2021北京高二（上）期末數(shù)學(xué)匯編：空間向量及其運(yùn)算

第15頁(yè)/共15頁(yè)2021北京高二（上）期末數(shù)學(xué)匯編空間向量及其運(yùn)算一、單選題1．（2021·北京交通大學(xué)附屬中學(xué)高二期末）已知向量，且，那么（

）A． B． C． D．2．（2021·北京師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高二期末）如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）.A． B．C． D．3．（2021·北京·高二期末）已知，若，則的值為（

）A． B．2 C．6 D．84．（2021·北京八中高二期末）已知向量，且，則實(shí)數(shù)m的值等于（

）A．6 B． C． D．6或5．（2021·北京醫(yī)學(xué)院附屬中學(xué)高二期末）如圖，空間四邊形中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，設(shè)，則（

）A． B．C． D．6．（2021·北京·高二期末）在空間直角坐標(biāo)系中，，，則（

）A． B． C． D．7．（2021·北京·高二期末）在平行六面體中，與的交點(diǎn)為．設(shè)，是下列向量中與相等的向量是（

）A．B．C．D．8．（2021·北京豐臺(tái)·高二期末）若平面α，β的法向量分別為＝(－1，2，4)，＝(x，－1，－2)，且α⊥β，則x的值為（

）A．10 B．－10C． D．－9．（2021·北京市第十二中學(xué)高二期末）如圖，在三棱錐中，，，，、分別為棱、的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．10．（2021·北京北京·高二期末）如圖，在平行六面體中，，則與向量相等的是（

）A． B． C． D．11．（2021·北京北京·高二期末）下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則12．（2021·北京市育英學(xué)校高二期末）如圖，設(shè)，若，則=（

）A． B． C． D．13．（2021·中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二期末）三棱柱中，記，則（

）A． B． C． D．14．（2021·中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二期末）空間向量，則的夾角為（

）A．30° B．60° C．90° D．120°15．（2021·北京平谷·高二期末）如圖，以長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如果的坐標(biāo)為，那么的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．16．（2021·北京豐臺(tái)·高二期末）如圖，在三棱錐中，是的中點(diǎn)，若，，，則等于（

）A． B．C． D．17．（2021·北京市育英學(xué)校高二期末）已知向量，，并且，則實(shí)數(shù)x的值為（

）A．10 B．-10 C． D．18．（2021·北京·北科大附中高二期末）已知向量，，且，那么等于（

）A． B． C． D．519．（2021·北京·中關(guān)村中學(xué)高二期末）已知長(zhǎng)方體，下列向量的數(shù)量積一定不為0的是（

）A． B． C． D．20．（2021·北京·北科大附中高二期末）如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng).當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時(shí)，點(diǎn)的位置是（

）A．線段的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn) B．線段的中點(diǎn)C．線段的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn) D．線段的四等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)二、雙空題21．（2021·北京·海淀教師進(jìn)修學(xué)校附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期末）已知三個(gè)點(diǎn)在同一條直線上，則__；_____22．（2021·北京醫(yī)學(xué)院附屬中學(xué)高二期末）已知向量，若，則_______________，

________________．23．（2021·北京市第十二中學(xué)高二期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面（包含邊界）．（1）若點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)到平面的距離是________；（2）若，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是________．三、解答題24．（2021·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）已知三棱錐中，.(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值；(3)若點(diǎn)M在線段上，滿足，點(diǎn)N在線段上，且，求的取值范圍.25．（2021·北京市育英學(xué)校高二期末）已知空間中三點(diǎn)，，，設(shè)，.（1）若，且，求向量；（2）已知向量與互相垂直，求的值；（3）若點(diǎn)在平面上，求的值.

