2019屆數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用層級(jí)快練15文

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGEPAGE8學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精層級(jí)快練(十五)1．y＝lneq\f（1,x）的導(dǎo)函數(shù)為（）A．y′＝－eq\f（1,x） B．y′＝eq\f（1,x)C．y′＝lnx D．y′＝－ln（－x）答案A解析y＝lneq\f(1，x）＝－lnx，∴y′＝－eq\f(1,x）.2．(2018·東北師大附中摸底）曲線(xiàn)y＝5x＋lnx在點(diǎn)(1，5)處的切線(xiàn)方程為()A．4x－y＋1＝0 B．4x－y－1＝0C．6x－y＋1＝0 D．6x－y－1＝0答案D解析將點(diǎn)（1，5)代入y＝5x＋lnx成立，即點(diǎn)（1，5)為切點(diǎn)．因?yàn)閥′＝5＋eq\f(1，x）,所以y′eq\b\lc\|（\a\vs4\al\co1(，））eq\s\do7(x＝1)＝5＋eq\f(1,1)＝6。所以切線(xiàn)方程為y－5＝6（x－1),即6x－y－1＝0。故選D.3．曲線(xiàn)y＝eq\f(x＋1，x－1)在點(diǎn)(3，2)處的切線(xiàn)的斜率是（)A．2 B．－2C。eq\f(1,2) D．－eq\f(1，2)答案D解析y′＝eq\f(（x＋1）′（x－1）－(x＋1)（x－1）′，（x－1)2）＝－eq\f（2，(x－1）2)，故曲線(xiàn)在(3，2）處的切線(xiàn)的斜率k＝y(tǒng)′｜x＝3＝－eq\f（2，(3－1）2)＝－eq\f（1,2),故選D。4．(2018·鄭州質(zhì)量檢測(cè)）已知曲線(xiàn)y＝eq\f(x2，2)－3lnx的一條切線(xiàn)的斜率為2，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()A．3 B．2C．1 D.eq\f（1，2)答案A解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0）,且x0>0，由y′＝x－eq\f（3，x)，得k＝x0－eq\f（3,x0）＝2,∴x0＝3。5．（2018·衡水調(diào)研卷)設(shè)f(x）＝xlnx,若f′(x0)＝2，則x0的值為（）A．e2 B．eC.eq\f(ln2,2) D．ln2答案B解析由f（x）＝xlnx,得f′(x)＝lnx＋1。根據(jù)題意知lnx0＋1＝2，所以lnx0＝1，因此x0＝e。6．(2018·山西名校聯(lián)考)若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則f(x)的解析式可能為（）A．f(x）＝3cosx B．f(x)＝x3＋x2C．f（x）＝1＋sin2x D．f（x)＝ex＋x答案C解析A項(xiàng)中，f′(x)＝－3sinx，是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);B項(xiàng)中，f′（x)＝3x2＋2x＝3(x＋eq\f(1，3))2－eq\f(1,3)，其圖像關(guān)于直線(xiàn)x＝－eq\f(1,3）對(duì)稱(chēng)；C項(xiàng)中,f′（x）＝2cos2x,是偶函數(shù),圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；D項(xiàng)中,f′(x）＝ex＋1，由指數(shù)函數(shù)的圖像可知該函數(shù)的圖像不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．故選C。7．(2018·安徽百校論壇聯(lián)考）已知曲線(xiàn)f(x)＝eq\f（ax2，x＋1）在點(diǎn)(1，f（1))處切線(xiàn)的斜率為1，則實(shí)數(shù)a的值為()A.eq\f（3，2) B．－eq\f(3,2)C．－eq\f(3,4） D.eq\f（4，3)答案D解析由f′(x)＝eq\f(2ax（x＋1)－ax2,(x＋1）2）＝eq\f(ax2＋2ax，(x＋1）2）,得f′（1)＝eq\f（3a,4）＝1，解得a＝eq\f（4,3）。故選D。8．（2018·衡水中學(xué)調(diào)研卷）已知函數(shù)f（x)＝eq\f（1，2)x2·sinx＋xcosx，則其導(dǎo)函數(shù)f′（x)的圖像大致是（）答案C解析由f（x)＝eq\f(1，2)x2sinx＋xcosx,得f′（x)＝xsinx＋eq\f（1,2）x2cosx＋cosx－xsinx＝eq\f（1，2）x2cosx＋cosx.由此可知,f′（x）是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，排除選項(xiàng)A,B。又f′（0)＝1，故選C.9．f(x）與g(x）是定義在R上的兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，若f(x），g(x)滿(mǎn)足f′(x)＝g′（x），則f(x)與g（x)滿(mǎn)足（）A．f（x)＝g(x) B．f（x）＝g（x）＝0C．f（x）－g（x)為常數(shù)函數(shù) D．