2022年遼寧省營口市中考數(shù)學(xué)試卷（學(xué)生版+解析版）

2022年遼寧省營口市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（下列各題的備選答案中，只有一個是正確的，每小題3分，共30分）

1.（3分）在夜，0,-1,2這四個實數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.0B.-1C.2D.V2

2.（3分）如圖是由五個相同的正方體搭成的幾何體，這個幾何體的左視圖是（）

正面

3.（3分）下列計算正確的是（）

A.^-i-cr—a3B.（a2）4—a3C.3a3-a3—3D.a2+4a2=5a4

4.（3分）如圖，直線DE//FG,RtAABC的頂點B,C分別在DE,FG上，若N8CF=25°,

則/ABE的大小為（）

A.55°B.25°C.65°D.75°

5.（3分）關(guān)于x的一元二次方程7+4x-〃?=0有兩個實數(shù)根，則實數(shù)，"的取值范圍為（）

A./n<4B.m>-4C.D.機2-4

32

6.（3分）分式方程-=—的解是（）

xx-2

A.x=2B.x=-6C.x=6D.x=-2

7.（3分）我國元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》一書是中國較早的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載

一道問題：“良馬日行二百四十里，鴛馬日行一百五十里，弩馬先行一十二日，問良馬幾

何追及之？”題意是：快馬每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問快

馬幾天可以追上慢馬？若設(shè)快馬x天可以追上慢馬，則下列方程正確的是（）

A.240x+150x=150X12B.240x-150x=240X12

C.24（k+150x=240X12D.240x-150x=150X12

8.（3分）如圖，點4,B,C,。在。。上，AC±BC,AC=4,ZADC=30°,則BC的長

為（）

A.4V3B.8C.4V2D.4

9.（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC,NA=36°,由圖中的尺規(guī)作圖得到的射線與AC

交于點。，則以下推斷錯誤的是（)

A

A.BD=BCB.AD=BDC.108°D.CD=^AD

10.（3分）如圖，在矩形ABC。中，點M在A8邊上，把△BCM沿直線CM折疊，使點B

落在AD邊上的點E處，連接EC,過點8作BFLEC,垂足為F,若CD=1,CF=2,

LL11

A.V5-2B.V3-1C.-D.

32

二、填空題（每小題3分，共18分）

11.（3分）-2的相反數(shù)是.

2%+4>6

的解集為.

{9-%>1

13.（3分）甲、乙兩名學(xué)生參加學(xué)校舉辦的“防疫知識大賽”.兩人5次成績的平均數(shù)都是

95分，方差分別是S甲2=2.5,S乙2=3,則兩人成績比較穩(wěn)定的是.（填“甲”

或"乙”）

14.（3分）如圖，將△ABC沿著BC方向平移得到△￡>￡下,只需添加一個條件即可證明四

邊形48E。是菱形，這個條件可以是.（寫出一個即可）

15.（3分）如圖，在正六邊形ABC0EF中，連接AC,CF,則NACF=度.

16.（3分）如圖1,在四邊形ABCO中，BC//AD,ZD=90°,NA=45°,動點P,。同

時從點A出發(fā)，點P以的速度沿AB向點B運動（運動到B點即停止），點Q以

2cmis的速度沿折線AD^DC向終點C運動，設(shè)點Q的運動時間為x（s）,XAPQ的面

積為y（cm2），若y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示，當(dāng)x=s）時,則y=cm2

三、解答題（17小題10分，18小題10分，共20分）

17.（10分）先化簡，再求值：（〃+1-微魯）+&2c+匕其中4=我+|-2|-&I

18.（10分）為傳承中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，提高學(xué)生文化素養(yǎng)，學(xué)校舉辦“經(jīng)典誦讀”比

賽，比賽題目分為“詩詞之風(fēng)”“散文之韻”“小說之趣”“戲劇之雅”四組（依次記為4,

B,C,小雨和莉莉兩名同學(xué)參加比賽，其中一名同學(xué)從四組題目中隨機抽取一組,

然后放回，另一名同學(xué)再隨機抽取一組.

