1996考研數(shù)三真題及解析路上的幸福哥

1996年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線設(shè)方程xyy確定y是x的函數(shù),則dy 設(shè)xf(x)dxarcsinxC,則1dx f 設(shè)x,y是拋物線yax2bxc上的一點(diǎn),若在該點(diǎn)的切線過原點(diǎn),則系數(shù)應(yīng)滿足 設(shè) x1 x n 2 A a2,Xx,B1 an1 an1 其中aa(ij;i,j1,2,,n).則線性方程組ATXB的解 設(shè)由來自正態(tài)總體X~N(,0.92)容量為9的簡單隨機(jī)樣本,得樣本均值X5,則未知參數(shù)的置信度為0.95的置信區(qū)間為 二、選擇題(本題5每小315每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合 0 f(x,

01

f(x,0dx0f(x, (D)0 f(x,下述各選項(xiàng)正確的 若u2和v2都收斂,則 v)2收n

uv收斂,則u2與v2 n

n

n n若正項(xiàng)級數(shù)un發(fā)散,則unn 若級數(shù)un收斂,且unvn(n12,),則級數(shù)vn 設(shè)n階矩陣A非奇異(n2),A是矩陣A的伴隨矩陣,

(A)(A)

An1AAn2

(A)(A)

An1AAn2設(shè)有任意兩個n維向量組1,,m和1,,m,若存在兩組不全為零的數(shù)1和k1,km,使(1k1)1mkm)m1k1)1mkm)m0 1,,m和1,,m1,,m和1,,m已知0P(B)1且P[A1A2B]P(A1B)P(A2B),則下列選項(xiàng)成立的是 P[A1A2B]P(A1B)P(A2PA1BA2BP(A1B)P(A2BPA1A2P(A1B)P(A2PBPA1P(BA1)P(A2)P(BA2三、(本題滿分6g(x)e設(shè)f(x) f(x

x討論f(x在()四、(本題滿分6xzf(uu(uxy

p(t)dtuxy的函數(shù),其中f(u),(u 五、(本題滿分6 xe計(jì)算 (1ex)2dx六、(本題滿分51f(x在區(qū)間[0,1]f(1)22xf(x)dx.試證:存在(0,10七、(本題滿分6a設(shè)某種商品的單價(jià)為p時(shí),售出的商品數(shù)量Q可以表示成Q p求p在何范圍變化時(shí),使相應(yīng)銷售額增要使銷售額最大,商品單價(jià)p應(yīng)取何值?最大銷售八、(本題滿分6yy x2y

的通九、(本題滿分80 設(shè)矩陣A 1 0 A3,試yPAP)TAP為對角矩陣.十、(本題滿分8分)AX0的解,即A0.試證明:向量組,1,2,,t線性無十一、(本題滿分7假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作,若一周個工作日里無故障,可獲10萬元；發(fā)生一次故障仍可獲得利潤5萬元；發(fā)生兩次故障獲利潤0元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元.求一周內(nèi)期望利潤是多少十二、(本題滿分6考慮一元二次方程x2BxC0,其中B、C分別是將一枚色子( 先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).求該方程有實(shí)根的概率p和有重根的概率q.十三、(本題滿分6 XX,XXEXka(k1,2,3, 1 n證明：當(dāng)n充分大時(shí), 量Zn n

近似服從正態(tài)分布,并其分布參數(shù)1996年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線 【答案 x1ln【解析】1xyy兩邊取對數(shù)得lnxlnyyylny 1dxlny1dydy xlny1

xlny102：xyyxeylnydxeylnydylnyyy1lnydyx1lnydy由此可 dy x1lny

131x2131x2【解析】由xf(x)dxarcsinxC1xf(x)arcsinx 1f1于是 dx 1

1x2dx

1x2f

23

21x2d1x21x23C 0(或axc),b yax2bxcy2axb,yx2ax 所以過x0y0的切線方程yy02ax0bxx0yax2bxc2axbxx 又題設(shè)知切線過原點(diǎn)0,0xy0代入上式ax2bxc2ax2bx,即ax2 【答案】AaiajAaiaj0.根據(jù)解與系數(shù)矩陣秩的關(guān)系,所以方程組ATXB有唯一解.根據(jù)克萊姆法則,對

an1x

1 an1 22 3 an1x13 3 1 an1x nn易 D1A,D2D3DnATXBx1xxx0,即1,0,0,,0T 【相關(guān)知識點(diǎn)】克萊姆法則：若線性非齊11 12 1n axax11 12 1n axaxaxb21 22 2n an1x1an2x2annxnbnn或簡記 aijxjbi j其系數(shù)行列

a2D

0則方程組有唯一

an xDj j1, a1,j

a1,

a2,j

a2,j

a2【答案】(4.412,

Dj

an,j an,j 【解析】可以用兩種方法求已知方差20.92,對正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望 1XN(0.9nX

