重慶市高級(jí)數(shù)學(xué)理科第三次學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研測(cè)試卷

重慶市高級(jí)數(shù)學(xué)理科第三次學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研測(cè)試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘。參照公式：假如事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）假如事件A、B互相獨(dú)立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）假如事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰巧發(fā)生kkk次的概率P（nk）=CnP（1-P）n－k球的表面積公式S=4πR2此中R表示球的半徑球的體積公式V=4πR3此中R表示球的半徑3第Ⅰ卷（選擇題，共50分）一、選擇題（本大題共10小題，每題5分，共50分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)切合題目要求的。）1．函數(shù)fxlg22x3的定義域是會(huì)合M，函數(shù)gxx1的定義域是會(huì)合P，則PMxA,11,B,31,C3,D1,2．在△ABC中，a、b、cbc3bca，則∠A等于分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，且222A60°B30°C120°D150°3．等差數(shù)列{an}的公差d不為零，Sn是其前n項(xiàng)和，則以下四個(gè)命題中的假命題是（）A．若d<0，且S3=S8，則{Sn}中，S5和S6都是{Sn}中的最大項(xiàng)B．給定n，對(duì)于必定kN*(kn)，都有ankank2anC．若d>0，則{Sn}中必定有最小的項(xiàng)D．存在kN*，使akak1和akak1同號(hào)4．如圖，P為△AOB所在平面上一點(diǎn)，向量OAa,OBb，且P在線段AB的垂直均分線上，向量OPc。若|a|=3，|b|=2，則c·（a－b）的值為（）A．5B．3C．5D．3225．如圖，已知A，B，C是表面積為48的球面上三點(diǎn)，AB=2，BC=4，ABC3，O為球心，則二面角O-AB-C的大小為ABC3Darccos334arccos33111OCABx06．已知點(diǎn)M（a，b）在由不等式組y0確立的平面地區(qū)內(nèi)，則點(diǎn)N(ab,ab)所在平面地區(qū)xy2的面積是（）A．8B．4C．2D．17．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)峙的兩個(gè)事件是（）A．“起碼有1個(gè)白球”與“都是白球”B．“起碼有1個(gè)白球”與“起碼有1個(gè)紅球”C．“恰有1個(gè)白球”與“恰有2個(gè)白球”D．“起碼有1個(gè)白球”與“都是紅球”8．若x，y{x|xa0a110a2100}，此中ai{1,2,3,4,5,6,7}(i0,1,2)，且xy636，則實(shí)數(shù)（x，y）表示坐標(biāo)平面上不一樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．50B．70C．90D．1209．已知直線yk(x3)(kR)與雙曲線x2y21.某學(xué)生作了以下變形：由m27yk(x3)x2y2消去y后獲得形如Ax2BxC0的方程，當(dāng)A=0時(shí)，該方程有一解；當(dāng)A≠0時(shí)，m271B24AC恒成立.假定學(xué)生的演算過程是正確的，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A．[9,)B．(0,9]C．(0,3]D．[3,)10．對(duì)于函數(shù)f(x)x1，設(shè)f2(x)f[f(x)],f3(x)f[f2(x)],,fn1(x)f[fn(x)]x1(nN*,且n2)，令會(huì)合M{x|f2007(x)x,xR}，則會(huì)合M為（）A．空集B．實(shí)數(shù)集C．單元素集D．二元素集第Ⅱ卷（非選擇題，共100分）二、填空題（本大題共6小題，每題4分，共24分。