2022年新課標(biāo)人教版高中數(shù)學(xué)必修一教案（全冊(cè)）

2022年新課標(biāo)人教版高中數(shù)學(xué)必修一全套

優(yōu)秀教案(全冊(cè))

備課資料

［備選例題］

【例1】判斷下列集合是有限集還是無限集，并用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎荆?/p>

(1)被3除余1的自然數(shù)組成的集合；

(2)由所有小于20的既是奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的正整數(shù)組成的集合；

(3)二次函數(shù)y=x2+2x-10的圖象上的所有點(diǎn)組成的集合；

(4)設(shè)a、b是非零實(shí)數(shù)，求丫=&+3+半的所有值組成的集合.

思路分析：本題主要考查集合的表示法和集合的分類用列舉法與描

述法表示集合時(shí),一要分清元素是什么，二要明確元素滿足的條件是什

么.

解：(1)被3除余1的自然數(shù)有無數(shù)個(gè)，這些自然數(shù)可以表示為

3n+l(n￡N)用描述法表示為{x|x=3n+l,n￡N}.

(2)由題意得滿足條件的正整數(shù)有:3,5,7/1,13,17,19.則此集合中的元素

有7個(gè)，用列舉法表示為{3,5,7,11,13,17,19}.

⑶滿足條件的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，則此集合中有無數(shù)個(gè)元素，可用描述法來

表示.通常用有序數(shù)對(duì)(x,y)表示點(diǎn)，那么滿足條件的點(diǎn)組成的集合表示

為{(x,y)|y=x2+2x-10}.

(4)當(dāng)ab<0時(shí),y=2+2+處=-1;當(dāng)ab>0時(shí)，則a>0,b>0或a<0,b<0.

1?1聞\ah\

若a>0,b>0,則有y=帚言篇=3；若a<0,b<0,則有

.?.y=2+2+處的所有值組成的集合共有兩個(gè)元素-1和3.則用列

\a\\b\\ab\

舉法表示為{-1,3}.

【例2］定義A-B={x|x￡A,x任B},若M={1,2,3,4,5},N={2,3,6},試用列

舉法表示集合N-M.

分析:應(yīng)用集合A-B={x|x￡A,xeB}與集合A、B的關(guān)系來解決.依據(jù)定

義知N-M就是集合N中除去集合M和集合N的公共元素組成的集

合.觀察集合M、N,它們的公共元素是2,3.集合N中除去元素2,3還剩

下元素6,則N-M={6}.

答案：{6}.

（設(shè)計(jì)者：張新軍）

設(shè)計(jì)方案（二）

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

思路1.在初中代數(shù)不等式的解法一節(jié)中提到:一般地，一個(gè)含有未知數(shù)

的不等式的所有的解，組成這個(gè)不等式的解的集合，簡(jiǎn)稱這個(gè)不等式的

解集.不等式解集的定義中涉及到“集合”,那么，集合的含義是什么呢？

這就是我們這一堂課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.今天我們開始學(xué)習(xí)集合,引出課

題.

思路2.開場(chǎng)白:集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言,它可以簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表達(dá)

數(shù)學(xué)內(nèi)容.這個(gè)詞聽起來比較陌生，其實(shí)在初中我們已經(jīng)有所接觸，比

如自然數(shù)集、有理數(shù)集，一元一次不等式x-3>5的解集，這些都是集合.

還有，我們學(xué)過的圓的定義是什么？(提問學(xué)生)圓是到一個(gè)定點(diǎn)的距

離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.接著點(diǎn)出課題.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

教師利用多媒體設(shè)備向?qū)W生投影出下面實(shí)例，這5個(gè)實(shí)例的共同特征

是什么？

(1)1-20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)；

(2)我國古代的四大發(fā)明；

(3)所有的安理會(huì)常任理事國；

(4)所有的正方形；

(5)北京大學(xué)2004年9月入學(xué)的全體學(xué)生.

活動(dòng)：教師組織學(xué)生分小組討論,每個(gè)小組選出一位同學(xué)發(fā)表本組的

討論結(jié)果，在此基礎(chǔ)上，師生共同概括出5個(gè)實(shí)例的特征，并給出集合的

含義.

引導(dǎo)過程：

①一般地，指定的某些對(duì)象的全體稱為集合(簡(jiǎn)稱為集)，集合中的每個(gè)

對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素.

②集合常用大寫字母A,B,C,D,…表示，元素常用小寫字母a,b,c,d,…表

示.

③集合的表示法:a.自然語言(5個(gè)實(shí)例);b.字母表示法.

④集合元素的性質(zhì):a.確定性:即任給一個(gè)元素和一個(gè)集合，那么這個(gè)元

素和這個(gè)集合的關(guān)系只有兩種:這個(gè)元素要么屬于這個(gè)集合，要么不屬

于這個(gè)集合;b.互異性:一個(gè)給定集合的元素是互不相同的，即集合中的

元素是不重復(fù)出現(xiàn)的;c.無序性:集合中的元素是沒有順序的.

⑤集合相等:如果兩個(gè)集合中的元素完全相同，那么這兩個(gè)集合是相等

的.

⑥元素與集合的關(guān)系:“屬于”和“不屬于”分別用和V表示.

元素確定性的符號(hào)語言表述為:對(duì)任意元素a和集合A,要么a￡A,要么

aeA.

⑦在初中我們學(xué)過了一些數(shù)的集合，國際標(biāo)準(zhǔn)化組織(ISO)制定了常用

數(shù)集的記法：

自然數(shù)集(包含零):N,正整數(shù)集:N(N+),整數(shù)集:Z,有理數(shù)集:Q,實(shí)數(shù)

集:R.

因此字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,否則會(huì)出現(xiàn)混亂的局

面.

提出問題

(1)請(qǐng)列舉出“小于5的所有自然數(shù)組成的集合A”.

⑵你能寫出不等式2-x>3的所有解嗎？怎樣表示這個(gè)不等式的解

集？

活動(dòng)：學(xué)生回答后，教師指出：

①在數(shù)學(xué)中，為書寫規(guī)范，我們把封閉曲線簡(jiǎn)化為一個(gè)大括號(hào),然后把

元素一一列舉出來,元素與元素之間用逗號(hào)隔開寫在大括號(hào)內(nèi)來表示

這個(gè)集合.這種表示集合的方法稱為列舉法.如本例可表示為

A={0,l,2,3,4).

②描述法:將集合的所有元素都具有的性質(zhì)(滿足的條件)表示出來，寫

成{x|p(x)}的形式.其中x為元素的一般特征,p(x)為x滿足的條件.如數(shù)

集常用{x|p(x)}表示,點(diǎn)集常用{(x,y)|p(x,y)}表示.

應(yīng)用示例

思路1

1.課本第3頁例1.

思路分析：用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)明確集合中的元素，再寫在大括號(hào)內(nèi).

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合表示法中的列舉法.如果一個(gè)集合是有限集,

并且元素的個(gè)數(shù)較少時(shí),通常選擇列舉法表示，其特點(diǎn)是非常顯明地表

示出了集合中的元素，是常用的表示法;列舉法表示集合的步驟:(1)用

字母表示集合;(2)明確集合中的元素;(3)把集合中所有元素寫在大括

號(hào)”{}”內(nèi),并寫成A={……}的形式.

變式訓(xùn)練

請(qǐng)?jiān)囈辉囉昧信e法表示下列集合：

(l)A={x《N|且--￡N};

9-x

(2)B={y|y=-x2+6,x￡N,yGN);

(3)C={(x,y)|y=-x2+6,x￡N,y￡N}.

分析:本題考查列舉法與描述法的相互轉(zhuǎn)化.明確各個(gè)集合中的元素后

再寫在大括號(hào)內(nèi).

