彈性力學(xué)-第四章 本構(gòu)關(guān)系

彈性力學(xué)整理ppt第四章本構(gòu)關(guān)系§4-1本構(gòu)關(guān)系概念

§4-2廣義胡克定律§4-3應(yīng)變能和應(yīng)變余能整理ppt

在以前章節(jié)我們從靜力學(xué)和幾何學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)，得到了連續(xù)介質(zhì)所共同滿足的一些方程。顯然，僅用這些方程還不足以解決變形固體的平衡問題，因?yàn)樵谕茖?dǎo)這些方程時(shí)，并沒有考慮應(yīng)力和應(yīng)變的內(nèi)在聯(lián)系，而實(shí)際上他們是相輔相成的，對每種材料，他們之間都有完全確定的關(guān)系，這種關(guān)系反映了材料所固有的物理特性。本章就是要建立在彈性階段的應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系——本構(gòu)關(guān)系?！?-1本構(gòu)關(guān)系概念整理pptChapter5.1單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的胡克定律是

式中E稱為彈性模量。對于一種材料在一定溫度下，E是常數(shù)。

楊氏模量§4-1本構(gòu)關(guān)系概念整理pptChapter5.1在單向拉伸時(shí)，在垂直于力作用線的方向發(fā)生收縮。在彈性極限內(nèi)，橫向相對縮短和縱向相對伸長成正比，因縮短與伸長的符號(hào)相反，有：其中是彈性常數(shù)，稱為泊松比。

泊松比§4-1本構(gòu)關(guān)系概念整理pptChapter5.1先考慮在各正應(yīng)力作用下沿x軸的相對伸長，它由三部分組成，即

線彈性疊加原理§4-1本構(gòu)關(guān)系概念整理pptChapter5.1其中是由于x的作用所產(chǎn)生的相對伸長是由于y的作用所產(chǎn)生的相對縮短是由于z的作用所產(chǎn)生的相對縮短§4-1本構(gòu)關(guān)系概念整理pptChapter5.1將上述三個(gè)應(yīng)變相加，即得在x、y、z同時(shí)作用下在x軸方向的應(yīng)變同理可得到在y軸和z軸方向的應(yīng)變§4-1本構(gòu)關(guān)系概念整理pptChapter5.1根據(jù)實(shí)驗(yàn)可知，xy只引起xy坐標(biāo)面內(nèi)的剪應(yīng)變xy，而不引起xz、yz，于是可得同理§4-1本構(gòu)關(guān)系概念整理pptChapter5.1于是，得到各向同性材料的應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系：§4-1本構(gòu)關(guān)系概念整理pptChapter5.1楊氏模量，泊松比和剪切模量之間的關(guān)系為將彈性本構(gòu)關(guān)系寫成指標(biāo)形式為§4-1本構(gòu)關(guān)系概念整理pptChapter5.1§4-1本構(gòu)關(guān)系概念整理pptChapter5.1如用應(yīng)變第一不變量代替三個(gè)正應(yīng)變之和，用應(yīng)力第一不變量表示三個(gè)正應(yīng)力之和，則其中稱為體積模量?！?-1本構(gòu)關(guān)系概念整理pptChapter5.1∵∴令則§4-1本構(gòu)關(guān)系概念整理pptChapter5.1彈性關(guān)系的常規(guī)形式為其中G和稱為拉梅常數(shù)。§4-1本構(gòu)關(guān)系概念整理pptChapter5.1將應(yīng)力和應(yīng)變張量分解成球量和偏量，得由于偏量和球量相互獨(dú)立，所以有§4-1本構(gòu)關(guān)系概念整理pptChapter5.1第一式說明彈性體的體積變化是由平均應(yīng)力0引起的，相應(yīng)的彈性常數(shù)K稱為體積模量。(體積變化)第二式說明彈性體的形狀畸變是由應(yīng)力偏量引起的，相應(yīng)的彈性常數(shù)是剪切模量G的二倍。(形狀變化)§4-1本構(gòu)關(guān)系概念整理ppt常用的三套彈性常數(shù)Chapter5.1§4-1本構(gòu)關(guān)系概念整理pptChapter5.1

