平面向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算

一.情境引入上海市莘莊中學(xué)的健美操隊(duì)四名隊(duì)員A、B、C、D在一個(gè)長(zhǎng)10米，寬8米的矩形表演區(qū)域EFGH內(nèi)進(jìn)行健美操表演。(1)若在某時(shí)刻，四名隊(duì)員A、B、C、D保持如圖1所示的平行四邊形隊(duì)形。隊(duì)員A位于點(diǎn)F處，隊(duì)員B在邊FG上距F點(diǎn)3米處，隊(duì)員D位于距EF邊2米距FG邊5米處.你能確定此時(shí)隊(duì)員C的位置嗎?E8m8m［說(shuō)明］此時(shí)隊(duì)員C在位于距EF邊5米距FG邊5米處.這個(gè)圖形比較特殊，學(xué)生很快就會(huì)得到答案，這時(shí)教師引入第二個(gè)問(wèn)題。(2)若在某時(shí)刻，四名隊(duì)員A、B、C、D保持如圖2所示的平行四邊形隊(duì)形。隊(duì)員A位于距EF邊2米距FG邊1米處，隊(duì)員B在距EF邊6米距FG邊3米處，隊(duì)員D位于距EF邊4米距FG邊5米處。你能確定此時(shí)隊(duì)員C的位置嗎？二．學(xué)習(xí)新課向量的正交分解我們稱(chēng)在平面直角坐標(biāo)系中，方向與x軸和y軸正方向分別相同的的兩個(gè)單位向量叫做基本單位向量，分別記為i，如圖，稱(chēng)以原點(diǎn)0為起點(diǎn)的向量為位置向量，如下圖左，貢即為一個(gè)位置向量.

如上圖右，設(shè)如果點(diǎn)a的坐標(biāo)為（兀如上圖右，設(shè)如果點(diǎn)a的坐標(biāo)為（兀y）,它在小X軸，y軸上的投影分別為M,N,那么向量OA能用向量OM與ON來(lái)表示嗎？（依向量加法的平行四邊形法則可得OA=OM+ON），OM與ON能用基本單位向量i，j來(lái)表示嗎？（依向量與實(shí)數(shù)相乘的幾何意義可得OM=xi，ON=yj）,于是可得:OA-OM+ON-xi+yj由上面這個(gè)式子，我們可以看到：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任一位置向量OA都能表示成兩個(gè)相互垂直的基本單位向量i，j的線性組合，這種向量的表示方法我們稱(chēng)為向量的正交分解.2。向量的坐標(biāo)表示思考2：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一個(gè)向量，我們都能將它正交分解為基本單位向量7j的線性組合嗎？如下圖左。 ? —顯然，如上圖右，我們一定能夠以原點(diǎn)0為起點(diǎn)作一位置向量OA，使OA=a.于是,可知:在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，任意一個(gè)向量都存在一個(gè)與它相等的位置向量°A。由于這一點(diǎn)，我們研究向量的性質(zhì)就可以通過(guò)研究其相應(yīng)的位置向量來(lái)實(shí)現(xiàn)。由于任意一個(gè)位置向量都可以正交分解為基本單位向量i,j的線性組合,所以平面內(nèi)任意的一個(gè)向量都可以正交分解為基本單位向量1j的線性組合.即：二OA二xi+yj—A—A ?上式中基本單位向量Aj前面的系數(shù)x,y是與向量相等的位置向量OA的終點(diǎn)A的坐標(biāo)。由于基本單位向量7,j是固定不可變的，為了簡(jiǎn)便，通常我們將系數(shù)x,y抽取出來(lái)，得到有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）?？芍行?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）與向量的位置向量OA是一一對(duì)應(yīng)的.因而可用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）表示向量，并稱(chēng)（x,y）為向量的坐標(biāo)，記作：=（x,y）［說(shuō)明］（x,y）不僅是向量的坐標(biāo)，而且也是與相等的位置向量OA的終點(diǎn)A的坐標(biāo)!當(dāng)將向量的起點(diǎn)置于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，其終點(diǎn)A的坐標(biāo)是唯一的，所以向量的坐標(biāo)也是唯一的.這樣，我們就將點(diǎn)與向量、向量與坐標(biāo)統(tǒng)一起來(lái),使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。顯然，依上面的表示法，我們有：7= j=（o，i），o=（0,0）.例1?如圖，寫(xiě)出向量a,b,c的坐標(biāo)。解：由圖知a=（】，2）與向量相等的位置向量為OA,可知b=OA=（1,2）與向量相等的位置向量為OB,可知c=OB=（1,-2）■2I汪［說(shuō)明］對(duì)于位置向量，它的終點(diǎn)的坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo)；對(duì)于起點(diǎn)不在原點(diǎn)的向量b,c,我們是通過(guò)先找到與它相等的位置向量，再利用位置向量的坐標(biāo)得到它們的坐標(biāo)那么，有沒(méi)有不通過(guò)位置向量，直接就寫(xiě)出任意向量的坐標(biāo)的方法呢？答案是肯定的，而且很簡(jiǎn)便，但我們需幾分鐘后再來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。讓我們先學(xué)習(xí)向量坐標(biāo)表示的運(yùn)算：3。向量的坐標(biāo)表示的運(yùn)算我們學(xué)過(guò)向量的運(yùn)算，知道向量有加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的乘法等運(yùn)算，那么,在學(xué)習(xí)了向量的坐標(biāo)表示以后，我們?cè)趺从孟蛄康淖鴺?biāo)形式來(lái)表示這些運(yùn)算呢?設(shè)是一個(gè)實(shí)數(shù),a=(x，y)，b=(x，y)?1122由于a=(x,y)=xi+yj,b=(x,y)=xi+yj11112222所以a士b=(x,y)士(x,y)=(xi+yj)±(xi+yj)=(xi士xi)+(yj士yj)1212