⑴集合A中元素x滿足均為自然數(shù)；

9-x

(2)集合B中y值為函數(shù)y=-x2+6的函數(shù)值的集合；

(3)集合C中元素為點(diǎn),拋物線上橫、縱坐標(biāo)均為自然數(shù)的點(diǎn).

答案：(1)A={0,6,8)；

(2)B={2,5,6};

(3)C={(0,6),(l,5),(2,2)).

2.課本第4頁例2.

思路分析：本題重點(diǎn)學(xué)習(xí)用描述法表示集合.用一個(gè)小寫英文字母表

示集合中的元素,作為集合中元素的代表符號(hào)，找到集合中元素的共同

特征，并把共同特征用數(shù)學(xué)符號(hào)來表達(dá)，然后寫在大括號(hào)"{}”內(nèi).

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合的表示方法，以及應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力;

描述法表示集合的步驟:(1)用字母分別表示集合和元素,(2)用數(shù)學(xué)符

號(hào)表達(dá)集合元素的共同特征;(3)在大括號(hào)內(nèi)先寫上集合中元素的代表

符號(hào)及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線,在豎線后寫出這個(gè)集合中元

素所具有的共同特征.并寫成A={...|...}的形式;描述法適合表示有無

數(shù)個(gè)元素的集合，當(dāng)集合中的元素個(gè)數(shù)較少時(shí),通常用列舉法表示.

變式訓(xùn)練

課本Ps練習(xí)2.

思路2

1.下列所給對(duì)象不能構(gòu)成集合的是()

A.一個(gè)平面內(nèi)的所有點(diǎn)

B.所有大于零的正數(shù)

C.某校高一(4)班的高個(gè)子學(xué)生

D.某一天到商場(chǎng)買過貨物的顧客

思路分析：本題考查集合中元素的確定性.由集合的含義，可知組成集

合的元素必須是明確的,不能模棱兩可.在A中對(duì)于任何一個(gè)點(diǎn)要么在

這個(gè)平面內(nèi)，要么不在這個(gè)平面內(nèi),因而它可以組成一個(gè)集合;在B中

由于大于零的正數(shù)很明確，因此B也能組成一個(gè)集合;C中由于“高個(gè)

子''沒有一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn)，因而不能判定一個(gè)學(xué)生到底是不是高個(gè)子,

故它不能組成集合;而D中對(duì)于任何一個(gè)顧客在這一天是否到過某商

場(chǎng)，以及是否買過貨物是非常明確的，因此它也能組成一個(gè)集合.

答案：C

變式訓(xùn)練

下列各組對(duì)象中不能構(gòu)成集合的是()

A.高一(1)班全體女生

B.高一(1)班全體學(xué)生家長(zhǎng)

C.高一(1)班開設(shè)的所有課程

D.高一(1)班身高較高的男同學(xué)

分析:判斷所給對(duì)象能否構(gòu)成集合的問題，只需根據(jù)構(gòu)成集合的條件,

即集合中元素的確定性便可以解決.因?yàn)锳、B、C中所給對(duì)象都是確

定的,從而可以構(gòu)成集合;而D中所給對(duì)象不確定，原因是找不到衡量

學(xué)生身高較高的標(biāo)準(zhǔn)，故不能構(gòu)成集合.若將D中“身高較高的男同學(xué)”

改為“身高175cm以上的男同學(xué)”，則能構(gòu)成集合.

答案：D

2.用另一種形式表示下列集合：

(1){絕對(duì)值不大于3的整數(shù)};

(2){所有被3整除的數(shù)};

(3){x|x=|x|,x￡Z且x<5};

(4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,xGZ};

(5){(x,y)|x+y=6,x>0,y>0,xeZ,y￡Z}.

思路分析：用列舉法與描述法表示集合時(shí),一要分清元素是什么，二要

明確元素滿足的條件是什么.

答案：(1){絕對(duì)值不大于3的整數(shù)}還可以表示為{x||x區(qū)3,x￡Z},也可

表示為{32-1。1,2,3}.

(2){x|x=3n,nGZ}.

(3),."x=|x|,.*.x>0.

又且x<5,

{x|x=|x|,x￡Z且x<5}還可以表示為{0,1,2,3,4}.

(4){-2}.

(5){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)).

變式訓(xùn)練

用適當(dāng)?shù)男问奖硎鞠铝屑希?/p>

(1)絕對(duì)值不大于3的整數(shù)組成的集合；

(2)所有被3整除的數(shù)組成的集合；

(3)方程(3X-5)(X+2)(X2+3)=O實(shí)數(shù)解組成的集合；

⑷一次函數(shù)y=x+6圖象上所有點(diǎn)組成的集合.

分析:元素較少的有限集宜采用列舉法;對(duì)無限集或元素較多的有限集

宜采用描述法.

答案：(1){x||x|W3,x￡Z}或{-3,2-1,04,2,3);

(2){x|x=3n,nGZJ;

⑶{泊；

(4){(x,y)|y=x+6}.

3.已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a￡R},若A中至少有一個(gè)元素，求a的取

值范圍.

思路分析：對(duì)于方程ax2-3x+2=0,a￡R的解,要看這個(gè)方程左邊的x2

的系數(shù),a=0和ar。方程的根的情況是不一樣的，則集合A的元素也不

相同，所以首先要分類討論.

解：當(dāng)a=0時(shí)，原方程為-3x+2=0=x=|?，符合題意；

當(dāng)a，0時(shí)，方程ax2-3x+2=0為一元二次方程，則卜解得a#)且

9-8?>0.

綜上所得a的取值范圍是{a|ag羨).

4.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

(1)方程組fx-3y=14,的解集；

3x+2y=8

(2)1000以內(nèi)被3除余2的正整數(shù)所組成的集合；

(3)直角坐標(biāo)平面上在第二象限內(nèi)的點(diǎn)所組成的集合；

(4)所有正方形；

(5)直角坐標(biāo)平面上在直線x=l和x=-l的兩側(cè)的點(diǎn)所組成的集合.

分析:本題考查集合的表示方法.所謂適當(dāng)?shù)谋硎痉椒?就是較簡(jiǎn)單、較

明了的表示方法.由于方程組［2x.3丫="的解為x=4,y=-2.故(1)宜用列

3x+2y=8

舉法;(2)中盡管是有限集，但由于它的元素個(gè)數(shù)較多，所以用列舉法表

示是不明智的，故用描述法;(3)和(5)也宜用描述法;而(4)則宜用列舉法

為好.

解：(1){(4,-2)};

(2){x|x=3k+2,k￡N且x<1000};

(3){(x,y)|x<0且y>0};

(4){正方形};

(5){(x,y)|x<-l或x>1}.

知能訓(xùn)練

課本Ps練習(xí)1、2.

拓展提升

1.已知A={x￡R|x=l^+電+回+四+四+也+也,abc和}，用列

abcabacheabc

舉法表示集合A.

分析:解決本題的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值符號(hào)，需分類討論.

解：題目中x的取值取決于a、b、c的正負(fù)情況,可分成以下幾種情況

討論：

(l)a、b、c全為正時(shí),x=7;

(2)a、b^c兩正一負(fù)時(shí),x=-l;

(3)a、b、c一正兩負(fù)時(shí),x=-l;

(4)a、b、c全為負(fù)時(shí),x=-l.

.,.A={7,-1}.

注意：(2)、(3)中又包括多種情況(a、b、c各自的正負(fù)情況)，解題時(shí)應(yīng)

考慮全面.

2.已知集合C={x|x=a+b,aGA,bB}.

⑴若A={0,l,2,3},B={6,7,8,9},求集合C中所有元素之和S;

⑵若A={0,l,2,3,4,...,2005},B={5,6,7,8,9},試用代數(shù)式表示出集合C

中所有元素之和S;

(3)聯(lián)系高斯求S=l+2+3+4+…+99+100的方法，試求出(2)中的S.

