專題5 函數(shù)的基本性質(zhì)-奇偶性、單調(diào)性、周期性-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)45天核心考點(diǎn)專題訓(xùn)練（解析版）

備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)專題訓(xùn)練專題5函數(shù)的基本性質(zhì)-奇偶性、單調(diào)性、周期性一、單選題（本大題共10小題，共50.0分）已知函數(shù)f(x)=lnx2?2ln(x2A.函數(shù)f(x)為奇函數(shù)

B.函數(shù)f(x)的值域?yàn)??∞,?1]

C.當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱

D.函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(?∞,?1)，減區(qū)間為(0,1)【答案】D【解析】

由f(?x)=ln(?x)2?2ln[(?x)2+1]=lnx2?2ln(x2+1)=f(x)，

可知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；不妨設(shè)x>0，此時(shí)fx=2lnx?2lnx2+1=2lnxx2+1，

由xx2+1=1x+1x≤12x?1x=12(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”)，

由0<xx已知函數(shù)f(x)=x4?x2，則錯(cuò)誤的是(A.f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 B.方程f(x)=0的解的個(gè)數(shù)為2

C.f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增 D.f(x)的最小值為?14【答案】B【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x4?x2，滿足f(?x)=x4?x2=f(x)，所以函數(shù)是偶函數(shù)，所以A正確；

令f(x)=0即x2(x+1)(x?1)=0，解得：x=0，1，?1，函數(shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn)：0；?1；1，所以方程f(x)=0的解的個(gè)數(shù)為3，所以B不正確；

令t=x2，g(t)=t2?t=(t?12)2?14，x>1時(shí)，

函數(shù)t=x2，g(t)=已知函數(shù)f(x)=cosxsin2x，給出下列命題：①?x∈R，都有f(?x)=?f(x)成立；②存在常數(shù)T≠0,?x∈R恒有f(x+T)=f(x)成立；③fx的最大值為239④y=fx在[?π6以上命題中正確的為(

)A.①②③④ B.②③ C.①②③ D.①②④【答案】D【解析】解：對(duì)于①，?x∈R，f(?x)=cos(?x)sin(?2x)=?cosxsin2x=?f(x)，f(x)為奇函數(shù)，①正確；

對(duì)于②，?x∈R，由f(x+2π)=cos(x+2π)sin2(x+2π)=cosxsin2x=f(x)，f(x)為周期函數(shù)，②正確；

對(duì)于③，f(x)=2sinxcos2x=2sinx(1?sin2x)=2sinx?2sin3x，

令t=sinx，t∈[?1,1]，則y(t)=2t?2t3，

令y'=2?6t2=0，得t=±33，且y(?1)=0，y(33)=439為最大值，③錯(cuò)誤；

對(duì)于函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(

)A.函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù) B.函數(shù)f(x)的最小正周期為4

C.函數(shù)f(x)是奇函數(shù) D.函數(shù)f(x)無(wú)最小值【答案】A【解析】畫出函數(shù)fx=x3+1,x>12sinπ2x,x?1，的圖象，如圖．

觀察圖象可得：

函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù)，故A正確；

函數(shù)f(x)的不是周期函數(shù)，故B錯(cuò)；

函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)；

函數(shù)f(x)已知函數(shù)fx=ln1+x1?x+x+1，且f(a)+f(a+1)>2，則a的取值范圍是(A.(?12,+∞) B.(?1,?12) C.【答案】C【解析】解：令

，

因?yàn)槭?1,1上的增函數(shù)，

所以函數(shù)Fx是?1,1上的增函數(shù)．

又因?yàn)椋?/p>

所以函數(shù)Fx是?1,1上的奇函數(shù)．

由fa+fa+1>2得fa?1+fa+1?1>0，

即Fa+Fa+1>0，

所以Fa+1>F?a已知函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù)，當(dāng)1<x1<x2時(shí)，[f(x2)?f(x1)](x2?x1)>0恒成立，設(shè)a=f?A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c【答案】A【解析】解：∵當(dāng)1<x1<x2時(shí)，[f(x1)?f(x2)](x1?x2)>0恒成立，

∴當(dāng)1<x1<x2時(shí)，f

(x2)?f

(x1)>0，

即f

(x2)>f

(x1)，

∴函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為單調(diào)增函數(shù)，

∵函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù)，

∴函數(shù)f(x)關(guān)于已知定義在R上的函數(shù)f(x)，若函數(shù)y=f(x+2)為偶函數(shù)，且f(x)對(duì)任意x1，，都有f(x2)?f(x1)x2?x1<0A.?12,34 B.?2,?1 C. 【答案】A【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=fx+2為偶函數(shù)，

所以函數(shù)fx的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱，

因?yàn)閒x對(duì)任意x1，x2∈2,+∞x1≠x2，都有fx2?fx1x2?x1<0，

所以函數(shù)fx設(shè)函數(shù)f(x)=ln|2x+1|?ln|2x?1|，則f(x)(????)A.是偶函數(shù)，且在(12,+∞)單調(diào)遞增