把答案填在答題卡的相應(yīng)地點(diǎn)上。）11．若(x1)6的睜開式中的第五項(xiàng)是15,設(shè)Snx1x2x3...xn(nN*)，則x2limSn=.n212．已知i是虛數(shù)單位，且函數(shù)(1i)2i(x0)在R上連續(xù)，則實(shí)數(shù)a等于f(x)2cosx(xa0)13．過橢圓的左焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若|AF|2|FB|，則橢圓的離心率e=。14．將棱長為3的正四周體以各極點(diǎn)截去四個(gè)棱長為1的小正四周體（使截面平行于底面），所得幾何體的表面積為。15．已知函數(shù)f(x)x3bx2cxd(b,c,d為常數(shù)），當(dāng)k(,0)(4,)時(shí)，f(x)k0只有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)k∈（0，4）時(shí)，f(x)k0只有3個(gè)相異實(shí)根，現(xiàn)給出以下4個(gè)命題：①f(x)4和f'(x)0有一個(gè)同樣的實(shí)根；②f()0和f'()0；有一個(gè)同樣的實(shí)根；xx③f(x)30的任一實(shí)根大于f(x)10的任一實(shí)根；④f(x)50的任一實(shí)根小于f(x)20的任一實(shí)根.此中正確命題的序號(hào)是。16．已知會(huì)合A=x,yxy2,x,yR，B=x,yxya,x,yR，若AB中的元素所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)恰巧是一個(gè)正八邊形的極點(diǎn)，則正數(shù)a的值▲三、解答題（本大題共6小題，共76分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）17．（本小題滿分13分）已知函數(shù)f(x)lg[3(31)tanxtan2x].（1）求函數(shù)f(x)的定義域；（2）若是兩個(gè)膜長為2的向量a，b的夾角，且不等式f(x)lg(1sin)對(duì)于定義域內(nèi)的隨意實(shí)數(shù)x恒成立，求|a+b|的取值范圍.18．（本小題滿分13分）一個(gè)口袋中裝有大小同樣的2個(gè)白球和4個(gè)黑球。1）采納放回抽樣方式，從中摸出兩個(gè)球，求兩球恰巧顏色不一樣的概率；2）采納不放回抽樣方式，從中摸出兩個(gè)球，求摸得白球的個(gè)數(shù)的希望和方差.319．（本小題滿分13分）已知數(shù)列an知足a11，anan1(n2,nN)．41nan12（Ⅰ）試判斷數(shù)列11n能否為等比數(shù)列，并說明原因；an（Ⅱ）設(shè)bn1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn；2an（Ⅲ）設(shè)cnansin(2n1)，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn．求證：對(duì)隨意的nN，Tn4．2720．（本小題滿分13分）在三棱錐P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB=BC=2，∠ABC=90°，M為棱PC的中點(diǎn)。（1）求證：點(diǎn)P，A，B，C四點(diǎn)在同一球面上；2）求二面角A—MB—C的大??；3）求過P、A、B、C四點(diǎn)的球面中，A、B兩點(diǎn)的球面距離。21．（本小題滿分12分）如圖，以A1，A2為焦點(diǎn)的雙曲線E與半徑為c的圓O訂交于C，D，C1，D1，連結(jié)CC1與OB交于點(diǎn)H，且有：OH(323)HB。此中A1，A2，B是圓O與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，c為雙曲線的半焦距。（1）當(dāng)c=1時(shí)，求雙曲線E的方程；2）試證：對(duì)隨意正實(shí)數(shù)c，雙曲線E的離心率為常數(shù)。3）連結(jié)A1C與雙曲線E交于F，能否存在實(shí)數(shù),使A1FFC恒成立，若存在，試求出的值；若不存在，請(qǐng)說明原因.422．