河北衡水中學(xué)2023屆高三模擬數(shù)學(xué)試題

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、座位號填寫在答題卡上.本試卷滿分150分.2.作答時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知有A、B、C、D四個命題，其中A為B的必要條件，B為C的充分條件，C為D的必要條件，D為AA、B、C、D中的任意一個命題均為A、B、C、D四個命題的必要條件，則這個條件可以為（

）.A．B為C的必要條件 B．B為A的必要條件C．C為D的充分條件 D．B為D的必要條件2．復(fù)數(shù).若，則（

）的值與a、b的值無關(guān).A． B． C． D．3．，可以寫成關(guān)于的多項式，則該多項式各項系數(shù)之和為（

）.A．240 B．241 C．242 D．2434．函數(shù)的圖像如圖所示，已知，則方程在上有（

）個非負(fù)實根.A．0 B．1 C．2 D．35．函數(shù)的最大值為（

）.A． B． C． D．36．，，，，a，b，c，d間的大小關(guān)系為（

）.A． B．C． D．7．已知數(shù)列、，，，其中為不大于x，，，有且僅有4個不同的，使得，則m一共有（

）個不同的取值.A．120 B．126 C．210 D．2528．平面上有兩組互不重合的點(diǎn)，與，，，.則的范圍為（

）.A． B．C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9．工廠生產(chǎn)某零件，其尺寸服從正態(tài)分布（單位：cm）.其中k由零件的材料決定，且時，，，，則下列說法中正確的有（

）.A．越大，預(yù)計生產(chǎn)出的優(yōu)質(zhì)品零件與不合格零件的概率之比越小B．越大，預(yù)計生產(chǎn)出普通零件的概率越大C．若，則生產(chǎn)200個零件約有9個零件不合格D．若生產(chǎn)出優(yōu)質(zhì)零件、普通零件與不合格零件盈利分別為，，，則當(dāng)時，每生產(chǎn)1000個零件預(yù)計盈利10．已知橢圓C：，上有三點(diǎn)、、，、分別為其左、右焦點(diǎn).則下列說法中正確的有（

）.A．若線段、、的長度構(gòu)成等差數(shù)列，則點(diǎn)、、的橫坐標(biāo)一定構(gòu)成等差數(shù)列.B．若直線與直線斜率之積為，則直線過坐標(biāo)原點(diǎn).C．若的重心在軸上，則D．面積的最大值為11．已知函數(shù)，其中、.則下列說法中正確的有（

）.A．的最小值為B．的最大值為C．方程在上有三個解D．在上單調(diào)遞減12．直線、為曲線與的兩條公切線.從左往右依次交與于A點(diǎn)、B點(diǎn)；從左往右依次交與于C點(diǎn)、D點(diǎn)，且A點(diǎn)位于C點(diǎn)左側(cè)，D點(diǎn)位于BO，與交于點(diǎn)P.則下列說法中正確的有（

