(1)若f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求m的取值范圍；

(2)若“%)在點(1,令處的切線斜率是右證明：/(x)有兩個極值點看,x2(xi，<x2)>

且31n2+In.<\nx2<3+\nxr.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：集合力={x]x2+%-2<0}={x|-2<x<1},

集合B-{x\y-log2(x+1)}={x\x>-1},

則4nB={x|-1<xW1}.

故選：B.

求出集合4,集合8,利用交集定義能求出/DB.

本題考查集合的運算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是

基礎題.

2.【答案】C

【解析】解：1??z=1-V3i,

z2=(1-V3i)2=-2-2V3t,

\z2\=122+(-2V3)2=4.

故選：C.

結合復數(shù)模公式，即可直接求解.

本題主要考查復數(shù)模公式，屬于基礎題.

3.【答案】A

【解析】解：由題意可知若“而?萬<0”則必有角A為鈍角，可得“△ABC是鈍角三

角形”，

而“△ABC是鈍角三角形”不一定角A為鈍角，可能角B或C為鈍角，故推不出角A

為鈍角，

故可得“四?前<0”是“△ABC是鈍角三角形”的充分不必要條件，

故選A

由希?公<0”可得“△4BC是鈍角三角形”，而“△ABC是鈍角三角形”推不出角A

為鈍角，由充要條件的定義可得答案.

本題考查充要條件的判斷，涉及三角形形狀的判斷和向量的數(shù)量積問題，屬基礎題.

4.【答案】C

第4頁，共15頁

【解析】解：由約束條件作出可行域如圖,

聯(lián)立解得4(-2,-1),由2=刀+、，得、=_%+2,

由圖可知，當直線y=-x+z過A時，直線在y軸上的截距最小，Z有最小值為-3.

故選：C.

由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結合得到最優(yōu)解，把最

優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案.

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結合思想，是基礎題.

5.【答案】A

【解析】解：因為函數(shù)f(x)=也等=箋?，

'''x2+lx2+l

則/■(%)=/'(一%),函數(shù)為偶函數(shù)，故圖象關于y軸對稱，故排除5、D,

又/'(0)=2cos0=2>0,

故選：A.

利用/(%)=寫乎=箋干，則f(x)=f(—x),函數(shù)為偶函數(shù)，再利用/(0)>0可判

斷.

本題考查利用函數(shù)的奇偶性以及特殊值判斷圖象，屬于中檔題.

6.【答案】B

【解析】解：由題意可知幾何體是三棱錐，正方體的一個角.幾何體的體積為：|x|x

4

2x2x2=-,

3

該幾何體內(nèi)切球的半徑為r,|x|x2x2xrx3+|x^x(2A/2)2xr=4r+乎r，

所以2r+乎r=

33

解得r=1一日.

故選：B.

判斷幾何體的形狀，利用幾何體的體積，轉(zhuǎn)化求解即可.

本題考查三視圖求解幾何體的內(nèi)切球的半徑，是中檔題.

7.【答案】C

【解析】解：由于在A4BC中，OAOB=0B-0C,

所以麗?方=0,即。BJ.4C,

同理：041BC,OCLAB；

所以。為△ABC的垂心，

連接80并延長交AC于點E,如圖所示：

由向量的投影可知：AB-AC=A0-AC=A0-AD=^-.

故選：C.

直接利用向量的線性運算和向量的數(shù)量積運算求出結果.

本題考查的知識要點：向量的數(shù)量積，向量的線性運算，主要考查學生的運算能力和數(shù)

學思維能力，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：在^"&尸2中，???sin/MF/2=3sin^MF2Fr,

?.由正弦定理得3|MF1|=|MF2|,

又丫附尸2|一附&|=261,；.附&|=￡1,四尸2|=3(1,

在AOMFi中，\0M\=b,：.IMFil=a,|OF/=c,

|0M|2+|MF/2=|OFi『，M)MF\=90°,

設M(xo，yO),則由等面積法得：3四尸小眼&|=；|。&50,即泗=喘轡=段,

zz1^*11c

222

vM在圓/+y=墳上，...XQ=b-yo=b—號~=

又M在雙曲線圣一《=l(a>0,b>0)上，

...鳥—整=1,即；與一白號=1,即K一1=1,—a4=02c2,

a2b2a2c2b2c2a2c2c2

???b2—a2=a2,???b2=2a2,???信二2,

第6頁，共15頁

故選：c.

根據(jù)正弦定理得3|MFJ=\MF2\,結合雙曲線定義可求|MF1|=a,可判斷△0Ma為直

角三角形，故可求M點坐標，將M點坐標代入雙曲線方程即可求得。與6的關系，故

而可求出離心率的值.

