陜西省西安市雁塔區(qū)陜西師范大附屬中學(xué)2022年數(shù)學(xué)九年級(jí)第一學(xué)期期末檢測試題含解析

2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．已知點(diǎn)P（2a+1，a﹣1）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)在第一象限，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜﹣或a＞1 B．a(chǎn)＜﹣ C．﹣＜a＜1 D．a(chǎn)＞12．如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以邊AB的中點(diǎn)O為圓心，作半圓與AC相切，點(diǎn)P、Q分別是邊BC和半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ，則PQ長的最大值與最小值的和是（）A． B． C． D．3．若α為銳角，且，則α等于（）A． B． C． D．4．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，設(shè)，，下列式子中正確的是（）A． B．；C． D．．5．在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．下列是我國四大銀行的商標(biāo)，其中不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．7．如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)是，是等邊角形，點(diǎn)在第一象限，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值是（）A． B． C． D．8．下列四個(gè)點(diǎn),在反比例函數(shù)y=圖象上的是(

)A．(1,-6) B．(2,4) C．(3,-2) D．(-6,-1)9．如圖，已知是的外接圓，是的直徑，是的弦，，則等于()A． B． C． D．10．在平面直角坐標(biāo)系中，將橫縱坐標(biāo)之積為1的點(diǎn)稱為“好點(diǎn)”，則函數(shù)的圖象上的“好點(diǎn)”共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題(每小題3分,共24分)11．函數(shù)，其中是的反比例函數(shù)，則的值是__________.12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ODEF和四邊形ABCD都是正方形，點(diǎn)F在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在邊DE上，反比例函數(shù)（k≠0，x＞0）的圖象過點(diǎn)B，E，若AB=2，則k的值為________．13．計(jì)算的結(jié)果是_____________．14．如圖,是的直徑,弦交于點(diǎn),，，，則的長為_____．15．已知：，則的值是_______.16．一個(gè)長方體木箱沿坡度坡面下滑，當(dāng)木箱滑至如圖位置時(shí)，AB=3m，已知木箱高BE=m，則木箱端點(diǎn)E距地面AC的高度EF為_____m.17．如果一元二次方程經(jīng)過配方后，得，那么a=________.18．在一個(gè)不透明的盒子中裝有6個(gè)白球，x個(gè)黃球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸到白球的概率為，則x=_______．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，已知二次函數(shù)與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)．（1）寫出兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）二次函數(shù)，頂點(diǎn)為．①直接寫出二次函數(shù)與二次函數(shù)有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；②是否存在實(shí)數(shù)，使為等邊三角形？如存在，請求出的值；如不存在，請說明理由；③若直線與拋物線交于兩點(diǎn)，問線段的長度是否發(fā)生變化？如果不會(huì)，請求出的長度；如果會(huì)，請說明理由．20．（6分）用適當(dāng)方法解下列方程．(1)(2)21．（6分）定義：點(diǎn)P在△ABC的邊上，且與△ABC的頂點(diǎn)不重合．若滿足△PAB、△PBC、△PAC至少有一個(gè)三角形與△ABC相似（但不全等），則稱點(diǎn)P為△ABC的自相似點(diǎn)．如圖①，已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（1，0）、（3，0）、（0，1）．（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），求證點(diǎn)P是△ABC的自相似點(diǎn)；（2）求除點(diǎn)（2，0）外△ABC所有自相似點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖②，過點(diǎn)B作DB⊥BC交直線AC于點(diǎn)D，在直線AC上是否存在點(diǎn)G，使△GBD與△GBC有公共的自相似點(diǎn)？若存在，請舉例說明；若不存在，請說明理由．22．（8分）如圖，矩形ABCD中，AD=5，AB=7，點(diǎn)E為DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)D'落在∠ABC的角平分線上時(shí)，DE的長為____．23．（8分）據(jù)《九章算術(shù)》記載：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈西尺，人立木東三里，望木末適與山峰斜平.人目高七尺.問山高幾何？”大意如下：如圖，今有山位于樹的西面.山高為未知數(shù)，山與樹相距里，樹高丈尺，人站在離樹里的處，觀察到樹梢恰好與山峰處在同一斜線上，人眼離地尺，問山AB的高約為多少丈？(丈尺，結(jié)果精確到個(gè)位)24．（8分）如圖，是的弦，于，交于，若，求的半徑.25．（10分）如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線與△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D．(1)若∠BAC=70°，求∠CBD的度數(shù)；(2)求證：DE=DB．26．（10分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，過點(diǎn)A作AD∥BC，與∠ABC的平分線交于點(diǎn)D，BD與AC交于點(diǎn)E，與⊙O交于點(diǎn)F．(1)求∠DAF的度數(shù)；(2)求證：AE2＝EF?ED；(3)求證：AD是⊙O的切線．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【分析】直接利用關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)均互為相反數(shù)分析得出答案．【詳解】點(diǎn)P（2a+1，a﹣1）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)（﹣2a﹣1，﹣a+1）在第一象限，則，解得：a＜﹣．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的性質(zhì)以及不等式組的解法，正確解不等式是解題關(guān)鍵．2、C【解析】如圖，設(shè)⊙O與AC相切于點(diǎn)E，連接OE，作OP1⊥BC垂足為P1交⊙O于Q1，此時(shí)垂線段OP1最短，P1Q1最小值為OP1﹣OQ1，求出OP1，如圖當(dāng)Q2在AB邊上時(shí)，P2與B重合時(shí)，P2Q2最大值＝5+3＝8，由此不難解決問題．【詳解】如圖，設(shè)⊙O與AC相切于點(diǎn)E，連接OE，作OP1⊥BC垂足為P1，交⊙O于Q1，此時(shí)垂線段OP1最短，P1Q1最小值為OP1﹣OQ1．∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠C＝20°．∵∠OP1B＝20°，∴OP1∥AC．∵AO＝OB，∴P1C＝P1B，∴OP1AC＝4，∴P1Q1最小值為OP1﹣OQ1＝1，如圖，當(dāng)Q2在AB邊上時(shí)，P2與B重合時(shí)，P2Q2經(jīng)過圓心，經(jīng)過圓心的弦最長，P2Q2最大值＝5+3＝8，∴PQ長的最大值與最小值的和是2．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確找到點(diǎn)PQ取得最大值、最小值時(shí)的位置，屬于中考常考題型．3、B【解析】根據(jù)得出α的值．【詳解】解：∵∴α-10°=60°，

