2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之挑戰(zhàn)壓軸題-四邊形（選擇題）

2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之挑戰(zhàn)壓軸題（選擇題）：四邊形（10題）

一.選擇題（共10小題）

1.（2021?禪城區(qū)校級(jí)二模）如圖，RtZXABE中，NB=90°,AB=BE,將△ABE繞點(diǎn)A逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,得到△A”。，過。作。CLBE交BE的延長線于點(diǎn)C,連接8/7并延長

交0c于點(diǎn)F,連接DE交8F于點(diǎn)O.下列結(jié)論：

①DE平分NHDC；

②NE￡>C=30°；

@DO=OE-,

2.（2021?廣饒縣二模）如圖，△ABC中，ZBAC=120°,ZACB=45Q,分別以A3、AC

為邊向三角形ABC外部作正方形A8DE和正方形4a'G,連接CE、BG交點(diǎn)為K,CE、

AG交點(diǎn)為N,延長CA交BG于點(diǎn)M,連接CG.則下列結(jié)論：①△48G四△AEC；②

BGYCE-,③AM=AN；④2CF?=KG?CE,其中正確的有（）個(gè).

3.（2020?泗水縣二模）如圖，在正方形4BC。中，E、尸分別是8C、C。上的點(diǎn)，且NEAF

=45°,AE,A尸分別交BD于例、N,連接EN、EF,有以下結(jié)論：

①/\ABMs/\NEM；②△AEV是等腰直角三角形；③當(dāng)AE=AF時(shí)，里"2；@BE+DF

EC2

=EF.其中正確的個(gè)數(shù)有（）

C.3個(gè)D.4個(gè)

4.（2020?南寧模擬）如圖，以矩形A8CO對(duì)角線AC為底邊作等腰直角△4CE,連接BE,

分別交ADAC于點(diǎn)尸，N,CD=AF,AM平分/BAN.下列結(jié)論：

①△?)￡：絲ZVIFE：②NBCM=NNCM；③@B7V2+EF2=EN2；其中

正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

C.3D.4

5.（2021?朝陽二模）如圖，正方形ABCQ的邊長為4,點(diǎn)E在邊AB上，BE=\,ZDAM

=45°,點(diǎn)尸在射線AM上，且AF=&,過點(diǎn)F作的平行線交54的延長線于點(diǎn)H,

C尸與A3相交于點(diǎn)G,連接EC、EG,EF.下列結(jié)論：①2￡7^=45°；②AAEG的周

長為8；③△CEGs/VlFG；④Z\CEG的面積為6.8.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

6.（2020?江油市二模）如圖，在矩形ABCD中，E、尸分別在AB、AQ上，若AE：ED=1：

2,AF：FB=1：3,連接EC、DF、BE,EC與。F相交于“，。尸與BE相交于G,且S

7.（2019?大鵬新區(qū)二模）如圖，已知一個(gè)矩形紙片OAC8,將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)

系中，點(diǎn)4（10,0）,點(diǎn)8（0,6）,點(diǎn)P為8c邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△OBP沿OP折疊得到

△OPQ,連接C。、AD.則下列結(jié)論中：①當(dāng)NBOP=45°時(shí)，四邊形OBPO為正方形;

②當(dāng)/8OP=30°時(shí)，△04。的面積為15：③當(dāng)P在運(yùn)動(dòng)過程中，C￡＞的最小值為2a

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

8.（2021?連云港模擬）如圖，在矩形A8CQ中，AB=J§+2,AD=b.把A。沿AE折疊，

使點(diǎn)。恰好落在AB邊上的處，再將△AEQ'繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,得到AA'ED",

使得E4'恰好經(jīng)過8。'的中點(diǎn)?A'D"交AB于點(diǎn)G,連接AA'.有如下結(jié)論：①

4'尸的長度是a-2；②弧O'D"的長度是殳巨冗；③NA'AF=1.5°；④△A4'

12

F^/XEGF.上述結(jié)論中，所有正確的序號(hào)是（）

A.①②④B.①③C.②③④D.①@@④

9.（2021?永嘉縣校級(jí)模擬）如圖，。。的半徑為2禽，四邊形ABC。為。。的內(nèi)接矩形，

AD=6,M為0c中點(diǎn)，E為。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接。E,作。FLOE交射線E4于尸,

