車輛跟車模型

車輛跟車模型第一頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日目錄

4.1跟馳模型的建立

4.2穩(wěn)定性分析

4.3穩(wěn)態(tài)流分析

4.4實(shí)驗(yàn)和觀察

4.4.1跟馳實(shí)驗(yàn)

4.4.2宏觀觀測(cè):單車道交通

4.5車輛自動(dòng)跟馳

4.6結(jié)論第二頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日

本章著重討論單車道中一輛車緊跟另一輛車行駛的現(xiàn)象（車輛跟馳現(xiàn)象）。研究這個(gè)問(wèn)題有很重要的意義，因?yàn)檐囕v跟馳相對(duì)簡(jiǎn)單，所以該方面的研究較多，而且已成功建立了數(shù)學(xué)模型。車輛跟馳現(xiàn)象有助于交通流的特性的了解。車輛跟馳現(xiàn)象通常發(fā)生在雙車道或多車道上，無(wú)法超車或車輛被限制在單車道上行駛的情況。跟馳理論所研究的參數(shù)之一就是車輛在給定的速度V下跟馳行駛時(shí)的平均車頭間距S，平均車頭間距則可以用來(lái)估計(jì)單車道的通行能力。

第三頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日在對(duì)速度—間距關(guān)系的研究中，單車道通行能力的估計(jì)基于如下方程：

C=1000V/S

（4.1）式中，C—單車道的通行能力（輛/小時(shí)）

V—速度（千米/小時(shí)）

S—平均車頭間距（米）研究表明，速度—間距的關(guān)系可由下式表示：

S=α+βV+γV2

（4.2）式中，系數(shù)α，β，γ可取不同的值，其物理意義如下：

α

——有效的車輛長(zhǎng)度

β

——反應(yīng)時(shí)間

γ

——跟馳車輛最大減速度的二倍的倒數(shù)

第四頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日附加項(xiàng)γV2保證了足夠的間距，使得頭車在緊急停車的情況下跟馳車輛不與之發(fā)生碰撞，γ的經(jīng)驗(yàn)值可近似取0.023s/ft。γ在非線性條件下的近似計(jì)算公式為：（4.3）式中，，分別為跟車和頭車的最大減速度。以上提到的速度—間距模型適用于交通流中車輛速度相同或近似相同，各個(gè)車輛保持相同的間距（就是所說(shuō)的穩(wěn)態(tài)交通流）。

第五頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日跟馳模型除了用于計(jì)算平均車頭間距外，還可用于從微觀角度對(duì)車輛跟馳現(xiàn)象進(jìn)行分析，近似得出單車道交通流的宏觀特性?？傊?，跟馳理論是連接車輛個(gè)體行為與車隊(duì)宏觀特性及相應(yīng)流量、穩(wěn)定性的橋梁。第六頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)跟馳模型的建立

單車道車輛跟馳理論認(rèn)為，車頭間距在100—125m以內(nèi)時(shí)車輛間存在相互影響。該理論認(rèn)為，在人—車—路的系統(tǒng)中，駕駛員是一個(gè)主動(dòng)的，可預(yù)測(cè)的控制因素。在直線行駛、無(wú)超車的情況下，車輛跟馳行為可歸為以下三個(gè)過(guò)程：感知階段：在這個(gè)階段，駕駛員通過(guò)視覺(jué)收集相關(guān)信息。信息包括前車車輛的行為和跟車車輛的行為，主要有前車的速度，加速度，車間距離，相對(duì)速度和一些變量（如：碰撞時(shí)間）等；第七頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日決策階段：駕駛員對(duì)所獲得的信息進(jìn)行分析，決定駕駛策略，與駕駛員對(duì)車輛特性的了解和駕駛技能、經(jīng)驗(yàn)等有關(guān)?？刂齐A段：駕駛員根據(jù)自己的決策和頭車及道路的狀況等反饋信息，對(duì)車輛進(jìn)行操縱控制。跟車模型認(rèn)為在人—車單元中存在刺激—反應(yīng)關(guān)系。其關(guān)系式為：反應(yīng)=λ刺激（4.4）其中，λ是駕駛員對(duì)刺激的反應(yīng)系數(shù)。第八頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日駕駛員接受的刺激是指其前導(dǎo)車的加速或減速行為以及隨之產(chǎn)生的兩車之間的速度差或車間距離的變化；駕駛員的反應(yīng)是指根據(jù)前車所作的加速或減速運(yùn)動(dòng)而對(duì)后車進(jìn)行的相應(yīng)操縱及其效果。

一般認(rèn)為，在跟車模型中，駕駛員有兩個(gè)任務(wù)：a）緊隨前面的車輛行駛；b）避免碰撞。第九頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日這就需要駕駛員在很短的時(shí)間δt內(nèi)保持較小的平均相對(duì)速度U，即：

(4.5)

保持較小的值。從而使得“碰撞”時(shí)間：（4.6）

很大，車輛間距在時(shí)間δt內(nèi)不會(huì)增加。第十頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日由于相對(duì)速度在避免碰撞方面所起的重要作用，因而在刺激—反應(yīng)關(guān)系中，相對(duì)速度成為首要的考慮因素。刺激函數(shù)也可以表示成如方程(4.15)的形式。即在給定的時(shí)間t內(nèi)，刺激依賴于對(duì)相對(duì)速度的初始值的加權(quán)總數(shù)：