即α=70°．

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主．4、C【分析】由平行四邊形性質(zhì)，得，由三角形法則，得到，代入計(jì)算即可得到答案.【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∵，，在△OAB中，有，∴，∴；故選擇：C.【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的知識(shí)以及平行四邊形的性質(zhì)．注意掌握平行四邊形法則與三角形法則的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．5、B【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍即可．【詳解】反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，圖象分別分布在第一、三象限；當(dāng)時(shí)，圖象分別分布在第二、四象限.6、A【分析】根據(jù)軸對稱圖形和的概念和各圖形特點(diǎn)解答即可．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)正確；

B、是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱圖形的特點(diǎn)，判斷軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖象沿對稱軸折疊后可重合．7、D【分析】首先過點(diǎn)B作BC垂直O(jiān)A于C,根據(jù)AO=4，△ABO是等辺三角形，得出B點(diǎn)坐標(biāo)，迸而求出k的值.【詳解】解：過點(diǎn)B作BC垂直O(jiān)A于C，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,0)

，AO=4，

∵△ABO是等邊三角形∴OC=

2，BC=∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2，),把(2，)代入，得:k=xy=故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是利用等邊三角形的性質(zhì)來確定反比例函數(shù)的k值．8、D【解析】由可得xy=6，故選D．9、C【分析】由直徑所對的圓周角是直角，可得∠ADB=90°，可計(jì)算出∠BAD，再由同弧所對的圓周角相等得∠BCD=∠BAD.【詳解】∵是的直徑∴∠ADB=90°∴∠BAD=90°-∠ABD=32°∴∠BCD=∠BAD=32°.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，熟練運(yùn)用該定理將角度進(jìn)行轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵.10、C【分析】分x≥0及x＜0兩種情況，利用“好點(diǎn)”的定義可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】當(dāng)x≥0時(shí)，，即：，

解得：，(不合題意，舍去)，當(dāng)x＜0時(shí)，，即：，

解得：，，∴函數(shù)的圖象上的“好點(diǎn)”共有3個(gè)．

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及解一元二次方程，分x≥0及x＜0兩種情況，找出關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義知m1-5=-1，且m-1≠0，據(jù)此可以求得m的值．【詳解】∵y=（m-1）x