Xinn有XN ),將其標(biāo)準(zhǔn)化,n

XE(X

X~NXX1由正態(tài)分布分為點(diǎn)的定義Pnnn進(jìn)而確定相應(yīng)的置信區(qū)間(xn2

u1可確定臨界值u 2 ,x ) 本題是在單個正態(tài)總體方差已知條件下,求期望值 上已經(jīng)求出的置信區(qū)間x

,x n nP

u2

N(0,1),可以直接得出答1：由題設(shè),10.95,可見0.05.查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知分位點(diǎn)u1.96.2XX1n題n9,X5,因此,根據(jù) 19

P{4.4125.588}0.95故0.95(4.412,5.588)2：由題設(shè),10.95查得u2

u}P{uUu}2(u)10.95,(u) 0.92,n9

X5代入(x

,x

)得置信區(qū)間(4.4125.588) 二、選擇題(本題5每小315每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合【解析】1：由題設(shè)知,積分區(qū)域在極坐標(biāo)xrcos,yrsin中Dr,|0 r 2, 即是由x

12

y24

x軸在第一象限所圍成平面圖形,如右圖D的最左邊點(diǎn)的橫坐標(biāo)是0,最右點(diǎn)的橫坐標(biāo)是的直角坐標(biāo)表示Dx,y|0x1,0y

xxxx故(D方 2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重積分的積分區(qū)域的極坐標(biāo)表示Dr,|0 r 2, 而(B)中的積分區(qū)域是單位圓在第一象限(C)中的積分區(qū)域是正方形xy|0x1,0y收斂.由不等收斂.由不等 【解析】由于級數(shù)u2和v2都收斂,可見級數(shù)u2 2uvu2n 及比較判別法知級數(shù)

收斂,從而2unvn又因?yàn)閡v2u2v22uv,即級數(shù)uv2收斂,故應(yīng)選 nn 1設(shè)unn2,vn1n12,,可知(B)不正 設(shè)u 設(shè)un ,vn 設(shè)un ,vn 注：在本題中命題(D)“若級數(shù)un收斂,且unvn(n1,2,),則級數(shù)vn AAAAAEAAAA)AE

A

及A)1

,可(A)A(A)1An1AAn2 故應(yīng)選方法二AA)AEA(AA)(A)

An1A,即(AEA)An1A 故應(yīng)選【解析】本題考查對向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)概念的理解.若向量組1,2,,s線性x11x22xss0x10,x20,xs0.既然1,,m與k1,km不全為零,由此推不出某向量組線性無關(guān),故應(yīng)排除(B)、(C).有111mmmk111kmmm0【解析】依題 P(B0,故PA1BA2BPA1BP(A2B.因此應(yīng) 件【相關(guān)知識點(diǎn)】條件概 ：P(B|A) 三、(本題滿分6【解析】(1)g(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),故當(dāng)x0時(shí),f也具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),此時(shí),f(xf(xxf(0)x[g(x)ex]g(x)e xg(x)g(x)(x1)e當(dāng)x0時(shí),f(x) x0時(shí),由導(dǎo)數(shù)定義及洛必達(dá)法則,f(0)limg(xex洛limg(xex洛limg(xexg(01 xg(x)g(x)(x1)e x所 f(x) xlimf(x)limxg(x)g(x)(x1)elimg(x)xg(x)g(x)ex(x1)e limg(x)exg(0)1

f(0) f(xx0處是連續(xù)函數(shù),所以f(x在()上為連續(xù)函數(shù).四、(本題滿分6分)zf(uzf(uuzf(uu x 在方程u(u)y

u(u)up(x),u(u)up( p(所 x

,

于 p(y)zp(x)zp(x)p(y)p(x)p(y)f(u)0 五、(本題滿分6【分析】題的被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)兩類不同的函數(shù)相乘,應(yīng)該用分部積分【解析】1:因xe (1ex)2dxxd1ex分部積分1ex1e 1e 1ex 1e 1exd(1e 1e