（1）小雨抽到A組題目的概率是；

（2）請用列表法或畫樹狀圖的方法，求小雨和莉莉兩名同學(xué)抽到相同題目的概率.

四、解答題（19小題10分，20小題10分，共20分）

19.（10分）某校為了了解疫情期間學(xué)生居家鍛煉時長的情況，隨機抽取了部分學(xué)生，就居

家一周的鍛煉時長進(jìn)行了統(tǒng)計調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，將居家鍛煉時長分為4B,C,D

四個組別.

學(xué)生居家鍛煉時長分組表

組別ABCD

t（小時）0W/V22W/V440V6126

下面兩幅圖為不完整的統(tǒng)計圖.

請根據(jù)圖表中的信息解答下列問題：

（1）此次共抽取名學(xué)生；

（2）補全條形統(tǒng)計圖，并求扇形統(tǒng)計圖中A組所在扇形的圓心角的度數(shù)；

（3）若全校有1000名學(xué)生，請根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，估計。組（居家鍛煉時長不少于6

小時）的人數(shù).

學(xué)生居家?周鍛煉時長扇形統(tǒng)汁圖

20.（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△QAC的邊OC在y軸上，反比例函數(shù)y=［（x

>0）的圖象經(jīng)過點力和點8（2,6）,且點B為AC的中點.

（1）求Z的值和點C的坐標(biāo);

（2）求△OAC的周長.

五、解答題（21小題10分，22小題12分，共22分）

21.（10分）在一次數(shù)學(xué)課外實踐活動中，某小組要測量一幢大樓MN的高度，如圖，在山

坡的坡腳A處測得大樓頂部”的仰角是58°,沿著山坡向上走75米到達(dá)8處，在8處

測得大樓頂部M的仰角是22°,已知斜坡A8的坡度i=3：4（坡度是指坡面的鉛直高

度與水平寬度的比），求大樓的高度.（圖中的點A,B,M,N,C均在同一平面內(nèi)，

N,A,C在同一水平線上，參考數(shù)據(jù)：tan22°g0.4,tan58°?1.6）

22.（12分）如圖，在△A8C中，A8=AC,以A3為直徑作。0與AC交于點E,過點A作

QO的切線交BC的延長線于點D.

（1）求證：ND=NEBC；

六、解答題（本題滿分12分）

23.（12分）某文具店最近有4,3兩款紀(jì)念冊比較暢銷.該店購進(jìn)A款紀(jì)念冊5本和B款

紀(jì)念冊4本共需156元，購進(jìn)A款紀(jì)念冊3本和B款紀(jì)念冊5本共需130元.在銷售中

發(fā)現(xiàn)：A款紀(jì)念冊售價為32元/本時，每天的銷售量為40本，每降低1元可多售出2本；

8款紀(jì)念冊售價為22元/本時，每天的銷售量為80本，8款紀(jì)念冊每天的銷售量與售價

之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其部分對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：

售價（元體）......22232425......

每天銷售量（本）......80787674......

（1）求A,B兩款紀(jì)念冊每本的進(jìn)價分別為多少元；

（2）該店準(zhǔn)備降低每本4款紀(jì)念冊的利潤，同時提高每本8款紀(jì)念冊的利潤，且這兩款

紀(jì)念冊每天銷售總數(shù)不變，設(shè)A款紀(jì)念冊每本降價m元；

①直接寫出8款紀(jì)念冊每天的銷售量（用含機的代數(shù)式表示）；

②當(dāng)A款紀(jì)念冊售價為多少元時，該店每天所獲利潤最大，最大利潤是多少？

七、解答題（本題滿分14分）

24.（14分）如圖1,在正方形A3CZ）中，點M為CD邊上一點，過點M作且OW

=MN,連接￡W,BM,CN,點、P,。分別為CN的中點，連接PQ.