（4.7）其中，σ(t)是反應(yīng)駕駛員對(duì)早期信息評(píng)估和處理的權(quán)重函數(shù)。駕駛員權(quán)衡過(guò)去和現(xiàn)在的信息，從而在未來(lái)的一定時(shí)間內(nèi)作出反應(yīng)。

第十一頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D4.1相對(duì)速度刺激和時(shí)間權(quán)重函數(shù)圖

第十二頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日

根據(jù)以上分析，刺激函數(shù)變?yōu)椋海?.11）反應(yīng)時(shí)間或延誤的主要影響因素為駕駛員對(duì)刺激的反應(yīng)。駕駛員得到刺激信息，然后在未來(lái)的一段時(shí)間內(nèi)作出反應(yīng)。通過(guò)延遲刺激，駕駛員得到較新的信息。駕駛員通過(guò)加速器和制動(dòng)踏板對(duì)車輛進(jìn)行直接控制，而且可以根據(jù)慣性原理得到變量的直接反饋信息，因而可以將反應(yīng)函數(shù)看作跟車的加速度：（4.13）第十三頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日將式(4.11)和式(4.13)代入式(4.4)，該刺激—反應(yīng)公式轉(zhuǎn)化為：（4.14）或?qū)懗桑海?.15）方程（4.15）是對(duì)跟車?yán)碚撝写碳ぁ磻?yīng)問(wèn)題復(fù)雜現(xiàn)象的簡(jiǎn)單描述。跟車?yán)碚摰囊话阈问娇捎脗鹘y(tǒng)控制理論框圖表示，見(jiàn)圖4.1a。方程（4.15）所示的線性跟馳模型表示為圖4.1b。完善的跟車模型應(yīng)包括一系列以便于建模描述車輛及道路的動(dòng)態(tài)特性、駕駛員的生理心理特性和車輛間的配合。第十四頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D4.1a)車輛跟馳框架圖第十五頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D4.1b)線形跟馳模型框架圖第十六頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)穩(wěn)定性分析

本節(jié)討論方程（4.15）所示的線性跟車模型的兩類波動(dòng)穩(wěn)定性：局部穩(wěn)定性和漸進(jìn)穩(wěn)定性。局部穩(wěn)定性：關(guān)注跟馳車輛對(duì)它前面車輛運(yùn)行波動(dòng)的反應(yīng)，即關(guān)注車輛間配合的局部行為。漸進(jìn)穩(wěn)定性：關(guān)注車隊(duì)中每一輛車的波動(dòng)特性在車隊(duì)中的表現(xiàn)，即車隊(duì)的整體波動(dòng)性。如頭車的波動(dòng)在車隊(duì)中的傳播。第十七頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日一、局部穩(wěn)定性

通過(guò)第一節(jié)的分析，得到線性車輛跟馳模型方程(4.15)。在線性跟車模型中，和分別表示t時(shí)刻前車和跟車的位移。反應(yīng)時(shí)間為T，通過(guò)t=τT變換，方程(4.15)簡(jiǎn)化為：（4.16）這里C=λT，跟隨車輛的局部行為的狀態(tài)可以通過(guò)求解拉普拉斯變換方程（4.16）得到。比如，初始時(shí)頭車和跟車以恒定的速度u運(yùn)行，卡歐(Chow)給出了跟車的速度。由于卡歐（Chow）方程形式復(fù)雜，所以很難用它來(lái)描述物理特性。第十八頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日但是，如果給定跟車的初始狀態(tài)，那么跟車的總體行為就可以被描述出來(lái)。一般認(rèn)為初始狀態(tài)是頭車和跟車都以恒定的速度u行駛，對(duì)頭車和跟車應(yīng)用移動(dòng)坐標(biāo)系Z（t），跟車的加速度簡(jiǎn)化為：

（4.16a）其中，L-1表示拉普拉斯的逆變形。由于是一個(gè)不變的函數(shù)，所以拉普拉斯逆變換主要由來(lái)決定。特殊情況下，有：（4.17）

類似地，可以得到車輛速度和車輛間距的變化情況。車頭間距的變化可由方程（4.17）得出。第十九頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日因此，可將拉普拉斯逆變換表示成ee。對(duì)于不同的C值，跟馳行駛兩車的運(yùn)動(dòng)情況可分為四類：

a）如果C≤e-1(≈0.368)，a0≤0，b0=0，間距不發(fā)生波動(dòng)，振幅呈指數(shù)衰減；

b）如果e-1

＜C＜π/2，a0

＜0，b0＞0，間距發(fā)生波動(dòng)，振幅呈指數(shù)衰減；

c）如果C=π/2，a0=0，b0＞0，間距發(fā)生波動(dòng)，振幅不變；

d）如果C＞π/2，a0

＞0，b0＞0，間距發(fā)生波動(dòng)，振幅增大。

根據(jù)以上結(jié)果，C值不同，跟馳車輛運(yùn)動(dòng)情況也就不同。要使跟隨車輛間距不發(fā)生波動(dòng)，必需滿足C≤1/e。C繼續(xù)增大時(shí)，間距發(fā)生波動(dòng)且振幅急劇衰減。C＜π/2時(shí)，振幅就會(huì)發(fā)生一定程度的衰減。第二十頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日關(guān)于波動(dòng)行為的這些結(jié)果可以應(yīng)用于跟車的速度、加速度和車頭間距。因此，當(dāng)C≤1/e,即車頭間距不發(fā)生波動(dòng)的情況下，車速由U變到V車頭間距變化量為:

