指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)教課目的一、知識(shí)與技術(shù)能依據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決相關(guān)函數(shù)單一性、奇偶性的議論問題.注意指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的議論.二、過程與方法經(jīng)過師生之間、學(xué)生與學(xué)生之間的相互溝通，使學(xué)生成為一個(gè)會(huì)與他人共同學(xué)習(xí)的人.經(jīng)過研究比較復(fù)雜函數(shù)與簡(jiǎn)單初等函數(shù)的關(guān)系，培育學(xué)生利用化歸思想解決問題能力.三、感情態(tài)度與價(jià)值觀經(jīng)過議論比較復(fù)雜的函數(shù)的單一性、奇偶性，使學(xué)生感知知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系，感覺數(shù)學(xué)的整體性，感覺并領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)中的化歸思想的巨大作用及其在生活中對(duì)辦理生活雜事的指導(dǎo)作用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在教課過程中，經(jīng)過學(xué)生的相互溝通，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)溝通能力，合作學(xué)習(xí)的能力，同時(shí)培育學(xué)生聆聽、接受他人建議的優(yōu)秀質(zhì)量.教課要點(diǎn)議論含有指數(shù)式的比較復(fù)雜的函數(shù)的單一性和奇偶性.教課難點(diǎn)將議論復(fù)雜函數(shù)的單一性、奇偶性問題轉(zhuǎn)變?yōu)樽h論比較簡(jiǎn)單的函數(shù)的相關(guān)問題.教具準(zhǔn)備多媒體課件、投影儀、打印好的作業(yè).教課過程一、復(fù)習(xí)舊知復(fù)合函數(shù)y=f［g（x）］是由函數(shù)u=g（x）和y=f（u）組成的，函數(shù)u=g（x）的值域應(yīng)是函數(shù)y=f（u）的定義域的子集.在復(fù)合函數(shù)y=f［g（x）］中，x是自變量，u是中間變量.當(dāng)u=g（x）和y=f（u）在給定區(qū)間上增減性同樣時(shí)，復(fù)合函數(shù)y=f［g（x）］是增函數(shù)；增減性相反時(shí)，y=f［g（x）］是減函數(shù).二、創(chuàng)建情形，引入新課師：我們已經(jīng)比較嫻熟地掌握了指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并運(yùn)用這些知識(shí)解決了一些詳細(xì)的問題，我們知道指數(shù)函數(shù)y=ax是非奇非偶x函數(shù)，那么含有指數(shù)式的函數(shù)，如：y=10x1有奇偶性嗎？101三、解說新課例題解說x【例1】當(dāng)a＞1時(shí)，判斷函數(shù)y=ax1是奇函數(shù).a1師：你感覺應(yīng)當(dāng)怎樣去判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性？（生口答，師生共同概括總結(jié)）方法指引：判斷一個(gè)函數(shù)奇偶性的一般方法和步驟是：（1）求出定義域，判判定義域能否對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱.（2）若定義域?qū)τ谠c(diǎn)不對(duì)稱，則該函數(shù)是非奇非偶函數(shù).（3）若所議論的函數(shù)的定義域?qū)τ谠c(diǎn)對(duì)稱，從而議論f（－x）和f（x）之間的關(guān)系.若f（－x）=f（x），則函數(shù)f（x）是定義域上的偶函數(shù)；若f（－x）=－f（x），則函數(shù)f（x）是定義域上的奇函數(shù)；若f（－x）=f（x）且f（－x）=－f（x），則函數(shù)f（x）在定義域上既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).師：請(qǐng)同學(xué)們依據(jù)以上方法和步驟，達(dá)成例題1.（生達(dá)成引起的訓(xùn)練題，經(jīng)過實(shí)物投影儀，溝通各自的解答，并組織學(xué)生評(píng)析，師最后投影顯示規(guī)范的解答過程，規(guī)范學(xué)生的解題）證明：由ax－1≠0，得x≠0，故函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≠0}，易判斷其定義域?qū)τ谠c(diǎn)對(duì)稱.又f（－x）=aa

xx

=(a1(a

x1)ax=1ax=－f（x），xxx1)a1a∴f（－x）=－f（x）.x∴函數(shù)y=a1是奇函數(shù).ax1合作研究：本題是函數(shù)奇偶性的證明，在證明過程中的恒等變形用到推行的實(shí)數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì).請(qǐng)思慮，證明f（－x）=－f（x）的目標(biāo)指向可否更為簡(jiǎn)單？如改證f（－x）±f（x）=0或許f(x)=f(x)±1，以上兩種辦理方式何時(shí)用何種形式能夠使得解題過程更為簡(jiǎn)短?【例2】求函數(shù)y=（1）x22x的單一區(qū)間，并證明之.2師：證明函數(shù)單一區(qū)間的方法是什么?（生口答，師生共同概括總結(jié)）方法指引：（1）在區(qū)間D上任取x1＜x2.（2）作差判斷f（x1）與f（x2）的大?。夯梢蚴降某朔e，從x1＜x2出發(fā)去判斷.（3）下結(jié)論：假如f（x1）＜f（x2），則函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)；假如f（x1）f（x2），則函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù).解：在R上任取x1、x2，且x1＜x2，則y2(1)x222x2=2y(1)x122x112