（1）證明：CM=2PQ；

（2）將圖1中的△OWN繞正方形A8C。的頂點。順時針旋轉(zhuǎn)a（0°<a<360°）.

①（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請結(jié)合圖2寫出證明過程；若不成立，請說明理由；

②若AB=10,DM=2炳,在△OWN繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)8,M,N三點共線時，

請直接寫出線段PQ的長.

圖2備用圖

八、解答題（本題滿分14分）

25.（14分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線產(chǎn)1一^經(jīng)過點A12石7）和點8（4,

0）,與y軸交于點C,點P為為物線上一動點.

（1）求拋物線和直線A8的解析式；

（2）如圖，點P為第一象限內(nèi)拋物線上的點，過點P作垂足為。，作

軸，垂足為E,交AB于點凡設(shè)△尸。尸的面積為Si，aBE尸的面積為S2,當(dāng)鼠=%時,，

求點P坐標(biāo)；

（3）點N為拋物線對稱軸上的動點，是否存在點M使得直線BC垂直平分線段PN?

若存在，請直接寫出點N坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

2022年遼寧省營口市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（下列各題的備選答案中，只有一個是正確的，每小題3分，共30分）

1.（3分）在夜，0,-1,2這四個實數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.0B.-1C.2D.V2

【解答】解：；-1VOV&<2,

二最大的數(shù)是2；

故選：C.

2.（3分）如圖是由五個相同的正方體搭成的幾何體，這個幾何體的左視圖是（）

正面

【解答】解：從左邊看，從左往右小正方形的個數(shù)依次為：2,1.左視圖如下:

故選：B.

3.（3分）下列計算正確的是（）

A.B.（a2）4=*a8C.3a3-?3=3D.a2+4a2=5a4

【解答】解：A.5+a2=a4,故本選項不合題意；

B.（?2）4="8,故本選項符合題意；

C.3a3-（r,=2ai,故本選項不合題意；

D.a2+4”2=542,故本選項不合題意；

故選：B.

4.（3分）如圖，直線DE〃尸G,Rt/XABC的頂點8,C分別在OE,FG上，若/BC『=25°,

則/ABE的大小為（）

A

【解答】解：,:DE〃FG,ZBCF=25°,

：.ZCBE=ZBCF=25°,

VZABC=90°,

；?NABE=NABC-NCBE=65°.

故選：C.

5.（3分）關(guān)于x的一元二次方程/+4x-機=0有兩個實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為（）

A.;n<4B.〃z>-4C.機W4D.小2-4

【解答】解：???關(guān)于X的一元二次方程7+4x-〃?=o有兩個實數(shù)根，

AA=42-4X1X（-m）=16+4燒20,

解得：/n》-4,

故選：D.

32

6.（3分）分式方程一=--的解是（）

xx-2

A.x=2B.x=-6C.x=6D.x=-2

32

【解答】解：一=—;,

xx-2

方程兩邊都乘x（x-2）,得3（x-2）=2x,

解得：x=6,

檢驗：當(dāng)x=6時，x（x-2）#0,

所以x=6是原方程的解，

即原方程的解是x=6,

故選：C.

7.（3分）我國元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》一書是中國較早的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載

一道問題：“良馬日行二百四十里，弩馬日行一百五十里，弩馬先行一十二日，問良馬幾

何追及之？”題意是：快馬每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問快

馬幾天可以追上慢馬？若設(shè)快馬x天可以追上慢馬，則下列方程正確的是（）

A.240x+150x=150X12B.240x-150x=240X12

C.240x+150x=240X12D.240x-150x=150X12

【解答】解：依題意得：240x-150x=150X12.

故選：D.

8.（3分）如圖，點月，B,C,。在。0上，AC1BC,AC=4,ZADC=30°,則BC的長

為（）

A.4V3C.4V2

【解答】解：連接AB,如圖所示,

<7

???NAC5=90°.

VZADC=30°,

AZABC=ZADC=30".

???在RtZXABC中,

lanNABC=益，

?,B?℃C_一__ta—n^__ABC

,.?AC=4,

故選：A.