=(x士x)i+(y士y)j

(121)2=(x士x,y士y丿1/21平九a=X(x,y)=X^xT+yj)=Xxi+九yj=(九x,九y丿1111111于是有：(x,y)士(x,y)=(x士x，y士y)11221212九(x,y)=(九x,九y)1111說(shuō)明］上面第一個(gè)式子用語(yǔ)言可表述為：兩個(gè)向量的和（差）的橫坐標(biāo)等于它們對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)的和（差），兩個(gè)向量的和（差）的縱坐標(biāo)也等于它們對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)的和（差）,可籠統(tǒng)地簡(jiǎn)稱(chēng)為:兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)等于對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的和（差）；同樣，第二個(gè)式子用語(yǔ)言可表述為：數(shù)與向量的積的橫坐標(biāo)等于數(shù)與向量的橫坐標(biāo)的積,數(shù)與向量的積的縱坐標(biāo)等于數(shù)與向量的縱坐標(biāo)的積,也可籠統(tǒng)地簡(jiǎn)稱(chēng)為:數(shù)與向量積的坐標(biāo)等于數(shù)與向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的積.4。應(yīng)用與深化下面我們來(lái)研究剛才提出的不通過(guò)位置向量，如何直接寫(xiě)出任意向量的坐標(biāo)的問(wèn)題：例2。如下圖左，設(shè)P（x1，人）、Q（x2,y2）是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意兩點(diǎn)，如何用P、Q的坐標(biāo)來(lái)表示向量PQ？

解:如上圖右，向量PQ=OQ-°p=(x,y)-(x,y)

=(x2-X,y-y1)2121從而有PQ=(x2-x1,y2-y1)［說(shuō)明］上面這個(gè)式子告訴我們：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意向量的橫坐標(biāo)等于它終點(diǎn)的橫坐標(biāo)與它起點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差，縱坐標(biāo)也等于它終點(diǎn)的縱坐標(biāo)與它起點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差，可簡(jiǎn)稱(chēng)為“任意向量坐標(biāo)二終點(diǎn)坐標(biāo)一起點(diǎn)坐標(biāo)”例3。如圖，平面上例3。如圖，平面上A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,1)、(-3,2)、(-1，3)。寫(xiě)出向量AC，BC的坐標(biāo)；如果四邊形ABCD是平行四邊形，求D的坐標(biāo)。解：⑴AC=(—1—2,3—1)=(—3,2)BC=(-1-(—3)，3-2)=(2，1)(2)在上圖中，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以DC=AB設(shè)點(diǎn)d的坐標(biāo)為(xD，yD)，于是有(—1—xD，3―yD)=AB又 AB=(-3—2,2—1)=(-5,1)(—1—x,3—y)=(-5,1)D D