f(x）＋g(x）為常數(shù)函數(shù)答案C10．（2017·《高考調(diào)研》原創(chuàng)題）設(shè)函數(shù)f(x)在(0，＋∞）內(nèi)可導(dǎo)，且f(ex)＝x＋ex，則f′（2017)＝（)A．1 B．2C.eq\f(1，2017) D.eq\f（2018,2017)答案D解析令ex＝t，則x＝lnt，所以f（t）＝lnt＋t，故f(x）＝lnx＋x。求導(dǎo)得f′(x)＝eq\f(1,x)＋1，故f′(2017）＝eq\f(1,2017)＋1＝eq\f(2018,2017）.故選D.11．（2018·河南息縣高中月考）若點(diǎn)P是曲線(xiàn)y＝x2－lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)y＝x－2距離的最小值為()A．1 B。eq\r（2)C。eq\f(\r（2），2) D.eq\r（3）答案B解析當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)平行于直線(xiàn)y＝x－2且與曲線(xiàn)y＝x2－lnx相切時(shí)，切點(diǎn)P到直線(xiàn)y＝x－2的距離最小．對(duì)函數(shù)y＝x2－lnx求導(dǎo)，得y′＝2x－eq\f(1,x）。由2x－eq\f(1,x)＝1,可得切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，故點(diǎn)(1,1）到直線(xiàn)y＝x－2的距離為eq\r（2），即為所求的最小值．故選B。12．(2018·重慶一中期中）已知函數(shù)f（x）＝ex＋ae－x為偶函數(shù)，若曲線(xiàn)y＝f(x)的一條切線(xiàn)的斜率為eq\f(3,2），則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于（)A．ln2 B．2ln2C．2 D。eq\r(2）答案A解析因?yàn)閒（x)是偶函數(shù)，所以f(x)＝f（－x），即ex＋ae－x＝e－x＋ae－（－x）,解得a＝1，所以f(x）＝ex＋e－x，所以f′（x）＝ex－e－x.設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，則f′（x0)＝ex0－e－x0＝eq\f(3，2).設(shè)t＝ex0(t>0)，則t－eq\f(1，t）＝eq\f（3，2)，解得t＝2，即ex0＝2，所以x0＝ln2.故選A。13．已知y＝eq\f（1，3）x3－x－1＋1，則其導(dǎo)函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_______．答案[2，＋∞)14．已知函數(shù)f(x)＝x（x－1)（x－2)(x－3）（x－4）（x－5）,則f′(0）＝________．答案－120解析f′(x)＝(x－1)(x－2）（x－3)(x－4）(x－5)＋x［（x－1）(x－2）(x－3）（x－4）（x－5)］′，所以f′（0）＝(－1）×(－2）×(－3)×(－4）×(－5）＝－120。15．（2018·重慶巴蜀期中)曲線(xiàn)f（x）＝lnx＋eq\f（1,2）x2＋ax存在與直線(xiàn)3x－y＝0平行的切線(xiàn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案(－∞，1］解析由題意，得f′（x)＝eq\f(1，x）＋x＋a，故存在切點(diǎn)P(t，f（t)），使得eq\f（1,t）＋t＋a＝3,所以3－a＝eq\f（1，t)＋t有解．因?yàn)閠>0，所以3－a≥2(當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時(shí)取等號(hào))，即a≤1。16．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝2x2.(1)求x〈0時(shí),f（x)的表達(dá)式；(2)令g（x)＝lnx，問(wèn)是否存在x0,使得f(x)，g（x)在x＝x0處的切線(xiàn)互相平行？若存在，求出x0的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．答案(1)f（x）＝－2x2（x<0)(2）存在，x0＝eq\f(1，2)解析(1）當(dāng)x〈0時(shí),－x>0,f(x)＝－f(－x)＝－2(－x）2＝－2x2?！喈?dāng)x〈0時(shí)，f(x）的表達(dá)式為f(x)＝－2x2。（2）若f（x），g（x）在x0處的切線(xiàn)互相平行，則f′（x0）＝g′(x0），當(dāng)x>0時(shí)，f′(x0)＝4x0＝g′（x0）＝eq\f（1,x0），解得，x0＝±eq\f（1，2）。故存在x0＝eq\f（1,2）滿(mǎn)足條件．17．(2018·河北卓越聯(lián)盟月考)已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16。（1）求曲線(xiàn)y＝f（x)在點(diǎn)(2,－6）處的切線(xiàn)方程；（2）直線(xiàn)l為曲線(xiàn)y＝f(x)的切線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線(xiàn)l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)．