（4.18）

如果頭車停車，其最終速度V=0，車頭間距的總變化量為-U/λ。跟車為了避免與頭車發(fā)生碰撞，車頭間距最小值必須為U/λ。另外，在穩(wěn)態(tài)交通流的限制下，為了車頭間距盡可能小，λ應(yīng)取盡可能大的值，其理想值為(eT)-1可能小。

第二十一頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日注：2車跟隨1車行使，反應(yīng)時(shí)間T=1.5s，C=e-1，兩車的初始速度均為u

圖4.2為利用計(jì)算機(jī)模擬的方法給出的相關(guān)運(yùn)動(dòng)參數(shù)曲線。C=e-1，由前面所講可知，屬第一類，即車頭間距不發(fā)生波動(dòng)的情況。頭車先減速行使然后加速到起始速度，采用恒定的加速度和減速度。實(shí)線代表頭車，虛線代表跟車。由于C在車輛局部穩(wěn)定的限制范圍內(nèi)，所以跟車的加速度和速度以及車頭間距都沒(méi)有發(fā)生波動(dòng)。圖4.2頭車加速度波動(dòng)方式及對(duì)兩車運(yùn)動(dòng)的影響第二十二頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日

注：該圖與圖4.2具有相同的頭車速度

圖4.3不同C值對(duì)應(yīng)的車頭間距變化

圖4.3給出了另外四種不同C值的車頭間距變化圖。C分別取阻尼波動(dòng)、恒幅波動(dòng)和增幅波動(dòng)幾種情況的值。當(dāng)C=0.5和0.8時(shí)，屬第二種情況，間距發(fā)生波動(dòng)，振幅急劇衰減；C=1.57（≈π/2）時(shí)，屬第三種情況，間距發(fā)生波動(dòng)，振幅不變：當(dāng)C=1.60時(shí)，屬第四種情況，間距發(fā)生波動(dòng)，振幅增大。第二十三頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日與其他控制相關(guān)的局部穩(wěn)定性

由于駕駛員無(wú)法對(duì)相對(duì)加速度或車頭間距的高階導(dǎo)數(shù)作出正確的估計(jì)，因而他們對(duì)這些變量缺乏敏感性。所以車輛跟馳方程采用如下形式：（4.21）

其中，m=0,1,2,3…跟隨車輛的加速度是車輛間距的m階導(dǎo)數(shù)。m=1時(shí)，為線形跟車模型。當(dāng)給定m值時(shí)，可以得到方程4.21的解：

（4.22）當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，方程無(wú)解。因此，局部穩(wěn)定性僅適用于間距、相對(duì)速度等的奇數(shù)階導(dǎo)數(shù)，最小為m=3。結(jié)果顯示，與車頭間距變化相關(guān)的加速度是不穩(wěn)定的。第二十四頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日二、漸進(jìn)穩(wěn)定性

在討論了線性跟車模型的局部穩(wěn)定性之后，下面通過(guò)一列行駛的車隊(duì)來(lái)討論漸進(jìn)穩(wěn)定性。漸進(jìn)穩(wěn)定性是在研究一列車隊(duì)速度波動(dòng)的傅立葉系數(shù)時(shí)得到的。一列長(zhǎng)度為N的車隊(duì)的方程為：（4.23）其中，n=0,1,2,3,…N

這些方程的求解依賴于一列車隊(duì)中頭車車速u（t）和參數(shù)λ和T。無(wú)論車頭間距為何初始值，如果發(fā)生振幅波動(dòng)，那么車隊(duì)后部的某一位置必定發(fā)生碰撞。當(dāng)方程(4.23)的數(shù)值解可以確定碰撞發(fā)生的位置。第二十五頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日

C=λT<0.5~0.52(一般取0.5)時(shí)，就可保證車輛的漸進(jìn)穩(wěn)定性。如圖4.4所示，漸進(jìn)穩(wěn)定性的標(biāo)準(zhǔn)將兩個(gè)參數(shù)確定的區(qū)域分成了穩(wěn)定和不穩(wěn)定兩部分。圖4.4漸進(jìn)穩(wěn)定性

可知，λT<e-1保證局部穩(wěn)定性的同時(shí)也可以保證漸進(jìn)穩(wěn)定性。第二十六頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日

為了說(shuō)明以上的漸進(jìn)穩(wěn)定性理論，下面通過(guò)圖示給出兩組利用計(jì)算機(jī)模擬得到的數(shù)值計(jì)算結(jié)果。第二十七頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日注：圖中C采用三個(gè)不同的值。t=0,車頭間距為21m。