思路分析：先用列舉法寫出集合C,然后解決各個(gè)小題.

答案：⑴列舉法表示集合C={6,7,8,9,10,11,12},進(jìn)而易求得

S=6+7+8+9+10+11+12=63.

(2)列舉法表示集合C={5,6,7,...,2013,2014},由此可得S=5+6+7+…+2

013+2014.

⑶高斯求S=l+2+3+4+...+99+100時(shí)，利用

1+100=2+99=3+98=..=50+51=101,進(jìn)而得

S=1+2+3+4+...+99+100=101x50=5050.

本題(2)中S=5+6+7+…+2013+2014=2019x1005=2029095.

課堂小結(jié)

在師生互動(dòng)中，讓學(xué)生了解或體會(huì)下列問題：

(1)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)過哪些知識(shí)內(nèi)容？

(2)你認(rèn)為學(xué)習(xí)集合有什么意義？

(3)選擇集合的表示法時(shí)應(yīng)注意些什么?

設(shè)計(jì)感想

本節(jié)課是集合的起始課，采用教師啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法,

通過創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)探究，師生交流,最終形成概念，獲得方法.

作業(yè)

1.課本Pn習(xí)題1.1A組4.

2.元素與集合的關(guān)系有多少種？如何表示？類似地集合與集合間的

關(guān)系又有多少種呢？如何表示？請(qǐng)同學(xué)們通過預(yù)習(xí)課本來解答.

(設(shè)計(jì)者：韓雙影)

模塊縱覽

課標(biāo)要求

1.知識(shí)與技能

認(rèn)識(shí)和理解集合、映射、函數(shù)、幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等概念,

認(rèn)識(shí)和理解它們的有關(guān)性質(zhì)和運(yùn)算.具有一定的把函數(shù)應(yīng)用于實(shí)際的

能力.

2.過程與方法

通過背景的給出，通過經(jīng)歷、體驗(yàn)和實(shí)踐探索過程的展現(xiàn)，通過數(shù)學(xué)思

想方法的滲透，讓學(xué)生體會(huì)過程的重要，并在過程中學(xué)習(xí)知識(shí),同時(shí)領(lǐng)

會(huì)一定的數(shù)學(xué)思想和方法.

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

教育的根本目的是育人.通過對(duì)本模塊內(nèi)容的教學(xué)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)和運(yùn)

用知識(shí)的過程中提高對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，并在初中函數(shù)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上,

對(duì)數(shù)學(xué)有更深刻的感受，提高說理、批判和質(zhì)疑精神，形成鍥而不舍追

求真理的科學(xué)態(tài)度和習(xí)慣，樹立良好的情感態(tài)度和價(jià)值觀.

內(nèi)容概述

本模塊共三章:第一章集合與函數(shù)概念;第二章基本初等函數(shù)（I）;第三

章函數(shù)的應(yīng)用.

本模塊為了用集合與對(duì)應(yīng)的語言刻畫函數(shù)概念,先在第一章給出集合

的有關(guān)概念、表示、關(guān)系和運(yùn)算等;然后從函數(shù)實(shí)例出發(fā)深化函數(shù)概

念及其表示，并研究映射概念;進(jìn)而又給出了函數(shù)的性質(zhì):單調(diào)性、最

值、奇偶性，這也是對(duì)函數(shù)的深化;接下來再回到特殊的函數(shù)——幾個(gè)

基本初等函數(shù)，繼續(xù)認(rèn)識(shí)函數(shù),本模塊重點(diǎn)涉及了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、

轅函數(shù);最后專門給出了函數(shù)在數(shù)學(xué)和實(shí)際中的一些應(yīng)用實(shí)例,使函數(shù)

的價(jià)值得到體現(xiàn)，也是進(jìn)一步鞏固函數(shù)的概念,更加強(qiáng)了數(shù)學(xué)應(yīng)用.

概括地說,本模塊的核心內(nèi)容是“函數(shù)函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)世界最重要、

最常用的數(shù)學(xué)模型，是貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的紐帶,是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的

準(zhǔn)備，是未來公民的必需，因此，整個(gè)模塊以函數(shù)作為中心，以函數(shù)思想

作為指導(dǎo)思想.

本模塊無論是數(shù)還是形都用函數(shù)觀點(diǎn)來研究，研究它們的變化及其規(guī)

律.對(duì)方程的認(rèn)識(shí)和研究，也是從函數(shù)出發(fā)，把它與兩個(gè)函數(shù)相結(jié)合，把

它的解看成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).這里把函數(shù)作為整體來認(rèn)

識(shí)，方程則被看成是包含于函數(shù)的局部.

教學(xué)建議

教師，對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)該有自己深入的想法，只有教師深入了才能有教學(xué)的淺

出;教師，對(duì)于教學(xué)也應(yīng)該有自己的想法，唯其有自己的想法，才能發(fā)揮

自己的特長(zhǎng),教出具有獨(dú)到想法的學(xué)生.

1.抓住核心，重點(diǎn)突破

由于函數(shù)是本模塊的重點(diǎn)和核心，因此教師要重視函數(shù)的教學(xué),向?qū)W生

貫徹函數(shù)的數(shù)學(xué)思想，逐步讓學(xué)生掌握學(xué)會(huì)函數(shù)，更會(huì)用函數(shù)的思想去

解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問題.函數(shù)概念的教學(xué)要從實(shí)際背景和定義兩個(gè)方面

幫助學(xué)生理解函數(shù)的本質(zhì)，教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活常識(shí)，嘗試列舉

具體函數(shù),構(gòu)建函數(shù)的一般定義.要注意：①構(gòu)成函數(shù)的要素和相同函

數(shù)的含義，②函數(shù)的三種表示法的聯(lián)系、區(qū)別與適用性，③分段函數(shù)的

意義,④映射的概念和判斷.教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解，在

求函數(shù)定義域、值域時(shí)，要控制難度.

2.用課本教，而非教課本

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》是在《基礎(chǔ)教育課程改革綱要（試行）》的

指導(dǎo)下編寫的，是數(shù)學(xué)學(xué)科教育目標(biāo)的具體化，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科對(duì)學(xué)生最

起碼的要求，是編制高考大綱的依據(jù)，是數(shù)學(xué)教學(xué)和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)

的主要依據(jù)，具有指導(dǎo)性.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的目標(biāo)是包含“雙

基”在內(nèi)的三維發(fā)展目標(biāo):知識(shí)與技能，過程與方法，情感、態(tài)度與價(jià)值

觀.在這種教學(xué)過程中，課本僅僅是一種學(xué)習(xí)工具，是課程標(biāo)準(zhǔn)的具體

化,課本內(nèi)容僅僅是幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)三維發(fā)展目標(biāo)的一種載體，并不要求

學(xué)生將課本內(nèi)容全部掌握.由于高中數(shù)學(xué)課本版本的多樣化，高考數(shù)學(xué)

只能依據(jù)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)而不是某個(gè)版本的課本來命題.因此在處

理新課標(biāo)課本時(shí)，首先要考慮高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的培養(yǎng)目標(biāo)和具體要

求.就課本來說，版本不同，對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的理解就有不同,其處理的方式

也就不同，因此，在教學(xué)中，要深入鉆研課程標(biāo)準(zhǔn)、課本、學(xué)生，找準(zhǔn)三者

的連接點(diǎn).這樣在新課程改革的形勢(shì)下，課本僅僅是教學(xué)的素材，在教

學(xué)過程中,以課本為依托，把課本當(dāng)作指導(dǎo)教學(xué)的素材和藍(lán)本,創(chuàng)造性

地使用、改造課本,最終突破課本，即變“教課本”為“用課本教”，樹立“用

課本教”的課本觀.同時(shí)這也要求提醒學(xué)生,不要把課本看得過于神圣.