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，以及離心率的求法，屬中檔題.

9.【答案】B

【解析】解：：f(2)=4+2m+n,/(3)=9+3m+n,

又f(2)"(3)=(4+2m+n)(9+3m+n)<0,

展開得：6m2+n2+5mn+30m+13n+36<0,

mn<1(—6m2-n2-30m—13n—36),

m2+2mn<—1m2—12?n—|n2—yn—y=(—|m2-12m)+(—|n2—y?)>

當且僅當m=-y,n--當時，m2+2mn有最大值號，

故選：B.

分別計算f(2)與/(3),再將/(2)"(3)=(4+2m+切(9+3M+71)展開，利用二次函

數(shù)性質(zhì)可解.

本題考查二次函數(shù)性質(zhì)，屬于中檔題.

10.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，在數(shù)列｛冊｝中，與+1=彘+點

則限】+1=--+*1=_^+三=迎嶼

n+1

4an+224azi+222an+l

c1_31._31_

n+1，

-4ati+22-4an+22-2an+l

則有皿里=一3X巴11,

an+i-1

則數(shù)列｛"｝是公比為-3的等比數(shù)列，

0n-1

設1=吧，則3ct<9,

a2-l

則Q=吧X(-3)n-2=tX(―3)n-2,

0rl-1a2T\

由此可得：。7—1<0,&9一1<o,Ct6—1>0,&8—1>0,即&7<1,a9<1,a6>1,

。8>L

故選：C.

根據(jù)題意，求出an+i+1與即+1-1,分析可得皿2=-3x筆，由此可得數(shù)列｛筆｝

an+l_1an-l^n-1

是公比為-3的等比數(shù)列，設《=歸，求出數(shù)列｛安｝的通項公式，由此分析可得答案.

本題考查數(shù)列的遞推公式，涉及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于難題.

11.【答案】V2

【解析】解:〈函數(shù)/(x)=loga(x+1),f(f(a-1))=2,

?1?/(a-1)=loga(a-1+1)=1.

,?,/(/(a-l))=/(l)=loga2=2,

可得a?=2,

?故a=也,(負值舍)，

故答案為：V2.

根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)直接從里往外去括號求解即可.

本題主要考查函數(shù)值的計算，屬于基礎題.

12.【答案

【解析】解：如圖：連接尸公,&B,易得B4J/EF,貝ij&、B、E、_-0.

F四點共面，\\

故四邊形&BEF為所求截面，/J^xr7|

四邊形4BEF為等腰梯形，

Rc

又由正方體ABC。-AiBiGS中，棱長為2,

則EF=V2,=2V2,BE=ArF=V5,

所以梯形的高九=斤I二號

故截面的面積為S=*及x乎=/

故答案為：,

根據(jù)題意，連接力/,分析可得四邊形&8EF為所求截面，易得四邊形&BEF為

等腰梯形，進而計算梯形的各邊邊長，由梯形面積公式計算可得答案.

本題考查了截面的性質(zhì)，涉及到正方體的性質(zhì)，考查了學生的運算轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎

題.

13.【答案】一16-448

r

【解析】解：「(1一2x)8的展開式的通項公式為：Tr+1=q?(~2x),

.?.第2項的系數(shù)為：Cl-(-2)=-16,含一項的系數(shù)是：盤?(一2)3=-448,

第8頁，共15頁

故答案為：-16,-448.

由二項展開式的通項公式即可求解.

本題主要考查二項式定理，二項展開式的通項公式，考查運算求解能力，屬于基礎題.

14.【答案】3百［

6

【解析】解：在AABC中，AM平分4BZC,由角平分線定理可得登=器=；,

ACMC3

設力8=2x,AC—3%,

???LAMB+Z.AMC=180°,

???cosZ.AMB=-cos44MC,

8M2+/M2-_"四2+32-心

由余弦定理得,

2BMAM-2MCAM

4+12-4%29+12-9/

即解得％=V3,

2X2X2行2X3X2行

???AC=3V3,AB=2V3,

1M2+4C2-M(7212+27-95

???cosZ-MAC=一,

2AMAC2X2V3X3V36

故答案為：3%；

6

由角平分線定理可得第=|,設4B=2x,AC=3x,由cos乙4MB=-COSNAMC結合余

弦定理可求出x的值，進而得到AC,再在A4MC中利用余弦定理即可求出COSNMAC的

值.

本題主要考查了角平分線定理，考查了余弦定理在解三角形中的應用，屬于中檔題.

