九年級數(shù)學(xué)上冊第四章相似三角形45第1課時(shí)相似三角形的性質(zhì)隨堂練習(xí)(含解析)浙教版

4.5__相像三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用__第1課時(shí)相像三角形的性質(zhì)1．已知△ABC∽△DEF，若△ABC與△DEF的相像比為1∶2，則△ABC與△DEF對應(yīng)的角均分線之比為(B)A．2∶1B．1∶2C．1∶4D．1∶122．[2016·蘭州]已知△∽△，若△與△的相像比為3，則△與△對應(yīng)ABCDEFABCDEF4ABCDEF中線的比為(A)A.34B.34916C.16D.93．如圖4－5－1，在△中，，分別是邊，上的中線，與訂交于點(diǎn)，ABCBDCEACABBDCEOOP，OQ分別為∠DOE，∠BOC的角均分線，則OQ＝__2__．OP圖4－5－14．兩個相像三角形的相像比為2∶5，已知此中一個三角形的一條中線長為10，那么另一個三角形對應(yīng)的中線長為__4或25__．【分析】∵相像三角形的相像比為2∶5，此中一個三角形的一條中線長為10，而這條中線可能是小三角形的，也可能是大三角形的，∴另一個三角形對應(yīng)的中線長可能為4，也可能為25.5．如圖4－5－2，△ABC∽△A′B′C′，相像比為k，AD，A′D′分別是邊BC，B′C′上AD的中線，求證：A′D′＝k.1圖4－5－2證明：∵△ABC∽△A′B′C′，ABBCACA′B′＝B′C′＝A′C′＝k，∠B＝∠B′.又∵AD，A′D′分別是邊BC，B′C′上的中線，1BD2BCBCABB′D′＝1＝B′C′＝A′B′.2B′C′又∵∠B＝∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′，ADAB∴A′D′＝A′B′＝k.6．如圖4－5－3所示，Rt△ABC∽Rt△DFE，CM，EN分別是斜邊AB，DF上的中線，已知AC9cm，CB＝12cm，DE＝3cm.求CM和EN的長；CM(2)你發(fā)現(xiàn)的值與相像比有什么關(guān)系？獲得什么結(jié)論？EN圖4－5－3解：(1)在Rt△ABC中，AB＝222＋122＝15，AC＋CB＝91∵CM是斜邊AB的中線，∴CM＝2AB＝7.5，Rt△ABC∽Rt△DFE，DEDF31DF∴＝，即9＝＝，∴DF＝5，ACAB315∵EN為斜邊DF上的中線，1∴EN＝2DF＝2.5；CM7.53AC93(2)∵＝＝，相像比為＝＝，EN2.51DE31∴相像三角形對應(yīng)中線的長的比值等于相像比．27．[2016·新泰二模]如圖4－5－4，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，點(diǎn)F在邊AC上，DF與BE訂交于點(diǎn)G，且∠EDF＝∠ABE.圖4－5－4求證：(1)△DEF∽△BDE；DG·DF＝DB·EF.證明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵DE∥BC，∴∠ABC＋∠BDE＝180°，∠C＋∠CED＝180°，∴∠BDE＝∠CED，∵∠EDF＝∠ABE，∴△DEF∽△BDE；(2)由△DEF∽△BDE，得DEEF＝，BDDE2∴DE＝DB·EF，由△DEF∽△BDE，得∠BED＝∠DFE.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF，DGDE2＝·，∴＝，∴DEDF∴DG·DF＝DB·EF.8．如圖4－5－5，在△ABC中，BD是∠ABC的均分線，DE∥BC，BC＝7，AE＝4，求DE的長．3圖4－5－5解：∵DE∥BC，∴∠DBC＝∠EDB.∵BD均分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，∴BE＝DE.∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，AEDE∴＝.ABCB設(shè)DE＝BE＝x，則AB＝4＋x，∵BC＝7，AE＝4，4＝x，即x2＋4x－28＝0，4＋x7解得x1＝－2＋42，x2＝－2－42(不合題意，舍去)，∴DE＝42－2.9．