全微分的定義

全微分的定義第一頁，共十四頁，2022年，8月28日ΔxΔyxy如圖，一邊長分別為x、y的長方形金屬薄片，受熱后在長和寬兩個方向上都發(fā)生變化，分別為Δx、Δy，那么該金屬薄片的面積A改變了多少？ΔA稱為面積函數(shù)A=xy的全增量，由兩部分組成：Δx，Δy的線性部分當(Δx,Δy)→(0,0)時，是一個比高階無窮小。第二頁，共十四頁，2022年，8月28日

定義設函數(shù)在點(x，y)的某個鄰域內(nèi)有定義，點（x+Δx，y+Δy）在該鄰域內(nèi)，如果函數(shù)在點（x，y）的全增量可以表示為其中A，B與Δx,Δy無關，是當→0時比ρ高階的無窮小。則稱函數(shù)在點（x，y）處可微，稱函數(shù)在點(x,y)處的全微分，記作dz或df(x,y)，即顯然，dz≈Δz一、全微分第三頁，共十四頁，2022年，8月28日二可微的必要和充分條件定理（可微的必要條件）如果函數(shù)在點（x，y）處可微，則它在該點處必連續(xù)，且它的兩個偏導數(shù)都存在，并且證明：由函數(shù)在點（x，y）處可微有所以即第四頁，共十四頁，2022年，8月28日因此，函數(shù)在點（x，y）連續(xù)。又因為中的A，B與Δx，Δy無關，也就是該式對任意的Δx，Δy都成立。不妨取Δy=0，則有上式兩邊同除以Δx，再令Δx→0，則有即說明存在，且同理可證存在，且故有第五頁，共十四頁，2022年，8月28日注意：此命題不可逆。即若兩偏導數(shù)都存在，也不能保證函數(shù)在點（x，y）可微。討論函數(shù)：由以前的討論可知，在點（0，0）處它的兩個偏導數(shù)都存在，可該函數(shù)在此點卻不連續(xù)，不連續(xù)肯定不可微。定理（可微的充分條件）如果函數(shù)的兩個偏導數(shù)在點（x，y）都存在且連續(xù)，則該函數(shù)再給點可微。第六頁，共十四頁，2022年，8月28日以上有關概念和定理均可以退到三元及三元以上的函數(shù)中去。由于自變量的微分等于自變量的微分，故二元函數(shù)的全微分習慣上可寫為類似地，三元函數(shù)的全微分為例1求函數(shù)的全微分。解：先求函數(shù)的兩個偏導數(shù)：第七頁，共十四頁，2022年，8月28日所以例2求函數(shù)在點（2，-1）處的全微分。解：因為所以第八頁，共十四頁，2022年，8月28日例3設函數(shù)在點（0，0）有增量Δx=0.2，Δy=0.3，求全微分dz。解：所以此題可理解為：在點（0，0）處x，y分別有增量Δx=0.2，Δy=0.3時，函數(shù)也產(chǎn)生增量Δz，并且Δz≈dz=1.8。第九頁，共十四頁，2022年，8月28日三全微分在近似計算中的應用應用的公式：例4設一金屬圓柱受壓變形后，底面半徑由原來的20cm變到20.1cm，高由原來的40cm減少到39.5cm，求該金屬體體積變化的近似值。解：設圓柱體的底面半徑為r，高為h，體積為V則有所以其中r=20，h=40，Δr=0.1，Δh=-0.5第十頁，共十四頁，2022年，8月28日由公式（1）得即金屬體受壓后體積減少了125.6cm3。由公式（1）還可得例5計算的近似值。解：構造函數(shù)，則第十一頁，共十四頁，2022年，8月28日取則所以例5

設一金屬圓柱受壓變形后，底面半徑由原來的20厘米變到20.1厘米，高由原來的40厘米減少到39.5厘米，求該金屬體體積變化的近似值。解：如下圖所示。第十二頁，共十四頁，2022年，8月28日20cm40cm20.1cm39.5cm設圓柱體的底面半徑為r，高為h，體積為V，則有此時其中r=20，h=40，Δr=0.1，Δh=-0.5故有—即金