m1?5是y關(guān)于x的反比例函數(shù)，∴m1-5=-1，且m-1≠0，∴（m+1）（m-1）=0，且m-1≠0，∴m+1=0，即m=-1；故答案為：-1．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的定義，重點(diǎn)是將一般式y(tǒng)=（k≠0）轉(zhuǎn)化為y=kx-1（k≠0）的形式．12、【詳解】解：設(shè)E(x,x)，∴B(2,x+2)，∵反比例函數(shù)(k≠0,x>0)的圖象過點(diǎn)B.E.∴x2=2(x+2)，，(舍去)，，故答案為13、1【分析】先分母有理化，然后把二次根式化為最簡二次根式后合并即可．【詳解】解：原式＝2-2＝1．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．14、【分析】作于,連結(jié),由，得，由,，得，進(jìn)而得，根據(jù)勾股定理得，即可得到答案.【詳解】作于,連結(jié),如圖,∵,∴,∵,，∴,∴,∴,∵在中,,∴,∴,∵在中,,，∴,∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理和勾股定理的綜合，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形和弦心距，是解題的關(guān)鍵.15、【分析】根據(jù)已知等式設(shè)a=2k,b=3k,代入式子可求出答案.【詳解】解：由，可設(shè)a=2k，b=3k，(k≠0),故：，故答案：.【點(diǎn)睛】此題主要考查比例的性質(zhì)，a、b都用k表示是解題的關(guān)鍵.16、1【分析】連接AE，在Rt△ABE中求出AE，根據(jù)∠EAB的正切值求出∠EAB的度數(shù)，繼而得到∠EAF的度數(shù)，在Rt△EAF中，解出EF即可得出答案．【詳解】解：連接AE，

在Rt△ABE中，AB=1m，BE=m，則AE==2m，又∵tan∠EAB==，∴∠EAB=10°，

在Rt△AEF中，∠EAF=∠EAB+∠BAC=60°，

∴EF=AE×sin∠EAF=2×=1m，答：木箱端點(diǎn)E距地面AC的高度為1m．

故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了坡度、坡角的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，熟練運(yùn)用三角函數(shù)求線段的長度．17、-6【解析】∵，∴，∴a=-6.18、1【分析】直接以概率求法得出關(guān)于x的等式進(jìn)而得出答案．【詳解】解：由題意得：，解得，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了概率的意義，正確把握概率的求解公式是解題的關(guān)鍵．三、解答題(共66分)19、（1）；（2）①對稱軸都為直線或頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2；都經(jīng)過兩點(diǎn)；②存在實(shí)數(shù)，使為等邊三角形，；③線段的長度不會(huì)發(fā)生變化，值為1．【分析】（1）令，求出解集即可；（2）①根據(jù)二次函數(shù)與有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)求解即可；②根據(jù)，可得到結(jié)果；③根據(jù)已知條件列式，求出定值即可證明．【詳解】解：（1）令，∴，∴，，∵點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，∴；（2）①二次函數(shù)與有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)：（I）對稱軸都為直線或頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2；（II）都經(jīng)過兩點(diǎn)；②存在實(shí)數(shù)，使為等邊三角形．∵，∴頂點(diǎn)，∵，∴，要使為等邊三角形，必滿足，∴；③線段的長度不會(huì)發(fā)生變化．∵直線與拋物線交于兩點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，，∴，∴線段的長度不會(huì)發(fā)生變化．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，結(jié)合一次函數(shù)、等邊三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．20、（1），；（2），【解析】(1),,△=16-4×3×(-1)=28,∴,∴，；(2),,,∴或，∴，21、（1）見解析；（2）△CPA∽△CAB，此時(shí)P（，）；△BPA∽△BAC，此時(shí)P(，)；（3）S（3，-2）是△GBD與△GBC公共的自相似點(diǎn)，見解析【分析】（1）利用：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,證明△APC∽△CAB即可；（2）分類討論：△CPA∽△CAB和△BPA∽△BAC，分別求得P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）先求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，說明點(diǎn)G（5，）、S（3，-2）在直線AC：上，證得△ABC△SGB，再證得△GBS∽△GCB，說明點(diǎn)S是△GBC的自相似點(diǎn)；又證得△DBG△DSB，說明點(diǎn)S是△GBD的自相似點(diǎn)．從而說明S（3，-2）是△GBD與△GBC公共的自相似點(diǎn).【詳解】（1）如圖，∵A（1，0），B（3，0），C（0，1），P（2，0），∴AP=2－1＝1，AC=，AB=3-1=2，∴，，∴=，∵∠PAC=∠CAB，∴△APC∽△CAB，故點(diǎn)P是△ABC的自相似點(diǎn)；（2）點(diǎn)P只能在BC上，①△CPA∽△CAB，如圖，由(1)得：AC，AB，又，∵△CPA∽△CAB，∴，∴，∴，過點(diǎn)P作PD∥y軸交軸于D，∴，，∴，，∴，，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)②△BPA∽△BAC，如圖，由前面獲得的數(shù)據(jù)：AB，，∵△BPA∽△BAC，∴，∴，∴，過點(diǎn)P作PE∥y軸交軸于E，∴，∴，∴，，∴，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)；（3）存在．當(dāng)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（5，）時(shí)，△GBD與△GBC公共的自相似點(diǎn)為S（3，）．理由如下：如圖：設(shè)直線AC的解析式為：，

