邊際分析彈性分析與經(jīng)濟問題的最優(yōu)化

1第一頁，共三十頁，2022年，8月28日復(fù)習(xí)：1.邊際：表示自變量增加1單位時，函數(shù)的增量的導(dǎo)數(shù)

稱為邊際

常用的邊際函數(shù)：邊際成本：邊際需求：邊際收益：邊際利潤：2.彈性:函數(shù)

在點x處的彈性，記作

表示：當自變量變化1%時，函數(shù)變化的百

分數(shù)為常用的彈性：成本彈性；需求彈性；收益彈性第二頁，共三十頁，2022年，8月28日

第七章第八節(jié)一、邊際分析二、彈性分析三、經(jīng)濟問題的最優(yōu)化邊際分析、彈性分析與經(jīng)濟問題的最優(yōu)化第三頁，共三十頁，2022年，8月28日一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中稱為邊際；的偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)一、邊際分析和分別稱為關(guān)于和的邊際。邊際的概念也可推廣到多元函數(shù)的情形。

例如,某種品牌的電視機營銷人員在開拓市場時,

除了關(guān)心本品牌電視機的價格取向外,更關(guān)心其他品牌同類型電視機的價格情況,以決定自己的營銷策略。第四頁，共三十頁，2022年，8月28日1.邊際函數(shù)定義:的偏導(dǎo)數(shù)都存在，設(shè)二元函數(shù)稱為關(guān)于的邊際。表示：當y保持不變而x改變一個單位時，函數(shù)z=f(x,y)的變化量

稱為關(guān)于的邊際。表示：當x保持不變而y改變一個單位時，函數(shù)z=f(x,y)的變化量

第五頁，共三十頁，2022年，8月28日

例1設(shè)Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)為P(K,L)=20K0.3L0.7。其中P表示產(chǎn)量、K表示資本、L表示勞動。求解：P’K(1,1)及P’L(1,1)，并解釋其含義。P’K(1,1)=6(1)-0.7(1)0.7

=6P’K

=6K-0.7L0.7

含義:

P’K=6表示當資本在1個單位時，每增加一單位，產(chǎn)量約增加6單位。稱為資本的邊際生產(chǎn)量。P’L=14K0.3L-0.3P’L(1,1)=14(1)0.3(1)-0.3=14

含義:

P’L

=14表示當勞動在1個單位時，每增加一單位，產(chǎn)量約增加14單位。稱為勞動的邊際生產(chǎn)量。第六頁，共三十頁，2022年，8月28日

例2

已知某企業(yè)雇傭熟練工x人，非熟練工y人，日產(chǎn)量由二元函數(shù)決定。已知該企業(yè)雇傭熟練工20人，非熟練工50人，若增加熟練工1人，試估計對產(chǎn)量的影響。解：根據(jù)題意，必須求得因為,所以,日產(chǎn)大約會增加1800單位。實際上，日產(chǎn)量增加的真實值為用來逼近是恰當?shù)?。第七頁，共三十頁?022年，8月28日2.邊際需求設(shè)兩種相關(guān)商品甲和乙的需求函數(shù)為：其中

