新教材人教a版選擇性必修第二冊5.3.1函數(shù)的單調(diào)性課件

第五章一元函數(shù)的導數(shù)及其應(yīng)用導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用5．函數(shù)的單調(diào)性[課程目標]1.結(jié)合實例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導

數(shù)的關(guān)系.2.能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.3.對于多項式函數(shù)，能求不超過三次的多項式函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間．1．函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)正負的關(guān)系在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f′(x)>0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間上單調(diào)________；如果f′(x)＜0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間上單調(diào)_________；如果恒有f′(x)＝0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間上是____________．遞增遞減常數(shù)函數(shù)[研讀]對函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)正負的關(guān)系的兩點說明：(1)若在某區(qū)間上有有限個點使f′(x)＝0，在其余的點恒有f′(x)>0，則f(x)仍單調(diào)遞增(單調(diào)遞減的情形完全類似).(2)f(x)單調(diào)遞增的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)不恒為0.2．函數(shù)圖象的變化趨勢與導數(shù)值大小的關(guān)系一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導數(shù)的絕對值較大，那么這個函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得________，其圖象比較_________(向上或向下).即|f′(x)|越大，則函數(shù)f(x)的切線的斜率越大，函數(shù)f(x)的變化率就越大；反之，函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得較慢，函數(shù)的圖象就比較平緩．較快陡峭

判斷正誤(請在括號中打“√”或“×”).(1)函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)>0，則函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)

遞增．(

)(2)函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則一定有f′(x)>0.(

)(3)函數(shù)在某個區(qū)間上變化越快，函數(shù)在這個區(qū)間上導數(shù)的絕對

值越大．(

)××√(1)已知f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，那么f(x)的圖象最有可能是圖中的(

)D(2)已知函數(shù)f(x)與其導函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則滿

足f′(x)<f(x)的x的取值范圍為(

)D[規(guī)律方法]函數(shù)圖象的單調(diào)性可以通過導數(shù)的正負來分析判斷，即符號為正，圖象上升；符號為負，圖象下降．看導函數(shù)圖象時，主要是看圖象在x軸上方還是下方，即關(guān)心導數(shù)值的正負，而不是其單調(diào)性．解決問題時，一定要分清是函數(shù)圖象還是其導函數(shù)圖象．(1)在同一坐標系中作出三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及

其導函數(shù)的圖象，下列一定不正確的序號是(

)A．①②B．①③C．③④D．①④C(2)已知函數(shù)f(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數(shù)y＝f′(x)的圖象如下圖所示，則f(x)的圖象是(

)A【解析】(1)當f′(x)>0時，y＝f(x)是遞增的；當f′(x)<0時，y＝f(x)是遞減的．故①②中函數(shù)圖象的增減趨勢與導函數(shù)的正負區(qū)間是吻合的；而③中導函數(shù)為負的區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)不遞減，故錯誤；④中導函數(shù)為負的區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)不遞減，故錯誤．(2)由函數(shù)f′(x)的圖象可知在(－2，－1)上，f′(x)>0，f′(x)逐漸變大，故函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，增加速度越來越快；在(－1，0)上，f′(x)>0，f′(x)逐漸變小，故函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，增加速度越來越慢；在(0，1)上，f′(x)<0，f′(x)逐漸變小，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，遞減速度越來越快；在(1，2)上，f′(x)<0，f′(x)逐漸變大，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，遞減速度越來越慢．故選A.

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)＝x2－lnx；[規(guī)律方法](1)利用導數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：①確定函數(shù)f(x)的定義域；②求導數(shù)f′(x)；③在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；④根據(jù)③的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．(2)如果一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個，那么這些單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接，而只能用“逗號”或“和”字隔開．2．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的圖象過點P(1，2)，且在點P處的切線斜率為8.(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．

討論函數(shù)f(x)＝ax2＋x－(a＋1)lnx(a≥0)的單調(diào)性．[規(guī)律方法](1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影

響進行分類討論；(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)的定義域內(nèi)討論，還要確

定導數(shù)為0的點和函數(shù)的間斷點．解：方法一：直接法．f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.當a－1≤1，即a≤2時，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，不合題意．當a－1>1，即a>2時，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(1，a－1)上單調(diào)遞減，由題意知(1，4)?(1，a－1)且(6，＋∞)?(a－1，＋∞)，所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7，故實數(shù)a的取值范圍為[5，7].方法三：轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題．f′(x)＝x2－ax＋a－1.因為f(x)在(1，4)內(nèi)單調(diào)遞減，所以f′(x)≤0在(1，4)上恒成立，即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因為2<x＋1<5，所以當a≥5時，f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．又因為f(x)在(6，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1.因為x＋1>7，所以a≤7時，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．綜上知5≤a≤7，故實數(shù)a的取值范圍為[5，7].[規(guī)律方法]1．利用導數(shù)法解決取值范圍問題的兩個基本思路(1)將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗參數(shù)取“＝”時是否滿足題意．(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出參數(shù)的取值范圍后，再驗證參數(shù)取“＝”時f(x)是否滿足題意．2．恒成立問題的重要思路(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max；(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.[－1，1]1．函數(shù)f(x)＝x＋2lnx(

)A2．已知f(x)在R上是可導函數(shù)，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f′(x)>0的解集為(

)A．(－2，0)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－2，－1)∪(1，2)【解析】因為f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間(－∞，－1)和(1，＋∞)上f′(x)>0.C3．函數(shù)f(x)＝3＋xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是(

)BC5．若函數(shù)f(x