）.A． B．C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．底邊和腰長之比為的等腰三角形被稱為“黃金三角形”，四個面都為“黃金三角形”的四面體被稱為“黃金四面體”.“黃金四面體”的外接球與內(nèi)切球表面積之比為______.14．已知存在實數(shù)使得，則的取值范圍為______.15．已知圓C：，點(diǎn)，點(diǎn).點(diǎn)P為圓C上一點(diǎn)，作線段AP的垂直平分線l.則點(diǎn)B到直線l距離最小值為______.16．二元數(shù)列中各項的值同時由，決定.已知二元數(shù)列滿足，，.若，，則______四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知，D為邊AC上一點(diǎn)，，.(1)若，，求；(2)若直線BD平分，求與內(nèi)切圓半徑之比的取值范圍.18．為提高核酸檢測效率，某醫(yī)學(xué)實驗室現(xiàn)準(zhǔn)備采用某種檢測新冠肺炎病毒核酸的新型技術(shù)進(jìn)行新一輪大規(guī)模核酸篩查.經(jīng)過初步統(tǒng)計分析得出該項技術(shù)的錯檢率約為0.04，漏檢率約為0.01.（錯檢率指在檢測出陽性的情況下未感染的概率，漏檢率指在感染的情況下檢測出陰性的概率）(1)當(dāng)有100個人檢測出核酸陽性時，求預(yù)計檢出的假陽性人數(shù)；(2)為節(jié)約成本，實驗室在該技術(shù)的基礎(chǔ)上采用“混采”的方式對個別疫區(qū)進(jìn)行核酸檢測，即將n個人的樣本裝進(jìn)一根試管內(nèi)送檢；若某組檢測出核酸陽性，則對這n個人分別進(jìn)行單人單試管核酸采樣.現(xiàn)對兩個疫區(qū)的居民進(jìn)行核酸檢測，A疫區(qū)共有10000名居民，采用的混采策略；B疫區(qū)共有20000名居民，采用的混采策略.已知兩個疫區(qū)每個居民感染新冠肺炎的概率相等且均小于0.00032，通過計算比較A、B兩個疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量.參考數(shù)據(jù)：，19．異面直線、上分別有兩點(diǎn)A、B.則將線段AB的最小值稱為直線與直線之間的距離.如圖，已知三棱錐中，平面PBC，，點(diǎn)D為線段AC中點(diǎn)，.點(diǎn)E、F分別位于線段AB、PC上（不含端點(diǎn)），連接線段EF.(1)設(shè)點(diǎn)M為線段EF中點(diǎn)，線段EF所在直線與線段AC所在直線之間距離為d，證明：.(2)若，用含k的式子表示線段EF所在直線與線段BD所在直線之間的距離.20．已知數(shù)列滿足，，，為數(shù)列前項和.(1)若，，求的通項公式；(2)若，設(shè)為前n項平方和，證明：恒成立.21．已知拋物線，點(diǎn)作一條斜率為正的直線l從下至上依次交拋物線于點(diǎn)與點(diǎn)，過點(diǎn)作與l斜率互為相反數(shù)的直線分別交x軸和拋物線于、.(1)若直線斜率為k，證明拋物線在點(diǎn)處切線斜率為；(2)過點(diǎn)作直線分別交x軸和拋物線于、，過點(diǎn)作直線分別交x軸和拋物線于、，且，直線斜率與直線為等差數(shù)列.22．已知函數(shù).(1)若有唯一零點(diǎn)，設(shè)滿足條件的值為與證明：①與互為相反數(shù)；②；(2)設(shè).若存在兩個不同的極值點(diǎn)、，證明.參考數(shù)據(jù)：，1．A【分析】先由題設(shè)條件得到，再利用充要條件的傳遞性對選項逐一分析即可.【詳解】因為A為B的必要條件，B為C的充分條件，C為D的必要條件，D為A的必要條件，所以，即，對于A，若B為C的必要條件，即，則，所以A、B、C、D互為充要條件，則A、B、C、D中的任意一個命題均為A、B、C、D四個命題的必要條件，故A正確；對于B，若B為A的必要條件，即，則，易得不是的必要條件，故B錯誤；對于C，若C為D的充分條件，即，則，易得不是的必要條件，故C錯誤；對于D，若B為D的必要條件，即，則且，易得不是的必要條件，故D錯誤.故選：A2．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模的公式化簡條件，確定a、b關(guān)系，再依次判斷各選項.【詳解】因為，所以，所以，又，所以，，所以，因為，所以，所以，所以，所以，即的值與a、b的值無關(guān).故選：A.3．D【分析】利用換元法，將轉(zhuǎn)化為，從而利用賦值法即可求得該多項式各項系數(shù)之和.【詳解】因為，令，則，令，則，所以該多項式各項系數(shù)之和為.故選：D.4．B【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷方程在上的根的個數(shù).【詳解】由圖象可得函數(shù)在上有3個極值點(diǎn)，不妨設(shè)其極值點(diǎn)為，其中，設(shè)，，，由圖象可得，，時，函數(shù)單調(diào)遞增，，又函數(shù)的圖象由陡峭變?yōu)槠骄彛手饾u變小，所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，函數(shù)的圖象先由平緩變?yōu)槎盖停儆啥盖妥優(yōu)槠骄?，先變大再變小，函?shù)先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增，所以取值先負(fù)后正，所以存在，使得，當(dāng)，，當(dāng)，，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)的圖象由平緩變?yōu)槎盖停瘮?shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在單調(diào)遞減，因為，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上不存在零點(diǎn)，且，因為，因為表示點(diǎn)與點(diǎn)的連線的斜率，表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，結(jié)合圖象可得，故，所以函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，故方程在上有1個非負(fù)零點(diǎn)，故選：B.5．