為甲，乙商品需求量，分別表示甲和乙

表示乙商品的價格

保持不變的情況下，

甲商品的價格變化時，甲商品需求量的變化率，的價格.需求量

的偏導(dǎo)數(shù)為邊際需求函數(shù)：稱其為甲商品關(guān)于自身價格的邊際需求；第八頁，共三十頁，2022年，8月28日表示乙商品的價格

保持不變的情況下，

稱其為甲商品關(guān)于自身價格的邊際需求；乙商品的價格變化時，甲商品需求量的變化率，的邊際解釋可與的邊際解釋類似.第九頁，共三十頁，2022年，8月28日

兩種商品彼此關(guān)系可分為為替代型還是互補型。

替代型：一種商品的需求增加時伴隨的結(jié)果是另一種商品需求的減少。如國產(chǎn)汽車與進口汽車、豬肉和雞蛋等。

互補型：一種商品的需求增加時，另一種商品的需求也跟著增加。例如高爾夫球桿與高爾夫球鞋、CD機和光盤等。

假設(shè)有兩種商品A

與B。p1

與p2

分別表示商品A

與B每單位的價格。函數(shù)Q1（p1,p2）表示商品A

的需求函數(shù)，函數(shù)Q2（p1,p2）表示商品B

的需求函數(shù)。則函數(shù)恒有下列關(guān)系：即：商品A

的價格p1

上升，則商品A

的需求量會下降。

商品B的價格p2

上升，則商品B的需求量會下降。3、利用偏導(dǎo)數(shù)對兩種商品之間性質(zhì)進行解釋第十頁，共三十頁，2022年，8月28日兩商品在價格(x0,y0)處為互補型

表示當商品B

的價格上升時，商品A

的需求量減少；當A

的價格上升時，商品B

的需求量減少。即一種商品需求的減少導(dǎo)致另一種商品需求的減少。兩商品在價格(p1,p2)處為替代型

表示當商品B

的價格上升時，商品A

的需求量增加；當A

的價格上升時，商品B

的需求量增加。即一種商品需求的減少導(dǎo)致另一種商品需求的增加。第十一頁，共三十頁，2022年，8月28日

例3

兩種商品A

與B，當其價格分別為x

與y

時的需求函數(shù)為

f(x,y)=300-6x2+10y2(A的需求函數(shù))

g(x,y)=600+6x-2y2(B的需求函數(shù))

試問這兩種商品為替代型還是互補型？解：所以，兩種商品為替代型關(guān)系。第十二頁，共三十頁，2022年，8月28日二、彈性分析在一元函數(shù)處的彈性為它表示y在x處的相對變化率。彈性的概念也可推廣到多元函數(shù)的情形。

例如：某品牌電視機的銷售量是它的價格及其他品牌電視機價格的函數(shù)第十三頁，共三十頁，2022年，8月28日

通過分析其邊際及可知道，隨著及

變化而變化的規(guī)律。進一步分析其彈性

可知這種變化的靈敏度。

前者稱為對的彈性

;后者稱為對的彈性,

亦稱為對的交叉彈性。這里,我們將主要研究交叉彈性及其經(jīng)濟意義。第十四頁，共三十頁，2022年，8月28日1.偏彈性函數(shù)

定義設(shè)函數(shù)

z=f

(

x

,y

)

在

(

x

,y

)

處偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)對

x

的相對改變量

與自變量

x

的相對改變量之比

稱為函數(shù)

z=f

(

x

,y

)

對

x

從

x

到

x+

x

兩點間的彈性.

第十五頁，共三十頁，2022年，8月28日當

x

0

時，

的極限稱為f

(

x

,y

)

在

(

x

,y

)

處對

x

的彈性，記作或

即

類似可定義f

(

x

,y

)

在

(

x

,y

)

對

y

的彈性

第十六頁，共三十頁，2022年，8月28日

假設(shè)有兩種商品A

與B。p1

與p2

分別表示商品A

與B每單位的價格。函數(shù)Q1（p1,p2）表示商品A

的需求函數(shù)，函數(shù)Q2（p1,p2）表示商品B

的需求函數(shù)。稱：為需求量對自身價格的直接價格偏彈性。稱2、需求價格偏彈性為需求量對相關(guān)價格的交叉價格偏彈性。第十七頁，共三十頁，2022年，8月28日例4

設(shè)某市場牛肉的需求函數(shù)為

Q1＝4580-5P1+1000+1.5P2其中牛肉價格P1＝10,相關(guān)商品豬肉的價格P2＝8.求(1)牛肉需求的價格偏彈性,(2)牛肉需求的交叉價格偏彈性,(3)若豬肉價格增加10%,求牛肉需求量的變化率.解:(1)牛肉需求的價格偏彈性為第十八頁，共三十頁，2022年，8月28日例4