=（1）x12x122x22x1=（1）(x2x1)(x2x12).22∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.當(dāng)x1、x2∈（－∞，1］時(shí)，x1+x2－2＜0.這時(shí)（x2－x1）（x2+x1－2）＜0，即y2＞1.y1∴y2＞y1，函數(shù)在（－∞，1］上單一遞加.當(dāng)x1、x2∈［1，+∞）時(shí)，x1+x2－2＞0，這時(shí)（x2－x1）（x2+x1－2）＞0，即y2＜1.y1∴y2＜y1，函數(shù)在［1，+∞上單一遞減.綜上，函數(shù)y在（－∞，1］上單一遞加，在［1，+∞）上單一遞減.合作研究：在填空、選擇題頂用上述方法就比較麻煩，所以我們能夠考慮用復(fù)合函數(shù)的單一性來解題.以下例.【例3】求函數(shù)y=3x22x3的單一區(qū)間和值域.師：請(qǐng)同學(xué)們剖析察看所給函數(shù)有什么特色？這些特色會(huì)給你解答該題供給哪些信息？（生議論溝通，師捕獲學(xué)生溝通擁有價(jià)值的信息，實(shí)時(shí)概括，得出以下結(jié)論）結(jié)論：所給函數(shù)分析式右側(cè)是指數(shù)式，指數(shù)式的指數(shù)又是一個(gè)關(guān)于自變量x的二次三項(xiàng)式.師：以上結(jié)論可否為你解決該問題供給一點(diǎn)思路呢？（生溝通，師總結(jié)）由以上結(jié)論想到：若設(shè)u=－x2+2x+3，則y=3u，這樣本來一個(gè)比較復(fù)雜的函數(shù)單一性的議論問題就轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)基本初等函數(shù)的單一性的議論問題.（師生共同達(dá)成解答，師規(guī)范板書）解：由題意可知，函數(shù)y=3x22x3的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)R.設(shè)u=－x2+2x+3（x∈R），則f（u）=3u，故原函數(shù)由u=－x2+2x+3與f（u）=3u復(fù)合而成.∵f（u）=3u在R上是增函數(shù)，而u=－x2+2x+3=－（x－1）2+4在x∈（－∞，1］上是增函數(shù)，在［1，+∞）上是減函數(shù).∴y=f（x）在x∈（－∞，1］上是增函數(shù)，在［1，+∞）上是減函數(shù).又知u≤4，此時(shí)x=1，∴當(dāng)x=1時(shí)，ymax=f（1）=81，而3x22x3＞0，∴函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)椋?，81］.方法指引：在議論比較復(fù)雜的函數(shù)的單一性時(shí)，第一依據(jù)函數(shù)關(guān)系確立函數(shù)的定義域，從而剖析研究函數(shù)分析式的構(gòu)造特色，將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)或多個(gè)簡(jiǎn)單初等函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單一性的議論問題.在該問題中先確立內(nèi)層函數(shù)（u=－x2+2x+3）和外層函數(shù)（y=3u）的單一狀況，再依據(jù)內(nèi)外層函數(shù)的單一性確立復(fù)合函數(shù)的單一性.四、穩(wěn)固練習(xí)x1.已知函數(shù)f（x）=2x1，21（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；（2）求證：函數(shù)f（x）在x∈（－∞，+∞）上是增函數(shù).議論函數(shù)y=32x23x6的單一性，并指出它的單一遞加區(qū)間和單一遞減區(qū)間.答案：1.（1）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，（2）依據(jù)單一性的定義進(jìn)行證明，證明過程略.2.單一遞減區(qū)間為（－∞，3］，單一遞加區(qū)間為［3，+∞）.44五、講堂小結(jié)復(fù)合函數(shù)單一性的議論步驟和方法；復(fù)合函數(shù)奇偶性的議論步驟和方法.六、部署作業(yè)1.已知f（x）=|2x－1|，當(dāng)a＜b＜c時(shí)，有f（a）＞f（c）＞f（b），則以下各式中正確的選項(xiàng)是A.2a＞2cB.2a＞2b－a＜2cD.2a+2c＜2已知函數(shù)f（x）=ax+k的圖象過點(diǎn)（1，3），又其反函數(shù)f－1（x）的圖象過點(diǎn)（2，0），則f（x）=________.3.已知偶函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x≥0時(shí)有f（x）