3.把學(xué)生當(dāng)成學(xué)習(xí)的主人

獨(dú)立自主地思考是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的需要，但是合作交流更不能少.在課堂上,

教師盡量不要大包大攬，以先知先覺出現(xiàn)，把結(jié)論告訴學(xué)生，而是推出

判斷，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行合作和交流，努力實(shí)現(xiàn)師

生的互動(dòng)，這是課標(biāo)的要求也是時(shí)代發(fā)展的必然.

4.強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，突出提出、分析和解決問題的能力

數(shù)學(xué)是美的,這正是數(shù)學(xué)使人興趣盎然、樂此不疲之處.數(shù)學(xué)的美，有兩

個(gè)方面:一是其中的思維之美，內(nèi)在的邏輯和運(yùn)用邏輯的機(jī)智,外在的

形式，莫不充滿著思維之美;另一方面則是它的作用，它在方方面面的

應(yīng)用.新課標(biāo)要求強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用，在應(yīng)用中，應(yīng)該特別重視實(shí)踐能力和

創(chuàng)造能力的培養(yǎng);在教學(xué)中，要重視動(dòng)手和一題多解的能力.

第一章集合與函數(shù)概念

本章教材分析

通過本章的學(xué)習(xí)，使學(xué)生會(huì)使用最基本的集合語言表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對(duì)

象，并能在自然語言、圖形語言、集合語言之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，體會(huì)用集合

語言表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容的簡(jiǎn)潔性、準(zhǔn)確性，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用集合語言描述

數(shù)學(xué)對(duì)象，發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流的能力.通過本章的學(xué)習(xí),

使學(xué)生不僅把函數(shù)看成變量之間的依賴關(guān)系，同時(shí)還會(huì)用集合與對(duì)應(yīng)

的語言刻畫函數(shù),為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心概念,

本章把函數(shù)作為描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型來學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)

結(jié)合實(shí)際問題，使學(xué)生感受運(yùn)用函數(shù)概念建立模型的過程與方法，從而

發(fā)展學(xué)生對(duì)變量數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用

數(shù)學(xué)的意識(shí).

課本力求緊密結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有數(shù)學(xué)知識(shí)，通過列舉豐富的

實(shí)例，強(qiáng)調(diào)從實(shí)例出發(fā)，讓學(xué)生對(duì)集合和函數(shù)概念有充分的感性認(rèn)知基

礎(chǔ)，再用集合與對(duì)應(yīng)語言抽象出函數(shù)概念.課本突出了集合和函數(shù)概念

的背景教學(xué)，這樣比較符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律.教學(xué)中要高度重視數(shù)學(xué)概

念的背景教學(xué).課本盡量創(chuàng)設(shè)使學(xué)生運(yùn)用集合語言和數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表

達(dá)和交流的情境和機(jī)會(huì)，并注意運(yùn)用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算,

用圖象表示函數(shù)，幫助學(xué)生借助直觀圖示認(rèn)識(shí)抽象概念.課本在例題、

習(xí)題的教學(xué)中注重運(yùn)用集合和函數(shù)的觀點(diǎn)研究、處理數(shù)學(xué)問題，這一

觀點(diǎn)，一直貫穿到以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中.在例題和習(xí)題的編排中,滲透了

分類討論思想，讓學(xué)生體會(huì)到分類討論思想在生活中和數(shù)學(xué)中的廣泛

運(yùn)用，這是學(xué)生在初中階段所缺少的.函數(shù)的表示是本章的主要內(nèi)容之

一,課本重視采用不同的表示法（列表法、圖象法、分析法），目的是豐

富學(xué)生對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，幫助理解抽象的函數(shù)概念.在教學(xué)中，既要充分

發(fā)揮圖象的直觀作用，又要適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生從代數(shù)的角度研究圖象，使

學(xué)生深刻體會(huì)數(shù)形結(jié)合這一重要數(shù)學(xué)方法.課本將函數(shù)推廣到了映射,

體現(xiàn)了由特殊到一般的思維規(guī)律,有利于學(xué)生對(duì)函數(shù)概念學(xué)習(xí)的連續(xù)

性.

在教學(xué)中，要堅(jiān)持循序漸進(jìn),逐步滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論這方面的訓(xùn)

練.對(duì)函數(shù)的三要素著重從函數(shù)的實(shí)質(zhì)上要求理解，而對(duì)定義域、值域

的繁難計(jì)算，特別是人為的過于技巧化的訓(xùn)練不作提倡,要準(zhǔn)確把握這

方面的要求,防止拔高教學(xué).重視函數(shù)與信息技術(shù)整合的要求，通過電

腦繪制簡(jiǎn)單函數(shù)動(dòng)態(tài)圖象,使學(xué)生初步感受到信息技術(shù)在函數(shù)學(xué)習(xí)中

的重要作用.為了體現(xiàn)課本的選擇性,在練習(xí)題安排上加大了彈性，教

師應(yīng)根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況,合理地取舍.

本章教學(xué)時(shí)間約需13課時(shí),具體分配如下（僅供參考）:

1.1.1集合的含義與表示約1課時(shí)

1.1.2集合間的基本關(guān)系約1課時(shí)

1.1.3集合的基本運(yùn)算約2課時(shí)

1.2.1函數(shù)的概念約2課時(shí)

1.2.1函數(shù)的表示法約3課時(shí)

1.3.1單調(diào)性與最大約2課時(shí)

L3.2奇偶性約1課時(shí)

本章復(fù)習(xí)約1課時(shí)

1.1集合

1.1.1集合的含義與表示

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基礎(chǔ).在高中數(shù)學(xué)中，集合的初步知識(shí)

與其他內(nèi)容有著密切的聯(lián)系，是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語言的基礎(chǔ).課

本從學(xué)生熟悉的集合（自然數(shù)的集合、有理數(shù)的集合等）出發(fā)，結(jié)合實(shí)例

給出元素、集合的含義，課本注重體現(xiàn)邏輯思考的方法，如抽象、概括

等.

值得注意的問題:由于本小節(jié)的新概念、新符號(hào)較多，建議教學(xué)時(shí)先引

導(dǎo)學(xué)生閱讀課本,然后進(jìn)行交流，讓學(xué)生在閱讀與交流中理解概念并熟

悉新符號(hào)的使用.在信息技術(shù)條件較好的學(xué)校，可以利用網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)讓學(xué)

生交流學(xué)習(xí)概念后的認(rèn)識(shí);也可以由教師給出問題，讓學(xué)生讀后回答問

題，再由教師給出評(píng)價(jià).這樣做的目的是培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的習(xí)慣，提

高閱讀與理解、合作與交流的能力.在處理集合問題時(shí)，根據(jù)需要，及時(shí)

提示學(xué)生運(yùn)用集合語言進(jìn)行表述.

三維目標(biāo)

1.通過實(shí)例了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系，能選擇集

合不同的語言形式描述具體的問題，提高語言轉(zhuǎn)換和抽象概括能力，樹

立用集合語言表示數(shù)學(xué)內(nèi)容的意識(shí).

2.了解集合元素的確定性、互異性、無序性，掌握常用數(shù)集及其專用符

號(hào)，并能夠用其解決有關(guān)問題，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力,

培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn):集合的基本概念與表示方法.

教學(xué)難點(diǎn):選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎疽恍┖?jiǎn)單的集合.

課時(shí)安排

1課時(shí)

設(shè)計(jì)方案（一）

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

思路1.軍訓(xùn)前學(xué)校通知：8月15日8點(diǎn)，高一年級(jí)學(xué)生到操場(chǎng)集合進(jìn)行

軍訓(xùn).試問這個(gè)通知的對(duì)象是全體的高一學(xué)生還是個(gè)別學(xué)生？

在這里，集合是我們常用的一個(gè)詞語，我們感興趣的是問題中某些特定

（是高一而不是高二、高三）對(duì)象的總體，而不是個(gè)別的對(duì)象，為此，我們

將學(xué)習(xí)一個(gè)新的概念——集合.

