2019年數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課時(shí)分層訓(xùn)練22解三角形應(yīng)用舉例文

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGEPAGE7學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精課時(shí)分層訓(xùn)練（二十二）解三角形應(yīng)用舉例A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)（建議用時(shí)：30分鐘)一、選擇題1．如圖3-7。9所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090119】圖3。7.9A．a(chǎn)km B．eq\r（3)akmC．eq\r（2）akm D．2akmB［在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°，∴AB2＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2，AB＝eq\r（3）A．］2．如圖3.7。10，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()圖3-7。10A．北偏東10°B．北偏西10°C．南偏東80°D．南偏西80°D［由條件及題圖可知,∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°,所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.］3．（2018·重慶模擬)一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是(）A．10eq\r（2）海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r（3）海里 D．20eq\r(2）海里A［如圖所示,易知，在△ABC中,AB＝20海里,∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sin30°）＝eq\f(AB，sin45°),解得BC＝10eq\r(2)（海里）．］4．(2018·贛州模擬）如圖3。7。11所示,為了測(cè)量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測(cè)，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處,觀測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向,則A，B兩處島嶼間的距離為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090120】圖3.7。11A．20eq\r（6）海里 B．40eq\r（6）海里C．20（1＋eq\r(3))海里 D．40海里A［連接AB，由題意可知CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，∴∠CAD＝45°，∠ADB＝60°,在△ACD中，由正弦定理得eq\f（AD，sin30°）＝eq\f(40，sin45°)，∴AD＝20eq\r（2），在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°,∠BCD＝90°,∴BD＝eq\r（2)CD＝40eq\r(2）。在△ABD中，由余弦定理得AB＝eq\r(800＋3200－2×20\r（2）×40\r(2）×cos60°）＝20eq\r（6）。故選A．]5．如圖3.7。12，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m、50m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為（)圖3-7。12A．30° B．45°C．60° D．75°B［依題意可得AD＝20eq\r(10）（m）,AC＝30eq\r(5）（m），又CD＝50(m），所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝eq\f（AC2＋AD2－CD2,2AC·AD）＝eq\f（30\r(5)2＋20\r（10)2－502，2×30\r(5）×20\r（10））＝eq\f(6000,6000\r（2)）＝eq\f（\r（2），2），又0°<∠CAD〈180°,所以∠CAD＝45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°。］二、填空題6．(2018·揚(yáng)州模擬)如圖3。7.13，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)．從A點(diǎn)測(cè)得∠NAM＝60°，∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°;從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA＝60°；已知山高BC＝300米,則山高M(jìn)N＝________米．圖3。7。13450[在Rt△ABC中，∵BC＝300,∠CAB＝45°,∴AC＝300eq\r（2），在△AMC中，∠AMC＝180°－75°－60°＝45°,由正弦定理得：eq\f（AC,sin∠AMC)＝eq\f(AM,sin∠ACM），∴AM＝eq\f(ACsin∠ACM,sin∠AMC)＝eq\f（300\r(2）×\f（\r（3),2)，\f(\r(2)，2））＝300eq\r(3）,∴MN＝AM·sin∠MAN＝300eq\r(3)×eq\f（\r（3),2）＝450。］7．如圖3。7。14，為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°，再由點(diǎn)C沿北偏東15°方向走10米到位置D，測(cè)得∠BDC＝45°,則塔AB的高是________米．圖3。7。1410eq\r（6）[在△BCD中,CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°,eq\f(BC，sin45°）＝eq\f(CD,sin30°），BC＝eq\f(CDsin45°，sin30°）＝10eq\r(2)。