I-1-x由此可得［ DL3-yD=-5=1Ix解得1DLyD=-5=1Ix解得1DLyD練習(xí):(1)請(qǐng)大家用兩分鐘的時(shí)間解答本節(jié)課一開(kāi)始我們所提出的在某時(shí)刻，健美操隊(duì)員C的位置問(wèn)題。即：在某時(shí)刻，四名隊(duì)員A、B、C、D保持如圖所示的平行四邊形隊(duì)形。如F圖左，隊(duì)員A位于距EF邊2米距FG邊1米處，隊(duì)員B在距EF邊6米距FG邊3米處，隊(duì)員D位于距EF邊4米距FG邊5米處。你能確定此時(shí)隊(duì)員C的位置嗎?EyD(4,5)”?B(6,3)EyD(4,5)F ?A(2,1)O——= 解:以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，以邊FG為x軸，以邊FE為y軸,建立如上圖右所示直角坐標(biāo)系。則依題意有A(2，1)，B(6,3),D(4,5)，設(shè)C(x,y),則由ABCD是平行四邊形可得：AC=AB+AD=(4,2)+(2,4)=(6,6)又AC-(x,y)-(2，1)=(x一2,y一1)故(x一2,y一1)=(6,6)于是x=8,y=7，即C(8,7)。答：隊(duì)員C位于距EF邊8米、距FG邊7米處.(2)在某時(shí)刻，四名隊(duì)員A、B、C、D保持平行四邊形隊(duì)形。已知隊(duì)員A位于距EF邊2米距FG邊1米處，隊(duì)員B在距EF邊6米距FG邊3米處，隊(duì)員C位于如下圖左所示的矩形陰影部分區(qū)域內(nèi)(包括邊界)某一位置。你能確定此時(shí)隊(duì)員D可能的位置區(qū)域嗎？

Ey[―<—8m解：以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，以邊FG為x軸,5jH出(6,3)譽(yù)0mEy[―<—8m解：以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，以邊FG為x軸,5jH出(6,3)譽(yù)0m4mGx以邊FE為y軸，建立如上圖右所示直角坐標(biāo)DC=AB=(4,2)又D(x，y)，所以可得C(x+4,y+2)由題意5<x+4<10由題意4<y+2<8于是可得隊(duì)員D可能的位置區(qū)域如圖所示陰影部分（除去點(diǎn)B）:EH6Ca*2jr?■-BFo4*1———6G―3例4。已知向量a=（4，一1）與b=（5,2）,求2云+3b的坐標(biāo)。解:因?yàn)?a=（8，一2），3b=（15,6）所以2a+3b=(8+15,—2+6)=(23,4)1.如圖，寫(xiě)出向量a，b1.如圖，寫(xiě)出向量a，b，c的坐標(biāo).2。已知a=(—1,2)，若其終點(diǎn)坐標(biāo)是(2,1),則其起點(diǎn)的坐標(biāo)是；若其起點(diǎn)坐標(biāo)是(2,1),則其終點(diǎn)的坐標(biāo)是.3。已知向量a=(_2,3)與b=(1,—5),求3a-b及b-3a的坐標(biāo)。3。解：1.由題意：a=(2,1),b=(1,—1),c=(2,1)—(1,—1)=(2—1,1—(—1))=(1,2)2.設(shè)起點(diǎn)的坐標(biāo)是(x,y)，則(2,1)—(x,y)=(—1,2)，解得:(x,y)=(3,—1),即起點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,—1)；設(shè)終點(diǎn)的坐標(biāo)是(x,y),則(x,y)-(2,1) =(-1,2),解得：(x,y)=(1,3),即起點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,3).3。3a—b=3—(—7,14)(1,—5)=(-7,14)b—3a二(1,—5)3(—2,3)=(7,—14)［另法］：b—3a［另法］：b—3a二一Ga—b)=—(—7,14)=(7,—14)拓展內(nèi)容：1、已知向量a=(1,2).(1)在坐標(biāo)平面上，畫(huà)出向量；并求a(2)若向量終點(diǎn)Q坐標(biāo)為(3,0),則向量的始點(diǎn)P坐標(biāo)為 ；向量的模與兩點(diǎn)P、Q間距離關(guān)系是。若a=PQ=(x—x,y—y)，則a= =J(x—x)2+(y—y)2QPQP ll+QP QP練習(xí)1：已知向量a=(—2,3),b=(1,—5)，求2a—b［說(shuō)明］在問(wèn)題一中，先給出向量a=(1,2),要求學(xué)生在坐標(biāo)平面上畫(huà)出向量，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的解題意識(shí)，感悟向量的模即平面上兩點(diǎn)的距離。由此發(fā)現(xiàn)并掌握向量模的求法及幾何意義。安排(2)小問(wèn)的目的在于復(fù)習(xí)鞏固位置向量與自由向量的概念，體會(huì)并感悟到任何一個(gè)自由向量都可轉(zhuǎn)化為位置向量。通過(guò)自由向量與位置向量的學(xué)習(xí),引出向量平行的概念。向量平行的概念：對(duì)任意兩個(gè)向量a,b，若存在一個(gè)常數(shù)，使得a=九?b成立，則兩向量與向