（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)1ax3bx2cx(abc),其圖象在點(diǎn)A(1,f(1),B(m,f(m))處的切線的斜率分別3為0，－a.（1）求證：0b1；（2）若函數(shù)f（x）的遞加區(qū)間為[s，t]，求|s－t|的取a值范圍.（3）若當(dāng)x≥k時(shí)，（k是a，b，c沒關(guān)的常數(shù)），恒有f'(x)a0，試求k的最小值.5[參照答案]一、選擇題1．A2．C3．D4．D5．D6．B7．C8．C9．B10．A提示：2．利用三角函數(shù)可知coscos。應(yīng)選C.3．對(duì)于AS8S3a4a5a6a7a85a60S5S6又d0,S5S6為最大，故A正確.對(duì)于C，∵d＞0，∴點(diǎn)（n，S）散布在張口向上的拋物線.故{S}中必定有最小的項(xiàng)，故C正確.nna0amnmab26．由題意得：b0設(shè),得mnab2nabb2mn02mn0mn所以線性拘束條件轉(zhuǎn)變?yōu)椋?,即mn02m2mnmn222如圖求得暗影部分的面積為：S=47．對(duì)于A，B，兩事件不是互斥事件，對(duì)于D，兩事件既是互斥的，也是對(duì)峙的，應(yīng)選C.8．∵x，y均為三位數(shù)，且x+y=636，將和分為兩類，一類是沒有進(jìn)位的，如123+513，一類是有進(jìn)位的，如163+473；沒有進(jìn)位時(shí)，因?yàn)?=1+5=2+4=3+3，3=1+2∴（x，y）共有5×2×5=50個(gè)；有進(jìn)位時(shí)，個(gè)位不行能進(jìn)位，只好十位進(jìn)百位，故十位只好為7和6，從而百位只好為1和4與2和3，∴（x，y）共有4×2×5=40個(gè)，故總合有50+40=90個(gè)不一樣點(diǎn).9．由已知可推得直線與雙曲線恒有公共點(diǎn)，而直線過定點(diǎn)（3，0）m30m910．f(x)12f2(x)12x111xf(x)11,f3(x)x1xx1xf4(x)x,f5(x)f(x).....,故fn(x)是以4為周期.f2007(x)f3(x)1xxx210(xR),則r2∴會(huì)合M為空集.1x二、填空題11．112．413．214．7315．①②④3提示：63115151211．T5422(4x2,故limSn1C6(x))x21xn10時(shí)()(2)2lim()(0)2.212．xfxiix0fxf又limf(x)lim(a2cosx)a2,a22a4x0x013．如圖，由橢圓的第二定義得r1r22r2e,則d12r2，d1d2d1ed2r2,兩式相減得r2d1d2,注意到直線AB的傾斜角為60°eed1d21|AB|1(r1r2)3r2.r23r2,故e2e2222314．原正四周體的表面積為49393，每截去一個(gè)小正四周體，4表面減少三個(gè)小正三角形，增添一個(gè)正三角形，故表面積減少4323，故所得幾何體的表面積為73.2415．由k＜0或k＞4時(shí)，f(x)k0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根可知，在k＜0或k＞4時(shí)，函數(shù)y=f（x）與y=k的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；0＜k＜4時(shí)，函數(shù)y=f（x）與y=k的圖象有三個(gè)交點(diǎn)；故函數(shù)的極值點(diǎn)有兩個(gè)，極值分別為0和4，函數(shù)大概圖象以下圖，由圖知f'(x)0有兩根x1，x2，且f(x1)4及f(x2)0,f'(x1)0及f'(x2)0所以x1是f(x)4和f'(x)0的根，x2是f(x)0和f'(x)0的根，所以①，②對(duì)；將y=f（x）的圖象向下平移1個(gè)單位得y=f（x）－1的圖象，向上平移3個(gè)單位得y=f（x）+3的圖象，由圖象知③錯(cuò)；將y=f（x）的圖象向上平移5個(gè)單位得y=f（x）+5的圖象，將y=f（x）的圖象向下平移2個(gè)單位得y=f（x）－2的圖象，由圖象知④對(duì).16．222三、解答題17．（1）若原函數(shù)存心義，則3(31)tanxtan2x0,解之得3tanx1故kxk(kZ),故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?k,k)(kZ)34347（2）因?yàn)閤(k,k)(kZ時(shí)，03(31)tanxtan2x13342故函數(shù)f（x）的最大值為lg(13).