9.（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC,ZA=36°,由圖中的尺規(guī)作圖得到的射線與AC

交于點。，則以下推斷錯誤的是（）

A

A.BD=BCB.AD=BDC.ZADB=108°D.CD=^AD

【解答】解：在△ABC中，

"：AB=AC,

ZABC=ZACB.

VZA=36°,

ZABC=ZC=1(180°-36°)=72°.

：8。平分/ABC,

AZABD=ZCBD=36°.

：.ZABD=ZA.

：.AD=BD.故選項3正確；

?.?/BOC=/4+NA8r>=72°.

；.NC=NBDC.

：.BD=BC.故選項A正確；

■:4BDC=72°,

/.ZADB=108°.故選項C正確;

在△BCD與aACB中，

VZCBD=ZA=36°,NC為公共角.

:.△BCDS^ACB.

.BCCD

'"AC-BC

：.BC2^AC'CD.

'：BC=BD=AD,AC=AD+CD.

：.AD2=CAD+CD)-CD.整理得，CD2-AD'CD-AD2=0.

解得，CD=^^AD.

：.CD^^AD.故選項。錯誤.

故選：D.

10.（3分）如圖，在矩形ABC。中，點”在A8邊上，把△BCM沿直線CM折疊，使點B

落在A。邊上的點E處，連接EC,過點8作BFLEC,垂足為F,若CD=1,CF=2,

則線段AE的長為（）

11

C--

3D.2

【解答】解：設(shè)AE=x,BM=a.

??S=1=AB,

.\AM=]-a,

「△BCM沿直線CM折疊，使點3落在AO邊上的點E處,

:.ME=BM=a,NMEC=/MBC=90°,BC=EC,

在RtZVlME中，AM1^AE1=ME1,

/.(1-a)2+x1=a2@,

VZAME=90°-/AEM=/DEC,

：.s\nZAME=s\nZDEC,

AECDx1

#----=—，即-=—,

MEECaEC

；?EC=三,

：?BC=%

,/NBCF=/DEC=NAME,

/.cosZBCF=cos/AME,

CFAM21-a

??一，LxJQ一，

BCME-a

x

化簡變形得：a=\-2x?,

把②代入①得：

(1-l+2x)2+x2—(1-2x)2,

解得x=6-2或x=-向-2（舍去）,

.\AE=V5-2,

故選：A.

二、填空題（每小題3分，共18分）

11.（3分）-2的相反數(shù)是2.

【解答】解：-2的相反數(shù)是：-（-2）=2,

故答案為：2.

（2x+4>6

12.（3分）不等式組的解集為l<x<8.

l9-x>l

2x+4>6?

【解答】解:

.9-x>l@'

解①得x>1.

解②得x<8,

所以不等式組的解集為

故答案為：l<x<8.

13.（3分）甲、乙兩名學(xué)生參加學(xué)校舉辦的“防疫知識大賽”.兩人5次成績的平均數(shù)都是

95分，方差分別是S甲2=2.5,S乙2=3,則兩人成績比較穩(wěn)定的是甲.（填“甲”

或“乙”）

【解答】解：???兩人5次成績的平均數(shù)都是95分，方差分別是S用2=2.5,S乙2=3,

,?s2伊Vs?/,

???成績比較穩(wěn)定的是甲；

故答案為：甲.

14.（3分）如圖，將△ABC沿著BC方向平移得到△￡）￡下,只需添加一個條件即可證明四

邊形48E。是菱形，這個條件可以是48=4。（答案不唯一）.（寫出一個即可）

【解答】解：這個條件可以是AB=AD,理由如下:

由平移的性質(zhì)得：AB//DE,AB=DE,

...四邊形ABEO是平行四邊形，

yL,：AB=AD,

...平行四邊形A8E。是菱形，

故答案為：AB=AD（答案不唯一）.

15.（3分）如圖，在正六邊形A8CDE產(chǎn)中，連接AC,CF,則N-30度.