連接MF,則MF的最大值為（）

A.373+V69B.6+757C.273+V61D.蓊

10.（2020?泰安二模）如圖1,有一張矩形紙片ABC。，已知48=10,43=12,現(xiàn)將紙片

進(jìn)行如下操作：現(xiàn)將紙片沿折痕BF進(jìn)行折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，點(diǎn)F在

AO上（如圖2）；然后將紙片沿折痕。”進(jìn)行第二次折疊，使點(diǎn)C落在第一次的折痕8F

上的點(diǎn)G處，點(diǎn)”在8C上（如圖3）,給出四個(gè)結(jié)論：①AF的長為10；②△BG”的周

長為18；③毀上；④GH的長為5,其中正確的結(jié)論有（）

GF3

國1圖2圖3

A.①②③B.①②④C.①0?D.②③④

2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之挑戰(zhàn)壓軸題（選擇題）：四邊形（10題）

參考答案與試題解析

選擇題（共10小題）

1.（2021?禪城區(qū)校級(jí)二模）如圖，RtZxABE中，ZB=90°,AB=BE,將aABE繞點(diǎn)A逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,得到△AHD,過。作DCA.BE交BE的延長線于點(diǎn)C,連接BH并延長

交。C于點(diǎn)F,連接。E交BF于點(diǎn)。.下列結(jié)論:

①DE平分/HDC；

②/E￡>C=30°；

③DO=OE：

@DE=V2.其中正確的是（）

BH

C.①③D.①③④

【考點(diǎn)】四邊形綜合題.

【專題】幾何綜合題；壓軸題；推理能力.

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得ND4E=/AEB=45°,A￡）=AE=&8E,DH=BE,AH=

AB,NA8E=/AHO=90°,通過證明四邊形ABCC是矩形，可得AB=CD=DH,AD

=BC=y/2BE,NBCD=NDHE=90°,由可證RtZi￡）EC絲RtZ\D￡77,可得”E

=EC,NAED=NDEC=67.5°,ZCDE=ZHDE=22.5°,可判斷①和②；由角的數(shù)

量關(guān)系和等腰三角形的判定和性質(zhì)，可判斷③；由相似三角形的判定和性質(zhì)可判斷④；

即可求解.

【解答］解：\"ZABE=90a,AB=BE,

：.ZAEB=ZBAE=45°,AE=?BE,

?.?將AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,

：.ZDAE^ZAEB=45Q,AD=AE=4^BE,DH=BE,AH=AB,NABE=/AHD=9Q°,

：.ZDAB=ZABE=90°,AH=DH=AB=BE,

又?：DC工BE,

???四邊形ABC。是矩形，

：.AB=CD=DH,AD=BC=y/2BE,NBCD=NDHE=90°,

?:DH=DC,DE=DE,

ARtADEC^RtADEH(HL),

:,HE=EC,/AED=/DEC=67.5°,ZCDE=ZHDE=22.5Q,

???OE平分N”DC,故①正確；②錯(cuò)誤；

NBAE=45°,

AZABH=ZAHB=67.5°,

：?NOHE=NOEH=675°,

：?OH=OE,ZDHO=22.5°=NHDO,

：.DO=HO,

：.OE=OD,故③正確；

???XNEH是等腰直角三角形,

???NABH=67.5°,

AZCBH=22.5°,

:?/NBH=/CDE=225°,

?:/HNB=/ECD=90°

:?△BHNS/\DEC,

嚼嚼嚼=心故④正確.

綜上所述：①③④.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的

判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似

三角形是本題的關(guān)鍵.

2.（2021?廣饒縣二模）如圖，AABC中，ZBAC=120°,ZACB=45°,分別以AB、AC

為邊向三角形ABC外部作正方形ABQE和正方形ACFG,連接CE、BG交點(diǎn)、為K,CE、

AG交點(diǎn)為N,延長C4交BG于點(diǎn)M,連接CG.則下列結(jié)論：①AASG四△AEC；②

BGLCE；③AM=AN；④2CF2=KG?CE,其中正確的有（）個(gè).

【考點(diǎn)】四邊形綜合題.