參考答案1．A【分析】根據(jù)題意，設(shè)，即，，，2，，分析可得、的值，進(jìn)而由向量模的計(jì)算公式計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，向量，2，，，，，且，則設(shè)，即，，，2，，則有，則，，則，，，故；故選：A．2．A【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：A3．C【分析】根據(jù)向量垂直的性質(zhì)計(jì)算得到答案.【詳解】，，則，解得.故選：C.4．A【分析】由空間向量平行的坐標(biāo)表示求解．【詳解】由題意存在實(shí)數(shù)，使得，所以，解得．故選：A．5．A【分析】由空間向量的加減法運(yùn)算法則求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，，又點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，所以，故，故選：A.6．A【分析】直接根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示法則計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，，所以故選：A7．A【分析】利用向量的加法法則及減法法則即得.【詳解】解：因?yàn)?，所?故選：A.8．B【分析】由α⊥β，可得它們的法向量也互相垂直，從而可求出x的值【詳解】解：因?yàn)棣痢挺?，所以它們的法向量也互相垂直，所以?－1，2，4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10．故選：B9．D【分析】連接，利用空間向量的加法和減法法則可將用、、加以表示.【詳解】連接，如下圖所示：，因此，.故選：D.10．A【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則——三角形法，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，在平行六面體中，，可得.故選：A.11．A【分析】根據(jù)空間向量平行與垂直坐標(biāo)公式判斷即可．【詳解】由，，得，所以，則A正確，B錯(cuò)；由，，得，且，所以不平行也不垂直，則C，D錯(cuò)．故選：A12．A【解析】利用向量的線性運(yùn)算可得的表示形式，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】連接，則，而，所以，故選：A.13．C【解析】根據(jù)向量加減法運(yùn)算求解即可得答案.【詳解】解：如圖，根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則得：，故選：C.14．C【解析】由可得，從而可得答案.【詳解】向量，則，所以，則的夾角為故選：C15．A【解析】推導(dǎo)出,從而得到，即可求出【詳解】由題意得：∵的坐標(biāo)為，∴,∴∴．故選：A【點(diǎn)睛】求直線的方向向量的關(guān)鍵：(1)建立合適的坐標(biāo)系；(2)直線的方向向量等于終點(diǎn)坐標(biāo)減起點(diǎn)坐標(biāo)．16．C【解析】利用空間向量的加法和減法法則可得出關(guān)于、、的表達(dá)式.【詳解】，因此，.故選：C.17．B【解析】根據(jù)空間向量垂直的充分必要條件是其數(shù)量積為零，即，解出即可.【詳解】解：∵，∴，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.向量等價(jià)于.18．B【解析】由，得【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，，且，所以，解得，所以，所以，故選：B19．C【解析】利用正方體幾何性質(zhì)計(jì)算出數(shù)量積為零的選項(xiàng)，根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)證明數(shù)量積一定不為零的選項(xiàng).【詳解】當(dāng)長(zhǎng)方體為正方體時(shí)，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知：，所以、、.根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知：，所以與不垂直，即一定不為.故選：C20．B【解析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到直線的距離最小時(shí)，確定點(diǎn)的位置，建立空間直角坐標(biāo)系，取的中點(diǎn)，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算可知，即是動(dòng)點(diǎn)到直線的距離，再由空間兩點(diǎn)間的距離公式求出后，利用二次函數(shù)配方可解決問(wèn)題.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以

為原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，的中點(diǎn)，，，則，設(shè)，，由與共線，可得，所以，所以，其中，因?yàn)?，，所以，所以，即是?dòng)點(diǎn)到直線的距離，由空間兩點(diǎn)間的距離公式可得，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)為線段的中點(diǎn)，由于為定值，所以當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時(shí)，為線段的中點(diǎn).故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了空間兩點(diǎn)間的距離公式，考查了數(shù)形結(jié)合法，考查了二次函數(shù)求最值，屬于基礎(chǔ)題.21．

【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線的坐標(biāo)表示求得的值.【詳解】依題意三點(diǎn)共線，所以，即，故答案為：；22．

【分析】依題意可得，即可得到方程組，解得即可；【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，且，所以，即，解得故答案為：；?3．

【分析】（1）連接交于點(diǎn)，由正方體的性質(zhì)可證面，面，即可得到點(diǎn)到平面的距離，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由得到，再根據(jù)及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：在正方體中，，面，面，所以面，連接交于點(diǎn)，所以，又面，面，所以，因?yàn)?，所以面，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，所以，即點(diǎn)到平面的距離為若點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離為；如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，，，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，因?yàn)榻獾?，所以，即故答案為：?4．(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)．【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，證明兩兩垂直，從而得線面垂直、面面垂直；（2）過(guò)作于，連接，證明是二面角的平面角，然后在直角三角形中計(jì)算出余弦值．（3）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出的坐標(biāo)，由它們的數(shù)量積為0求出的關(guān)系，從而可得范圍．（1）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，所以，，又，所以，即，即，又，平面，所以平面，而平面，所以平面平面；?）由（1）得，又，，平面，所以平面，平面，所以，同理，過(guò)作于，連接，，平面，所以平面，又平面，所以，所以是二面角的平面角．由.得，，，所以．（3）以為軸建立空間直角坐標(biāo)