B.是奇函數(shù)，且在(?12,12)單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在【答案】D【解析】【試題解析】解：由2x+1≠02x?1≠0，得x≠±12．

又f(?x)=ln|?2x+1|?ln|?2x?1|

=?(ln|2x+1|?ln|2x?1|)=?f(x)，

∴f(x)為奇函數(shù)；

由f(x)=ln|2x+1|?ln|2x?1|

=ln|2x+1||2x?1|=ln|2x+12x?1|，

∵2x+12x?1=2x?1+22x?1=1+22x?1

=1+22(x?12)=1+1x?12．

可得內(nèi)層函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)滿足對(duì)?x∈R，都有f(4?x)=f(x)，且在(2,+∞)上單調(diào)遞增，f(4)=0，g(x)=x4，則函數(shù)y=f(x+2)g(x)的大致圖象可能是(

)A. B.

C. D.【答案】B【解析】解：令h(x)=f(x+2)，F(xiàn)(x)=h(x)g(x)=x4h(x)，

因?yàn)閒(4?x)=f(x)，

故y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

故h(x)=f(x+2)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即h(?x)=h(x)，

故F(?x)=x4h(?x)=F(x)，故F(x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除AD．

因?yàn)閥=f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增，故h(x)在(0,+∞)為增函數(shù)，

因?yàn)閒(4)=0，故h(2)=0，

故0<x<2時(shí)，h(x)<0，故F(x)<0，故排除C，

設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，g(x)=f(x+1).若函數(shù)g(x)滿足下列條件：①g(x)是偶函數(shù)；②g(x)在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù)；③g(x)有一個(gè)零點(diǎn)為2，則不等式(x+1)f(x)>0的解集是

(

)A.(3,+∞) B.(1,+∞)

C.(?∞,?1)∪(1,+∞) D.(?∞,?1)∪(3,+∞)【答案】A【解析】解：由g(x)=f(x+1)，可得g(x?1)=f(x)，即f(x)為g(x)向右平移一個(gè)單位得到．

故由g(x)是偶函數(shù)，可得f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱；

又由g(x)在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù)，可得f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)；

由g(x)有一個(gè)零點(diǎn)為2，可得f(x)有一個(gè)零點(diǎn)為3．

結(jié)合圖象可得f(x)>0的解集為?∞,?1∪3,+∞，f(x)<0的解集為?1,3，

又因?yàn)閥=x+1過(guò)點(diǎn)(?1,0)且單調(diào)遞增，所以由(x+1)f(x)>0的解集為：3,+∞．

故選A．

二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x?1)，已知當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)=(12)1?x，給出下列結(jié)論：①對(duì)任意x∈R②函數(shù)f(x)在(1,2)上遞減，在(2,3)上遞增；③函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是0；④當(dāng)x∈(3,4)時(shí)，f(x)=(12)x?3【答案】①②④【解析】解：由題意，函數(shù)fx對(duì)任意的x∈R恒有fx+1=f可得fx+2=f[f(x+1)+1]=f[(x+1)?1]=fx，所以①由x∈0,1時(shí)，f(x)=12因?yàn)楹瘮?shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，可得x∈?1,0時(shí)，函數(shù)f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，又由函數(shù)的周期為2，可得函數(shù)f(x)在1,2上遞減，在2,3上遞增，所以②正確；由②可得，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為f2=f0當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為f3=f1根據(jù)函數(shù)的周期性，可得函數(shù)的最大值為1，最小值為12，所以③不正確；當(dāng)x∈3,4時(shí)，則4?x∈(0,1)，可得f4?x=f(2?x)=f(?x)=fx=(故答案為：①②④．已知函數(shù)f(x)=|x2?2ax+b|(x∈R)，給出下列命題：①f(x)必是偶函數(shù)；②當(dāng)f(0)=f(2)時(shí)，f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；③若a2?b≤0，則f(x)在[a,+∞)上是增函數(shù)；④若a>0，在[?a,a]上f(x)有最大值|a2?b|其中正確的命題序號(hào)是________．【答案】③【解析】解：對(duì)于①，當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(x)=|x2?2ax+b|為偶函數(shù)，①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，當(dāng)a=0，b=?2時(shí)，滿足f(0)=2=f(2)，

此時(shí)函數(shù)圖象不關(guān)于直線x=1對(duì)稱，②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，當(dāng)a2?b≤0時(shí)，(?2a)2?4b=4(a2?b)≤0，

所以f(x)=x2?2ax+b，則f(x)在[a,+∞)上是增函數(shù)，③正確；

對(duì)于④，當(dāng)a=1，b=4時(shí)，滿足a>0，此時(shí)f(x)=|x2?2x+4|在已知函數(shù)fx=x3+x，關(guān)于x的不等式fmx2+2+f?x【答案】m<18【解析】解：f(?x)=(?x)3?x=?f(x)，

∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，

f(x)=x3+x，則函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，

∵f(mx2+2)+f(?x)<0，

∴f(mx2+2)<?f(?x)=f(x)，

∴mx2+2<x在區(qū)間[1,5]上有解，

即m<x?2x2在區(qū)間[1,5]上有解，

令gx=x?2x2，x∈1,5，則只需要m<gmaxx即可，

gx=x?2x2設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x∈恒有fx+1=fx?1，已知當(dāng)x∈0,1時(shí)，f(x)=121?x，則下列命題：①對(duì)任意x∈，都有fx+2=fx；②函數(shù)f(x)在1,2上遞減，在2,3上遞增；③函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是其中正確命題的序號(hào)有_________．【答案】①②④【解析】解：由f(x+1)=f(x?1)，

可得f(x+2)=f[(x+1)+1]=f[(x+1)?1]=f(x)，故①正確；

當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)=(12)1?x為增函數(shù)，

由f(x)為R上的偶函數(shù)，可得x∈[?1,0]時(shí)，f(x)為減函數(shù)，

結(jié)合函數(shù)的周期為2，可得函數(shù)f(x)在(1,2)上是減函數(shù)，

在(2,3)上是增函數(shù)，故②正確；

當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)的最大值是1，

當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)的最小值是12，故③錯(cuò)誤；

當(dāng)x∈(3,4)時(shí)，x?4∈(?1,0)，可得f(x?4)=(12)1+x?4三、解答題（本大題共4小題，共30分）如果函數(shù)y=fx的定義域?yàn)镽，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，存在實(shí)數(shù)a使得fx+a=f?x成立，則稱此函數(shù)具有“Pa性質(zhì)”．

(1)判斷函數(shù)y=sinx是否具有“Pa性質(zhì)”，若具有“Pa性質(zhì)”，求出所有a的值；若不具有“Pa性質(zhì)”，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(2)已知y=fx具有“P0性質(zhì)”，且當(dāng)x≤0時(shí)fx=x+m2，求y=fx在0,1上的最小值．

(3)設(shè)函數(shù)y=gx具有“P±1性質(zhì)”，且當(dāng)?【答案】解：(1)由sin(x+a)=sin(?x)得sin(x+a)=?sinx，

根據(jù)誘導(dǎo)公式得a=2kπ+π，k∈Z，

所以y=sinx具有“P(a)性質(zhì)”，其中a=2kπ+π，k∈Z；

(2)y=f(x)具有P(0)性質(zhì)，則有f(x)=f(?x)，

設(shè)x>?0，則?x<0，f(x)=f(?x)=(x?m)2，

所以f(x)=(x+m)2,x≤0(x?m)2,x>0,

當(dāng)m≤0時(shí)，函數(shù)在[0,1]單調(diào)遞增，所以最小值為f(0)=m2，

當(dāng)m≥1時(shí)，函數(shù)在[0,1]單調(diào)遞減，所以最小值為f(1)=(1?m)2，

當(dāng)0<m<1時(shí)，函數(shù)在[0,m]單調(diào)遞減，在[m,1]單調(diào)遞增，

所以最小值為f(m)=0；

(3)因?yàn)閥=gx具有“P(±1)性質(zhì)”，

所以g(1+x)=g(?x)，g(?1+x)=g(?x)，

所以y=gx的函數(shù)圖象關(guān)于直線x=±12對(duì)稱，

且g(x+2)=g(1+1+x)=g(?1?x)=g(x)，

從而得到y(tǒng)=g(x)是以2為周期的函數(shù)，

又設(shè)12≤x≤32，則?12≤1?x≤12，

g(x)=g(x?2)=g(?1+x?1)=g(?x+1)=|?x+1|=|x?1|=g(x?1)，

根據(jù)函數(shù)y=g(x)在一個(gè)周期上的解析式得到，

y=g(x)是以函數(shù)f(x)=loga(Ⅰ)當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f(x)的定義域；(Ⅱ)若g(x)=f(x)?loga(2+ax)，判斷g(x)(Ⅲ)是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)在[2,3]遞增，并且最大值為1，若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】解：(Ⅰ)由題意得f(x)=log3(2?3x)，

∴2?3x>0，即x<23，

∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)??∞,23)；

(Ⅱ)易知g(x)=loga(2?ax)?loga(2+ax)，

∵2?ax>0且2+ax>0，

∴?2a<x<2a，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

又∵g(x)=loga(2?ax)?loga(2+ax)=loga2?ax2+ax，

∴g(?x)=loga2+ax2?ax=?loga2?ax2+ax=?g(x)，

∴g(x)為奇函數(shù)．

(3)令μ=2?ax，∵a>0，a≠1，

∴μ=2?ax在[2,3]上單調(diào)遞減，

又∵函數(shù)已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，且f(1)=?2．(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)求f(x)在區(qū)間[?3,3]上的最大值；(3)若f(x)<m2?2am+2對(duì)所有的x∈?1,1,a∈【答案】解：(1)取x?=?y?=?0，則f(0?+?0)=?2f(0)，

∴f(0)=?0，

取y?=??x，則f(x?x)=?f(x)+?f(?x)=f(0)=0，

∴f(?x)=???f(x)對(duì)任意x∈R恒成立，∴f(