思路2.首先教師提出問題:在初中，我們已經(jīng)接觸過一些集合，你能舉出

一些集合的例子嗎?引導(dǎo)學(xué)生回憶、舉例和互相交流自己舉的例子.與

此同時(shí)，教師對(duì)學(xué)生的活動(dòng)給予評(píng)價(jià).接著教師指出:那么，集合的含義

是什么呢?這就是我們這一堂課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

①請(qǐng)我們班的全體女生起立！接下來問:“咱班的所有女生能不能構(gòu)成

一個(gè)集合??？”

②下面請(qǐng)班上身高在1.75以上的男生起立！他們能不能構(gòu)成一個(gè)集

合啊？

③其實(shí)，生活中有很多東西能構(gòu)成集合，比如新華字典里所有的漢字可

以構(gòu)成一個(gè)集合等等.那么，大家能不能再舉出一些生活中的實(shí)際例子

呢?請(qǐng)你給出集合的含義.

④如果用A表示高一⑶班全體學(xué)生組成的集合，用a表示高一(3)班的

一位同學(xué),b是高一(4)班的一位同學(xué)，那么a、b與集合A分別有什么關(guān)

系？由此看見元素與集合之間有什么關(guān)系？

⑤世界上最高的山能不能構(gòu)成一個(gè)集合？

⑥世界上的高山能不能構(gòu)成一個(gè)集合？

⑦問題⑥說明集合中的元素具有什么性質(zhì)？

⑧由實(shí)數(shù)1、2、3、1組成的集合有幾個(gè)元素？

⑨問題⑧說明集合中的元素具有什么性質(zhì)？

⑩由實(shí)數(shù)1、2、3組成的集合記為M,由實(shí)數(shù)3、1、2組成的集合記

為N,這兩個(gè)集合中的元素相同嗎？這說明集合中的元素具有什么性

質(zhì)？由此類比實(shí)數(shù)相等，你發(fā)現(xiàn)集合有什么結(jié)論？

討論結(jié)果：

①能.

②能.

③我們把研究的對(duì)象統(tǒng)稱為“元素”,那么把一些元素組成的總體叫“集

合”.

④a是集合A的元素,b不是集合A的元素.學(xué)生得出元素與集合的關(guān)

系有兩種:屬于和不屬于.

⑤能，是珠穆朗瑪峰.

⑥不能.

⑦確定性.給定的集合，它的元素必須是明確的,即任何一個(gè)元素要么

在這個(gè)集合中，要么不在這個(gè)集合中，這就是集合的確定性.

⑧3個(gè).

⑨互異性.一個(gè)給定集合的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重

復(fù)出現(xiàn)的，這就是集合的互異性.

⑩集合M和N相同.這說明集合中的元素具有無序性，即集合中的元素

是沒有順序的.可以發(fā)現(xiàn):如果兩個(gè)集合中的元素完全相同，那么這兩

個(gè)集合是相等的.

提出問題

閱讀課本P3中:數(shù)學(xué)中一些常用的數(shù)集及其記法.快速寫出常見數(shù)集的

記號(hào).

活動(dòng)：先讓學(xué)生閱讀課本，教師指定學(xué)生展示結(jié)果.學(xué)生寫出常用數(shù)集

的記號(hào)后，教師強(qiáng)調(diào):通常情況下，大寫的英文字母N、Z、Q、R不能

再表示其他的集合，這是專用集合表示符號(hào),類似于110、119等專用電

話號(hào)碼一樣.以后，我們會(huì)經(jīng)常用到這些常見的數(shù)集，要求熟練掌握.

討論結(jié)果：

常見數(shù)集的專用符號(hào).

N:非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）（全體非負(fù)整數(shù)的集合）；

N*或N+:正整數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集N內(nèi)排除0的集合）；

Z:整數(shù)集（全體整數(shù)的集合）；

Q：有理數(shù)集（全體有理數(shù)的集合）；

R：實(shí)數(shù)集（全體實(shí)數(shù)的集合）.

提出問題

①前面所說的集合是如何表示的？

②閱讀課本中的相關(guān)內(nèi)容，并思考:除字母表示法和自然語言之外，還

能用什么方法表示集合？

③集合共有幾種表示法？

活動(dòng)：①學(xué)生回顧所學(xué)的集合并作出總結(jié).教師提示可以用字母或自

然語言來表示.

②教師可以舉例幫助引導(dǎo)：

例如,24的所有正約數(shù)構(gòu)成的集合，把24的所有正約數(shù)寫在大括號(hào)

“{}”內(nèi)，即寫出為{1,2,3,4,6,8,12,24}的形式，這種表示集合的方法是列

舉法.注意：大括號(hào)不能缺失;有些集合所含元素個(gè)數(shù)較多，元素又呈現(xiàn)

出一定的規(guī)律，在不至于發(fā)生誤解的情況下，亦可用列舉法表示，如:從1

到100的所有整數(shù)組成的集合：{1,2,3,…,100},自然數(shù)集

N:{0,l,2,3,4,...,n,...};區(qū)分a與{a}:{a}表示一個(gè)集合，該集合只有一個(gè)

元素,a表示這個(gè)集合的一個(gè)元素;用列舉法表示集合時(shí)不必考慮元素

的前后次序;相同的元素不能出現(xiàn)兩次.

又例如，不等式x-3>2的解集，這個(gè)集合中的元素有無數(shù)個(gè)，不適合用列

舉法表示.可以表示為{x￡R|x-3>2}或{x|x-3>2},這種表示集合的方法

是描述法.

③讓學(xué)生思考總結(jié)已經(jīng)學(xué)習(xí)了的集合表示法.

討論結(jié)果：

①方法一（字母表示法）:大寫的英文字母表示集合，例如常見的數(shù)集N、

Q,所有的正方形組成的集合記為A等等；

方法二（自然語言）:用文字語言來描述出的集合，例如“所有的正方形”

組成的集合等等.

②列舉法:把集合中的全部元素一一列舉出來，并用大括號(hào)“｛｝”括起來

表示集合,這種表示集合的方法叫做列舉法；

描述法:在大括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及其取值（或

變化）范圍，再畫一條豎線,在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共

同特征.這種用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.

注:在不致混淆的情況下，也可以簡(jiǎn)寫成列舉法的形式,只是去掉豎線

和元素代表符號(hào)，例如:所有直角三角形的集合可以表示為（x|x是直角

三角形｝，也可以寫成｛直角三角形｝.

③表示一個(gè)集合共有四種方法:字母表示法、自然語言、列舉法、描

述法.

應(yīng)用示例

思路1

1.下列各組對(duì)象不能組成集合的是（）

A.大于6的所有整數(shù)B.高中數(shù)學(xué)的所有難題

C.被3除余2的所有整數(shù)D.函數(shù)y=1圖象上所有的點(diǎn)

X

活動(dòng)：學(xué)生先思考、討論集合元素的性質(zhì)，教師指導(dǎo)學(xué)生此類選擇題

要逐項(xiàng)判斷.判斷一組對(duì)象能否構(gòu)成集合,關(guān)鍵是看是否滿足集合元素

的確定性.

在選項(xiàng)A、C、D中的元素符合集合的確定性;而選項(xiàng)B中，難題沒有

標(biāo)準(zhǔn)，不符合集合元素的確定性，不能構(gòu)成集合.

答案：B

變式訓(xùn)練

1.下列條件能形成集合的是()

A.充分小的負(fù)數(shù)全體B.愛好足球的人

C.中國的富翁D.某公司的全體員工

答案：D

2.2007浙江寧波高三第一次“十校聯(lián)考”，理1

在數(shù)集｛2x,xZx｝中，實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

分析:實(shí)數(shù)x的取值滿足集合元素的互異性，則2x=x2-x,解得x#0且

xK3,.?.實(shí)數(shù)x的取值范圍是｛x[x<0或0<x<3或x>3).