15.【答案】嗎

【解析】解：由題意可得，f?B(n*),7122且〃€/7*,

???某次小明上學途中遇到紅燈的次數(shù)為f,且小明上學途中恰好遇到兩個紅燈的概率為捺,

???C耙)2(|廠2=*解得n=4,

14

E(f)=4x-=-.

故答案為：4；g.

根據(jù)已知條件，結合二項分布的概率公式，以及二項分布的期望公式，即可求解.

本題主要考查二項分布的概率公式，以及二項分布的期望公式，屬于基礎題.

16.【答案】-20

[解析】解：2a+b+.-.^-~4eL==2a+b—V4a2+1—y/b2+1=2a-74a2+1+

b-y/b2+1,

=_(___]_|___2_

^2a+V4a2+lb+>Jb2+r

令m=2a+74a2+1,n=b4-y/b24-1,得nm=l,m>0,n>0,

：?2a+b+市；+1k+1=_C+;=一(巾+n)W—2師=—2,

當且僅當m=n=1時，取等號，則a=b=0,

???a+b=0,

故答案為：-2,0.

禾I」用2Q+b+.\~4a===2a—yj^d21+1+b—Vb24-1=—(----；?+7""/=T=)，

V4a2+1-Vrb2+1v2a+V4a2+lb+W+i，

令m=2a+、4/2+1,九=b+7b2+1,得2a+b+/:恒—=一(工+1)，再利

V4a2+1-Vd2+1ny

用基本不等式可解.

本題考查基本不等式的運用，屬于較難題.

17.【答案】|

【解析】解：不妨設瓦(=(1,0),a=(x,y),則由題知/=(-1,0),

a-et+e2=(x-2,y),a+-e2=(x+2,y),

又|五一擊+芍1=3|五+再一之|,所以-2年+y2=3/(%+2)2+y2,

整理得(x+|)2+y2=^,所以—4SXS—1,

又b=Aa+/ie1,2A+=2,

所以另=Aa+(2-24)詼=(Ax+2-22,Ay),

而|E|=V(Ax+2-2A)2+(Ay)2=y/A2(x2+y2)+22(2-2A)x+(2-2A)2,

將①代入整理得：

\b\=y/-9xA2+(4%-8)A+4,

令/'(4)=-9x4?+(4x8)A+4,%6[—4,-1])

???-9x>0,有最小值，

￡/.、16X(-9x)-(4x-8)24x,16.20

八，min一36X99x9

.7*.I4X,16,20—】

7n=Imin=+9x+G[-4,-1],

又^+義工？咯W=?，當且僅當％=-2時等號成立，

9-9x79-9%9

所以。<m<=I，當％=—2時in有最大值|.

故答案為：|.

不妨設瓦*=(1,0),五=(%/)，則由題知孩=(-1,0),由已知條件得(x+|)2+y2=

^-4<%<-1,將曲坐標表示，并求模，代入22+〃=2及。+1+、2=￡整理

得131=J-9%乃+(4%-8)2+4,構造函數(shù)，求出最小值，表示出機的解析式，用均

值不等式求其最大值即可.

本題考查函數(shù)的最值，考查學生的運算能力，屬于中檔題.

第10頁，共15頁

18.【答案】解：(1)?.,函數(shù)/(%)=Bsinxcosx+1—cos2%=?sin2x—]cos2x=

sin(2x--),

6

把函數(shù)y=f(x)圖像上所有點的縱坐標保持不變，橫坐標擴大為原來的2倍，可得y=

sin(x一9的圖象，

6

再向左平移弓個長度單位，得到函數(shù)丫=9(乃=5訪0+芻的圖象，顯然，它的最小正周

36

期為27r.

令2kli+-<%+-<2ku+—,求得2/CTT+-<x<2kn+電，k￡Z,

26233

可得函數(shù)的減區(qū)間為[2/OT+，2E+陽，k€Z.

(2)當xe1,爭時,x+^e[py]>故函數(shù)y=g(x)=sin(x+]€停,1],

即g(x)的值域為E，l].

【解析】(1)由題意，利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)y=Asin(cox+(p)

的圖象變換規(guī)律，求出g(x)的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，得出結論.

(2)由題意，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，得出結論.

本題主要考查三角恒等變換，函數(shù)y=Asin⑷x+")的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象

和性質(zhì)，屬于中檔題.