【解答】解：設(shè)正六邊形的邊長為1,

正六邊形的每個內(nèi)角=(6-2)X]80°4-6=120°,

9：AB=BC,ZB=120°,

1

：.ZBAC=ZBCA=^x(180°-120°)=30°,

VZBAF=120°,

：.ZCAF=ZBAF-ZBAC=120°-30°=90°,

如圖，過點8作8MJ_AC于點M,則AM=CM(等腰三角形三線合一),

VZBMA=90°,NBAM=30°,

：.BM=^AB=I，

：.AM=7AB2-BM2=J/一8)2=空，

；.AC=2AM=V3,

■an4CF=靠=專哼

/.ZACF=30°,

故答案為：30.

CD

16.（3分）如圖1,在四邊形4BC￡>中，BC//AD,20=90°,NA=45°,動點P,。同

時從點A出發(fā)，點P以近cmls的速度沿A8向點8運動（運動到B點即停止），點。以

2aMs的速度沿折線AZ）一￡>C向終點C運動，設(shè)點Q的運動時間為x（s）,Z\APQ的面

735

積為）Ya??）,若y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示，當(dāng)x=J（s）時，則>=—

L2f~

VZAED=90°,ZEAD=45°,

.AEV2

??—―?

AD2

??,點P的速度為&C7〃/S,點Q的速度為2cm/s,

.\AP=V2x,AQ=2xf

.APV2tV2

AQ~2t~29

在△AP。和中，

AEAPy/2

一=一=—,ZA=45°,

ADAQ2

：./\AED^/\APQf

...點。在AD上運動時，△4尸。為等腰直角三角形,

：.AP=PQ^y/2x,

，當(dāng)點。在40上運動時，>-=^AP-AQ=|xV2xx鼻x=P,

由圖像可知，當(dāng)y=9此時面積最大，x=3或-3（負(fù)值舍去）,

.\AD=2x=6cmt

當(dāng)3VA<4時，，過點P作尸F(xiàn)_LA￡）于點F,如圖:

止匕時SAAPQ=S&4PF+S四邊形PQQF-S4ADQ，

在RtZXAP。中，AP=V2x,NA=45°,

在RtZ\APQ中，AP=x,ZA=45°,

：.AF=PF=xfFD=6-x,QD=2x-6,

S^APQ=(x+2x-6)e(6-x)—x6X(2x-6),

即y=-/+6x,

當(dāng)x=彳時，y=-(-)2+6X=苧，

35

故答案為：—.

4

三、解答題(17小題10分，18小題10分，共20分)

17.(10分)先化簡，再求值："+1-咨b"瞿爐其中V9+|-2|-(1)1

【解答］解：原式=(a+l)：；,+2a)?7^之

a+1(a+2)2

2

—_a_+__2_a_+_l_-_5_-_2_a.?+1

a+1(a+2)2

Q2-4

—_____?--a--+-1--

-+1(a+2)2

(a+2)(a-2)a+1

=~^+1-

_a-2

=a+2f

"：a=V9+|-2|-(1)r=3+2-2=3,

原式=晝|=

18.(10分)為傳承中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，提高學(xué)生文化素養(yǎng)，學(xué)校舉辦“經(jīng)典誦讀”比

賽，比賽題目分為“詩詞之風(fēng)”“散文之韻”“小說之趣”“戲劇之雅”四組(依次記為A,

B,C,。).小雨和莉莉兩名同學(xué)參加比賽，其中一名同學(xué)從四組題目中隨機抽取一組,

然后放回，另一名同學(xué)再隨機抽取一組.

(1)小雨抽到A組題目的概率是7>

(2)請用列表法或畫樹狀圖的方法，求小雨和莉莉兩名同學(xué)抽到相同題目的概率.

