2022屆中考數(shù)學(xué)壓軸難題及答案

2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1.如圖1,矩形的邊。力在X軸上，邊OC在y軸上，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（6,8）.D是4B邊

上一點(diǎn)（不與點(diǎn)/、2重合），將△88沿直線8翻折，使點(diǎn)8落在點(diǎn)E處.

（1）求直線/C所表示的函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E恰好落在矩形的對(duì)角線/C上時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）如圖3,當(dāng)以。、E、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，求△。口的面積.

；.點(diǎn)、A、C的坐標(biāo)分別為（6,0）、（0,8）,

設(shè)AC的表達(dá)式為y=kx+h,

4

{

直線AC所表示的函數(shù)的表達(dá)式是y=-fx+8：

(2);點(diǎn)4的坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,8),

.??。/=6,OC=8.

；.RtA4OC中，AC=V62+82=10,

?.?四邊形O/8C是矩形，

.?.N8=90°,BC=6,/8=8,

?.?沿CD折疊，

：.ZCED=90°,BD=DE,CE=6,4E=4,

：.ZAED=90°,

設(shè)BD=DE=a,貝IJZD=8-Q,

222

???Rt△彳中，由勾股定理得：AE+DE=ADf

.\42+a2=(8-a)2,解得a=3,

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.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為（6,5）；

(3)過(guò)點(diǎn)E分別作x、y軸的垂線，垂足分別為M、N,

'：ENLOC,EM10A,OCLOA,

：.ZENO=ZNOM=ZOME=90°,

四邊形OMEN是矩形，

：.EM=ON.

①當(dāng)EC=E。時(shí)，

,:EC=EO,NE±OC,

：.ON=9C=4=EM,

11

△OEA的面積=?xCMXEM=Wx6X4=12；

②當(dāng)OE=OC時(shí)，

■:ENIOC,

：.NENC=NENO=90°,

設(shè)ON=b,則CN=8-h,

在RtANEC中,NE2^EC2-CN2,

在Rt^ENO中，NE2=EO2-ON2,

即62-(8-6)2=82-Z>2,

解得：b=竽，

則EM=ON=等

1192AQ

l\OEA的面積=*xO4XEW=*x6x*=*；

69

故△O￡4的面積為12或

4

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2.直線卜=丘+8交x軸于點(diǎn)8,交y軸于點(diǎn)Z,AB=8近.

(1)如圖1,求直線的解析式；

(2)如圖2,C是x軸坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且OC=O8,E是點(diǎn)/上方y(tǒng)軸上一點(diǎn)，CE交直

線Z8于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)P且與8E垂直的直線交x軸于點(diǎn)尸，設(shè)/E=機(jī)，OF=y,求y與加

之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接OP、EF,G是直線48、8尸的交點(diǎn)，H是OP上

一點(diǎn)，連接8"、AH,若N0PC+N4HB=90",PC=BH,求點(diǎn)G的坐標(biāo).

解：(1)直線y=fcr+8交y軸于點(diǎn)兒則點(diǎn)力(0,8),而/8=8位,

故08=J(8女/-82=8,故點(diǎn)8(8,0),

將點(diǎn)8的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=^+8并解得：k=\,

故直線N8的解析式為：y=x+8：

'：OC=OB,OELBC,

：.BE=CE,：.NEBO=NECO,

■:PFLBE,

：.ZPFO+ZEBO=90Q,

:.NPFO+NECO=90°,

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?：/OEC+NECO=90°,

JZPFO=ZOECf

??ZN_Ly軸，

:./E4N=/EOF=90°,

???4N〃工軸，:?/ANP=/PFO,：.ZOEC=ZANPf

?:AO=OB,ZAOB=90°,

：.ZOAB=ZABO=45°,

：.ZPAE=ZOAB=45°,

：.ZPAN=45°,

???/PAE=/PAN,

?：AP=AP,

:■△PAEm/\PAN(4/S),

：.AN=AE,

VZAOM=ZOAN=ZNMO=90Q,

???四邊形/OWN為矩形，

：.OM=AN,MN=OA,

：.OM=AEfVOC=OB=OAf

：?OC=MN,

?：NEOC=NNMF=90°,NPFO=NOEC,

：./\OEC^/\MFN(JJS),

：.MF=OE=m+S,

OM=AE=mf

/.OF=OM+MF=2加+8,

BPy=2m+8；

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)3作尸。延長(zhǎng)線的垂線，垂足為N,過(guò)點(diǎn)。作CM_L。尸于點(diǎn)〃，過(guò)點(diǎn)

。作。KL48于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)尸作軸于點(diǎn)火,

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圖2

"：OB=OC,ZBON=NCOM(AAS),/ONB=NOMC=90°,

Rt/XBHN^RtACPM(HL),

：.ZBHN=ZCPM,PM=HN,

:.PH=MN=2OM,

'：ZAHB+ZOPC^90a,

:.NAHB+NBHN=9G°,

AZAHO=90°,

：.ZAOH+ZOAH=90°,

/COM=NOAH,

"：OA=OC,N4Ho=NOMC=90°,

：./\AOH^^OCMCAAS),

：.AH=OM=*PH,

tan/OPK=^=),

OK1

??_?_—,

PK2

:.PK=20K,

?：OA=OB,OKLAB,

:.AK=BK,

VZAOB=90°,

:.AK=0K=%B=4a,

9：ZPAR=ZOAB=45°,

AZAPR=ZPAR=45°,

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:.PR=AR=^AP=4,

：.OR=OA+AR=l2f

：.P(4,12),

VC(8,0),

???直線PC的表達(dá)式為：y=-3x+24,

當(dāng)x=0時(shí)，y=24,故點(diǎn)E(0,24),

故OE=24,

：.AE=OE-OA=\6,

即加=16,故y=2加+8=40,

故。9=40,故點(diǎn)尸(40,0),

則直線E尸的表達(dá)式為：尸-|x+24,

聯(lián)立尸—1%+24和y=x+8并解得：x=10,y=18,

故點(diǎn)G(10,18).