【專題】幾何綜合題；矩形菱形正方形；圖形的相似；推理能力.

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)易證NE4C=NBAG,即可證明四△BAG,即可判斷①;

由△EAC名△BAG,可得CE=BG,ZAEC=ABG,即可證明CELBG；可判斷②；然后

證明AM4G絲△MAC,可得AM=AN,進(jìn)而判斷③；證明△KGCs/iCGB,可得巫=”,

CGBG

所以CCP=KG?BG,由BG=CE,CG=&CF,即可判斷④.

【解答】解：；正方形ABDE和正方形ACFG,

...NE4B=/G4C=90°,

NEAC=ZBAG,

在△ABG和△AEC中，

，AB=AE

<ZBAG=ZEAC

AG=AC

.,.△ABG^AAEC(SAS),故①正確;

：.ZAGB^ZACE,

VZACE+ZANC=90°,

AZAGB+ZANC=90°,

；/GNK=ZANC,

：.NAGB+NGNK=90°,

:.NGKN=90°,

：.BGrCE,故②正確；

,//\ABG^^AEC,

:"MGA=NNCA,

,：ZMAG=ZNAC=90°,AG=AC,

在△MAG和△NAC中，

rZMGA=ZNCA

<AG=AC，

,ZMAG=ZNAC

.,.△MAG^AWAC(ASA),

：.AM=AN,故③正確；

VZACB=45Q,NACG=45°,

/.ZBCG=90°,

VBG±CE,

：.NCKG=NBCG=90°,

■:△ABG9MAEC,

：.BG=CE,

'：ZKGC=ZCGB,

：./\KGC^/\CGB,

.KG=CG

*"CGBG"

：.CG2^KG'BG,

,:BG=CE,CG=MCF,

：.2CF1=KG'CE,故④正確.

,其中正確的有①②③④，共4個(gè).

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與

性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用

知識(shí)解決問題.

3.（2020?泗水縣二模）如圖，在正方形A8CZ）中，E、尸分別是2C、C￡＞上的點(diǎn)，且NE4F

=45°,AE、AF分別交8。于M、N,連接EN、EF,有以下結(jié)論：

①②△AEN是等腰直角三角形；③當(dāng)AE=A尸時(shí)，型④BE+DF

EC2

=EF.其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【考點(diǎn)】四邊形綜合題.

【專題】幾何綜合題；圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；圖

形的相似；推理能力.

【分析】①如圖1,證明和

②利用相似三角形的性質(zhì)可得/N4E=/AEN=45°,則△AEN是等腰直角三角形可作

判斷;

③先證明CE=C凡假設(shè)正方形邊長為1,設(shè)CE=x，則BE=1-x,表示AC的長為AO+OC

可作判斷；

④如圖3,將△AOF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB",證明AAE尸絲（SAS）,

則EF=EH^BE+BH=BE+DF,可作判斷.

【解答】解：如圖1,

A.D

圖1

四邊形ABCD是正方形,

ZEBM=ZADM=ZFDN=ZABD=45°,

:NMAN=/EBM=45°,NAMN=NBME,

：.XMANsXBME,

AAM=MN,

"BMEM'

?AM=BM

,,而EM)

；ZAMB=NEMN,

:.LAMBsANME,故①正確，

...NAEN=/ABD=45°

:.NNAE=NAEN=45°,

.?.△AEN是等腰直角三角形，故②正確，

在△ABE和△AOF中，

'AB=AD

ZABE=ZADF=90°>

AE=AF

A(SAS),

：.BE=DF,

；BC=CD,

：.CE=CF,

假設(shè)正方形邊長為1,設(shè)CE=x,則BE=l-x,

如圖2,連接AC,交EF于H,

圖2

"：AE=AF,CE=CF,

??.AC是所的垂直平分線,

：.AC±EF,OE=OF,

□△CEF中，OC=JLEF=

22

△EAF中，ZEAO=ZFAO=22.5°=NBAE=22.5°,

：.OE=BE,

"：AE=AE,

：.RtA/lBE^RtAAOE（HL）,

：.AO=AB=\,

，AC=&=AO+OC,

2

x—2-&,

...些=卜（2-&）=近,故③正確,

EC2^/22

...將△4￡（尸繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH,則AF=AH,NDAF=NBAH,

"：ZEAF=45°=ZDAF+ZBAE=ZHAE,

:NABE=NABH=90°,

:.H、B、E三點(diǎn)共線,

在△4￡廠和△4￡：”中,

'AE=AE

.NFAE=NHAE，

AF=AH

.?.△4EF絲△4EH（SAS）,

EF=EH=BE+BH=BE+DF,故④正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于四邊形綜合題，綜合考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，

等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈

活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于中考?jí)狠S題.