如圖4－5－6，在△ABC中，點(diǎn)D在AC上，且AD∶DC＝1∶2，E為BD的中點(diǎn)，AE的延長線交BC于點(diǎn)F.求證：BF∶FC＝1∶3.圖4－5－6第9題答圖證明：∵AD∶DC＝1∶2，∴AD∶AC＝1∶3.ADFG1BEBF如答圖，作DG∥AF交BC于點(diǎn)G，則＝＝，＝.ACFC3EDFG∵E是BD的中點(diǎn)，∴BE＝ED，BF1∴BF＝FG，∴＝，即BF∶FC＝1∶3.FC310．[2016·合肥模擬]如圖4－5－7，△ABC和△CEF均為等腰直角三角形，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，∠CAE＋∠CBE＝90°，連接BF.4(1)求證：△CAE∽△CBF；圖4－5－7若BE＝1，AE＝2，求CE的長．解：(1)證明：∵△ABC和△CEF均為等腰直角三角形，CACE∴＝＝2，∠ACB＝∠ECF＝45°，CBCF∴∠ACE＝∠BCF，∴△CAE∽△CBF；∵△CAE∽△CBF，AEAC∴∠CAE＝∠CBF，＝＝2，BFBC2又∵AE＝2，∴BF＝2，∴BF＝2.又∵∠CAE＋∠CBE＝90°，∴∠CBF＋∠CBE＝90°，∴∠EBF＝90°，222223，在Rt△EBF中，EF＝BE＋BF＝1＋(2)＝3，∴EF＝22∵CE＝2EF＝6，∴＝6.CE11．如圖4－5－8，在四邊形ABCD中，AC均分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E為AB的中點(diǎn)．2(1)求證：AC＝AB·AD；(2)求證：CE∥AD；AC若AD＝4，AB＝6，求AF的值．圖4－5－8解：(1)證明：∵AC均分∠DAB，5∴∠DAC＝∠CAB.又∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，ADAC2∴＝，∴AC＝AB·AD；ACAB證明：∵E為AB的中點(diǎn)，∠ACB＝90°，1∴CE＝2AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA.∵AC均分∠DAB，∴∠CAD＝∠CAB，∴∠CAD＝∠ECA，∴CE∥AD；∵CE∥AD，∴∠＝∠，∠＝∠，DAFECFADFCEF∴△AFD∽△CFE，∴ADAF＝.CECF11∵CE＝2AB＝2×6＝3，AD＝4，由ADAF4AFAF4AC7＝，得＝，∴＝，∴＝.CECF3CFAC7AF412．如圖4－5－9，在△ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)，連接AD.問題引入：如圖①，當(dāng)D是BC邊上的中點(diǎn)時(shí)，S△ABD∶S△ABC＝__1∶2__；當(dāng)D是BC邊上隨意一點(diǎn)時(shí)，S△ABD∶S△ABC＝__BD∶BC__(用圖中已有線段表示)；探究研究：如圖②，在△ABC中，O是線段AD上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A，D重合)，連接BO，CO，試猜想S△BOC與S△ABC之比應(yīng)當(dāng)?shù)扔趫D中哪兩條線段之比，并說明原因；拓展應(yīng)用：如圖③，O是線段AD上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A，D重合)，連接BO并延伸交AC于點(diǎn)F，連接COODOEOF并延伸交AB于點(diǎn)E.試猜想＋＋的值，并說明原因．ADCEBF6圖4－5－9解：(2)猜想S△BOC與S△ABC之比應(yīng)當(dāng)?shù)扔贠D∶AD.原因：如答圖，分別過點(diǎn)O，A作BC的垂線OE，AF，垂足為E，F(xiàn).第12題答圖∴OE∥AF，∴△ODE∽△ADF，∴OD∶AD＝OE∶AF.1又∵S△BOC＝BC·OE，21S△ABC＝2BC·AF，11∴S△BOC∶