圖4.5線形跟馳模型車隊(duì)中車頭間距隨時(shí)間的變化

圖4.5列出了一列8輛車組成的車隊(duì)中相鄰車輛車頭時(shí)距與時(shí)間的關(guān)系。分別取為0.368，0.5和0.75。頭車n=1的初始波動(dòng)方式與圖4.2所示情況相同，即先減速然后加速到初始速度，因此加速度對(duì)時(shí)間的積分為0。第一種情況C=0.368（≈1/e），為不波動(dòng)，局部穩(wěn)定狀態(tài)。第二種情況下C=0.5也就是漸進(jìn)穩(wěn)定性的極限處，出現(xiàn)高阻尼波動(dòng)，振幅隨著波動(dòng)在車輛中的傳播而衰減。第三種情況下C=0.75和圖4.6中C=0.8很好地說(shuō)明了波動(dòng)的不穩(wěn)定性。第二十八頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日注：該圖闡述了線性跟馳模型公式（4.23），C=0.80

圖4.69輛車車隊(duì)的漸進(jìn)穩(wěn)定性（C=0.80）圖4.6（C=0.80）給出了9輛車組成的車隊(duì)中每一輛車的運(yùn)動(dòng)軌跡，采用的坐標(biāo)系是移動(dòng)坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)的速度與車隊(duì)的初始速度u一致。當(dāng)t=0時(shí)，所有的車輛都以速度u行駛，車頭間距均為12m。頭車在t=0時(shí)開(kāi)始以4km/h/sec的減速度減速2s，速度從u變成u-8km/h，之后又加速到原速度u。所以頭車的這種速度波動(dòng)在車隊(duì)中不穩(wěn)定的傳播，在頭車發(fā)生第一次波動(dòng)后大約24s時(shí)，第7輛車和第八輛車間的距離變?yōu)?，即車頭間距等于車輛長(zhǎng)度，此時(shí)發(fā)生碰撞。第二十九頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日次最近車輛的配合

跟馳行使的車輛除受次最近車輛（直接在前面的車輛）的影響外，還會(huì)受次最近車輛（在前面的第二輛車）的影響。這種影響也可以列入模型中，那么跟馳模型可以寫成：（4.29）其中，λ1

、λ2分別為跟馳車輛駕駛員對(duì)最近和次最近車輛刺激的反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)。（4.30）當(dāng)w趨近于0時(shí)，有（4.31）第三十頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日由此方程可以看出，次最近車輛的影響主要是將λ1增加到λ1+λ2。這就降低了λ1的作用，而且仍然可以保持漸進(jìn)穩(wěn)定。為了確定次最近車輛的影響程度，研究人員專門做了三車跟馳實(shí)驗(yàn)，這部分內(nèi)容將在第四小節(jié)實(shí)驗(yàn)部分進(jìn)行介紹．第三十一頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日4.3穩(wěn)態(tài)流分析

本節(jié)將利用單車道車輛跟馳模型討論穩(wěn)定流的特性，針對(duì)不同的交通流狀態(tài)對(duì)跟馳模型進(jìn)行必要的擴(kuò)充和修正，并由此推導(dǎo)速度-間距(速度-密度)，流量-密度關(guān)系式。第三十二頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日線形跟弛模型前面已經(jīng)給出了基于線形跟馳模型的單車道運(yùn)動(dòng)方程式：

（4.32）

其中，n=1，2，3…

運(yùn)動(dòng)過(guò)程中車隊(duì)將有一種穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)入另一種隨機(jī)穩(wěn)定的狀態(tài)，為了使兩種穩(wěn)定狀態(tài)聯(lián)系起來(lái)，現(xiàn)假設(shè)在t=0時(shí)，每一輛車的速度為Ui，車頭間距為Si。頭車在t=0時(shí)速度開(kāi)始改變（加速或減速），在一段時(shí)間t后其最終速度變?yōu)閁f。第三十三頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日注：車隊(duì)從一種穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)入另一種穩(wěn)定的狀態(tài)，頭車的速度下降了7.5m/s，11輛車的相鄰間距也發(fā)生了變化，圖4.811輛車的相鄰間距圖4.8描述了在這種狀態(tài)下具體數(shù)量的變化。

第三十四頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日

在從車速Ui變化到車速Uf的過(guò)程中，車頭間距S從Si變?yōu)镾f即：（4.33）上式，可以從跟馳方程式中得到。公式4.33也綜合考慮了公式4.32中的基本因素。這個(gè)公式只有在反應(yīng)時(shí)間T準(zhǔn)確時(shí)才有效，否則不能得到正確結(jié)論。而這種結(jié)果的前提條件是要求運(yùn)動(dòng)方程式中的交通流是穩(wěn)定的。另外由于車頭間距是交通流密度K的倒數(shù)，于是我們可以得到與公式4.33對(duì)應(yīng)的速度-密度關(guān)系式，如4.34所示：公式4.33和4.34有如下重要性：

1)把一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)和另一個(gè)隨機(jī)穩(wěn)定狀態(tài)聯(lián)系了起來(lái)。

2)建立了包含車輛跟馳微觀參數(shù)λ在內(nèi)的宏觀交通流變量之間的關(guān)系。

（4.34）第三十五頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于停車流而言，車速Ui=0，相應(yīng)的車頭間距S0由車輛長(zhǎng)度和車輛間的相對(duì)距離構(gòu)成。對(duì)應(yīng)于S0的密度Ｋｊ被稱為“阻塞密度”。給定密度Ｋｊ，對(duì)于任意交通狀態(tài)，速度為U，密度為K，式4.34可以寫為：

（4.35）將此公式與單車道交通（林肯隧道內(nèi)）實(shí)驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果對(duì)比。得到圖4.9所示的速度－密度關(guān)系，并且得到了λ的估計(jì)值為