D【分析】利用三角函數(shù)的平方關(guān)系將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離之差，再利用三角形兩邊之差小于第三邊，結(jié)合三角函數(shù)的值域即可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，故的最大值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到與的距離之差的最大值，因為，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則，經(jīng)檢驗，此時，，所以，即的最大值為.故選：D.6．B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系證得；利用二項式定理證得，再構(gòu)造函數(shù)證得，從而得到；構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到；由此得解.【詳解】令，則，所以在上單調(diào)遞增，故，即，所以，則，即，故；因為，所以其展開通項公式為，故，，，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，即，所以，故，即；令，則，因為，所以，則，故，所以在上單調(diào)遞增，則，即，易知，所以，則，即；綜上：.故選：B.7．C【分析】將表示為，其中，且不全為0，，分析與的取值的關(guān)系，由此確定滿足條件的的取值的個數(shù).【詳解】設(shè)，其中，且不全為0，，若，則，，，，若，則，，，，所以若則，，若，則，若，，則，，，，，，若，，則，，，，，，若，，則，，，，，，若，，則，，，，，，所以時，，時，，同理可以證明時，，，，因為有且僅有4個不同的，使得，即中有且僅有4個變量取值為1，其余變量取值為0，又從中任選4個變量有種取法，故滿足條件的的個數(shù)為，即210個，故選：C.8．D【分析】考慮的特殊情況，驗證選項可得答案.【詳解】當(dāng)時，由題，有，，.得.則在以為圓心，半徑為1的圓上，則在以為圓心，半徑為2的圓上.又，則如下圖所示，即時，取最小值為1；如下圖所示，即時，取最大值為3.則當(dāng)時，的范圍是，驗證選項可排除A，B，C.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題因點(diǎn)的情況較為復(fù)雜，且又為選擇題，故考慮利用特殊值驗證選項得答案.9．AC【分析】對于AB，利用正態(tài)分布曲線的圖像變化即可得解；對于C，結(jié)合參考數(shù)據(jù)，求出預(yù)計生產(chǎn)出的不合格零件的概率，從而得解；對于D，結(jié)合參考數(shù)據(jù)，分別求出預(yù)計生產(chǎn)出的優(yōu)質(zhì)零件、普通零件與不合格零件的概率，從而得解.【詳解】依題意，得，則，，對于A，當(dāng)變大時，變大，則零件尺寸的正態(tài)分布曲線越扁平，所以預(yù)計生產(chǎn)出的優(yōu)質(zhì)品零件的概率越小，不合格零件的概率越大，則其比例越小，故A正確；對于B，由選項A可知，預(yù)計生產(chǎn)出普通零件的概率越小，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，，則，而，所以預(yù)計生產(chǎn)出的不合格零件的概率為，故生產(chǎn)200個零件約有不合格零件的個數(shù)為，故C正確；對于D，當(dāng)時，，則，，，所以預(yù)計生產(chǎn)出優(yōu)質(zhì)零件的概率為，不合格零件的概率為，普通零件的概率為，故每生產(chǎn)1000個零件預(yù)計盈利，故D錯誤.故選：AC.10．ABC【分析】先證明兩個結(jié)論，結(jié)論1為焦半徑公式，利用該公式可判斷AC的正誤，利用同一法可判斷B的正誤，結(jié)論2為均值不等式，利用該結(jié)論可求內(nèi)接三角形面積的最大值，從而可判斷D的正誤.【詳解】結(jié)論1：若為橢圓上的的動點(diǎn)，為其左焦點(diǎn)，則.證明：，因為，故，故.結(jié)論2：若，則.證明：因為，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，同理，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.由結(jié)論2可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.對于A、C，設(shè)，則由結(jié)論1可得：，因為，故，整理得到：，故A正確.因為的重心在軸上，故，故，故C正確.對于B，設(shè)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則，故（，否則，這與題設(shè)矛盾），故，但所以，所以，而，故，因均在橢圓上，故重合即直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，故B正確.我們先證明一個命題命題：設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，則面積的最大值為.證明：當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)直線，，則的面積，若，則，因為，，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，故此時.