1

【解答】解：(1)小雨抽到A組題目的概率是一,

4

?…1

故答案為：二；

(2)畫樹狀圖如下:

開始

ABCDABCDABCDABCD

共有16種等可能的結(jié)果，其中小雨和莉莉兩名同學(xué)抽到相同題目的結(jié)果有4種，

41

...小雨和莉莉兩名同學(xué)抽到相同題目的概率為一=

164

四、解答題(19小題10分，20小題10分，共20分)

19.(10分)某校為了了解疫情期間學(xué)生居家鍛煉時長的情況，隨機抽取了部分學(xué)生，就居

家一周的鍛煉時長進(jìn)行了統(tǒng)計調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，將居家鍛煉時長分為A,B,C,D

四個組別.

學(xué)生居家鍛煉時長分組表

組別ABcD

f(小時)0Wf<22WY44Wf<6「26

下面兩幅圖為不完整的統(tǒng)計圖.

請根據(jù)圖表中的信息解答下列問題:

（1）此次共抽取50名學(xué)生:

（2）補全條形統(tǒng)計圖，并求扇形統(tǒng)計圖中A組所在扇形的圓心角的度數(shù);

（3）若全校有1000名學(xué)生，請根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，估計。組（居家鍛煉時長不少于6

小時）的人數(shù).

學(xué)生居家一周鍛煉時長扇形統(tǒng)”?圖

即此次共抽取50名學(xué)生;

故答案為：50；

(2)B組的人數(shù)為：50-5-20-10=15(人),

補全條形統(tǒng)計圖如下:

扇形統(tǒng)計圖中4組所在扇形的圓心角的度數(shù)為：360°x0=36°；

(3)1000x=200(人),

答：估計全校D組（居家鍛煉時長不少于6小時）的人數(shù)為200人.

20.（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAC的邊OC在y軸上，反比例函數(shù)

>0）的圖象經(jīng)過點A和點8（2,6）,且點8為AC的中點.

（1）求％的值和點C的坐標(biāo)；

(2)求△OAC的周長.

【解答】解：把點3(2,6)代入反比例函數(shù)得，

k=2X6=12；

如圖，過點A、8分別作y軸的垂線，垂足為。、E,則OE=6,BE=2,

'：BELCD,ADLCD,

：.AD//BE,

又為AC的中點.

：.AD=2BE=4,CE=DE,

把x=4代入反比例函數(shù)尸爭導(dǎo)，

y=12+4=3,

...點A(4,3),即00=3,

：.DE=OE-0D=6-3=3=CE,

：.OC=9,

即點C(0,9),

答:k=\2,C(0,9)；

(2)在RtZSA。。中，

OA=y/OD2+AD2=/32+42=5,

在RtZ\AOC中，

AC=y/AD2+DC2=V42+62=2V13,

.?.△4OC的周長為：2VH+5+9=2g+14.

五、解答題（21小題10分，22小題12分，共22分）

21.（10分）在一次數(shù)學(xué)課外實踐活動中，某小組要測量一幢大樓MN的高度，如圖，在山

坡的坡腳A處測得大樓頂部”的仰角是58°,沿著山坡向上走75米到達(dá)8處，在8處

測得大樓頂部M的仰角是22。，已知斜坡A8的坡度i=3：4（坡度是指坡面的鉛直高

度與水平寬度的比），求大樓的高度.（圖中的點A,B,M,N,C均在同一平面內(nèi)，

N,A,C在同一水平線上，參考數(shù)據(jù)：tan22°g0.4,tan58°?1.6）

【解答】解：過點B作BELAC,垂足為E,過點B作垂足為Q,

則BE=DN,DB=NE,

?.?斜坡AB的坡度i=3：4,

?BE3

?.=一,

AE4

...設(shè)8E=3a米，則AE=4a米，

在中，AB=y]AE2+BE2=J(3a)2+(4a)2=5a(米),

：AB=75米，

：.5a=15,

；.a=15,

.?.￡W=8E=45米，AE=60米,

設(shè)NA=x米,

：.BD=NE=AN+AE=(x+60)米，

在RtZiANM中，/NAM=58°,

，MN=AVtan58°F.6x(米)，

:.DM=MN-DN=(1.6x-45)米,

在RtZiMQB中，NMBD=22°,

.cc。DM1.6x—45八.