答案：｛x|x<0或0<x<3或x>3｝

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合的含義和元素的性質(zhì).當(dāng)所指的對(duì)象非常明

確時(shí)就能構(gòu)成集合，若元素不明確,沒有判斷的標(biāo)準(zhǔn)就不能構(gòu)成集合.

2.用列舉法表示下列集合：

(1)小于10的所有自然數(shù)組成的集合；

(2)方程x2=x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；

(3)由1~20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合.

活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論列舉法的形式，展示解答過程.當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)

誤時(shí)，教師及時(shí)加以糾正.利用相關(guān)的知識(shí)先明確集合中的元素，再把

元素寫入大括號(hào)“{}”內(nèi),并用逗號(hào)隔開.所給的集合均是用自然語言給

出的.

提示學(xué)生注意以下方面：

(1)自然數(shù)中包含零；

(2)解一元二次方程有公式法和分解因式法，方程x2=x的根是x=O,x=l;

(3)除去1和本身外沒有其他約數(shù)的正整數(shù)是質(zhì)數(shù),1~20以內(nèi)的所有質(zhì)

數(shù)是2、3、5、7、11、13、17、19.

解：(1)設(shè)小于10的所有自然數(shù)組成的集合為A,那么

A={0/23,4,5,6,7,8,9}.

(2)設(shè)方程x2=x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為B,那么

A={0,l}.

(3)設(shè)由1~20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合為C,那么

C={2,3,5,7,11,13,17,19).

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合表示法中的列舉法.通過本題可以體會(huì)利用

集合表示數(shù)學(xué)內(nèi)容的簡(jiǎn)潔性和嚴(yán)謹(jǐn)性，以后我們盡量用集合來表示數(shù)

學(xué)內(nèi)容.

如果一個(gè)集合是有限集，并且元素的個(gè)數(shù)較少時(shí)，通常選擇列舉法表示,

其特點(diǎn)是非常顯明地表示出了集合中的元素，是常用的表示法；

列舉法表示集合的步驟:(1)用字母表示集合;(2)明確集合中的元素;(3)

把集合中所有元素寫在大括號(hào)“{}”內(nèi),并寫成A={……}的形式.

變式訓(xùn)練

用列舉法表示下列集合：

(1)所有絕對(duì)值等于8的數(shù)的集合A;

(2)所有絕對(duì)值小于8的整數(shù)的集合B.

答案：(l)A={-8,8};

(2)B={-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,123,4,5,6,7).

3.試分別用列舉法和描述法表示下列集合：

(1)方程X2-2=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；

(2)由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合.

活動(dòng)：先讓學(xué)生回顧列舉法表示集合的步驟，思考描述法的形式，再找

學(xué)生到黑板上書寫.當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，教師指導(dǎo)學(xué)生書寫過程.用描

述法表示集合時(shí),要用數(shù)學(xué)符號(hào)表示集合元素的特征.大于10小于20

的所有整數(shù)用數(shù)學(xué)符號(hào)可以表示為10<x<20,x￡Z.(重點(diǎn)引導(dǎo)用描述

法表示集合)

用描述法表示集合時(shí)，用一個(gè)小寫英文字母表示集合中的元素，作為集

合中元素的代表符號(hào)，找到集合中元素的共同特征，并把共同特征用數(shù)

學(xué)符號(hào)來表達(dá)，然后寫在大括號(hào)“{}”內(nèi)，在大括號(hào)內(nèi)先寫上集合中元素

的代表符號(hào)及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線,在豎線后寫出這個(gè)集

合中元素所具有的共同特征.

在(1)中利用條件中現(xiàn)有元素代表符號(hào)x,集合中元素的共同特征就是

滿足方程x2-2=0.

在⑵的條件中沒有元素代表符號(hào)，故要先設(shè)出，用一個(gè)小寫英文字母

表示即可;集合中元素的共同特征有兩個(gè):一是大于10小于20(用不等

式表示)，二是整數(shù)(用元素與集合的關(guān)系符號(hào)“e”來表示).

解：⑴設(shè)方程x2-2=0的實(shí)根為x,它滿足條件x2-2=0,因此，用描述法表

示為

A={XGR|X2-2=0}.

方程X2-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為后痣,因此用列舉法表示為

A={V2,—V2}.

(2)設(shè)大于10小于20的整數(shù)為x,它滿足條件x￡Z,且10<x<20,因此,

用描述法表示為

B={xEZ|10<x<20}.

大于10小于20的整數(shù)有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此，用列舉法表

示為

B={11,12,13,14,15,16,17,18,19).

描述法表示集合的步驟:(1)用字母分別表示集合和元素;(2)用數(shù)學(xué)符

號(hào)表達(dá)集合元素的共同特征;(3)在大括號(hào)內(nèi)先寫上集合中元素的代表

符號(hào)及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線,在豎線后寫出這個(gè)集合中元

素所具有的共同特征.并寫成A=的形式.描述法適合表示有無

數(shù)個(gè)元素的集合.

注意：當(dāng)集合中的元素個(gè)數(shù)較少時(shí)，通常用列舉法表示，否則用描述法

表示.

思路2

l.(l)A={1,3},判斷元素3,5和集合A的關(guān)系，并用符號(hào)表示.

(2)所有素質(zhì)好的人能否表示為集合？

(3)A={2,2,4}表示是否準(zhǔn)確？

(4)A=｛太平洋，大西洋｝,B=｛大西洋，太平洋｝是否表示同一集合？

活動(dòng)：如果學(xué)生沒有解題思路，讓學(xué)生思考以下知識(shí)：

(1)元素與集合的關(guān)系及其符號(hào)表示；

(2)集合元素的性質(zhì)；

(3)兩個(gè)集合相同的定義.

解：(1)根據(jù)元素與集合的關(guān)系有兩種:屬于(￡)和不屬于(右)，知3屬于

集合A,即3EA,5不屬于集合A,即集A.

(2)由于素質(zhì)好的人標(biāo)準(zhǔn)不可量化，不符合集合元素的確定性，故A不能

表示為集合.

(3)表示不準(zhǔn)確，不符合集合元素的互異性，應(yīng)表示為A=｛2,4｝.

(4)因其元素相同,A與B表示同一集合.

變式訓(xùn)練

1.數(shù)集｛3,xX-2x)中，實(shí)數(shù)x滿足什么條件?

解：集合元素的特征說明｛3,x,xL2x｝中元素應(yīng)滿足

xw3,x。3,x03,

x2-2x,即<x2*3x,也就是即滿足xr-l,0,3.

3H/一2x,x~-2.x—3H0,x*—1,

2.方程ax2+5x+c=0的解集是｛｝,則a=,c=.

分析:方程ax2+5x+c=0的解集是｛)，那么|!是方程的兩根,

即有23。'得1=6那么a=-6,c=j.

一1?一1=一cc=-1,

123a

答案：6-1

3.集合A中的元素由關(guān)于x的方程kx2-3x+2=0的解構(gòu)成，其中k￡R,

若A中僅有一個(gè)元素，求k的值.

解：由于A中元素是關(guān)于x的方程kx2-3x+2=0(k￡R)的解，

若k=0,則x=|■，知A中有一個(gè)元素，符合題設(shè)；

若原0,則方程為一元二次方程，

當(dāng)A=9-8k=0即k=2時(shí),kx2-3x+2=0有兩相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)A中有一

8

個(gè)元素.

綜上所述k=0或k=2.

8

4.2006山東高考，理1定義集合運(yùn)算:AG)B={z|z=xy(x+y),x￡A,y￡B},

設(shè)集合A={0,l},B={2,3},則集合AOB的所有元素之和為…()

A.OB.6C.12D.18

分析:x￡A,x=0或x=1.