0.6S-1。參數(shù)λ預(yù)示了林肯隧道的漸進(jìn)穩(wěn)定交通流的一個(gè)上限約束為T≈0.83秒。

第三十六頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日注：曲線是根據(jù)林肯隧道實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，

用最小二乘法擬和得出的。

圖4.9

速度－密度關(guān)系圖圖4.10標(biāo)準(zhǔn)流量與標(biāo)準(zhǔn)密度間的關(guān)系第三十七頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日但是上面分析和所得結(jié)論并不合理，速度-間距關(guān)系的方程式表現(xiàn)出了理論的缺陷。由于模型是線性的，并不能很合理的描述交通流流量和密度這兩個(gè)基本參數(shù)的變化特征。圖4.10引入了標(biāo)準(zhǔn)化的流量和標(biāo)準(zhǔn)化密度，其中標(biāo)準(zhǔn)密度來(lái)源于穩(wěn)態(tài)流理論中公式4.35。從而可以得到：

（4.36）

公式4.36的缺陷在于前提條件要求流量與密度為定性關(guān)系，從而引出對(duì)線性跟馳方程式的修正。

第三十八頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日非線性跟馳模型

線性跟馳模型假定駕駛員的反應(yīng)強(qiáng)度與車間距離無(wú)關(guān)，即對(duì)給定的相對(duì)速度，不管車間距小還是大反應(yīng)強(qiáng)度都是相同的。實(shí)際上，對(duì)于給定的相對(duì)速度，駕駛員的反應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)該隨車間距離的減小而增大。為了考慮這一因素，我們可以認(rèn)為反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)λ并非常量，而是與車頭間距成反比的，由此得出如下的非線形跟弛模型。

1.車頭間距倒數(shù)模型跟弛模型的方程：

n=1，2，3，…（4.38）

式中λ1為一個(gè)新參數(shù)，假定為常量，并把它作為敏感系數(shù)。第三十九頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日

同前，假定這些參數(shù)是來(lái)自穩(wěn)態(tài)流的。方程通過(guò)積分得到速度-密度的關(guān)系式：

（4.39）

及流量-密度關(guān)系式：

（4.40）

由此可知u=0時(shí)，車頭間距等于車輛的有效車長(zhǎng)，

即。

利用圖4.9和圖4.10中的數(shù)據(jù)，結(jié)合交通流參數(shù)的穩(wěn)態(tài)關(guān)系式，可以得到圖4.11和4.12。用最小二乘法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到的穩(wěn)態(tài)關(guān)系下λ1和Ｋｊ的值分別為27.7km/h和142veh/km。

在道路處于最大交通量時(shí)，對(duì)應(yīng)的車流密為。在林肯隧道的實(shí)例中，道路通行能力約為1400veh/h。

第四十頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D4.9

速度－密度關(guān)系圖

（用最小二乘法擬合）圖4.10標(biāo)準(zhǔn)流量與標(biāo)準(zhǔn)密度間的關(guān)系圖（參數(shù)由圖4-9擬合）第四十一頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日分析公式4.40，在k=0時(shí)正切值dq/dk趨近無(wú)窮大，這是不合理的。實(shí)際上，在低密度下，車頭間距很大，車輛之間的跟弛現(xiàn)象已變得很微弱了，正是模型的這一特征，提供了模型的另一種修改形式，即正比于速度間距倒數(shù)模型。2.正比于速度間距倒數(shù)模型跟弛模型的方程為：

n=1，2，3…（4.41）

λ2為新參數(shù)，假定為常量。第四十二頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日如前所述，可以給出如下的穩(wěn)態(tài)方程：（4.42）和（4.43）式中為uf自由速度，即密度趨于零時(shí)的速度，km為是最大流量時(shí)的密度（最佳密度）。在這些前提下，敏感系數(shù)λ2可以認(rèn)為和km-1一致。該模型給出了在密度為零時(shí)的極限速度uf

。

第四十三頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日為了更完整地說(shuō)明交通流在低密度下交通流的速度與車輛密度大小無(wú)關(guān)，速度-密度關(guān)系應(yīng)該進(jìn)行適度調(diào)整，即寫成如下形式：當(dāng)時(shí)（4.44）和當(dāng)時(shí)（4.45）

式中kf是車輛之間將要產(chǎn)生影響時(shí)的密度，超過(guò)此值，交通流速度隨著密度的增加而減小。如果假定影響剛發(fā)生時(shí)的間距120m，那么kf的值近似為8veh/km。描述速度-密度關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停核俣?密度關(guān)系的格林希爾治線性模型，就可以近似的表示這種關(guān)系。第四十四頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日3.格林希爾治模型跟弛方程為：

n=1，2，3，…（4.49）第四十五頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日4.模型的統(tǒng)一表示總結(jié)上述的各種跟馳理論方程，可以得到如下的通式：

（4.51）其中的反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)λ取以下幾種形式：■為常數(shù)，?！龇幢扰c車頭間距，即?！稣扔谲囁?，反比與車頭間距的平方，即?！龇幢扰c車頭間距的平方，即。這些模型可以看作參數(shù)λ一般形式的具體化,即：（4.52）