4.（2020?南寧模擬）如圖，以矩形A8C。對(duì)角線AC為底邊作等腰直角zMCE,連接BE,

分別交A。，AC于點(diǎn)RN,CD=AF,AW平分/BAN.下列結(jié)論：

①△?）￡：出△AFE；②NBCM=NNCM；③?BN1+EF1=EN1-,其中

正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【考點(diǎn)】四邊形綜合題.

【專題】幾何綜合題；矩形菱形正方形；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】①正確，只要證明/E4尸=/OCE,即可解決問題；

②正確，只要證明點(diǎn)M是aABC的內(nèi)心即可；

③正確.如圖2中，將△ABN逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AFG,連接EG.想辦法證明aGEF

是直角三角形，利用勾股定理即可解決問題；

④錯(cuò)誤.利用反證法證明即可.

【解答】解：如圖1中，連接8。交4C于。，連接OE.

E

圖1

???四邊形ABC。是矩形，

：.OA=OC=OD=OB,ZOAD=ZODA,

???△ACE是等腰直角三角形，

，ZEAC^ZECA,

：.ZEAF=NDCE,

在△COE和中，

fCE=AE

<ZDCE=ZEAF?

CD=AF

：./\CDE^/^AFE(SAS),故①正確，

"：CD=AB=AF,NBAF=9Q°,

:.NABF=NAFB=NFBC=45°,

平分/ABC,

?..AM平分NBAC,

...點(diǎn)M是AABC的內(nèi)心，

平分/ACB,

:.NMCB=NMCN,故②正確，

如圖2中，將AABN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△AFG,連接EG,

G

E

'//NAB=/GAF,

：.ZGAN=ZBAD=90°,

?.,NE4N=45°,

：.ZEAG=ZEAN=45°,

???AG=AN,AE=AE,

?:△AEG絲△AEN(SAS),

:.EN=EG,GF=BN,

VZAFG=ZABN=ZAFB=45°,

:?NGFB=NGFE=9U0,

：.EG1=GF2+EF2,

222

：.BN+EF=ENf故④正確，

不妨設(shè)AE?AM=NE?FM,

■:AE=EC,

?ECEN,

=，

??麗AI

??.只有△EQVs/\MAb才能成立，

???AAMF=/CEN,

J.CE//AM,

VAE±C￡,

：.MA±AE(矛盾)，

???假設(shè)不成立，故③錯(cuò)誤，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了四邊形綜合題，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角

三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添

加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

5.（2021?朝陽二模）如圖，正方形ABC。的邊長為4,點(diǎn)E在邊AB上，BE=1,ZDAM

=45°,點(diǎn)尸在射線AM上，且過點(diǎn)/作A。的平行線交8A的延長線于點(diǎn)H,

C尸與4。相交于點(diǎn)G,連接EC、EG,EF.下列結(jié)論：?ZEFG=45°；②^AEG的周

長為8；③△CEGS/\AFG；④ZXCEG的面積為6.8.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【考點(diǎn)】四邊形綜合題.

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；圖形的相似；推

理能力.

【分析】由"S4S”可證之△C3E,可得EF=EC,NHEF=4BCE,可證

是等腰直角三角形，可得/E/G=45°,故①正確；

由勾股定理可求FC的長，通過證明△尸尸GSZ\FQC,可求PG=],由勾股定理可求EG

的長，則可求△AEG的周長=AG+￡G+AE=B+工-+3=8,故②正確；

55

利用勾股定理可求FG長，可得GC的長，利用相似三角形的判定可證△CEGs^A尸G,

故③正確；

先求出△EFC的面積，即可求aCEG的面積為6.8,故④正確.