當(dāng)x=0,y￡B時(shí)，總有z=0;

當(dāng)x=l時(shí)，

若x=l,y=2時(shí)，有z=6;當(dāng)x=l,y=3時(shí)，有z=12.

綜上所得，集合AOB的所有元素之和為0+6+12=18.

答案：D

注意：①判斷元素與此集合的關(guān)系時(shí),用列舉法表示的集合，只需觀察

這個(gè)元素是否在集合中即可.用符號(hào)。表示,注意這兩個(gè)符號(hào)的左

邊寫元素，右邊寫集合，不能互換它們的位置，否則沒有意義.

②如果有明確的標(biāo)準(zhǔn)來判斷元素在集合中，那么這些元素就能構(gòu)成集

合,否則不能構(gòu)成集合.

③用列舉法表示的集合,直接觀察它們的元素是否完全相同，如果完全

相同，那么這兩個(gè)集合就相等,否則不相等.

2.用列舉法表示下列集合：

(1)小于5的正奇數(shù)組成的集合；

(2)能被3整除且大于4小于15的自然數(shù)組成的集合；

(3)方程x2-9=0的解組成的集合；

(4){15以內(nèi)的質(zhì)數(shù)};

(5){x|-^-eZ,xeZ}.

3-x

活動(dòng)：教師指導(dǎo)學(xué)生思考列舉法的書寫格式，并討論各個(gè)集合中的元

素.明確各個(gè)集合中的元素,寫在大括號(hào)內(nèi)即可.

提示學(xué)生注意：

⑵中滿足條件的數(shù)按從小到大排列時(shí)，從第二個(gè)數(shù)起,每個(gè)數(shù)比前一

個(gè)數(shù)大3;

(4)中除去】和本身外沒有其他的約數(shù)的正整數(shù)是質(zhì)數(shù)；

(5)中3-x是6的約數(shù),6的約數(shù)有±1,±2,±3,±6.

解：(1)滿足題設(shè)條件小于5的正奇數(shù)有1、3,故用列舉法表示為{1,3};

(2)能被3整除且大于4小于15的自然數(shù)有6、9、12,故用列舉法表

示為{6,9,12};

(3)方程X2-9=0的解為-3、3,故用列舉法表示為{-3,3};

(4)15以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13,故該集合用列舉法表示為

{2,3,5,7,11,13};

(5)滿足上WZ的x有3-x=±l、±2、±3、±6,解之，得x=2、4、1、5、

3-x

0、6、-3、。故用列舉法表示為{2,4,1,5,0,6,-3,9}.

變式訓(xùn)練

用列舉法表示下列集合：

(l)x2-4的一次因式組成的集合；

(2){y|y=-x?-2x+3,x￡R,yWN};

(3)方程x2+6x+9=0的解集；

(4){20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)};

(5){(x,y)|x2+y2=1,x￡Z,y￡Z};

(6){大于。小于3的整數(shù)};

(7){xSR|x2+5x-14=0};

(8){(x,y)|xGN且l<x<4,y-2x=0};

(9){(x,y)|x+y=6,xGN,yGN).

思路分析：用列舉法表示集合的關(guān)鍵是找出集合中的所有元素，要注

意不重不漏，不計(jì)次序地用“,”隔開放在大括號(hào)內(nèi).

解：⑴因x2-4=(x-2)(x+2),故符合題意的集合為{x-2,x+2};

(2)y=-x2-2x+3=-(x+l)2+4,gpy<4.XyGN,.*.y=0>1、2、3、4,

故{y|y=-x2-2x+3,x￡R,y￡N}={0,1,2,3,4};

⑶由x2+6x+9=0得XI=X2=-3,.?.方程x2+6x+9=0的解集為{-3};

(4){20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)}={2,3,5,7,11,13,17,19};

(5)因x￡Z,y￡Z,則x=-l、0、1時(shí),y=0、1、-1,

那么{(x,y)K+y2=1,xGZ,yGZ)={(-1,0),(0,1),(0,-1),(1,0)};

(6){大于0小于3的整數(shù))={1,2};

⑺因x2+5x-14=0的解為XI=-7,X2=2,則{x￡Rk+5x-14=0}={-7,2};

⑻當(dāng)xWN且l<x<4時(shí),x=l、2、3,此時(shí)y=2x,即y=2、4、6,

那么{(x,y)|x￡N且l<x<4,y-2x=0}={(1,2),(2,4),(3,6)};

(9){(x,y)|x+y=6,x￡N,y￡N}={(0,6)(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)).

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合的列舉法表示.列舉法適用于元素個(gè)數(shù)有限

個(gè)并且較少的集合.用列舉法表示集合:先明確集合中的元素,再把元

素寫在大括號(hào)內(nèi)并用逗號(hào)隔開，相同的元素寫成一個(gè).

3.用描述法分別表示下列集合：

(1)二次函數(shù)y=x2圖象上的點(diǎn)組成的集合；

(2)數(shù)軸上離原點(diǎn)的距離大于6的點(diǎn)組成的集合；

(3)不等式x-7<3的解集.

活動(dòng)：讓學(xué)生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)？

如何表示數(shù)軸上的點(diǎn)？如何表示不等式的解？學(xué)生板書，教師在其他

學(xué)生中間巡視，及時(shí)幫助思維遇到障礙的同學(xué).必要時(shí),教師可提示學(xué)

生：

⑴集合中的元素是點(diǎn)，它是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，集合元素代表符號(hào)用有

序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)來表示，其特征是滿足y=x2;

⑵集合中元素是點(diǎn)，而數(shù)軸上的點(diǎn)可以用其坐標(biāo)表示，其坐標(biāo)是一個(gè)

實(shí)數(shù),集合元素代表符號(hào)用x來表示，其特征是對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)絕對(duì)值大于

6;

(3)集合中的元素是實(shí)數(shù)，集合元素代表符號(hào)用x來表示，把不等式化為

x<a的形式，則這些實(shí)數(shù)的特征是滿足x<a.

解：(1)二次函數(shù)y=x2上的點(diǎn)(x,y)的坐標(biāo)滿足y=x?,則

二次函數(shù)y=x2圖象上的點(diǎn)組成的集合表示為{(x,y)|y=x?};

(2)數(shù)軸上離原點(diǎn)的距離大于6的點(diǎn)組成的集合等于絕對(duì)值大于6的

實(shí)數(shù)組成的集合，則

數(shù)軸上離原點(diǎn)的距離大于6的點(diǎn)組成的集合表示為{x￡R||x|〉6};

(3)不等式x-7<3的解是x<10,則

不等式x-7<3的解集表示為{x|x<10}.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合的描述法表示.描述法適用于元素個(gè)數(shù)是有

限個(gè)并且較多或無限個(gè)的集合.

用描述法表示集合時(shí)，集合元素的代表符號(hào)不能隨便設(shè)，點(diǎn)集的元素代

表符號(hào)是(x,y),數(shù)集的元素代表符號(hào)常用x.集合中元素的公共特征屬

性可以用文字直接表述,最好用數(shù)學(xué)符號(hào)表示，必須抓住其實(shí)質(zhì).

變式訓(xùn)練

用描述法表示下列集合：

⑴方程2x+y=5的解集；

(2)小于10的所有非負(fù)整數(shù)的集合；

(3)方程ax+by=0(ab聲0)的解；

(4)數(shù)軸上離開原點(diǎn)的距離大于3的點(diǎn)的集合；

(5)平面直角坐標(biāo)系中第II、W象限點(diǎn)的集合；

⑹方程組［x+y=L的解的集合；

x-y=l

⑺{(lán)1,3,5,7,...};

(8)x軸上所有點(diǎn)的集合;

(9)非負(fù)偶數(shù);

(10)能被3整除的整數(shù).

