2023年高考數(shù)學(xué)壓軸題-圓錐曲線專題第03講：面積問(wèn)題二（原卷版）

第二講：面積問(wèn)題（二）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】基礎(chǔ)目標(biāo)：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，三角形，四邊形面積的推導(dǎo)過(guò)程；應(yīng)用目標(biāo)：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，并能夠熟練使用求解面積；拓展目標(biāo)：能夠熟練應(yīng)用弦長(zhǎng)和點(diǎn)到直線距離公式，求解圓錐曲線面積定值等問(wèn)題.素養(yǎng)目標(biāo)：通過(guò)數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，培養(yǎng)獨(dú)立思考和邏輯分析能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).【基礎(chǔ)知識(shí)】1、面積范圍首選均值不等式，其實(shí)用二次函數(shù)，最后選導(dǎo)數(shù)均值不等式變式：作用：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)求出這兩個(gè)正數(shù)的和的最小值；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)求出這兩個(gè)正數(shù)的積的最大值注意：應(yīng)用均值不等式求解最值時(shí)，應(yīng)注意“一正二定三相等”2、面積比值通過(guò)兩個(gè)三角形面積的作比，尋找等底或等高情況，將面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為底邊長(zhǎng)度或高度的比值，進(jìn)行坐標(biāo)或向量進(jìn)行求解.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：三角形面積最值例1．已知橢圓與的正半軸交于點(diǎn)，且離心率.(1)求橢圓的方程；(2)若直線過(guò)點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，求面積的最大值并求此時(shí)的直線方程.變式訓(xùn)練1：已知橢圓與拋物線有相同的焦點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求面積的最大值.

例2．已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于另一點(diǎn)．(1)當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，求面積的最大值．變式訓(xùn)練2：已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，左右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)滿足軸，，橢圓C的離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)橢圓C左焦點(diǎn)且不與軸重合的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求內(nèi)切圓半徑的最大值.（參考公式：已知的三邊分別是，且內(nèi)切圓的半徑是，則的面積）.

例3．已知圓：，圓：，一動(dòng)圓與圓和圓同時(shí)內(nèi)切.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，兩互相垂直的直線，相交于點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，交圓于，兩點(diǎn)，求與的面積之和的取值范圍.變式訓(xùn)練3：已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作直線的垂線，線段的中垂線與交于點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求與面積之和的最小值.（為坐標(biāo)原點(diǎn)）

考點(diǎn)二：四邊形面積最值例1．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)為D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)O，D的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)四邊形AMBN面積是否有最大值，若有求最大值，若沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理由.變式訓(xùn)練1：已知定點(diǎn)，圓：，點(diǎn)Q為圓上動(dòng)點(diǎn)，線段MQ的垂直平分線交NQ于點(diǎn)P，記P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)M與N作平行直線和，分別交曲線C于點(diǎn)A，B和點(diǎn)D，E，求四邊形ABDE面積的最大值．

例2．已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于圓的半徑．(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與，直線交于，兩點(diǎn)，直線交于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．變式訓(xùn)練2：已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且.(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線（斜率均存在），分別與拋物線交于?和?四點(diǎn)，求四邊形面積的最小值.

考點(diǎn)三：面積比值（求解）例1．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，．若分別為直線，與軸的交點(diǎn)，記，的面積分別為，，求的值．變式訓(xùn)練1：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，實(shí)軸長(zhǎng)為，且斜率為的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為.(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P，Q為橢圓上異于，的兩點(diǎn)，且以P，Q為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，設(shè)，的面積分別為，，計(jì)算的值.

考點(diǎn)四：已知面積比值（求參）例1．已知點(diǎn)M是橢圓C：上一點(diǎn)，，分別為橢圓C的上、下焦點(diǎn)，，當(dāng)，的面積為5.(1)求橢圓C的方程：(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線和橢圓C交于兩點(diǎn)A，B，是否存在直線，使得與（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積比值為5：7.若存在，求出直線的方程：若不存在，說(shuō)明理由.變式訓(xùn)練1：已知橢圓的焦距為4，點(diǎn)在G上.(1)求橢圓G的方程；(2)過(guò)橢圓G右焦點(diǎn)的直線l與橢圓G交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求直線l的方程.

變式訓(xùn)練2：已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切，且與圓內(nèi)切.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程，并說(shuō)明軌跡是何種曲線；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與直線交于兩點(diǎn)，且滿足的面積是面積的一半，求的面積．考點(diǎn)五：面積比值（證明）例1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)到的距離與到直線的距離相等，記的軌跡為.(1)求的方程；(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，軌跡上兩點(diǎn)、處的切線交于點(diǎn)，在直線上，、分別交軸于、兩點(diǎn)，記和的面積分別為和．試探究：是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是定值，說(shuō)明理由．

變式訓(xùn)練1：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，，是橢圓C的短軸端點(diǎn)，P是橢圓C上異于點(diǎn)，的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足，，求證與的面積之比為定值．變式訓(xùn)練2：已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的右頂點(diǎn)為，離心率為.動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)到的兩焦點(diǎn)的距離之和為.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與軸交于點(diǎn)，的面積分別為，問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

考點(diǎn)六：面積比值（范圍）例1．已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，離心率為，的面積為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與該橢圓交于，兩點(diǎn)，與分別表示和的面積，求的取值范圍．變式訓(xùn)練1：．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，且雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若曲線與在第一象限的交點(diǎn)為，求證：.（3）過(guò)右焦點(diǎn)的直線與雙曲線的右支相交于的，兩點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn).記，的面積分別為，，求的最小值.

變式訓(xùn)練2：設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓上，過(guò)點(diǎn)P作軸的垂線，垂足為Q且.(1)求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡E的方程；(2)直線與圓相切，且直線與曲線E相交于兩不同的點(diǎn)A、B，T為線段AB的中點(diǎn).線段OA、OB分別與圓O交于M、N兩點(diǎn)，記的面積分別為，求的取值范圍.【當(dāng)堂小結(jié)】1、知識(shí)清單：（1）橢圓，雙曲線，拋物線弦長(zhǎng)公式；（2）弦長(zhǎng)最值的基本不等式求解；（3）交點(diǎn)坐標(biāo)的求解和非弦長(zhǎng)的計(jì)算；（4）面積比值轉(zhuǎn)化為底邊或高線的比值；2、易錯(cuò)點(diǎn)：基本不等式的應(yīng)用；3、考查方法：基本不等式，數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；4、核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象.【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn).(1)求的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的取值范圍.2．已知橢圓，過(guò)定點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，其中.(1)若橢圓短軸長(zhǎng)為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求橢圓方程；(2)對(duì)（1）中的橢圓，若，求面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程；

3．如圖所示：已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率．是橢圓的右頂點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)交橢圓于，兩點(diǎn)，記的面積為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求的最大值．4．已知圓，圓，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切.為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若求圓心的軌跡的方程.(2)若直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求面積的最大值，以及取得最大值時(shí)直線的方程.

5．如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)是第一象限內(nèi)橢圓C上的一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線分別交橢圓C于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，的面積為．(1)求橢圓C的方程；(2)分別記和的面積為和，求的最大值．6．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2.(1)求C的方程：(2)過(guò)C上一動(dòng)點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求四邊形PAMB面積的最小值.

7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)以為始邊，為終邊的角時(shí)，.(1)求的方程(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓平行于軸的直線相切于點(diǎn)，線段交于點(diǎn)，求的面積與的面積的比值8．已知橢圓：（）的焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為線段的中點(diǎn)，為原點(diǎn)，所在的直線