【解答】解：如圖，在正方形ABC。中，AD//BC,AB=BC=4Z）=4,/B=NBAD=90°,

,CHF//AD,

：.Z/7=90°,

VZHAF=9Q°-ZDAM=45",

：.ZAFH=ZHAF=45°.

VAF=V2.

:.AH=HF=1=BE.

：.EH=AE+AH=AB-BE+AH=4=BC,

：./\EHF^/^CBE(SAS),

：.EF=EC,ZHEF=ZBCE,

'：ZBCE+ZBEC=90Q,

：.HEF+NBEC=90°,

：.ZFEC=90°,

...△CEF是等腰直角三角形，

：.ZEFG=45Q,故①正確；

在RtZ^CBE中，BE=1,BC=4,

：.EC2=BE1+BC1=\7,

CF-VCE2+EF2=^34>

過點(diǎn)F作FQLBC于。，交A。于P,

/.ZAPF=90Q=NH=NHAD,

四邊形APFH是矩形，

"：AH=HF,

矩形是正方形，

：.AP=PF=AH=\,

同理：四邊形A8QP是矩形，

：.PQ=AB=4,BQ=AP=\,FQ=FP+PQ=5,CQ=BC-BQ=3,

■:AD//BC,

：.XFPGS/\FQC,

?FPPG

FQCQ

??--1-=-PG-,

53

：.PG=^-,

5

；.AG=AP+PG=&,

5

在RtZXEAG中，根據(jù)勾股定理得，^G=VAG2+AE2=-,

.?.△AEG的周長=AG+EG+AE=W+1Z+3=8,故②正確；

55

[G={FP2+PG2=J]聯(lián)=窄_,

5_

??迪亞=55型—后_5近

?AG_88GC4停8

5-5~

?AFEC

AGGC

又,.?//^G=NECF=45°,

.?.△CEGS/XAFG,故③正確；

:SAEFC=LEC2=1L,11JL,

22GC4

-■?5AC￡G=—X^Z-=6.8,故④正確;

1+42

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰

直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，求出PG的長是解題

的關(guān)鍵.

6.（2020?江油市二模）如圖，在矩形ABCD中，E、尸分別在AB、4。上，若AE：ED=I：

2,AF：FB=］：3,連接EC、DF、BE,EC與。尸相交于H,。尸與BE相交于G,且S

△EGH=2,則SABCD是（）

C.63D.64

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；三角形的面積.

【專題】面積法；運(yùn)算能力.

【分析】利用正方形的性質(zhì)，三角形形似的性質(zhì)及面積，先求出尸的面積，再求出

△BCD的面積即可.

【解答】

解：過F作垂直與M,連接EF,延長CE交BA的延長線于點(diǎn)M

四邊形48CD是矩形,

AD//BC,AB//CD,ADLAB,AB^CD,

FMLAB,

FM//AD,

△BFMS^BAE,

即

-一

，

AB

i

MF=3

AE

A-F3

=-A=0

FB14A

即4

3

AB=4

MF1

AE--

AE2

ED

-

ED24E,，

M3

2MF-8

DE

△DGEs^FGM,

MF=FG=_3_=_3；DG=_o_DFy

DEDG8811

AAENs^DEC,

?膽=迎=2

"DECD~2

?.AN=」CD=LB,

22

'.NF^AN+AF=^AB+1AB=^-AB,

244

.NF=NF=3.

"CDABT

：叢NHFs/\CHD,

.NFNF3

而FN

\DH=^DF,

7

\HD=DG-DH^-^-DF-^.DF=^DF,

11777

.SAEGH_HG_3

S/kEGDDG14

..Sw/x步與

__77

SAADF=SAAEF+SA￡DF=-—>

4

SABCD=4SAADF=4X77=77.

4

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)，三角形形似的性質(zhì)及面積，求出△AQU）的面積是本

題的關(guān)鍵.