其中：是通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定的常數(shù)，為指數(shù)且≥0,≥0。就穩(wěn)態(tài)而言，式4.51和4.52給出了跟馳模型的基本形式。第四十六頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日交通流基本參數(shù)關(guān)系式的一般表示將方程4.51對(duì)時(shí)間積分，可以得到：（4.53）式中：u——交通流的穩(wěn)態(tài)速度，

S——為穩(wěn)態(tài)車頭間距，

a，b——積分常量，可由下式確定（或）：當(dāng)時(shí)，（4.54）當(dāng)時(shí)，（4.55）

積分常數(shù)的確定依賴于具體的和值()，而且與兩個(gè)邊界條件的滿足情況有關(guān)，下面分幾種情況進(jìn)行討論。第四十七頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日(1)的情況,兩邊界條件均滿足,a、b值可由下式求得：和（4.56）(2)的情況，僅滿足第一個(gè)邊界條件，可得到b的值為，a的值，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合求得。(3)的情況僅滿足第二個(gè)邊界條件，可得到a、b的值，具有如下關(guān)系：（4.57）的情況，兩邊界條件均不滿足，a、b的值，只能通過(guò)具體實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)擬合求得。利用公式4.53，4.54，4.55，4.56，4.57以及穩(wěn)態(tài)交通流的特性，可以得到速度、密度和流量間關(guān)系。在前面已給出了一些例子。圖4.13和4.14為取不同和值時(shí)所對(duì)應(yīng)流量－密度關(guān)系曲線。這些流量曲線的參數(shù)通過(guò)和進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。

第四十八頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日注：根據(jù)穩(wěn)態(tài)交通流4.51和4.52公式，m=0，L取不同的值時(shí)所對(duì)應(yīng)的流量－密度關(guān)系曲線。

圖4.13

標(biāo)準(zhǔn)流量與標(biāo)準(zhǔn)密度關(guān)系圖第四十九頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D4.14

標(biāo)準(zhǔn)流量與標(biāo)準(zhǔn)密度關(guān)系圖（m=1）第五十頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日從上圖中可以看到，這些模型大部分與穩(wěn)態(tài)流的定性描述相一致。如果模型參數(shù)選擇適當(dāng)，基本上可以用來(lái)擬合圖4.9的數(shù)據(jù)，如圖4.13、4.14所示。公式4.51和4.52給出了跟馳模型的一般形式，L和m不一定必須整數(shù)值，也可取非整數(shù)值，例如從芝加哥的艾森豪威爾高速公路的相關(guān)數(shù)據(jù)中，人們提出了m=0.8和L=2.8模型。實(shí)際上在早期對(duì)穩(wěn)態(tài)流和跟馳現(xiàn)象的研究中，各種各樣的L和m值都得到過(guò)。當(dāng)m=0和L=0，為簡(jiǎn)單線性跟弛模型。1934年通過(guò)對(duì)交通流照片資料擬合得到了m=0和=2的模型(Greenshields1935)，這個(gè)模型也可以引入與跟弛特性有關(guān)的知覺(jué)因素來(lái)改善它(PipesandWojcik1968；FoxandLehman1967；Michaels1963)。第五十一頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)m=0和=1，可通過(guò)可變流量類推出穩(wěn)態(tài)流的關(guān)系(Greenberg1959)，同時(shí)引入跟車實(shí)驗(yàn)的檢驗(yàn)和駕駛員相關(guān)速度影響的因素是變化的且這種變化與車距變化成反比的假設(shè)，即：m=0和=1模型(Hermanetal.1959)。一個(gè)穩(wěn)態(tài)交通流的推斷方程(Drew1965)和隨后在休斯頓和德克薩斯州的Gulf高速公路的測(cè)試得到m=0和=3/2模型?？紤]到趨近低密度的自由速度因素，獲得m=0和=2的模型(Edie1961)。還有m=0和=3模型，該模型從芝加哥的艾森豪威爾高速公路的相關(guān)數(shù)據(jù)分析中獲得(Drakeetal.1967)。通過(guò)對(duì)與模型相關(guān)觀察資料的進(jìn)一步分析，指出反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)可能在大約1800veh/h的單車道上產(chǎn)生不同的值。第五十二頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日4.4實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)

這部分主要介紹和討論已經(jīng)實(shí)施的實(shí)驗(yàn)，這些實(shí)驗(yàn)都試圖弄清車輛的跟馳模型是否近似于單車道上的交通流特性。這些實(shí)驗(yàn)被分成兩種截然不同的類型。第一種類型與車輛跟馳模型和變量的詳細(xì)測(cè)量之間的比較有關(guān)。第二種類型與宏觀交通流特性的測(cè)量有關(guān)，主要研究在單車道的交通環(huán)境下車隊(duì)的速度、密度、流量以及它們之間的相互關(guān)系。

最后，在微觀和宏觀兩個(gè)方面，對(duì)以前章節(jié)中所提到模型與其所代表的體系進(jìn)行了驗(yàn)證。第五十三頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日4.4.1車輛跟馳實(shí)驗(yàn)1）初步測(cè)試軌道實(shí)驗(yàn)2）隧道行車實(shí)驗(yàn)3）公交跟馳實(shí)驗(yàn)4）三車跟馳實(shí)驗(yàn)

a)Kometani和Sasaki實(shí)驗(yàn)5）各種實(shí)驗(yàn)b)Forbes等人的實(shí)驗(yàn)

c)俄亥俄州實(shí)驗(yàn)

d)Constantine和Young的研究初步測(cè)試軌道實(shí)驗(yàn)