對于給定的工程材料，可以用單向拉伸試驗(yàn)測定E和；用薄壁筒扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)來測定G；用靜水壓試驗(yàn)來測定K。實(shí)驗(yàn)表明，在這三種加載情況下物體的變形總是和加載方向一致的（即外力總在物體變形上做正功），所以§4-1本構(gòu)關(guān)系概念整理pptChapter5.1故要上式成立必要求：∵即§4-1本構(gòu)關(guān)系概念整理pptChapter5.1若設(shè)＝0.5，則體積模量K＝，稱為不可壓縮材料，相應(yīng)的剪切模量為對實(shí)際工程材料的測定值，一般都在的范圍內(nèi)?！?-1本構(gòu)關(guān)系概念整理ppt第四章本構(gòu)關(guān)系§4-1本構(gòu)關(guān)系概念

§4-2廣義胡克定律§4-3應(yīng)變能和應(yīng)變余能整理ppt各向同性本構(gòu)關(guān)系Chapter5.2對于各向同性材料，正應(yīng)力在對應(yīng)方向上只引起正應(yīng)變，剪應(yīng)力在對應(yīng)方向上只引起剪應(yīng)變，它們是互不耦合的。§4-2廣義胡克定律整理ppt各向異性本構(gòu)關(guān)系Chapter5.2對于各向異性材料的一般情況，任何一個(gè)應(yīng)力分量都可能引起任何一個(gè)應(yīng)變分量的變化。廣義胡克定律的一般形式是：C

是四階剛度（彈性）張量。

D是四階柔度張量?！?-2廣義胡克定律整理pptChapter5.1由于應(yīng)力應(yīng)變都是二階張量，且上式對任意的kl均成立，所以根據(jù)商判則Cijkl是一個(gè)四階張量，稱彈性張量，共有81個(gè)分量。

彈性張量的Voigt對稱性§4-2廣義胡克定律整理pptChapter5.1下節(jié)中將證明§4-2廣義胡克定律整理pptChapter5.1獨(dú)立的彈性常數(shù)由81個(gè)降為36個(gè)§4-2廣義胡克定律整理pptChapter5.1其中即c的下角標(biāo)1、2、3、4、5、6分別對應(yīng)于C

的雙指標(biāo)11、22、33、12、23、31。應(yīng)該指出，改寫后的cmn(m,n＝1~6)并不是張量。由于存在Voigt對稱性，所以對于最一般的各向異性材料，獨(dú)立的彈性常數(shù)共有21個(gè)?！?-2廣義胡克定律整理pptChapter5.1

(1)

一般各向異性線彈性：無彈性對稱面21

例：三斜晶體§4-2廣義胡克定律整理pptChapter5.1

(2)

具有一個(gè)彈性對稱面的各向異性線彈性體：13

bae2ce1e3e‘3例：單斜晶體(正長石和云母等)

e1,e2平面為彈性對稱面§4-2廣義胡克定律整理pptChapter5.1(3)

正交各向異性線彈性體：9

例：正交晶體(各種增強(qiáng)纖維復(fù)合材料、木材等)互相正交的e1-e2，e2-e3,e1-e3平面為彈性對稱面ce1e3e2e’1ab§4-2廣義胡克定律整理pptChapter5.1(4)

橫觀各向同性線彈性體： 5例：六方晶體aaac§4-2廣義胡克定律整理pptChapter5.1(5)

各向同性線彈性體： 2金屬（隨機(jī)排列晶體）、短纖維增強(qiáng)復(fù)合材料顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料§4-2廣義胡克定律整理pptChapter5.12個(gè)金屬拉壓：2個(gè)

剪切：1個(gè)各向同性地殼、六方晶體拉壓：4個(gè)