ln(1ex)

x所

(1e

2dxlim x1

xln(1e)ln x lim ln(1e)1

lim ln

(1

x)x xxlim xxx1

xln(1exx故原式ln2

xe

x00x1 方法 (1ex)2dx (1ex)2dx xd1x1 x1 0

01

01

01ex

d(1ex)ln(1ex)ln01e 六、(本題滿分5[0,1]內(nèi)某一區(qū)間上滿足羅爾定理的條【解析】令(x)xf(x,由積分中值定理可知,存在

2 2xf(x)dx2(x)dx

2

22xf0

2且(x)在(,1)上可導(dǎo),故由羅爾定理可知,存在(,1)(0,1),使【相關(guān)知識點(diǎn)】1.f(x在積分區(qū)間ab上連續(xù),則在ab上至baf(x)dxf()(b這個叫做積分中值羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿在閉區(qū)間ab

ab在開區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo)f(af(b那么在a,b內(nèi)至少有一點(diǎn)ab),使f0七、(本題滿分6【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性的判定x的某個區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)fx0,則函數(shù)fx單調(diào)遞增,反【解析】(1)設(shè)售出商品的銷售額為Ra

abcpbRpQp(pbc),R(p) p b令R0, p0 b c bc)0bc當(dāng)0pbc

bc)R0,所以隨單價(jià)p的增加,相應(yīng)銷售R也將增bcpbc

bc)時(shí)R0,所以p的增加,相應(yīng)銷售R(2)由(1)可知,當(dāng)p bc)時(shí),銷售額R取得最大值,最大銷售額

b

bcc. c. 八、(本題滿分6 【解析】令z,則 zx

1z1z z

,即 11ln(z代回原變量,得通解y

1z2lnx 或zx21C(xx21

C11z令tx,于是t0,而且dydydxdyy x2

y x2

yt2y2 dx xx2從而有通解y C(t0),即y C(x0)x2t2綜合得,方程的通x2t2注：由于未給x的取值范圍,因而在本題求解過程中,引入新未知函數(shù)z1x21x2從而,應(yīng)當(dāng)分別x0x0求解,在類似的問題中,這一點(diǎn)應(yīng)當(dāng)牢記

九、(本題滿分8(1)(2300300003003003000030013EA

13 18(2y)y2

(2ATA,要AP)TAP)PTA2P 0 A2 是對稱矩陣,故可構(gòu)造二次型xTA2xyTyA2PTA2P方法一：配方 3由于xTA2xx2x25x2 3x2x25(x28xx16x2)5x216 53 25 5x2x25(x4x)29x2 5 5 x,即經(jīng)坐標(biāo)變換那么,令yx,yx,yx x,y 5 x y1 0 1x2 y2x3 0

4y53x4 0 y4 xTA2xy2y25y29y2 5 0

P014P014,(AP)T(AP)PTA2P 001 3xTA2xx2x25x2 3005005400000000000A2

對應(yīng)的矩陣 其特征多項(xiàng)

EA2 A2的特征值1,1,1,9.由(EA2)x0 2 4x3 4 4和(EA2)x04 2 4x3 4 和9的特征向量00,1,1)T 對1,2,3用施密特正交化方法得1,2,3,再將4單位化為4,2(1,0,0,0)T,(0,1,0,0)T,(0, ,1)T,(0, ,1)T2 取正交矩

1 0 0 0 P,,,

1 22 22

121

T PAP

AP T

(

(AP)

AP 十、(本題滿分8【解析】1：(定義法)若有一組kk1k2,kt,使kk1(1)k2(2)kt(t) (kk1k2kt)A0 A0kk1k2kt0 把(2)代入(3)得k11k22ktt0由于1,2,,tk10k20,kt0代入(2k0因此向量組,1,2,,t線性無證法2：(用秩)經(jīng)初等變換向量組的秩不變.把第一列的-1倍分別加至其余各列,因 由于1,2,,t是基礎(chǔ)解系,它們是線性無關(guān)r1,2,,tt,又必不能所 即向量組,1,2,,t線性無十一、(本題滿分7PX00.855PX1C10.840.255PX2C20.830.225PX31PX0PX1PX2設(shè)一周內(nèi)