()lg(1sin)恒成立，只要2lg(1sin)lg(13).故sin3,[,3],1cos1223322故|ab|2|a|2|b|22|a||b|cos44222cos8cos故|ab|2的取值范圍是[4，12]，|ab|的取值范圍是[2，23]18．解法一“有放回摸兩次，顏色不一樣”指“先白再黑”或“先黑再白”，記“有放回摸球兩次，兩球恰巧顏色不一樣”為事件A，∵“兩球恰巧顏色不一樣”共2×4+4×2=16種可能，P(A)16466921解法二“有放回摸取”可看作獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)∵每次摸出一球得白球的概率為P634∴“有放回摸兩次，顏色不一樣”的概率為P2(1)C21(1p)9（2）設(shè)摸得白球的個(gè)數(shù)為，依題意得P(0)432,P(1)42248;P(2)2116556565156515E0118212,D(02)22(12)28(22)2116215153353153154519．解：（Ⅰ）1(1)n2，1(1)n(2)[1(1)n1]，3分anan1anan1又1(1)3，數(shù)列11n是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列．5分a1an（Ⅱ）依（Ⅰ）的結(jié)論有1(1)n3(2)n1，即an(1)n1.6分an32n11bn(32n11)294n162n11．Sn91(14n)61(12n)n62nn9．9分1412n34（Ⅲ）sin(2n1)(1)n1，28cn(1)n11．10分3(2)n1(1)n32n11當(dāng)n3時(shí)，則Tn111131321322132n111111111121[1(21)n2]4732232332n128121111[1(1)n2]11147484．286228684847T1T2T3，對(duì)隨意的nN，Tn413分．720．（1）證明：由已知條件Rt△PAC中PM=MC，則MP=MC=MAPA平面ABCAB是PB在平面ABC上的射影，PBBCABBC則MC=MB=MP，所以MP=MC=MA=MB，即P，A，B，C四點(diǎn)都在以M為球心，半徑為PM的球面上，（2）以AC為y軸，AP為z軸成立以下圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz，則B（2,2,0),M(0,2,1),C(0,22,0)設(shè)平面AMB的法向量為n(x,y,1),AM(0,2,1),AB(2,2,0)nAM0x2222,1),所以n(由得,nAB0y2222同理設(shè)平面BMC的法向量為m(a,b,1),則mBC0(2,2,1)解得mmCM022所以cosmn1.故二面角A—MB—C的大小為120°.|m||n|2（3）∵過P，A，B，C四點(diǎn)的球面的球心為M，半徑為MCPC3,Ab22在MAB中，cosAMB33341,AMBarccos1.223331故A、B兩點(diǎn)的球面距離為3arccos.321．（1）由c=1知B（0，1），∵OH3233(323)HB，∴xH0,yH23249即H(0,3),點(diǎn)C在單位圓上，∴C(1,3)222設(shè)雙曲線E的方程為x2y20,b0).a21(ab2a2b21,a213由點(diǎn)C的雙曲線E上，半焦距c=1有：13解得24a24b21,b232所以雙曲線E的方程為：x2y21.33122（2）證明：∵A1（－c，0），B（0，c），由OH(323)HB得:H(0,3c),C(1c,3c),222a2b2c2①x2y2設(shè)雙曲線E的方程為1(a0,b0),∴3ca2b2c221②4a24b2①代入②，化簡整理得346a2b2b40,(b)46(b)230aaa解得(b)2323.又e2c21(b)2423.aa2a∴e42331c沒關(guān)的常數(shù)。，即雙曲線E的離心離是與（3）假定存在實(shí)數(shù),使A1FFC恒成立，A1(c,0),C(c,3c)22cc3c(2)3c22點(diǎn)F(,點(diǎn)C，F(xiàn)都在雙曲線E上，故有有xF,yF112(1,2(1))c23c21③4a24b23c2c2e243c22由③得e24⑤c2(2)2b2b23224b22④4a(1)(1)⑤代入④得e2(2)2(e24)2)21,化簡整理得e2e2214(1)24(1即e