同理可證：當(dāng)時，.過當(dāng)直線的斜率存在，可設(shè)，由可得，故，故，而，又到的距離為，故的面積為：對于給定的，先考慮的最大值，設(shè)，則，其中，若，則的最大值為，此時設(shè)，則，故，由結(jié)論2可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最大值為，故，若，則的最大值為，同理可得，綜上，面積的最大值為.對于D，考慮為橢圓上的點(diǎn)，直線為直線，由前述命題可得：面積的最大值為，故D錯誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：橢圓上的動點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離可以轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)的某坐標(biāo)與離心率、半長軸的關(guān)系來處理，而多變量的最值問題，往往是通過降低變元的個數(shù)逐步處理.11．BC【分析】根據(jù)題意，可得，由，求解出的取值范圍，根據(jù)對應(yīng)范圍內(nèi)的函數(shù)解析式，即可求出的最值，進(jìn)而判斷A、B選項；令，分和兩種情況解方程，即可判斷C選項；取，求出此時函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，從而判斷在上的單調(diào)性，進(jìn)而判斷D選項.【詳解】，即，其中，，.由，即，，所以當(dāng)時，，即，，所以當(dāng)，即時，，當(dāng)，即時，；當(dāng)時，，即，，所以當(dāng)，即時，，由于，所以無最小值.綜上所述，的最小值為，最大值為，故A錯誤，B正確；由，所以當(dāng)時，，即，即或，，所以或，.當(dāng)時，，即，即或，，所以，，綜上所述，方程在上有三個解，故C正確；取時，，令，即；令，即；由于，所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)在上有增有減，則在上有增有減，故D錯誤.故選：BC.12．CD【分析】先由和是一對反函數(shù)，圖像關(guān)于直線對稱，得出點(diǎn)關(guān)于直線對稱，點(diǎn)關(guān)于直線對稱，點(diǎn)在直線上，再算出和的公切線方程，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，用表示出三個點(diǎn)的坐標(biāo)，由直線性質(zhì)算出點(diǎn)坐標(biāo)，再依次通過計算得出每個選項的正誤即可.【詳解】由題意，畫出大致圖像如圖，設(shè)與，為直線，為直線，且和是一對反函數(shù)，圖像關(guān)于直線對稱，則點(diǎn)關(guān)于直線對稱，點(diǎn)關(guān)于直線對稱，點(diǎn)在直線上，設(shè)的切點(diǎn)為，的切點(diǎn)為，由，，得的切線方程為，的切線方程為，當(dāng)兩函數(shù)的切線方程重合時，即為公切線，則，將代入下式得，將和的圖像在同一坐標(biāo)系中畫出如圖，設(shè)方程的其中一個解為，則，由，可得，又因，則方程的另一個解為，因此點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為.因為與關(guān)于直線對稱，所以，選項錯誤；由點(diǎn)在直線上可得，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，設(shè)，，設(shè)，，則在上單調(diào)遞減，由，，可得在上的函數(shù)值為先正后負(fù)，即在上的值為先正后負(fù)，則在上的單調(diào)性為先增后減，又，，且，則，即，所以，選項B錯誤；分別連接，，如圖，由，，得，選項C正確；分別連接，，如圖，得第三象限夾角，即，選項D正確.故選：CD.13．【分析】畫出符合題意的四面體，由其特征將其補(bǔ)形為長方體，分別計算外接球與內(nèi)切球表面積可得答案.【詳解】如圖，設(shè)四面體為“黃金四面體”，且，得，又因四個面都為“黃金三角形”，則.注意到四面體對棱相等，則將其補(bǔ)形為如圖所示長方體，則該長方體外接球與該四面體外接球重合.設(shè)，則長方體外接球半徑為長方體體對角線長度的一半，有，又注意到：，得，又，得.注意到，，則.又在中，，取中點(diǎn)為E，則，故，又由前面分析可知四面體的四個面全等，則四面體的表面積.設(shè)四面體的內(nèi)切球半徑為，則，得.注意到，則，又，得，又，則.則“黃金四面體”的外接球與內(nèi)切球表面積之比為：，代入，得比值為：.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及求幾何體的外接球半徑及內(nèi)切球半徑，難度較大.題目關(guān)鍵為由題目條件得到“黃金四面體”的對棱相等，從而將其補(bǔ)形為長方體，而適當(dāng)?shù)拇鷵Q也可減小計算的復(fù)雜度.14．【分析】結(jié)合絕對值三角不等式可得，即，即，再結(jié)合，可得，進(jìn)而求解.【詳解】由，即，即，即，又因為，所以，解得，所以的取值范圍為.故答案為：.15．##【分析】根據(jù)題意假設(shè)的中點(diǎn)，先利用代入法求得的取值范圍，再利用點(diǎn)斜式求得直線的方程，從而利用點(diǎn)線距離公式求得，進(jìn)而利用換元法與基本不等式求得點(diǎn)B到直線l距離的最小值.【詳解】依題意，設(shè)的中點(diǎn)，則，，所以，，則，因為，所以，故，所以線段AP的垂直平分線l為，即，則，所以點(diǎn)到直線的距離為，令，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，即點(diǎn)B到直線l距離最小值為.