答案(1）y＝13x－32（2)直線(xiàn)l的方程為y＝13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為（－2,－26)解析(1)根據(jù)題意，得f′(x)＝3x2＋1。所以曲線(xiàn)y＝f(x）在點(diǎn)（2，－6）處的切線(xiàn)的斜率k＝f′(2)＝13，所以要求的切線(xiàn)的方程為y＝13x－32.(2）設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0），則直線(xiàn)l的斜率為f′(x0)＝3x02＋1,所以直線(xiàn)l的方程為y＝（3x02＋1)（x－x0)＋x03＋x0－16。又直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(0,0)，則（3x02＋1）(0－x0）＋x03＋x0－16＝0，整理得x03＝－8，解得x0＝－2，所以y0＝(－2）3＋（－2)－16＝－26，l的斜率k＝13，所以直線(xiàn)l的方程為y＝13x,切點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，－26)．1．曲線(xiàn)y＝eq\f（sinx,sinx＋cosx)－eq\f（1,2)在點(diǎn)M（eq\f(π，4），0）處的切線(xiàn)的斜率為（）A．－eq\f(1,2） B。eq\f（1,2）C．－eq\f（\r（2)，2) D.eq\f(\r（2)，2)答案B解析∵y′＝eq\f(1，（sinx＋cosx）2）·[cosx(sinx＋cosx)－sinx·(cosx－sinx)]＝eq\f(1，（sinx＋cosx）2),∴y′|x＝eq\f（π,4）＝eq\f(1,2)，∴k＝y(tǒng)′｜x＝eq\f(π,4）＝eq\f(1,2).2．(2017·山東東營(yíng)一模）設(shè)曲線(xiàn)y＝sinx上任一點(diǎn)(x，y)處切線(xiàn)的斜率為g(x），則函數(shù)y＝x2g答案C解析根據(jù)題意得g(x）＝cosx,所以y＝x2g(x）＝x2cosx為偶函數(shù)．又x＝0時(shí)，y＝0.故選3．（2017·山東煙臺(tái)期末）若點(diǎn)P是函數(shù)y＝ex－e－x－3x(－eq\f(1,2）≤x≤eq\f（1，2））圖像上任意一點(diǎn),且在點(diǎn)P處切線(xiàn)的傾斜角為α，則α的最小值是()A。eq\f(5π,6) B.eq\f(3π,4）C.eq\f（π,4） D.eq\f（π，6）答案B解析由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,k＝y(tǒng)′＝ex＋e－x－3≥2eq\r(ex·e－x）－3＝－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立．即tanα≥－1，α∈［0，π)，又∵tanα〈0，所以α的最小值為eq\f(3π,4），故選B。4．(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)已知函數(shù)f（x）＝ax3＋x＋1的圖像在點(diǎn)（1，f(1））處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(2，7),則a＝________．答案1解析因?yàn)閒(x)＝ax3＋x＋1,所以f′（x)＝3ax2＋1,所以f（x)在點(diǎn)（1，f(1))處的切線(xiàn)斜率為k＝3a＋1，又f（1)＝a＋2,所以切線(xiàn)方程為y－（a＋2）＝（3a＋1)(x－1），因?yàn)辄c(diǎn)(2,7）在切線(xiàn)上,所以7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.5.(2017·浙江十二校聯(lián)考)函數(shù)f(x）的導(dǎo)函數(shù)f′(x）的圖像是如圖所示的一條直線(xiàn)l，l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），則f(0）與f（3)的大小關(guān)系為（）A．f(0)<f（3) B．f（0）〉f（3）C．f(0)＝f(3） D．無(wú)法確定答案B解析由題意知f(x）的圖像是以x＝1為對(duì)稱(chēng)軸,且開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)，所以f（0）＝f(2)〉f（3)．選B.6．(2017·河北邯鄲二模)曲線(xiàn)y＝log2x在點(diǎn)（1，0)處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積等于________．答案eq\f(1，2)log2e解析∵y′＝eq\f（1，xln2）,∴k＝eq\f（1，ln2)?！嗲芯€(xiàn)方程為y＝eq\f(1,ln2）(x－1）．∴三角形面積為S△＝eq\f(1，2）×1×eq\f(1,ln2）＝eq\f(1,2ln2）＝eq\f(1,2)log2e.7．