19.【答案】證明：(1)由P414D,PA1CD,RADC\CD=D,

貝|JP4_L平面ABCD,又CD二平面ABCD,貝UCO1PA,

由=p則4。1CD,y.ADC\PA=P,

所以CDJL平面APD,且PDU平面APD,

所以PD1CD；

解：(2)由(1)可得P4J■平面ABCQ,以AP,A。分別為y,z軸，在平面ABC。內(nèi)過A

點作AD的垂線為x軸建立空間直角坐標系：

設4D=CD=1,則4P=2,AC=VL

A.ADC=^,AD=DC,貝IJN/MC=45°,則NCAx=90°-45°=45°,^BAx=60°-45°=

15°,

由△ABC為正三角形，WOXfi=AC=y/2,

所以4=|4B|cosl5。=節(jié)更,ys=|AB|sinl5°=與叵，即B(等，與更,0),

所以4(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,2),C(1,1,0),

所以而=(喑1，-2),同=(1,1,-2),CD=(-1,0,0),

設平面PCQ的法向量為元=(x,y,z),則伊.生二°,

即｛:爹—2z=。，取五=(0,2,1),

設BP與平面PCD所成角為。，

則，也”四伍，麗)=|懿|=舍=中,

【解析】(1)先證明CD1P4結合條件證明CD1平面APD從而得證；

(2)以AP,A。分別為y,z軸，在平面ABCQ內(nèi)過A點作AC的垂線為x軸建立空間直

角坐標系，利用向量法求解即可.

本題考查了線線垂直的證明和線面角的計算，屬于中檔題.

【答案】解：由與-嗎-得冊_

20.(1)1=23an(neN*,n22),1=an(2%i-3),

且數(shù)列｛冊｝為單調(diào)數(shù)列，.?.仁?二則即>且斯牛

???an>0W：I52(nGN*,n>2),

當九=2時，%=2al—3a2，又。2>,且。2。2,可得%>0且％H2,

???Qi的取值范圍是(0,2)U(2,+8)；

=個三，

(2)???an_]=2^-3an=(2an+l)(an—2)+2,???2an+1

??.Tn=b1-b2bn=(2%+1)-(2a2+1)?(2Q〃+1)

C「、al-2a2-2an-l_2m「、al-2

=(2Q1+1)------5-----------5?????-------5-=(2。1+1)----------

0.2—203—Ndn-LCLn—L

3

vai~29***T"------，

2-an

數(shù)列｛即｝為單調(diào)遞增數(shù)列，?,?哈<

???an-i=an(2an-3),an,

即。<2an-3<l,得|<an<2,代入〃=表，得及>6.

.?.7；的取值范圍是(6,+8).

【解析】由冊-成-冊(得結合題意可

(1)1=23716N*,n22),M-]=an(2an-3),

得1望則冊>1且廝.2,則。2>|且。2#2,在已知遞推式中，取九=2,

得的=2匿一3a2，進一步可得的的取值范圍；

(2)由與-1=2嗎—3即=(2即+1)(即-2)+2,二2(1?+1=臭4，利用累積法得

〃=意，再由數(shù)列｛即｝為單調(diào)遞增數(shù)列，得代入〃=含，得〃的取值

|<an<2,

第12頁，共15頁

范圍.

本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的函數(shù)特性，考查推理論證能力與運算求解能力，是中

檔題.

21.【答案】解：（1）由焦距2c=2,可得c=l,所以尸2（1,0）,

又0=?=字所以。=竟所以8=W2-2=卜7=+，

所以橢圓C的方程為孚+3y2=1,

由尸2（1，0），知￡=1，即P=2,

故拋物線E的方程為y2=4%.

(2)由題意知，直線P0的斜率不可能為0,設其方程為x=ty+rn,

聯(lián)立｛；2一二：7得y2-4ty-4m=0，

2

設切點Q(%y2)，則為+、2=43yty2=-4m,A=16(t4-m)>0,

所以切線MP的方程為y0=2(%+/)①，

切線MQ的方程為y2y=2(%+犯)②，

①-②得，y(yi-y2)=2(%i-次)，即y=之區(qū)一")=2a

yi-yz

2

①+②得，y(yi+丫2)=4%+2(%1+%2)?即2t?4t=4%+2(4t+2m),所以％=—m,

故點M的坐標為(-m,2￡),

因為點“在橢圓上，且位于y軸的左側，

所以］??!?+12t2=1,且一再<-771V0,即0Vm三飛,

222

弦長|PQ|=Vl+t-|yx-y2l=V14-1?4Vt4-m,

點M到直線PQ的距離d==2^1,

所以△MPQ面積S=1\PQ\-d=41t2+m\y/t2+m=4yj(t2+m)3=

4JI(l-士-m2+m)3c=q/^--7n^2+1—2m+l尸-，

令f(m)=-^m2+12m+1,對稱軸為租=8