故答案為：.16．答案征集【詳解】解析征集17．(1)(2)【分析】（1）先利用平面向量的加減運(yùn)算得到，再利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則求得，又利用余弦定理與數(shù)量積運(yùn)算求得，由此利用三角形面積公式即可得解；（2）先由角平分線性質(zhì)定理得到，再利用余弦定理與數(shù)量積運(yùn)算求得，從而利用三角形面積公式與內(nèi)切圓的性質(zhì)得到，進(jìn)而利用換元法與不等式的性質(zhì)求得的范圍，由此得解.【詳解】（1）如圖1，，，所以，因為，，所以，故，則，即，又，則，故，不妨記，，則，因為，所以，解得，則，因為，所以，所以..（2）如圖2，不妨設(shè)與內(nèi)切圓的半徑分別為與，因為直線BD平分，所以由角平分線性質(zhì)定理得，記，則，記，則，因為，所以，因為，即，則，所以，即，因為（為頂點(diǎn)到的距離），又，，所以，則，令，則，，所以，因為，所以，則，故，所以，即，所以，故，所以與內(nèi)切圓半徑之比的取值范圍為..18．(1)4；(2)A疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量比疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量少.【分析】（1）利用錯檢率計算得解；（2）先求出整個疫區(qū)檢測次數(shù)的期望值和整個疫區(qū)檢測次數(shù)的期望值，再作差比較大小即得解.【詳解】（1）解：當(dāng)有100個人檢測出核酸陽性時，預(yù)計檢出的假陽性人數(shù)為.（2）解：先計算疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量.設(shè)疫區(qū)每個居民感染新冠肺炎的概率為，采用的混采策略，則該小組所需檢測次數(shù)為和，對應(yīng)的概率分別為和,所以該小組檢測次數(shù)的期望為，10000名居民分成1000個小組，所以整個疫區(qū)檢測次數(shù)的期望值為.再計算疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量.設(shè)疫區(qū)每個居民感染新冠肺炎的概率為，采用的混采策略，則該小組所需檢測次數(shù)為和，對應(yīng)的概率分別為和,所以該小組檢測次數(shù)的期望為，20000名居民分成1000個小組，所以整個疫區(qū)檢測次數(shù)的期望值為.因為，所以，，所以，所以A疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量比疫區(qū)核酸檢測預(yù)計消耗試管數(shù)量少.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求得各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而假設(shè)是直線與的公垂線，利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的方程組，從而推出矛盾，由此得證；（2）利用（1）中結(jié)論，求得直線與的公共法向量，從而利用異面直線間的距離公式求得所求.【詳解】（1）因為在三棱錐中，平面PBC，，所以易得兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，不妨設(shè)，，則，，所以，即，所以，，，要證，只需證不是直線與的公垂線即可，假設(shè)是直線與的公垂線，則，故，即，整理得，消去，得，即，所以，不滿足，故假設(shè)不成立，所以..（2）不妨設(shè)，則，由（1）得，，，因為，所以，則，所以，不妨設(shè)是直線與的公共法向量，所以，令，則，，故，設(shè)線段EF所在直線與線段所在直線之間的距離為，則，因為，所以，即線段EF所在直線與線段所在直線之間的距離為.20．(1)(2)證明見解析【分析】（1）代入，將條件化為，從而得到是常數(shù)列，進(jìn)而得到是等差數(shù)列，由此利用等差數(shù)列的前項和公式即可得解；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法推得要證結(jié)論，需證，再次利用數(shù)學(xué)歸納法證得其成立，從而結(jié)論得證.【詳解】（1）因為，，所以，則，又，所以是首項為的常數(shù)列，則，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，則，所以.（2）因為，所以，又，，所以，，則，因為，所以當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以；假設(shè)當(dāng)時，有，則當(dāng)時，，因為，所以要證，需證，即證，當(dāng)時，，，則，假設(shè)當(dāng)時，有，則當(dāng)時，，因為，所以，所以，綜上：成立，所以成立，綜上：恒成立.21．(1)見解析(2)見解析【分析】(1)設(shè)，可用點(diǎn)的坐標(biāo)表示，根據(jù)斜率關(guān)系可得的關(guān)系，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出點(diǎn)處切線斜率，從而可證拋物線在點(diǎn)處切線斜率為；.(2)設(shè)，根據(jù)題設(shè)的共點(diǎn)的直線的斜率關(guān)系可得，從而可證、為等差數(shù)列，故可證為等差數(shù)列.【詳解】（1）設(shè)則，同理.，即，，.當(dāng)時，，所以拋物線在點(diǎn)處切線斜率為，得證.（2）設(shè)，故直線，令，則，故，同理.當(dāng)時，故，當(dāng)時，同理有，因為，故，整理得到：，因此，由可得，