若拋物線(xiàn)y＝x2－x＋c上的一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是－2，拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)恰好過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),則實(shí)數(shù)c的值為_(kāi)_______．答案4解析∵y′＝2x－1，∴y′|x＝－2＝－5。又P(－2，6＋c)，∴eq\f（6＋c,－2）＝－5.∴c＝4。8．若曲線(xiàn)y＝f（x）在點(diǎn)(x0，f（x0)）處的切線(xiàn)方程為2x＋y－1＝0，則()A．f′(x0)〉0 B．f′(x0）〈0C．f′(x0）＝0 D．f′(x0)不存在答案B解析切線(xiàn)方程為y＝－2x＋1，∴f′(x0)＝－2<0，故選B.9．若P，Q是函數(shù)f（x)＝x2－x(－1≤x≤1）圖像上任意不同的兩點(diǎn)，則直線(xiàn)PQ的斜率的取值范圍是（）A．(－3，1） B．(－1，1）C．(0,3) D．(－4,2)答案A解析f′(x）＝2x－1，當(dāng)x＝－1時(shí)，f′（－1）＝－3。當(dāng)x＝1時(shí),f′(1）＝1，結(jié)合圖像可知，－3〈kPQ〈1。10．設(shè)函數(shù)y＝xsinx＋cosx的圖像上的點(diǎn)(x0，y0）處的切線(xiàn)的斜率為k，若k＝g（x0）,則函數(shù)k＝g（x0）的圖像大致為()答案A解析y′＝xcosx,k＝g(x0)＝x0cosx0，由于它是奇函數(shù)，排除B，C；當(dāng)0<x<eq\f(π,4）時(shí),k>0，排除D，答案為A。11．（2017·人大附中月考)曲線(xiàn)y＝lgx在x＝1處的切線(xiàn)的斜率是()A.eq\f（1,ln10） B．ln10C．lne D.eq\f(1,lne)答案A解析因?yàn)閥′＝eq\f（1，x·ln10)，所以y′|x＝1＝eq\f(1,ln10），即切線(xiàn)的斜率為eq\f（1，ln10）。12．下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的是________．①（3x）′＝3xlog3e；②(log2x)′＝eq\f(1,x·ln2）;③（sineq\f（π，3))′＝coseq\f(π，3）;④（eq\f（1,lnx))′＝x。答案②13．(2016·天津文)已知函數(shù)f(x）＝(2x＋1）ex,f′（x)為f（x)的導(dǎo)函數(shù)，則f′(0)的值為_(kāi)_______．答案3解析∵f′(x）＝2ex＋（2x＋1）ex＝（2x＋3)·ex，∴f′(0）＝3。14．(2016·課標(biāo)全國(guó)Ⅲ，理）已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x〈0時(shí)，f(x)＝ln（－x）＋3x，則曲線(xiàn)y＝f(x）在點(diǎn)（1，－3)處的切線(xiàn)方程是________．答案y＝－2x－1解析由題意可得當(dāng)x>0時(shí),f（x)＝lnx－3x，則f′(x）＝eq\f(1，x）－3，f′(1)＝－2,則在點(diǎn)(1，－3)處的切線(xiàn)方程為y＋3＝－2（x－1），即y＝－2x－1.15．(2015·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)已知曲線(xiàn)y＝x＋lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)y＝ax2＋（a＋2)x＋1相切，則a＝________．答案8解析由y′＝1＋eq\f(1，x）可得曲線(xiàn)y＝x＋lnx在點(diǎn)(1，1)處的切線(xiàn)斜率為2，故切線(xiàn)方程為y＝2x－1，與y＝ax2＋（a＋2）x＋1聯(lián)立得ax2＋ax＋2＝0，顯然a≠0，所以由Δ＝a2－8a＝0?a＝8。16．y＝x·tanx的導(dǎo)數(shù)為y′＝________．答案tanx＋eq\f(x,cos2x）解析y′＝（x·tanx)′＝x′tanx＋x（tanx）′＝tanx＋x·(eq\f(sinx，cosx）)′＝tanx＋x·eq\f(cos2x＋sin2x，cos2x)＝tanx＋eq\f（x，cos2x）.17．已知函數(shù)f（x）＝f′(eq\f(π，4))cosx＋sinx,所以f（eq\f（π，4)）的值為_(kāi)_______．答案1解析因?yàn)閒′(x)＝－f′（eq\f(π,4）)sinx＋cosx，所以f′（eq\f（π,4）)＝－f′(eq\f（π,4))sineq\f(π，4)＋coseq\f（π,4），所以f′(eq\f(π,4））＝eq\r（2)－1.故f(eq\f(π，4））＝f′（eq\f(π,4)）coseq\f（π,4)＋sineq\f(π,4)＝1。18．(2018·山西太原期中)設(shè)曲線(xiàn)y＝eq\f（1,x)在點(diǎn)（1，1)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)y＝ex在點(diǎn)P處的切線(xiàn)垂直，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．答案（0,1）解析由y＝eq\f（1，x）得y′＝－eq\f（1,x2），所以曲線(xiàn)y＝eq\f（1，x）在點(diǎn)(1，1)處的切線(xiàn)的