人教b版選擇性必修第一冊1.2.2第2課時三垂線定理及其逆定理作業(yè)

1.2.2第2課時三垂線定理及其逆定理課時對點練1．正方體的體對角線與各個面上與其不共端點的面對角線的位置關系是()A．異面垂直 B．異面不垂直C．可能相交可能異面 D．可能相交、平行或異面★[答案]A2．點P在平面ABC內的射影是O，且PA，PB，PC兩兩垂直，那么點O是△ABC的()A．內心B．外心C．垂心D．重心★[答案]C★[解析]因為PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，所以PC⊥平面PAB，所以PC⊥AB.又點P在平面ABC內的射影為O，連接CO，則CO是PC在平面ABC內的射影，由三垂線定理的逆定理可知，AB⊥CO，同理可證AO⊥BC，即O是△ABC的垂心．3．已知AB?平面α，AC⊥α，BD⊥AB，BD與平面α成30°角，AB＝m，AC＝BD＝n，則C與D之間的距離是()A.eq\r(m2＋n2) B.eq\r(m2＋3n2)C.eq\r(m2＋n2)或eq\r(m2＋2n2) D.eq\r(m2＋n2)或eq\r(m2＋3n2)★[答案]D4．已知△ABC三邊的長分別為3，4，5，平面ABC外一點P到△ABC三邊的距離都等于2，則P點到平面ABC的距離等于()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．4★[答案]C★[解析]如圖，點P在底面上的垂足為O，PE，PF，PD分別是頂點P到三角形各邊的距離，由三垂線定理的逆定理可知，OE，OF，OD分別是三角形各邊的垂線，因為三條側高相等，所以OE＝OF＝OD，所以O為底面三角形的內心，設半徑為r，則由面積相等得eq\f(1,2)×3×4＝eq\f(1,2)(3＋4＋5)r，所以r＝1，所以點P到平面ABC的距離是eq\r(3).5．在四面體ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，下列說法正確的是()A．A在平面BCD內的投影是△BCD的重心B．A在平面BCD內的投影一定在△BCD的內部C．AD⊥BCD．AD∥BC★[答案]C★[解析]如圖，作AO⊥平面BCD，連接OB，OC，OD，則AO⊥CD，又因為AB⊥CD，由三垂線定理的逆定理可知BO⊥CD，同理CO⊥BD，則O為△BCD的垂心，故A錯；若△BCD為鈍角三角形，則其垂心在三角形的外部，故B錯；所以DO⊥BC，由三垂線定理可知AD⊥BC，故C正確，D錯．6．(多選)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點，則下列結論正確的有()A．直線DD1與直線AF垂直B．直線A1G與平面AEF平行C．點C與點G到平面AEF的距離相等D．平面AEF截正方體所得的截面面積為eq\f(9,8)★[答案]BD★[解析]對于A，取DD1中點M，則AM為AF在平面AA1D1D上的射影，∵AM與DD1不垂直，∴AF與DD1不垂直，故A錯誤；對于B，取B1C1中點N，連接A1N，GN，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1N∥AE，NG∥EF，A1N?平面AEF，AE?平面AEF，所以A1N∥平面AEF，同理可證NG∥平面AEF，A1N∩NG＝N，所以平面A1GN∥平面AEF，A1G?平面A1GN，所以A1G∥平面AEF，故B正確；對于C，假設C與G到平面AEF的距離相等，即平面AEF將CG平分，則平面AEF必過CG的中點，連接CG交EF于H，而H不是CG的中點，則假設不成立，故C錯誤；對于D，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AD1∥EF，把截面AEF補形為四邊形AEFD1，由等腰梯形計算其面積S＝eq\f(9,8)，故D正確．7．正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AD1與對角面BB1D1D所成角的大小是______．★[答案]30°★[解析]取BD的中點H，連接AH，∵正方體ABCD－A1B1C1D1，∴BB1⊥平面AC，∴AH⊥BB1，∴AH⊥BD且BD∩BB1＝B，∴AH⊥平面BD1，∴AH⊥D1H，∴∠AD1H就是直線AD1與平面BD1所成角．設AB＝1，在Rt△AHD1中，則AH＝eq\f(\r(2),2)，AD1＝eq\r(2)，∴sin∠AD1H＝eq\f(AH,AD1)＝eq\f(1,2)，∴∠AD1H＝30°.8．已知PA垂直于△ABC所在的平面，AB＝AC＝13，BC＝10，PA＝5，則P點到BC的距離為________．★[答案]13★[解析]取BC的中點E，連接AE，PE，∵PA⊥平面ABC，∴AE為PE在平面ABC內的射影，又AB＝AC，∴AE⊥BC，由三垂線定理得，PE⊥BC，又AE＝12，PA＝5，∴PE＝13.9．已知H是銳角△ABC的垂心，PH⊥平面ABC，∠BPC＝90°.求證：∠BPA＝90°，∠APC＝90°.證明利用三垂線定理可證BP⊥AC，又BP⊥PC，故PB⊥平面APC，得∠APB＝90°，同理可證∠APC＝90°.10．如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，P為B1C1的中點，A1C1與PD1交于M，B1C與PB交于N.求證：MN⊥A1C1，MN⊥B1C，并求MN的長．證明連接BD1(圖略)，利用eq\f(PM,MD1)＝eq\f(PN,NB)＝eq\f(1,2)，得MN∥BD1，MN＝eq\f(1,3)BD1，得MN＝eq\f(\r(3),3)a.由三垂線定理知，BD1⊥A1C1，BD1⊥B1C，所以MN⊥A1C1，MN⊥B1C.11．PO⊥平面ABC，垂足為O，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，PA＝PB＝PC＝10，則PO的長等于()A．5B．5eq\r(3)C．10D．