量平行，記為：a//b.2?在坐標(biāo)平面上描出下列三點(diǎn)A（O,1）,B（1,3）,C（3,7），完成下列問(wèn)題:1）請(qǐng)把下列向量的坐標(biāo)與模填在表格內(nèi)：ABBCAC向量坐標(biāo)（1，2）（2,4）（3,6）向量的模2運(yùn)3頂2）通過(guò)畫(huà)圖,你得出什么結(jié)論？三點(diǎn)A、B、C在一條直線上（3）分析表格中向量的模，你發(fā)現(xiàn)了什么?眄+阿二|ac4）分析表格中向量，你還發(fā)現(xiàn)了什么？BC=BC=2ABAC=3AB，［說(shuō)明］養(yǎng)成解題后反思的習(xí)慣，總結(jié)如何判斷三點(diǎn)共線?方法一:計(jì)算三個(gè)向量的模長(zhǎng)關(guān)系。方法二:看兩個(gè)非零向量之間是否存在非零常數(shù)。（5）分析表格中向量坐標(biāo)，你又發(fā)現(xiàn)了什么？向量坐標(biāo)之間存在比例關(guān)系.xy思考:如果向量a,b用坐標(biāo)表示為a=（x,y）,b=（x,y），則=4是a//b的（）條1 1 2 2 xy22件。A件。A、充要C、充分不必要由此，通過(guò)改進(jìn)引出B、必要不充分D、既不充分也不必要課本例5若a,b是兩個(gè)非零向量，且a=（x，y）,b=（x,y）1122則a〃b的充要條件是xy=xy。1221分析：代數(shù)證明的方法與技巧，嚴(yán)密、嚴(yán)謹(jǐn).證明：分兩步證明，(I)先證必要性：a//bnxy=xy1221非零向量a//b存在非零實(shí)數(shù)，使得a=xb，即c fx=Xx(x,y)=X(x,y)，化簡(jiǎn)整理可得：］1 .2，消去即得xy=xy1 1 2 2 Iy=Xy 12 21I1 2(II)再證充分性：xy=xyna//b1221則、、全不為零，顯然有—=―1=X豐0xy22C ~A ~A ~A~A(x, y)=X(x ,y)na =Xb na //b1122⑵若x1y2=x2y1=0，則、、中至少有兩個(gè)為零。如果x=0，則由是非零向量得出一定有y豐0,x=0,112又由是非零向量得出y豐0，從而