設(shè)某市場牛肉的需求函數(shù)為

Q1＝4580-5P1+1000+1.5P2其中牛肉價格P1＝10,相關(guān)商品豬肉的價格P2＝8.求(1)牛肉需求的價格偏彈性,(2)牛肉需求的交叉價格偏彈性,(3)若豬肉價格增加10%,求牛肉需求量的變化率.解:(2)牛肉需求的交叉價格偏彈性為第十九頁，共三十頁，2022年，8月28日例4

設(shè)某市場牛肉的需求函數(shù)為

Q1＝4580-5P1+1000+1.5P2其中牛肉價格P1＝10,相關(guān)商品豬肉的價格P2＝8.求(1)牛肉需求的價格偏彈性,(2)牛肉需求的交叉價格偏彈性,(3)若豬肉價格增加10%,求牛肉需求量的變化率.解:3)由需求的交叉價格偏彈性,得即當相關(guān)商品豬肉的價格增加10%,而牛肉價格不變時,牛肉的市場需求量將增加0.02％．第二十頁，共三十頁，2022年，8月28日

例5

隨著養(yǎng)雞工業(yè)化程度的提高，肉雞價格(用表示)會不斷下降?，F(xiàn)估計明年肉雞價格將下降5%,

且豬肉需求量(用表示)對肉雞價格的交叉彈性為

0.85，問明年豬肉的需求量將如何變化?

將導(dǎo)致豬肉需求量的下降。

解由于雞肉與豬肉互為替代品，故肉雞價格的下降

依題意，豬肉需求量對肉雞價格的交叉彈性為

而肉雞價格將下降

于是豬肉的需求量將下降

第二十一頁，共三十頁，2022年，8月28日

也可用偏彈性函數(shù)來描述兩種商品彼此為替代型還是互補型。

假設(shè)有兩種商品A

與B。p1

與p2

分別表示商品A

與B每單位的價格。函數(shù)Q1（p1,p2）表示商品A

的需求函數(shù)，函數(shù)Q2（p1,p2）表示商品B

的需求函數(shù)。因為函數(shù)恒有下列關(guān)系：所以恒有：2、需求價格偏彈性第二十二頁，共三十頁，2022年，8月28日若兩商品在價格(p1,p2)處為替代型

因為：則有：表示當商品A的價格不變，而商品B

的價格上升時，商品A

的需求量增加；當商品B

的價格不變，而A

的價格上升時，商品A的需求量增加。即一種商品需求的減少導(dǎo)致另一種商品需求的增加，兩種產(chǎn)品是替代關(guān)系。第二十三頁，共三十頁，2022年，8月28日若兩商品在價格(p1,p2)處為互補型

因為：則有：表示當商品A的價格不變，而商品B

的價格上升時，商品A

的需求量減少；當商品B

的價格不變，而A

的價格上升時，商品A的需求量減少。即一種商品需求的減少導(dǎo)致另一種商品需求的減少，兩種產(chǎn)品是互補關(guān)系。第二十四頁，共三十頁，2022年，8月28日

小結(jié)：不同交叉彈性的值，能反映兩種商品間的相關(guān)性，具體就是：

當交叉彈性大于零時，兩商品互為替代品；當交叉彈性小于零時，兩商品為互補品；當交叉彈性等于零時，兩商品為相互獨立的商品。第二十五頁，共三十頁，2022年，8月28日

例6

某種數(shù)碼相機的銷售量,除與它自身的價格有關(guān)外，還與彩色噴墨打印機的價格有關(guān)，具體為

求時

,(1)對的彈性

;(2)對的交叉彈性。

解(1)

對的彈性為第二十六頁，共三十頁，2022年，8月28日

當時，

(2)

對的彈性為

當時，

第二十七頁，共三十頁，2022年，8月28日三、經(jīng)濟問題的最優(yōu)化例7：某企