在Rt△ABC中，tan60°＝eq\f（AB，BC)，AB＝BCtan60°＝10eq\r(6）(米）．]8．如圖3-7。15所示，一艘海輪從A處出發(fā)，測(cè)得燈塔在海輪的北偏東15°方向,與海輪相距20海里的B處,海輪按北偏西60°的方向航行了30分鐘后到達(dá)C處，又測(cè)得燈塔在海輪的北偏東75°的方向，則海輪的速度為_(kāi)_______海里/分鐘．【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090121】圖3.7-15eq\f（\r（6），3)[由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得eq\f（AC，sinB)＝eq\f(AB，sin∠ACB）,所以AC＝eq\f（AB·sinB，sin∠ACB)＝eq\f（20×sin60°,sin45°)＝10eq\r（6)，所以海輪航行的速度為eq\f(10\r(6），30)＝eq\f(\r(6），3)(海里/分鐘）．]三、解答題9．某航模興趣小組的同學(xué)，為了測(cè)定在湖面上航模航行的速度,采用如下辦法：在岸邊設(shè)置兩個(gè)觀察點(diǎn)A，B,且AB長(zhǎng)為80米,當(dāng)航模在C處時(shí)，測(cè)得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，經(jīng)過(guò)20秒后，航模直線航行到D處，測(cè)得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°.請(qǐng)你根據(jù)以上條件求出航模的速度．（答案可保留根號(hào))圖3-7。16［解]在△ABD中,∵∠BAD＝90°,∠ABD＝45°,∴∠ADB＝45°,∴AD＝AB＝80，∴BD＝80eq\r（2). 3分在△ABC中，eq\f（BC，sin30°）＝eq\f(AB，sin45°），∴BC＝eq\f(ABsin30°,sin45°)＝eq\f(80×\f(1，2）,\f(\r(2)，2))＝40eq\r(2）. 6分在△DBC中，DC2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos60°＝(80eq\r（2)）2＋（40eq\r（2))2－2×80eq\r（2)×40eq\r（2)×eq\f(1，2)＝9600?！郉C＝40eq\r(6），航模的速度v＝eq\f（40\r(6),20）＝2eq\r（6）米/秒. 12分10．如圖3-7.17,漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處,且與島嶼A相距12海里,漁船乙以10海里/小時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)追上．圖3。7.17（1)求漁船甲的速度；（2)求sinα的值．[解]（1)依題意知，∠BAC＝120°，AB＝12,AC＝10×2＝20，∠BCA＝α. 3分在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC＝28.所以漁船甲的速度為eq\f（BC，2)＝14海里/小時(shí). 7分(2)在△ABC中，因?yàn)锳B＝12,∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α,由正弦定理,得eq\f（AB，sinα）＝eq\f(BC，sin120°)， 9分即sinα＝eq\f(ABsin120°，BC）＝eq\f(12×\f(\r（3），2），28）＝eq\f(3\r(3),14)。 12分B組能力提升(建議用時(shí):15分鐘)1．（2018·六安模擬）一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是（)A．50m B．100mC．120m D．150mA[設(shè)水柱高度是hm，水柱底端為C，則在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100,BC＝eq\r(3）h，根據(jù)余弦定理得,(eq\r（3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°,即h2＋50h－5000＝0，即(h－50）(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m．］2．(2014·全國(guó)卷Ⅰ）如圖3.7-18，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)．從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN＝60°,C點(diǎn)的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA＝60°。已知山高BC＝100m，則山高M(jìn)N＝________m。圖3。7-18150［根據(jù)圖示,AC＝100eq\r（2)m。在△MAC中,∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得eq\f(AC，sin45°）＝eq\f（AM,sin60°)?AM＝100eq\r(3）m.在△AMN中，eq\f（MN，AM）＝sin60°,∴MN＝100eq\r（3）×eq\f(\r（3),2)＝150（m)．]3．(2018·大連模擬)如圖3-7.19,一條巡邏船由南向北行駛，在A處測(cè)得山頂P在北偏東15°（∠BAC＝15°)方向上，勻速向北航行20分鐘到達(dá)B處，測(cè)得山頂P位于北偏東60°方向上,此時(shí)測(cè)得山頂P的仰角60°，若山高為2eq\r（3）千米．(1）船的航行速度是每小時(shí)多少千米?（2）若該船繼續(xù)航行10分鐘到達(dá)D處，問(wèn)此時(shí)山頂位于D處的南偏東什么方向？圖3。7。19［解］(1)在△BCP中，tan∠PBC＝eq\f(PC，BC)?BC＝2。在△ABC中，由正弦定理得：eq\f（BC，sin∠BAC)＝eq\f(AB，sin∠BCA)?eq\f（2,sin15°）＝eq\f（AB，sin45°），所以AB＝2（