7.（2019?大鵬新區(qū)二模）如圖，已知一個(gè)矩形紙片0AC8,將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)

系中，點(diǎn)A（10,0）,點(diǎn)B（0,6）,點(diǎn)尸為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△OBP沿OP折疊得到

/XOPD,連接CQ、AD.則下列結(jié)論中：①當(dāng)NBOP=45°時(shí)，四邊形O8P。為正方形;

②當(dāng)/BOP=30°時(shí)，△OAQ的面積為15；③當(dāng)P在運(yùn)動(dòng)過程中，CO的最小值為2丁或

-6；④當(dāng)0￡>_LA￡>時(shí)，BP=2.其中結(jié)論正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【考點(diǎn)】正方形的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形變化-對(duì)稱；三角形的面積；矩形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】①由矩形的性質(zhì)得到NOBC=90°,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OB=OD,ZPDO=

NOBP=90°,NBOP=NOOP,推出四功形OBP。是矩形，根據(jù)正方形的判定定理即

可得到四邊形O8PO為正方形；故①正確；

②過D作DHLOA于H,得到04=10,08=6,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到r>W=-l0D

=3,根據(jù)三角形的面積公式得到△04。的面積為工工X3X10=15,故②正確；

22

③連接OC,于是得到0C+CD20C,即當(dāng)OZ)+C￡)=OC時(shí)，CD取最小值，根據(jù)勾股定

理得到CO的最小值為25/氫-6；故③正確；

④根據(jù)已知條件推出尸，D,A三點(diǎn)共線，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NOPB=NPOA,等量

代換得到/0必=/尸。4，求得AP=OA=10,根據(jù)勾股定理得到BP=BC-CP^IO-8

—2,故④正確.

【解答】解：①?；四邊形0AC8是矩形，

；.NOBC=90°,

VWAOBP沿0P折疊得至必。/5。，

：.OB=OD,NPDO=NOBP=90°,NBOP=NDOP,

,：ZBOP=45°,

：.ZDOP=ZBOP=45°,

.?./BOZ)=90°,

/BOD=NOBP=ZODP=90Q,

二四邊形OBPQ是矩形，

'：OB=OD,

.?.四邊形。BP。為正方形；故①正確;

②過D作DH10A于H,

:點(diǎn)A(10,0),點(diǎn)B(0,6),

，。4=10,08=6,

：.OD=OB=6,NBOP=/OOP=30°,

：.ZDOA=30°,

???0"=*OD=3,

：./\OAD的面積為2。4?￡W=2X3X10=15,故②正確;

22

③連接oc,

則OO+CDNOC,

即當(dāng)oo+cn=oc時(shí)，co取最小值，

'：AC=OB=6,OA=\0,

22

OC"7OA+AC=V102+62=2^34>

：.CD=OC-OD=2-/34：-6,

即8的最小值為2/誦-6；故③正確；

?"：OD1AD,

：.ZADO=90°,

"：ZODP=ZOBP=90°,

AZADP=180°,

：.P,D,A三點(diǎn)共線，

'：OA//CB,

：.ZOPB=ZPOA,

,：4OPB=NOPD,

：.ZOPA^ZPOA,

：.AP=OA=\0,

'：AC=6,

CP=V102-62=8,

.?.BP=BC-CP=10-8=2,故④正確；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角

形的面積的計(jì)算，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

8.（2021?連云港模擬）如圖，在矩形ABC。中，48=y+2,AD=^.把AO沿AE折疊，

使點(diǎn)力恰好落在AB邊上的O'處，再將△AEQ'繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,得到△4'ED",

使得EA'恰好經(jīng)過BD'的中點(diǎn)F.D"交AB于點(diǎn)G,連接A4'.有如下結(jié)論：①

A'尸的長度是五-2；②弧￡）'D"的長度是回應(yīng)兀；③NA'AF=7.5°；④△44'

12

F-AEGF.上述結(jié)論中，所有正確的序號(hào)是（）

A.①②④B.①③C.②③?D.①②③④

【考點(diǎn)】四邊形綜合題.

【專題】幾何綜合題；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】由折疊的性質(zhì)可得/。=乙4。七=90°=/D4。，AO=AO,可證四邊形ADE￡>'

是正方形，可得AO=AD'=D'E=OE=J^,AE=&AD=a，ZEAD'=ZAED'^450,

由勾股定理可求EF的長，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=AE=GZD,ED"=a,ZEA'D"=

NE4￡>'=45°,可求A'F=a-2,可判斷①：由銳角三角函數(shù)可求NFE￡>'=30°,由

弧長公式可求弧D'D"的長度，可判斷②；由等腰三角形的性質(zhì)可求/E44=/EAA=

52.5°,ZA'AF=7.5°,可判斷③；由可證RtZ\EOGgRtZ\ED”G,可得二/乙GE

=Z￡）"G￡=52.5°,可證△A/WS/XEFG,可判斷④，即可求解.