隧道行車實(shí)驗(yàn)

公交跟馳實(shí)驗(yàn)4.4.1.1車輛跟馳實(shí)驗(yàn)的分析三車跟馳實(shí)驗(yàn)OhioState仿真研究不對(duì)稱性研究

第五十四頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日第一個(gè)實(shí)驗(yàn)試圖對(duì)一個(gè)曾使用的線性車輛跟馳模型進(jìn)行初步評(píng)估（1958）。在隨后的幾年，利用兩輛車、三輛車和公交做了很多具有各種目的的實(shí)驗(yàn)。大部分實(shí)驗(yàn)是在測(cè)試軌道設(shè)備和車道上實(shí)施的。

在這些實(shí)驗(yàn)中，同時(shí)記錄了車頭間距、相對(duì)速度、跟馳車輛的速度、跟馳車輛的加速度，并用時(shí)間信號(hào)來(lái)保證每個(gè)變量和其它變量的同步。車輛跟馳實(shí)驗(yàn)的分析，一般是通過(guò)把相等的時(shí)間間隔內(nèi)收集到的資料變成數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行的，然后利用線性跟馳模型，獲得參數(shù)λ和T的估計(jì)來(lái)完成相關(guān)分析。數(shù)據(jù)是不連續(xù)，反映時(shí)間，同樣呈現(xiàn)出不連續(xù)值。相關(guān)系數(shù)是最大值，并在0.85到0.95的范圍內(nèi)顯著下降，反應(yīng)時(shí)間與給定的司機(jī)有關(guān)是其原因之一。第五十五頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日初步測(cè)試軌道實(shí)驗(yàn)

這個(gè)實(shí)驗(yàn)是由Chandler等人在1958年完成的，目的是為了獲得在線性跟馳模型中參數(shù)的估計(jì)以及這個(gè)模型的初步評(píng)估。八位男性駕駛員參與了這項(xiàng)在一英里測(cè)試軌道設(shè)備上實(shí)施的研究。

初步實(shí)驗(yàn)的結(jié)果見(jiàn)表4.1，其中成就是：給出了λ的估計(jì)；C=λT為漸近的穩(wěn)定邊界值；平均間距<S>和平均速度<U>。反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)的平均值是0.368s-1，λT的平均值接近于0.5是漸進(jìn)穩(wěn)定邊界的極限。

利用λ和平均間距<s>的值得到每個(gè)對(duì)象的值為12.1m/sec，它是常量的一個(gè)估計(jì)值。每個(gè)駕駛員的λ值除以平均間距<s>的值結(jié)果并不同，是因?yàn)槊恳粋€(gè)駕駛員是在稍微不同的狀態(tài)下駕駛的，在圖4.15中說(shuō)明了這點(diǎn)。第五十六頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日表4.1車輛跟馳模型的結(jié)果圖4.15強(qiáng)度系數(shù)和平均車頭間距倒數(shù)的關(guān)系圖

第五十七頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日隧道行車實(shí)驗(yàn)

為了進(jìn)一步建立車輛跟馳模型的有效性并建立評(píng)估，參數(shù)應(yīng)該在交通流特性被很好掌握的真實(shí)的運(yùn)營(yíng)環(huán)境中獲得，于是一系列的實(shí)驗(yàn)在林肯、荷蘭和紐約的QueensMid-Town隧道實(shí)施。在30個(gè)實(shí)驗(yàn)中用到了10不同的駕駛員。

30個(gè)實(shí)驗(yàn)：16個(gè)在林肯隧道，10個(gè)在荷蘭隧道，4個(gè)在QueensMid-Town隧道。最終獲得了線性模型的參數(shù)值，例如：=a0,0和λ。在反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)λ=a0,0和反應(yīng)時(shí)間T的關(guān)系圖（圖4.16）中顯示了在隧道中完成實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。實(shí)線把這兩個(gè)參數(shù)的區(qū)域劃分成漸進(jìn)穩(wěn)定區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域。對(duì)于分別在林肯隧道和荷蘭隧道中完成的實(shí)驗(yàn)，圖4.17和4.18是反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)和平均車頭間距倒數(shù)的關(guān)系圖。兩條直線都是用最小二乘法擬合出來(lái)的，并且都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。斜率都是的估計(jì)分別為29.21km/h

和32.68km/h。

第五十八頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日很有趣注意到：很多駕駛員進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)域，并且有些駕駛員得到了相對(duì)大的反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)和反應(yīng)時(shí)間。反應(yīng)相對(duì)較慢的駕駛員，補(bǔ)償性傾向性易于具有快速操作時(shí)間和用較強(qiáng)的剎車造成較大的減速。從概率統(tǒng)計(jì)上來(lái)看，已經(jīng)確定這樣的駕駛員時(shí)常易于發(fā)生“追尾事件”

圖4.16反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)λ與反應(yīng)時(shí)間T的關(guān)系圖第五十九頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日

圖4.17荷蘭隧道實(shí)驗(yàn)中反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)和平均間距倒數(shù)的關(guān)系圖

圖4.18林肯隧道實(shí)驗(yàn)中反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)和平均間距倒數(shù)的關(guān)系圖第六十頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日公交跟馳實(shí)驗(yàn)