10eq\r(3)★[答案]B★[解析]在△ABC中，∠ABC＝90°，滿足PA＝PB＝PC＝10，PO⊥平面ABC，O為垂足，所以O是AC的中點，∠BAC＝30°，BC＝5，解得AC＝10，所以OA＝CO＝OB，利用勾股定理得PO＝eq\r(PC2－OC2)＝5eq\r(3).12．如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，E是CD的中點，F(xiàn)是AD上一點，當BF⊥PE時，AF∶FD的值為()A．1∶2 B．1∶1C．3∶1 D．2∶1★[答案]B★[解析]方法一連接AE(圖略)，∵PA⊥平面ABCD，且BF⊥PE，由三垂線定理的逆定理可知，BF⊥AE，∴∠EAD＝∠ABF，∴△ABF≌△DAE，∴AF＝DE，即F為中點，∴AF∶FD＝1∶1.方法二建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方形邊長為1，PA＝a，則B(1，0，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，P(0，0，a)．設點F的坐標為(0，y，0)，則eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－1，y，0)，eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，－a)).∵BF⊥PE，∴eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(PE,\s\up6(→))＝0，解得y＝eq\f(1,2)，即點F的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0)).∴F為AD的中點，∴AF∶FD＝1∶1.13．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝2eq\r(2)，P為C1D1的中點，M為BC的中點．則AM與PM的位置關系為()A．平行B．異面C．垂直D．以上都不對★[答案]C★[解析]取CD的中點P′，連接PP′，AP′，MP′(圖略)，易知PP′⊥平面ABCD，所以MP′為PM在平面ABCD內的射影．由題意得，AM＝eq\r(6)，MP′＝eq\r(3)，AP′＝3，所以AP′2＝AM2＋MP′2，所以AM⊥MP′，由三垂線定理知AM⊥PM.14．空間四邊形ABCD的四條邊及兩條對角線的長均為1，則點A到平面BCD的距離為________．★[答案]eq\f(\r(6),3)★[解析]設點A′是點A在平面BCD上的投影，分別連接A′B，A′C，A′D，因為AB＝AC＝AD，所以它們在平面BCD上的射影A′B，A′C，A′D也都相等，所以點A′是△BCD的中心．因為BC＝1，所以△BCD的高為eq\f(\r(3),2)，所以A′D＝eq\f(\r(3),3)，在Rt△AA′D中，|AA′|＝eq\r(AD2－A′D2)＝eq\f(\r(6),3)，即點A到平面BCD的距離為eq\f(\r(6),3).15．如圖所示，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ABC＝60°，PA＝AB＝2，PA⊥平面ABCD.若PC⊥BD，則AD＝________，該四棱錐的體積為________．★[答案]2eq\f(4\r(3),3)★[解析]∵PA⊥平面ABCD，且BD⊥PC，由三垂線定理的逆定理知，BD⊥AC.又四邊形ABCD為平行四邊形，∴四邊形ABCD為菱形，∴AD＝AB＝2，∴S四邊形ABCD＝2S△ABC＝2eq\r(3)，∴VP－ABCD＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4\r(3),3).16．如圖，四面體ABCD中，O，E分別是BD，BC的中點，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝eq\r(2).(1)求證：AO⊥平面BCD；(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值；(3)求點E到平面ACD的距離．(1)證明連接OC，∵BO＝DO，AB＝AD，∴AO⊥BD.∵BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD.在△AOC中，由題設知AO＝1，CO＝eq\r(3)，AC＝2，∴AO2＋CO2＝AC2，∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC.∵AO⊥BD，BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD.(2)解取AC的中點M，連接OM，ME，OE，由E為BC的中點，知ME∥AB，OE∥DC，∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角，在△OME中，EM＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(2),2)，OE＝eq\f(1,2)DC＝1，∵OM是直角△AOC斜邊AC上的中線，∴OM＝eq\f(1,2)AC＝1，∴cos∠OEM＝eq\f(1＋\f(1,2)－1,2×1×\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(2),4)，∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為eq\f(\r(2),4).(3)解設點E到平面ACD的距離為h.∵VE－ACD＝VA－CDE，∴eq\f(1,3)h·S△ACD＝eq\f(1,3)·AO·S△CDE.在△ACD中，CA＝CD＝2，AD＝eq\r(2)，∴S△ACD＝eq\f(1,2)×