..tan22=-^=?0.4,

解得：x=57.5,

經(jīng)檢驗：x=57.5是原方程的根，

：.MN=\.6x=92(米)，

大樓MN的高度約為92米.

22.(12分)如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑作。0與AC交于點E,過點A作

OO的切線交BC的延長線于點D.

(1)求證：ND=NEBC；

(2)若CZ)=2BC,AE=3,求。。的半徑.

【解答】(1)證明：與。0相切于點A,

/.ZDAO=90°,

/.ZD+ZABD=90",

是OO的直徑，

AZAEB=90°,

AZBEC=180°-ZAEB=90°,

AZACB+ZEBC=90°,

*：AB=AC,

???ZACB=ZABC,

：.ZD=ZEBC；

(2)解:,:CD=2BC,

:?BD=3BC,

?：NDAB=NCEB=90°,ND=NEBC,

:?/\DABs4BEC,

BDAB

—=—=3,

BCEC

：.AB=3ECf

9：AB=AC,AE=3,

：.AE+EC=AB,

：.3+EC=3EC,

：.EC=1.5,

：.AB=3EC=4.5,

???。0的半徑為2.25.

六、解答題（本題滿分12分）

23.（12分）某文具店最近有A,B兩款紀(jì)念冊比較暢銷.該店購進(jìn)A款紀(jì)念冊5本和B款

紀(jì)念冊4本共需156元，購進(jìn)A款紀(jì)念冊3本和B款紀(jì)念冊5本共需130元.在銷售中

發(fā)現(xiàn)：A款紀(jì)念冊售價為32元/本時，每天的銷售量為40本，每降低1元可多售出2本；

8款紀(jì)念冊售價為22元/本時，每天的銷售量為80本，8款紀(jì)念冊每天的銷售量與售價

之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其部分對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：

售價（元/本）......22232425......

每天銷售量（本）......80787674......

（1）求A,8兩款紀(jì)念冊每本的進(jìn)價分別為多少元；

（2）該店準(zhǔn)備降低每本4款紀(jì)念冊的利潤，同時提高每本8款紀(jì)念冊的利潤，且這兩款

紀(jì)念冊每天銷售總數(shù)不變，設(shè)A款紀(jì)念冊每本降價m元：

①直接寫出8款紀(jì)念冊每天的銷售量（用含〃?的代數(shù)式表示）；

②當(dāng)A款紀(jì)念冊售價為多少元時，該店每天所獲利潤最大，最大利潤是多少？

【解答】解：（1）設(shè)A款紀(jì)念冊每本的進(jìn)價為〃元，8款紀(jì)念冊每本的進(jìn)價為方元，

根據(jù)題意得化髯：爵

解得｛二工

答：A款紀(jì)念冊每本的進(jìn)價為20元，B款紀(jì)念冊每本的進(jìn)價為14元；

（2）①根據(jù)題意，A款紀(jì)念冊每本降價m元，可多售出2根本A款紀(jì)念冊，

；兩款紀(jì)念冊每天銷售總數(shù)不變，

二8款紀(jì)念冊每天的銷售量為（80-2/n）本；

②設(shè)B款紀(jì)念冊每天的銷售量與售價之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系是y=fcv+-

根據(jù)表格可得:產(chǎn)=22卜+/，

（78=23k+b'

解得｛匕如

-2x+124,

當(dāng)y=80-2加時，x=22+m,

即B款紀(jì)念冊每天的銷售量為（80-2加）本時，每本售價是（22+加）元，

設(shè)該店每天所獲利潤是卬元，

由已知可得w=（32-機-20）（40+2機）+（22+，〃-14）（80-2w）=-4W2+48?I+1120

=-4（/n-6）2+1264,

■:-4<0,

二〃?=6時，卬取最大值，最大值為1264元，

此時A款紀(jì)念冊售價為32-m=32-6=26（元），

答：當(dāng)A款紀(jì)念冊售價為26元時，該店每天所獲利潤最大，最大利潤是1264元.