解：(l){(x,y)|2x+y=5};

(2){x|0<x<10,xeZ};

(3){(x,y)|ax+by=0(ab^0));

(4){x||x|>3);

(5){(x,y)|xy<0);

(6){(x,y)『+y=：}；

X-y=1

(7){x|x=2k-l,keN};

(8){(x,y)|xGR,y=0};

(9){x|x=2k,kGNJ;

(10){x|x=3k,keZ).

知能訓(xùn)練

課本Ps練習(xí)12.

【補(bǔ)充練習(xí)】

1.下列對(duì)象能否組成集合：

(1)數(shù)組1、3、5、7;

(2)到兩定點(diǎn)距離的和等于兩定點(diǎn)間距離的點(diǎn);

⑶滿足3x-2>x+3的全體實(shí)數(shù)；

(4)所有直角三角形；

(5)美國NBA的著名籃球明星；

(6)所有絕對(duì)值等于6的數(shù)；

(7)所有絕對(duì)值小于3的整數(shù)；

(8)中國男子足球隊(duì)中技術(shù)很差的隊(duì)員；

(9)參加2008年奧運(yùn)會(huì)的中國代表團(tuán)成員.

答案：(1)(2)(3)(4)(6)(7)(9)能組成集合,(5)(8)不能組成集合.

2.(口答)說出下面集合中的元素：

(1)｛大于3小于11的偶數(shù)｝;

(2)｛平方等于1的數(shù)｝;

(3)(15的正約數(shù)｝.

答案：⑴其元素為4,6,8,10;

⑵其元素為-1,1;

(3)其元素為1,3,5,15.

3.用符號(hào)￡或把填空：

(1)1—____N,0______N,-3——N,0.5——N,V2——N;

(2)1—____Z,0______Z,-3——Z,0.5——Z,V2一—Z;

(3)1__Q,0__Q,-3__Q,0.5__Q,V2__Q;

(4)1_____R,0______R,-3——R,0.5——R,V2——R

答案：

⑴金￡走先任

⑵￡GGg史

⑶金eee生

⑷￡eEee

4.判斷正誤：

(1)所有屬于N的元素都屬于N.)

(2)所有屬于N的元素都屬于Z()

(3)所有不屬于N”的數(shù)都不屬于Z()

(4)所有不屬于Q的實(shí)數(shù)都屬于R.()

⑸不屬于N的數(shù)不能使方程4x=8成立.()

答案：(l)x(2)<(3)x(4)，(5)4

5.分別用列舉法、描述法表示方程組?x+y=2,的解集.

2x-3y=27

解：因fx+y=2,的解為(x=3,

2x-3y=27[y=-7.

用描述法表示該集合為{(x,y)|?x+y=2"

[2x-3y=27

用列舉法表示該集合為{(3,-7)}.

拓展提升

問題:集合A={x|x=a+&b,a￡Z,b￡Z},判斷下列元素x=0、——、

V2-1

『「與集合A之間的關(guān)系.

V3-V2

活動(dòng)：學(xué)生先思考元素與集合之間有什么關(guān)系，書寫過程,將元素x化

為a+2b的形式，再判斷a、b是否為整數(shù).描述法表示集合的優(yōu)點(diǎn)是突

出顯示了集合元素的特征，那么判斷一個(gè)元素是否屬于集合時(shí),轉(zhuǎn)化為

判斷這個(gè)元素是否滿足集合元素的特征即可.

解：由于x=a+bV2,aeZ,b￡Z,

當(dāng)a=b=O時(shí),x=0.OGA.

又=后+1=1+/，

V2-1

當(dāng)a=b=1時(shí),a+bV2=1+V2,—￡A.

V2-1

又」「二6+叵,

V3-V2

當(dāng)a=3,b=l時(shí),a+b&=V5+Vi,而3eZ,

]

出A.

V3—V2

1尸1廣

AOGA,更A.

V2-1百-5/2

點(diǎn)評(píng)：本題考查集合的描述法表示以及元素與集合間的關(guān)系.

課堂小結(jié)

本節(jié)學(xué)習(xí)了：(1)集合的概念;(2)集合的表示法;(3)利用列舉法和描述法

表示集合的步驟.

作業(yè)

課本PH習(xí)題1.1A組2、3、4.

設(shè)計(jì)感想

集合語言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，在高中數(shù)學(xué)課程中，它也是學(xué)習(xí)、掌

握和使用數(shù)學(xué)語言的基礎(chǔ).由于集合的概念較難理解，因此設(shè)計(jì)時(shí)采用

漸進(jìn)式學(xué)習(xí)，而集合的列舉法和描述法的形式比較容易接受，在設(shè)計(jì)時(shí)

注重讓學(xué)生自己學(xué)習(xí)，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)這兩種方法的應(yīng)用.同時(shí)通過

解決一系列具體問題，使學(xué)生自己體會(huì)到集合各種表示法的優(yōu)缺點(diǎn);針

對(duì)不同問題，能選用合適集合表示法.在練習(xí)過程中熟練掌握集合語言

與自然語言的轉(zhuǎn)換.教師在教學(xué)過程中時(shí)時(shí)監(jiān)控,對(duì)學(xué)生不可能解決的

問題，如集合常見表示法的寫法，常見數(shù)集及其記法應(yīng)直接給出，以避

免出現(xiàn)不必要的混亂.對(duì)學(xué)生解題過程中遇到的困難給予適當(dāng)點(diǎn)撥.引

導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好學(xué)習(xí)習(xí)慣,最大限度地挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛力是我們教

師的奮斗目標(biāo).

備課資料

［備選例題］

［例1］下面的Venn圖中反映的是四邊形、梯形、平行四邊形、菱

形、正方形這五種幾何圖形之間的關(guān)系，問集合A、B、C、D、E分別

是哪種圖形的集合？

思路分析：結(jié)合Venn圖，利用平面幾何中梯形、平行四邊形、菱形、

正方形的定義來確定.

解：梯形、平行四邊形、菱形、正方形都是四邊形，故A=｛四邊形｝;

梯形不是平行四邊形、菱形、正方形，而菱形、正方形是平行四邊形,

故B=｛梯形｝,C=｛平行四邊形｝;正方形是菱形，故E=｛正方形｝,

即A=｛四邊形｝,B=｛梯形｝,C=｛平行四邊形｝,D=｛菱形｝,E=｛正方形｝.

【例2】2006全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東賽區(qū)預(yù)賽,3設(shè)集合

A=｛x||xR3|x|+2=0｝,B=｛x|(a-2)x=2｝,則滿足B建A的a的值共有()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

分析:由已知得A=｛x||x|=l或?qū)?2｝=｛-2,-1,1,2｝,集合B是關(guān)于x的方程

(a-2)x=2的解集，

當(dāng)B=0時(shí)，關(guān)于x的方程(a-2)x=2無解,.。2=0.

.\a=2.當(dāng)BW0時(shí)，關(guān)于x的方程(a-2)x=2的解x=—GA,

a-2

.?.二一=-2或二-=-1或二一=1或二一=2.

。-2a-2a-2a-2

解得a=l或?；?或3,綜上所得,a的值共有5個(gè).

答案：D

【例312005天津高考，文1集合A={x|0<x<3且x￡N}的真子集的個(gè)

數(shù)是()

A.16B.8C.7D.4

分析:A={x[0Wx<3且X￡N}={0,1,2},則A的真子集有23-1=7個(gè).

答案：C

【例4】已知集合A={x]，xS3},B={x[(x-l)(x-a)=0},試判斷集合B是不

是集合A的子集？是否存在實(shí)數(shù)a使A=B成立？

解析:先在數(shù)軸上表示集合A,然后化簡(jiǎn)集合B,由集合元素的互異性,

可知此時(shí)應(yīng)考慮a的取值是否為1,要使集合B成為集合A的子集，集

合B的元素在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)必須在集合A對(duì)應(yīng)的線段上，