剪切：2個(gè)5個(gè)橫觀各向同性正交晶體拉壓與剪切不耦合剪切為對角陣9個(gè)正交各向異性單斜晶體13個(gè)有一個(gè)彈性對稱面三斜晶體6×6對稱21個(gè)一般情況例獨(dú)立的彈性常數(shù)小結(jié)§4-2廣義胡克定律整理ppt第四章本構(gòu)關(guān)系§4-1本構(gòu)關(guān)系概念

§4-2廣義胡克定律§4-3應(yīng)變能和應(yīng)變余能整理ppt§4-3

應(yīng)變能和應(yīng)變余能Chapter5.2

應(yīng)變能如果載荷施加得足夠慢，物體的動(dòng)能以及因彈性變形引起的熱效應(yīng)可以忽略不計(jì)，則外力所做的功將全部轉(zhuǎn)化為變形位能而儲(chǔ)存在彈性體內(nèi)。彈性變形是一個(gè)沒有能量耗散的可逆過程，卸載后物體恢復(fù)到未變形前的初始狀態(tài)，變形位能將全部釋放出來。整理pptChapter5.2§4-3應(yīng)變能和應(yīng)變余能整理pptChapter5.2非線性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系§4-3應(yīng)變能和應(yīng)變余能整理pptChapter5.2正應(yīng)力11僅在正應(yīng)變11上做功，其值為：其他應(yīng)力分量ij也都只與之對應(yīng)的應(yīng)變分量ij上做功。把這些功疊加起來，并除以微元體積dV，得§4-3應(yīng)變能和應(yīng)變余能整理pptChapter5.2引進(jìn)應(yīng)變能密度函數(shù)W(ij)，使即則其中，W(0)和W(ij)分別為物體變形前和變形后的應(yīng)變能密度。一般取變形前的初始狀態(tài)為參考狀態(tài)，令W(0)＝0。格林(Green,G.)公式§4-3應(yīng)變能和應(yīng)變余能整理pptChapter5.2應(yīng)變能密度等于單位體積的外力功。應(yīng)變能密度只與物體的初始狀態(tài)和最終變形狀態(tài)有關(guān)，而變形歷史無關(guān)，即是一個(gè)狀態(tài)函數(shù)。應(yīng)變能是彈性材料本構(gòu)關(guān)系的另一種表達(dá)形式，當(dāng)W(ij)的具體形式給定后，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系也惟一確定?！?-3應(yīng)變能和應(yīng)變余能整理pptChapter5.2∵又∴廣義格林公式

§4-3應(yīng)變能和應(yīng)變余能整理pptChapter5.2

線彈性情況在無應(yīng)變自然狀態(tài)(ij=0)附近把應(yīng)變能函數(shù)W(ij)對應(yīng)變分量展開成冪級(jí)數(shù)：其中§4-3應(yīng)變能和應(yīng)變余能整理pptChapter5.2§4-3應(yīng)變能和應(yīng)變余能整理ppt它是應(yīng)變分量ij的二次齊次式，有：

由此證明彈性張量C對雙指標(biāo)ij和kl具有對稱性。Chapter5.2§4-3應(yīng)變能和應(yīng)變余能整理pptChapter5.2

對于各向同性材料，有對于非線性彈性材料，還應(yīng)考慮應(yīng)變能冪級(jí)數(shù)表達(dá)式中的高階項(xiàng)?！?-3應(yīng)變能和應(yīng)變余能整理pptChapter5.2應(yīng)變余能

仿照應(yīng)變能的定義式，可以定義應(yīng)變余能Wc

它具有如下類似性質(zhì)：§4-3應(yīng)變能和應(yīng)變余能整理pptChapter5.2對上式分部積分得：§4-3應(yīng)變能和應(yīng)變余能整理pptChapter5.2

面積。全功中只有一部分(圖中的曲邊三角形OAP)轉(zhuǎn)化為彈性應(yīng)變能W，剩余部分(曲邊三角形OBP)就是余能Wc。上式給出了應(yīng)變能和應(yīng)變余能對全功的互余關(guān)系。右端第一項(xiàng)ijij稱為全功，它相應(yīng)于圖中矩形OAPB的§4-3應(yīng)變能和應(yīng)變余能整理ppt