∴，解得：，∴直線AC的解析式為：，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，

∵∠CBO+∠DBE=90，∠EDB+∠DBE=90，∴∠CBO=∠EDB，∴，∴，設(shè)BE=a，則DE=3a，∴OE=3-a，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3-a，-3a)，∵點(diǎn)D在直線AC上，∴，解得：，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)；如下圖：當(dāng)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（5，）時(shí)，△GBD與△GBC公共的自相似點(diǎn)為S（3，）．直線AC的解析式為：，

∵，，∴點(diǎn)G、點(diǎn)S在直線AC上，過點(diǎn)G作GH⊥x軸于點(diǎn)H，∵，∴，由S（3，）、B（3，0）知BS⊥x軸，∴△AED、△ABS、△AHG為等腰直角三角形，∵D(，)，S，G(，∴，，B，，，，，，，，在△ABC和△SGB中∵，，∴，∵∴∴△ABC△SGB∴∠SBG=∠BCA，又∠SGB=∠BGC，∴△GBS∽△GCB，∴點(diǎn)S是△GBC的自相似點(diǎn)；在△DBG和△DSB中，∵，，∴，且，∴△DBG△DSB；∴點(diǎn)S是△GBD的自相似點(diǎn)．∴S（3，）是△GBD與△GBC公共的自相似點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，涉及的知識(shí)有：平面內(nèi)點(diǎn)的特征、待定系數(shù)法求直線的解析式、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，讀懂題意，理清“自相似點(diǎn)”的概念是解題的關(guān)鍵.22、或．【分析】連接BD′，過D′作MN⊥AB，交AB于點(diǎn)M，CD于點(diǎn)N，作D′P⊥BC交BC于點(diǎn)P，先利用勾股定理求出MD′，再分兩種情況利用勾股定理求出DE．【詳解】解：如圖，連接BD′，過D′作MN⊥AB，交AB于點(diǎn)M，CD于點(diǎn)N，作D′P⊥BC交BC于點(diǎn)P∵點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)D′落在∠ABC的角平分線上，∴MD′=PD′，設(shè)MD′=x，則PD′=BM=x，∴AM=AB-BM=7-x，又折疊圖形可得AD=AD′=5，∴x2+（7-x）2=25，解得x=3或1，即MD′=3或1．在Rt△END′中，設(shè)ED′=a，①當(dāng)MD′=3時(shí)，AM=7-3=1，D′N=5-3=2，EN=1-a，∴a2=22+（1-a）2，解得a=，即DE=，②當(dāng)MD′=1時(shí)，AM=7-1=3，D′N=5-1=1，EN=3-a，∴a2=12+（3-a）2，解得a=，即DE=．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題，解題的關(guān)鍵是明確掌握折疊以后有哪些線段是對應(yīng)相等的．23、由的高約為丈.【分析】由題意得里，尺，尺，里，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，得尺，里，里，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出.【詳解】解：由題意得里，尺，尺，里.如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn).則尺，里，里，，∴△ECH∽△EAG，，丈，丈.答：由的高約為丈.【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用，能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化成相似三角形是解題的關(guān)鍵.24、5.【分析】連接OB，由垂徑定理得BE=CE=4，在中，根據(jù)勾股定理列方程求解.【詳解】解：連接設(shè)的半徑為，則在中，由勾股定理得，即解得的半徑為【點(diǎn)睛】本題考查了圓的垂徑定理，利用勾股定理列方程求解是解答此題的關(guān)鍵.25、（1）35°；（2）證明見解析.【分析】（1）由點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，∠BAC=70°，易得∠CAD=，進(jìn)而得出∠CBD=∠CAD=35°；(2)由點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，可得E點(diǎn)為△ABC角平分線的交點(diǎn)，可得∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD，可推導(dǎo)出∠DBE=∠BED，可得DE=DB.【詳解】（1）∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，∠BAC=70°，∴∠CAD=，∵，∴∠CBD