【解答】解：???把AO沿AE折疊，使點(diǎn)。恰好落在AB邊上的?！帲?/p>

.?./￡>=/AO'E=90°^ZDAD',AD=AD',

...四邊形4OE。是矩形，

又?.?A￡）=AD'=我，

?.四邊形AOE。是正方形，

\AD=AD,=DE=DE=M，AE=?AD=?,ZEAD'=ZAED'=45Q,

：.D'B=AB-AD'^2,

?.,點(diǎn)尸是8。中點(diǎn)，

：.D'F=\,

EF=E2+DyF2=V3+1=2,

,/將l\\ED'繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,

.*.AE=A'E=&,ZD'ED"a,/EA'Z)"=NEAD'=45°,

：.A'F=yf^-2,故①正確；

?：tanZFED'

DzEA/33

NFED=30°

：.a=30°+45°=75°,

.?.弧ZXD"的長度=75X7TXf=5遮口,故②正確；

18012

"：AE=A'E,/AE4=75°,

...NE44=NEA4=52.5°,

：.ZA'AF=1.5a,故③正確；

\'D'E=D"E,EG=EG,

：.RtA￡D'G^RtA￡D"G(HL),

：./￡>'GE=ZD"GE,

,：ZAGD"=ZA'AG+ZAA'G=\05°,

：.ZD'GE=52.5°=ZAA'F,

又?.,/AE4'=NMG,

.,.△AM'^AEFG,故④正確，

所以所有正確的序號(hào)為：①②③④.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形

的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，弧長公式，等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角

形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理證明是本題的關(guān)鍵.

9.(2021?永嘉縣校級(jí)模擬)如圖，。。的半徑為2百，四邊形ABC。為。。的內(nèi)接矩形，

AD=6,M為0c中點(diǎn)，E為。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OE,作OE交射線EA于尸,

連接MF,則MF的最大值為（）

A.3^3^69B.6+歷C.273+761D.673

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì).

【專題】動(dòng)點(diǎn)型；矩形菱形正方形；與圓有關(guān)的計(jì)算.

【分析】如圖，連接AC交8。于點(diǎn)。，以AO為邊向上作等邊△AD/,連接/，JA,JD,

JM.判斷出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接AC交8。于點(diǎn)0,以4。為邊向上作等邊△皿，連接開，JA,

JD,JM.

?.?四邊形A8C。是矩形，

/.ZADC=90°,

'：AD=6,4C=4后

.,.sin/AC￡>=M_=_^=近,

AC4Vs2

AZACD=60Q,

:?NFED=NACD=60°,

VDF±DE,

:.NEDF=90°,

，NEFD=30°,

?**AZAD是等邊三角形，

AZAJD=60°,

ZAFD=-LZAJD,

2

...點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以1/為圓心JA為半徑的圓，

...當(dāng)點(diǎn)尸在MJ的延長線上時(shí)，的值最大，

此時(shí)FJ=6,JM—{（4?）2+32=V57，

.??FM的最大值為6+V57，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題.

10.（2020?泰安二模）如圖1,有一張矩形紙片A8C3,已知48=10,4）=12,現(xiàn)將紙片

進(jìn)行如下操作：現(xiàn)將紙片沿折痕BF進(jìn)行折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，點(diǎn)F在

4。上（如圖2）；然后將紙片沿折痕?！ㄟM(jìn)行第二次折疊，使點(diǎn)C落在第一次的折痕8F

上的點(diǎn)G處，點(diǎn)〃在8C上（如圖3）,給出四個(gè)結(jié)論：①AF的長為10；②△BG”的周

長為18；③"_上；④GH的長為5,其中正確的結(jié)論有（）

GF3

A.①②③B.①②④C.①③?D.②③④

【考點(diǎn)】四邊形綜合題.