3.如圖，在RtA4BC中，N4C8=90°,以斜邊上的中線CO為直徑作。O,與BC交

于點(diǎn)與的另一個(gè)交點(diǎn)為E,過(guò)M作垂足為M

(1)求證：A/N是。。的切線；

：OC=OM,

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：.N0CM=40MC,

在RtZi4BC中，CD是斜邊48上的中線,

：.CD=%B=BD,

:.NDCB=/DBC,

：.ZOMC=ZDBC,

J.OM//BD,

■:MNLBD,

J.OMLMN,

過(guò)O,

.?.MN是。。的切線；

(2)解：連接

是。。的直徑,

：.NCED=90°,ZDMC=90°,

即。M_L8C,CEVAB,

由（1）知：BD=CD=5,

為8c的中點(diǎn)，

3

Vsin^=

4

，cosB=引

在VA^\BMD中，BM=BD?cosB=4,

:?BC=2BM=8,

Q9

在RtLCEB中，BE=BC?CGSB=首，

327

：?ED=BE-BD=學(xué)-5=g

4.已知NM/W的兩邊分別與。。相切于點(diǎn)4B,OO的半徑為八

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(1)如圖1,點(diǎn)C在點(diǎn)48之間的優(yōu)弧上，NMPN=80°,求N4C8的度數(shù)；

(2)如圖2,點(diǎn)C在圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PC最大時(shí)，要使四邊形NP8C為菱形，/NP8的度

數(shù)應(yīng)為多少？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若PC交OO于點(diǎn)D,求第(2)問(wèn)中對(duì)應(yīng)的陰影部分的周長(zhǎng)(用含，的式子表示).

【解答】解：(1)如圖1,連接04,0B,

圖1

'：PA,9為的切線，

:.NR!O=NPBO=90°,

VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB=360°,

AZAPB+AAOB=\^°,

.?.408=100°,

AZJCB=50°；

(2)如圖2,當(dāng)//尸8=60°時(shí)，四邊形/P8C是菱形,

連接。4,OB,

囹2

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由(1)可知I,AAOB+ZAPB=\^°,

VZAPB=60°,

408=120°,

：.ZACB=60°=NAPB,

???點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到PC距離最大，

...PC經(jīng)過(guò)圓心，

,：PA,尸8為。。的切線，

：.PA=PB,NAPC=NBPC=3Q°,

又,：PC=PC,

：./\APC^/\BPC(SAS),

...N/CP=/8CP=30°,AC=BC,

：.ZAPC=ZACP=30°,

：.AP=AC,

：.4P=AC=PB=BC,

.??四邊形/P8C是菱形；

(3):。。的半徑為r,

：.OA=r,OP=2r,

：.AP=V3r,PD=r,

：N/OP=90°-4PO=60°,

...冠的長(zhǎng)度=6腎?=^r,

.?.陰影部分的周長(zhǎng)=以+尸。+筋=遍什廠+*=(V3+1+J)r.

5.如圖，以為OO的切線，P8c為。。的割線，ADLOP干點(diǎn)、D,AWC的外接圓與8c

的另一個(gè)交點(diǎn)為E.證明：ZBAE=ZACB.

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【解答】證明：連接ON,OB,OC,BD.

"JOALAP,ADIOP,

二由射影定理可得：PA1=PD*PO,AD2=PD-OD.—（5^-）

又由切割線定理可得PA2=PB'PC,

：.PB'PC=PD'PO,

:.D、B、C、。四點(diǎn)共圓，…（點(diǎn)分）

NPDB=乙PCO=NOBC=NODC,NPBD=ZCOD,

：.^PBD^^COD,

PDBD

.?.布=而，…（15分）

8。?CZ）=尸。?0。=”。2,

.BDAD

"~AD='CD'

又/BDA=/BDP+9G°=NOOC+90°=ZADC,

:.△BDAs^ADC,

:.NBAD=NACD,

.,.AB是的外接圓的切線，

:.NBAE=NACB.

6.如圖，點(diǎn)/為y軸正半軸上一點(diǎn),48兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)”任作直線交拋物線y=|/

于P,。兩點(diǎn).

(1)求證：NABP=NABQ；

(2)若點(diǎn)/的坐標(biāo)為(0,1),且/尸8。=60°,試求所有滿足條件的直線P。的函數(shù)

解析式.

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【解答】（1）證明：如圖，分別過(guò)點(diǎn)P,。作y軸的垂線，垂足分別為C,D.

設(shè)點(diǎn)”的坐標(biāo)為（（），，），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,-t）.

設(shè)直線P。的函數(shù)解析式為了=履丑，并設(shè)尸，。的坐標(biāo)分別為（XP,yP）,（XQ,yS）.由

'y=kx+t

y=jx2

27

得Q%，—kx—t=0,

=3tf2

于是久p%Q~2即亡=-JXPXQ.

BCyp+t|%p2+t|%p2一|%p%Q|%p（Xp-XQ）Xp

于是右=~~=2~；-=2~7-2----=2-：-----7=--

HDYQ+C-%QZ+t2XQZ~XpXQ§XQ（XQ-Xp