一系列的實(shí)驗(yàn)被實(shí)施，以用來(lái)確定由公交車形成的交通流的變化動(dòng)態(tài)特性，是否顯著不同于汽車形成的交通流。這些實(shí)驗(yàn)用到了一個(gè)4公里測(cè)試追蹤設(shè)備，53位乘客的公共汽車。

實(shí)驗(yàn)中用了22位駕駛員,完成了線性模型(L=0；m=0),車頭間距倒數(shù)模型(L=1；m=0)以及正比于速度的間距平方倒數(shù)模型(L=2；m=1)的時(shí)間依賴相關(guān)分析。得到的結(jié)果類似于隧道分析：幾乎對(duì)于所有的駕駛員和三個(gè)受檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭械娜魏我粋€(gè)模型，都與車頭間距是高度相關(guān)的。

分析時(shí)考慮到間距倒數(shù)的影響，這樣在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的情況就會(huì)提高大約75%，并且這個(gè)模型(L=1；m=0)最適宜這些數(shù)據(jù)，分析的結(jié)果見(jiàn)圖4.19。第六十一頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D4.19一般反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)和反應(yīng)時(shí)間T的關(guān)系圖

一些駕駛員不止參加過(guò)一次測(cè)試，小圓圈代表由10位公交駕駛員參加的實(shí)驗(yàn)。實(shí)線把圖分為漸進(jìn)穩(wěn)定和不穩(wěn)定兩個(gè)區(qū)域。虛線是局部穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)域的邊界。第六十二頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D4.20一般反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)和平均間距倒數(shù)的關(guān)系圖關(guān)系圖中，顯示了由最小二乘法擬合出來(lái)的直線。斜率是間距倒數(shù)對(duì)應(yīng)的一般反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)的一個(gè)估計(jì)值。小圓點(diǎn)和小圓圈是兩種不同實(shí)驗(yàn)方式的數(shù)據(jù)點(diǎn)。第六十三頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D4.21一般反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)和平均速度-平均間距平方倒數(shù)的關(guān)系圖關(guān)系圖中顯示了由最小二乘法擬合出來(lái)的直線。斜率是速度-間距平方倒數(shù)對(duì)應(yīng)的一般反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)的一個(gè)估計(jì)值。小圓點(diǎn)和小圓圈是兩種不同實(shí)驗(yàn)方式的數(shù)據(jù)點(diǎn)。第六十四頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日三車跟馳實(shí)驗(yàn)

跟馳行駛的車輛除了受最近車輛的影響之外，還會(huì)受到次最近車輛的影響。為了確定次最近車輛的影響程度，研究人員專門做了三車跟馳實(shí)驗(yàn)。通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)內(nèi)結(jié)果的分析，認(rèn)為在車輛跟弛行駛過(guò)程中，只有最近車輛對(duì)跟弛車輛有明顯的影響，次最近車輛的影響可以忽略不記。第六十五頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日

OhioState仿真研究

根據(jù)OhioState模擬器完成的一系列實(shí)驗(yàn)，提出了一種相對(duì)簡(jiǎn)單的，用于穩(wěn)態(tài)交通流的車輛跟馳模型。這個(gè)模型通過(guò)記錄相對(duì)速度-間距關(guān)系的方法很容易被理解，其結(jié)果如圖4.22所示：圖4.22相對(duì)速度和間距的關(guān)系圖第六十六頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日

假設(shè)駕駛員在點(diǎn)“1”,意識(shí)到他正以一個(gè)高于前導(dǎo)車輛的速度行駛，并且為了避免負(fù)的相對(duì)速度變得太大或間距變得太小，他決定減速。過(guò)了一段時(shí)間后，在“A”點(diǎn)，駕駛員開(kāi)始減速并使相對(duì)速度減小到零。由于駕駛員有個(gè)初始值，低于這個(gè)值就不能準(zhǔn)確估計(jì)相對(duì)速度，駕駛員繼續(xù)減速直到他意識(shí)到一個(gè)正的相對(duì)速度。在點(diǎn)“2”，駕駛員為了不與前導(dǎo)車輛之間有太大的間距，決定加速。在“B”點(diǎn)執(zhí)行這個(gè)決定直到達(dá)到點(diǎn)“3”，這個(gè)過(guò)程又開(kāi)始重復(fù)。

第六十七頁(yè)，共七十五頁(yè)，2022年，8月28日不對(duì)稱性研究

在先前的討論中，我們都假定駕駛員對(duì)于同一刺激采取相同的速率加速和減速，即加速度的絕對(duì)值相等。但是，這一假設(shè)是不符合實(shí)際的，大多數(shù)車輛的減速性能要比加速性能強(qiáng)，而且在交通比較擁擠時(shí)，跟馳車輛的駕駛員對(duì)前車減速的反應(yīng)強(qiáng)度要比加速的反映強(qiáng)度大一些，這是出于行車安全的考慮。因此，對(duì)應(yīng)于前面車輛的加速或減速刺激，即相對(duì)速度是正還是負(fù)，跟馳車輛的反應(yīng)具有不對(duì)稱性。為了在跟馳模型中反映出這種不對(duì)稱性，可以把跟馳理論的基礎(chǔ)模型改寫成如下形式：