七、解答題（本題滿分14分）

24.（14分）如圖1,在正方形A8CZ）中，點”為CD邊上一點，過點M作MN_LC￡>且

=MN,連接￡>MBM,CN,點P,Q分別為CN的中點，連接PQ.

（1）證明：CM=2P。；

（2）將圖1中的△。例N繞正方形ABC。的頂點。順時針旋轉(zhuǎn)a（0°<a<360°）.

①（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請結(jié)合圖2寫出證明過程；若不成立，請說明理由；

②若A8=10,DM=2瓜在△OMN繞點力旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)B,M,N三點共線時，

請直接寫出線段PQ的長.

圖1圖2備用圖

【解答】（1）證明：如圖1中，連接NP,延長NP交CB于點J.

圖1

■:MN1CD,

:?/DMN=NDCB=90°,

:?MN〃CB,

:./PMN=/PBJ,

在和切中，

(/PMN=/PBJ

\PM=PB，

QMPN=Z.BPJ

:APMN"PBJ(ASA),

:,MN=NJ,

???四邊形ABC。是正方形,

:?CD=CB,

*：DM=MN,

:,DM=BJ,

:?CM=CJ,

*：NQ=QC,NP=NJ,

1

：.PQ=^CJf

1

；?PQ=.CM,

:.CM=2PQ；

(2)①解：成立.

理由：如圖2中，延長NM交8C的延長線于點/?,交CD于點、K,連接NP,延長NP

至I］。使得PT=PN,連接CT,BT.

圖2

?；PM=PB,NMPN=/BPT,PN=PT,

：./\PMN^/\PBT(SAS),

：.MN=BT,/PMN=NPBT,

：.NR//BT,

:.NR=/CBT,

?:/DMK=NRCK=90°,/DKM=NCKR,

：./R=/CDM,

:?/CDM=NCBT,

?:DC=BC,DM=MN=BT,

:.ACDM會/\CBT(SAS),

:.CM=CT,

:.NQ=QC,NP=NJ,

1

：.PQ=

1

；.PQ=.CM,

：.CM=2PQ；

②解：如圖3-1中，當(dāng)點N在8M的延長線上時，連接瓦）,取3。的中點。，連接OM,

：.BD=V2BC=10V2,

VZDMB=90°,

：.BM=\BD'2—DM?=J(10V2)2-(2遮尸=6底

?；NDMB=NDCB=90°,DO=OB,

：.OM=OD=OC=OB,

:,D,M,B,C四點共圓，

:?/BMR=/CDB=45°,

：.MR=BR=半BM=3屈,

：.CR=y/CB2-BR2=J102-(3V10)2=VlO,

CM=RM+CR=AVIO,

：.PQ=|CA/=2V1O；

如圖3-2中，當(dāng)點N落在8M上時，同法可證。，M,C,8四點共圓,

M

D產(chǎn)

AB

圖3-2

，NCMB=NCOB=45°,

：.CR=MR,

設(shè)CR=MR=x,則1。2=』+(6A/5-x)2,

解得x=2近或46(舍棄)，

：.CM=V2x=2V10,

:.PQ=|CM=VTo,

綜上所述，PQ的值為2V1U或VIU.

八、解答題(本題滿分14分)

1127

25.(14分)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線了=—af+Ox+c經(jīng)過點A(-^>—)和點8(4,

0),與y軸交于點C,點P為為物線上一動點.

(1)求拋物線和直線A8的解析式；

(2)如圖，點P為第一象限內(nèi)拋物線上的點，過點P作PCAB,垂足為。，作PELx

軸，垂足為E,交A8于點F,設(shè)△PDF的面積為Si，△8EP的面積為S2,當(dāng)f1=￡時，

求點P坐標(biāo)；

(3)點N為拋物線對稱軸上